數(shù)列-遞推法與數(shù)列法

遞推法與數(shù)列法凡涉及數(shù)列求解的物理問題具有多過程、重復(fù)性的共同特點(diǎn)，但每一個(gè)重復(fù)過程均不是原來的完全重復(fù)，是一種變化了的重復(fù)，隨著物理過程的重復(fù)，某些物理量逐步發(fā)生著“前后有聯(lián)系的變化”.該類問題求解的根本思路為：(1)逐個(gè)分析開始的幾個(gè)物理過程(2)利用歸納法從中找出物理量的變化通項(xiàng)公式(是解題的關(guān)鍵)，最后分析整個(gè)物理過程，應(yīng)用數(shù)列特點(diǎn)和規(guī)律解決物理問題；③無窮數(shù)列的求和，一般是無窮遞減等比數(shù)列，有相應(yīng)的公式可用.凡涉及數(shù)列求解的物理問題都具有過程多、重復(fù)性強(qiáng)的特點(diǎn)，但每一個(gè)重復(fù)過程均不是原來的完全重復(fù)，而是一種變化了的重復(fù)．隨著物理過程的重復(fù)，某些物理量逐步發(fā)生著前后有聯(lián)系的變化．該類問題求解的根本思路為：(1)逐個(gè)分析開始的幾個(gè)物理過程；(2)利用歸納法從中找出物理量變化的通項(xiàng)公式(這是解題的關(guān)鍵)；(3)最后分析整個(gè)物理過程，應(yīng)用數(shù)列特點(diǎn)和規(guī)律求解．無窮數(shù)列的求和，一般是無窮遞減數(shù)列，有相應(yīng)的公式可用．等差：Sn＝eq\f(n(a1＋an),2)＝na1＋eq\f(n(n－1),2)d(d為公差)．等比：Sn＝eq\f(a1(1－qn),1－q)(q為公比)．運(yùn)用數(shù)列的思想可以解決一些往復(fù)運(yùn)動(dòng)的問題。如等比數(shù)列與等差數(shù)列在物理題中的應(yīng)用。其一般步驟為：根據(jù)物理知識(shí)列出一般數(shù)學(xué)關(guān)系式；分析關(guān)系式遵循的數(shù)學(xué)規(guī)律，找出通項(xiàng)，根據(jù)數(shù)列規(guī)律求出物理量。運(yùn)用極限的思想能夠解決在理想狀態(tài)下的物理問題的解等。數(shù)學(xué)中的數(shù)列與物理學(xué)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)的數(shù)理結(jié)合問題，在求解該問題中，正確寫出某一物理量的通項(xiàng)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵。例5一個(gè)球從100米高處自由落下，每次著地后，又跳回到原高度的一半再落下，假定球與地面每次碰撞過程中沒有能量損失，空氣平均阻力大小不變，問等到球停止運(yùn)動(dòng)，停留在地面上時(shí)，球總共經(jīng)過的距離為多少米?

【分析】此題是數(shù)學(xué)中的一個(gè)求無窮等比數(shù)列各項(xiàng)和的問題，如果用數(shù)學(xué)知識(shí)來計(jì)算求解比擬復(fù)雜,我們采用逆向思維，利用物理學(xué)中功能原理那么很容易求解。

【解答】：設(shè)球的質(zhì)量為m千克，空氣平均阻力大小為f牛頓，g為重力加速度，s為球總共經(jīng)過的距離。

球從100米高處自由落下，著地后只回到50米處，說明球的重力勢(shì)能減少了，減少的原因是空氣阻力作了負(fù)功，那么有Wf=f*d=△E代入數(shù)值得f(100+50)=100mg-50mg,求出f=1/3mg，

同理由功能原理有：100mg=fs,100mg=1/3mgs,s=300(米)。1.把長(zhǎng)為s的平直公路分成n等份，一輛汽車從始端由靜止出發(fā)，以加速度a運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它到達(dá)每一等份末端時(shí)，加速度增加a/n，那么汽車到達(dá)終點(diǎn)站B時(shí)的速度是多少？解析：依題意有：第一段的末速度v12－0＝2as第二段的末速度：v22－v12＝2〔a＋〕第三段的末速度：v32－v22＝2〔a＋〕……第n段的末速度：vn2－vn－12＝2［a＋］以上n個(gè)式子累加得：vn2＝2a××［］＝即：vB＝．兩邊同時(shí)累加，消去得2.如下圖，n個(gè)相同的木塊(可視為質(zhì)點(diǎn))，每塊的質(zhì)量都是m，從右向左沿同一直線排列在水平桌面上，相鄰木塊間的距離均為l，第n個(gè)木塊到桌邊的距離也是l,木塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．開始時(shí)，第1個(gè)木塊以初速度υ0向左滑行，其余所有木塊都靜止，在每次碰撞后，發(fā)生碰撞的木塊都粘在一起運(yùn)動(dòng)．最后第n個(gè)木塊剛好滑到桌邊而沒有掉下．(1)求在整個(gè)過程中因碰撞而損失的總動(dòng)能．(2)求第i次(i≤n一1)碰撞中損失的動(dòng)能與碰撞前動(dòng)能之比．(3)假設(shè)n=4，l=0.10m，υ0一3.0m／s，重力加速度，求μ的數(shù)值．解：(1)整個(gè)過程木塊克服摩擦力做功w=μmg．l+μmg．2l+……+μmg．nl=①根據(jù)功能關(guān)系，整個(gè)過程中由于碰撞而損失的總動(dòng)能為△Ek=Ek0一W②得③(2)設(shè)第i次(i≤n一1)碰撞前木塊的速度為υi，碰撞后速度為υi’，那么(i+1)mυi’=imυi④碰撞中損失的動(dòng)能△E時(shí)與碰撞前動(dòng)能Eki之比為(i≤n-1)⑤(i≤n-1)⑥(3)初動(dòng)能第1次碰撞前⑦第1次碰撞后’=⑧第2次碰撞=’第2次碰撞后’=第3次碰撞前=’第3次碰撞后’=據(jù)題意有⑨帶人數(shù)據(jù)，聯(lián)立求解得例12小球從高處自由落下，著地后又跳起，然后又下落，每與地面碰撞一次速度就減少為原來的k倍，假設(shè)，求小球從下落開始直至停止所用的總時(shí)間?！瞘取碰撞時(shí)間忽略不計(jì)〕。解析：要求小球運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間，必須根據(jù)小球運(yùn)動(dòng)的特征，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式將小球每碰撞一次在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間求出，然后再累加求和。小球從處下落到地面時(shí)的速度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間。第一次碰撞后小球的速度小球再次與地面碰撞前做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，這一過程小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間同理可推得：第n次碰撞后，小球的運(yùn)動(dòng)速度為運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，由此可知，小球從下落到停止的總時(shí)間為：上式括號(hào)中是一個(gè)無窮遞減的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為k，公比也為k,用數(shù)學(xué)中等比數(shù)列求和公式求的：。例13如下圖，小球從長(zhǎng)L的斜面頂端自由滑下，滑到低端時(shí)與擋板碰撞后的速度大小為碰撞前的求小球從開始下滑到到最終停止于斜面下端共通過的路程。解析：物體咋斜面上下滑和反彈上升加速度相等，設(shè)為a，物體在第一次碰撞前后加速度分別為反彈的路程為：物體在第二次碰撞前后速度及反彈路程分別為：第n次碰撞前后速度及彈起路程分別為：n+1次碰撞擋板時(shí)所經(jīng)歷的總路程：當(dāng)n趨于無限大時(shí)，所以物體最終聽在斜面低端時(shí)通過的總路程為。2．甲、乙兩個(gè)溜冰者，質(zhì)量分別為60kg和62kg，甲手中拿著一個(gè)2kg的球，兩人在冰面上相隔一段距離且均以2m／s的速度相向滑行，在滑行過程中甲將球拋給乙，乙接球后又將球拋給甲，這樣拋接假設(shè)干次后，乙的速度變?yōu)?0m／s，那么甲的速度為．答案：10m／s．3．小車靜置在光滑水平面上，站在車上的人練習(xí)打靶，人站在車的一端，靶固定在車的另一端，如下圖，車、人、靶和槍的總質(zhì)量為M(不包括子彈)，每顆子彈質(zhì)量為m，共n發(fā)，打靶時(shí)每顆子彈擊中靶后，就留在靶內(nèi)，且待前一發(fā)擊中靶后，再打下一發(fā)，打完n發(fā)后，小車移動(dòng)的距離為答案：M+mn=動(dòng)量守恒重心質(zhì)心不變4．例6如圖8－7所示，一輕繩吊著一根粗細(xì)均勻的棒，棒下端離地面高為H，上端套著一個(gè)細(xì)環(huán)．棒和環(huán)的質(zhì)量均為m，相互間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力kmg(k＞1)．?dāng)嚅_輕繩，棒和環(huán)自由下落．假設(shè)棒足夠長(zhǎng)，與地面發(fā)生碰撞時(shí)觸地時(shí)間極短，無動(dòng)能損失．棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中始終保持豎直，空氣阻力不計(jì)．求：圖8－7(1)棒第一次與地面碰撞后彈起上升的過程中，環(huán)的加速度．(2)從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運(yùn)動(dòng)的路程s．(3)從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止的過程中，摩擦力對(duì)環(huán)和棒做的總功W．[2007年高考·江蘇物理卷]【解析】(1)設(shè)棒第一次上升的過程中環(huán)的加速度為a環(huán)，由牛頓第二定律有：a環(huán)＝eq\f(kmg－mg,m)＝(k－1)g，方向豎直向上．(2)棒第一次落地前瞬間的速度大小為：v1＝eq\r(2gH)設(shè)棒彈起后的加速度為a棒，由牛頓第二定律有：a棒＝－eq\f(kmg＋mg,m)＝－(k＋1)g故棒第一次彈起的最大高度為：H1＝－eq\f(v12,2a棒)＝eq\f(H,k＋1)路程s＝H＋2H1＝eq\f(k＋3,k＋1)H．(3)解法一設(shè)棒第一次彈起經(jīng)過t1時(shí)間后與環(huán)到達(dá)共同速度v1′環(huán)的速度v1′＝－v1＋a環(huán)t1棒的速度v1′＝v1＋a棒t1解得：t1＝eq\f(1,k)eq\r(\f(2H,g))v1′＝－eq\f(\r(2gH),k)環(huán)的位移h環(huán)1＝－v1t1＋eq\f(1,2)a環(huán)t12＝－eq\f(k＋1,k2)H棒的位移h棒1＝v1t1＋eq\f(1,2)a棒t12＝eq\f(k－1,k2)Hx1＝h環(huán)1－h(huán)棒1解得：x1＝－eq\f(2H,k)棒、環(huán)一起下落至地，有：v22－v1′2＝2gh棒1解得：同理，環(huán)第二次相對(duì)棒的位移為：x2＝h環(huán)2－h(huán)棒2＝－eq\f(2H,k2)……xn＝－eq\f(2H,kn)故環(huán)相對(duì)棒的總位移x＝x1＋x2＋…＋xn＝－eq\f(2H,k－1)所以W＝kmgx＝－eq\f(2kmgH,k－1)．解法二經(jīng)過足夠長(zhǎng)的時(shí)間棒和環(huán)最終靜止，設(shè)這一過程中它們相對(duì)滑動(dòng)的總路程為l，由能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律有：mgH＋mg(H＋l)＝kmgl解得：l＝eq\f(2H,k－1)故摩擦力對(duì)環(huán)和棒做的總功為：W＝－kmgl＝－eq\f(2kmgH,k－1)．[答案](1)(k－1)g，方向豎直向上(2)eq\f(k＋3,k＋1)H(3)－eq\f(2kmgH,k－1)【點(diǎn)評(píng)】①高考?jí)狠S題中常涉及多個(gè)物體屢次相互作用的問題，求解這類題往往需要應(yīng)用數(shù)學(xué)的遞推公式或數(shù)列求和知識(shí)．②一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做功的總和W＝－f·s總，s總為相對(duì)滑動(dòng)的總路程．③對(duì)于涉及兩個(gè)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過程，規(guī)定統(tǒng)一的正方向也很重要．總質(zhì)量為M的火箭豎直上升至某處的速度為μ，此時(shí)向下噴出質(zhì)量為m，相對(duì)于火箭的速度為u的氣體，此時(shí)火箭的速度為．答案：一彈性小球自ｈ０＝５m高處自由下落，當(dāng)它與水平地面每碰撞一次后，速度減小到碰前的7/9，不計(jì)每次碰撞時(shí)間，計(jì)算小球從開始下落到停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程和時(shí)間.命題意圖：考查綜合分析、歸納推理能力.B級(jí)要求.錯(cuò)解分析：考生不能通過對(duì)開始的幾個(gè)重復(fù)的物理過程的分析，歸納出位移和時(shí)間變化的通項(xiàng)公式致使無法對(duì)數(shù)列求和得出答案.解題方法與技巧：〔數(shù)列法〕設(shè)小球第一次落地時(shí)速度為v０，那么：v０＝＝１０m/s那么第二，第三，……，第n＋１次落地速度分別為：v１＝v０，v２＝〔〕２v０，…，vn＝〔〕nv０小球開始下落到第一次與地相碰經(jīng)過的路程為ｈ０＝５m，小球第一次與地相碰到第二次與地相碰經(jīng)過的路程是：L１＝２×＝２×v０２＝１０×〔)２小球第二次與地相碰到第三次與地相碰經(jīng)過的路程為L(zhǎng)２，L２＝２×＝１０×〔〕４由數(shù)學(xué)歸納法可知，小球第n次到第n＋１次與地相碰經(jīng)過的路程為L(zhǎng)n：Ln＝１０×〔〕２n故整個(gè)過程總路程ｓ為：ｓ＝ｈ+〔L１＋L２＋…＋Ln〕＝５＋10［〔〕２＋〔〕４＋…＋〔〕２n］可以看出括號(hào)內(nèi)的和為無窮等比數(shù)列的和.由等比無窮遞減數(shù)列公式Sn＝得：ｓ＝５＋10×m＝20.3m小球從開始下落到第一次與地面相碰經(jīng)過時(shí)間：t０＝＝１ｓ小球第一次與地相碰到第二次與地相碰經(jīng)過的時(shí)間為：t１＝２×＝２×ｓ同理可得：tn＝２×〔〕nｓt＝t０＋t１＋t２＋…＋tn＝１＋２×［〔〕＋〔〕２＋…＋〔〕n］ｓ＝［１＋２×］ｓ＝〔１＋７〕ｓ＝８ｓ.［例2］〔★★★★〕如圖24-2所示，ｙ軸右方向有方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一個(gè)質(zhì)量為m，電量為ｑ的質(zhì)子以速度v水平向右通過ｘ軸上P點(diǎn)，最后從ｙ軸上的M點(diǎn)射出磁場(chǎng).M點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為H，質(zhì)子射出磁場(chǎng)時(shí)速度方向與ｙ軸負(fù)方向夾角θ＝圖24-2３０°，求：圖24-2(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小和方向.(2)適當(dāng)時(shí)候，在ｙ軸右方再加一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)就可以使質(zhì)子最終能沿ｙ軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng).從質(zhì)子經(jīng)過P點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，再經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間加這個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)?電場(chǎng)強(qiáng)度多大?方向如何?命題意圖：依質(zhì)子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)為背景，設(shè)置命題，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力.B級(jí)要求.錯(cuò)解分析：考生無法運(yùn)用幾何關(guān)系來確定帶電粒子勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心位置，進(jìn)而沒能據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，無法畫出所求示意圖，致使無法對(duì)整個(gè)物理過程作深刻的分析求解.解題方法與技巧：(1)先找圓心.過M點(diǎn)和P點(diǎn)的切線作垂線，其交點(diǎn)即為粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心Ｏ′，那么由幾何關(guān)系，設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)半徑為ｒ，有：ｒ＋ｒcos６０°＝Ｈ，得ｒ＝Ｈ又由ｒ＝，B＝＝，方向垂直于紙面向里.(2)沿ｙ軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，說明v０應(yīng)沿＋ｙ方向，由左手定那么，F(xiàn)洛水平向左(沿－ｘ方向).那么ｑＥ應(yīng)水平向右(沿＋ｘ方向).這樣ｙ方向不受力，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，滿足Ｅ＝Bv，所以應(yīng)從Ｐ點(diǎn)經(jīng)Ｔ時(shí)加這個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)，其場(chǎng)強(qiáng)E：周期Ｔ＝＝經(jīng)t＝Ｔ＝v＝Ｅ＝Bv＝減少量等于增加量6．?dāng)?shù)列兩物體在光滑水平軌道上發(fā)生正碰，試證明：碰撞后兩物體以共同速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，碰撞過程中系統(tǒng)的動(dòng)能損失最大．證明：略．1木板受力沿斜面向上，F(xiàn)f=Mgsina人受力沿斜面向下，F(xiàn)f+mgsina=ma2人受力沿斜面向上，F(xiàn)f=mgsina木板受力沿斜面向下，F(xiàn)f+Mgsina=Ma'?量不同反響不同的化學(xué)方程式二合一，兩種極端情況濃縮在一起，方程組解題24．〔20分〕 如下圖，裝置的左邊是足夠長(zhǎng)的光滑水平面，一輕質(zhì)彈簧左端固定，右端連接著質(zhì)量M=2kg的小物塊A。裝置的中間是水平傳送帶，它與左右兩邊的臺(tái)面等高，并能平滑對(duì)接。傳送帶始終以u(píng)=2m/s的速率逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。裝置的右邊是一光滑的曲面，質(zhì)量m=1kg的小物塊B從其上距水平臺(tái)面h=1.0m處由靜止釋放。物塊B與傳送帶之間的摩擦因數(shù)μ=0.2，l=1.0m。設(shè)物塊A、B中間發(fā)生的是對(duì)心彈性碰撞，第一次碰撞前物塊A靜止且處于平衡狀態(tài)。取g=10m/s2?！?〕求物塊B與物塊A第一次碰撞前速度大小；〔2〕通過計(jì)算說明物塊B與物塊A第一次碰撞后能否運(yùn)動(dòng)到右邊曲面上？〔3〕如果物塊A、B每次碰撞后，物塊A再回到平衡位置時(shí)都會(huì)立即被鎖定，而當(dāng)他們?cè)俅闻鲎睬版i定被解除，試求出物塊B第n次碰撞后的運(yùn)動(dòng)速度大小?！敬鸢浮俊?〕4m/s〔2〕不能〔3〕【解析】〔1〕設(shè)物塊B沿光滑曲面下滑到水平位置時(shí)的速度大小為v0由機(jī)械能守恒知=1\*GB3①=2\*GB3②設(shè)物塊B在傳送帶上滑動(dòng)過程中因受摩擦力所產(chǎn)生的加速度大小為a=3\*GB3③設(shè)物塊B通過傳送帶后運(yùn)動(dòng)速度大小為v，有=4\*GB3④結(jié)合②③④式解得v=4m/s=5\*GB3⑤由于=2m/s，所以v=4m/s即為物塊B與物塊A第一次碰撞前的速度大小〔2〕設(shè)物塊A、B第一次碰撞后的速度分別為V、v1，取向右為正方向，由彈