數(shù)列專題講義

教師輔導(dǎo)講義〔2〕講義編號：學(xué)員編號年級高三課時數(shù)學(xué)員姓名輔導(dǎo)科目數(shù)學(xué)學(xué)科教師戴老師課題數(shù)列專題授課時間：教學(xué)目標(biāo)教學(xué)內(nèi)容備考策略：數(shù)列問題歷來是江蘇卷壓軸題的必考內(nèi)容，解答題中難度很大，填空題根本上為根底題，所以在今后的復(fù)習(xí)中需要關(guān)注以下幾點：1．等差、等比數(shù)列的根本量的求解．2．等差、等比數(shù)列的性質(zhì)如等差(比)中項．3．多采取從特殊到一般研究問題的角度．4．恒等問題和不等關(guān)系根本論證的訓(xùn)練．?dāng)?shù)列通項及求和主干知識整合：1．?dāng)?shù)列通項求解的方法(1)公式法；(2)根據(jù)遞推關(guān)系求通項公式有：①疊加法；②疊乘法；③轉(zhuǎn)化法．(3)不完全歸納法即從特殊到一般的歸納法；(4)用an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1,Sn－Sn－1n≥2))求解．2．?dāng)?shù)列求和的根本方法：(1)公式法；(2)分組法；(3)裂項相消法；(4)錯位相減法；(5)倒序相加法．?探究點一公式法如果所給數(shù)列滿足等差或者等比數(shù)列的定義，那么可以求出a1，d或q后，直接代入公式求出an或Sn.例1(1)正數(shù)數(shù)列{an}對任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap·aq，假設(shè)a2＝4，那么an＝________.,(2)數(shù)列{an}為正項等比數(shù)列，假設(shè)a2＝1，且an＋an＋1＝6an－1(n∈N，n≥2)，那么此數(shù)列的前n項和Sn＝________.(1)2n(2)2n－1－eq\f(1,2)【解析】(1)由ap＋q＝ap·aq，a2＝4，可得a2＝aeq\o\al(2,1)＝4?a1＝2，所以ap＋1＝ap·a1，即eq\f(ap＋1,ap)＝a1＝2，即數(shù)列{an}為等比數(shù)列，所以an＝a1·qn－1＝2·2n－1＝2n.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由an＋an＋1＝6an－1知，當(dāng)n＝2時，a2＋a3＝6a1.再由數(shù)列{an}為正項等比數(shù)列，a2＝1，得1＋q＝eq\f(6,q)，化簡得q2＋q－6＝0，解得q＝－3或q＝2.∵q>0，∴q＝2，∴a1＝eq\f(1,2)，∴Sn＝eq\f(\f(1,2)1－2n,1－2)＝2n－1－eq\f(1,2).【點評】這兩題都是由“ap＋q＝ap·aq”和“an＋an＋1＝6an－1”推出其他條件來確定根本量，不過第(1)小問中首先要確定該數(shù)列的特征，而第(2)小問已經(jīng)明確是等比數(shù)列，代入公式列方程求解即可．{an}是等差數(shù)列，a10＝10，前10項和S10＝70，那么其公差d＝________.eq\f(2,3)【解析】方法一：因為S10＝70，所以eq\f(10a1＋a10,2)＝70，即a1＋a10a10＝10，所以a1＝4，故9d＝10－4＝6，所以d＝eq\f(2,3).方法二：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋9d＝10，,10a1＋45d＝70，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝\f(2,3).))?探究點二根據(jù)遞推關(guān)系式求通項公式如果所給數(shù)列遞推關(guān)系式，不可以用疊加法或疊乘法，在填空題中可以用不完全歸納法進行研究．例2(1)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(5an－13,3an－7)(n∈N*)，那么數(shù)列{an}的前100項的和為________．(2)數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝1，a2＝2，b1＝2，且對任意的正整數(shù)i，j，k，l，當(dāng)i＋j＝k＋l時，都有ai＋bj＝ak＋bl，那么eq\f(1,2010)的值是________．(1)200(2)2012【解析】(1)由a1＝2，an＋1＝eq\f(5an－13,3an－7)(n∈N*)得a2＝eq\f(5×2－13,3×2－7)＝3，a3＝eq\f(5×3－13,3×3－7)＝1，a4＝eq\f(5×1－13,3×1－7)＝2，那么{an}是周期為3的數(shù)列，所以S100＝(2＋3＋1)×33＋2＝200.(2)由題意得a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5；b1＝2，b2＝3，b3＝4，b4＝5，b5an＝n，bn＝n＋1；設(shè)cn＝an＋bn，cn＝an＋bn＝n＋n＋1＝2n＋1，那么數(shù)列{cn}是首項為c1＝3，公差為2的等差數(shù)列，問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列{cn}的前2010項和的平均數(shù)．所以eq\f(1,2010)＝eq\f(1,2010)×eq\f(2010×3＋4021,2)＝2012.【點評】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項，除了常規(guī)的方法外，還可以用不完全歸納法進行研究，如數(shù)列周期性的研究．?探究點三數(shù)陣問題數(shù)陣問題主要指的是不僅僅是將數(shù)排成一列的數(shù)列，而是既有行的排列也有列的排列的數(shù)字規(guī)律變換的研究．例3所有正奇數(shù)如下數(shù)表排列(表中下一行中的數(shù)的個數(shù)是上一行中數(shù)的個數(shù)的2倍)：第一行1第二行35第三行791113……那么第6行中的第3個數(shù)是________．67【解析】先計算第六行第三個數(shù)為正奇數(shù)排列的第幾個數(shù)，由1＋2＋4＋8＋16＋3＝34得所求的數(shù)為第34個，所以2×34－1＝67.【點評】數(shù)陣問題中第m行的第n個數(shù)的研究，需要分兩步研究，第一步研究每一行的數(shù)變換規(guī)律，第二步再研究列的變換規(guī)律．此題實為將一個等差數(shù)列分成了假設(shè)干局部進行研究．下面的數(shù)組均由三個數(shù)組成，它們是：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(an，bn，cn)．(1)請寫出cn的一個表達式，cn＝________；(2)假設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Mn，那么M10＝________.(用數(shù)字作答)cn＝n＋2n2101【解析】由1,2,3,4,5，…猜測an＝n；由2,4,8,16,32，…猜測bn＝2n；由每組數(shù)都是“前兩個之和等于第三個”猜測cn＝n＋2n.從而M10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝eq\f(10×10＋1,2)＋eq\f(2210－1,2－1)＝2101.?探究點四數(shù)列的特殊求和方法數(shù)列的特殊求和方法中以錯位相減法較為難掌握，其中通項公式{anbn}的特征為{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列．例4在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2＝2a1＋3，且3a2，a4,5a3成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝log3an，求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn.【解答】(1)設(shè){an}公比為q，由題意得q>0，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝2a1＋3，,3a2＋5a3＝2a4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q－2＝3，,2q2－5q－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,q＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－\f(6,5)，,q＝－\f(1,2)))(舍去)，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝3·3n－1＝3n，n∈N*.(2)由(1)可得bn＝log3an＝n，所以anbn＝n·3n.所以Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1.②②－①得，2Sn＝－3－(32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1＝－(3＋32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1，＝－eq\f(31－3n,1－3)＋n·3n＋1＝eq\f(3,2)(1－3n)＋n·3n＋1＝eq\f(3,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,2)))3n＋1.所以數(shù)列{anbn}的前n項和為Sn＝eq\f(3,4)＋eq\f(2n－1,4)3n＋1.【點評】此題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的根底知識，第(1)問求數(shù)列的通項公式，主要是用解方程組的方法求出首項和公比，注意取舍；第(2)問，求數(shù)列的前n項和，主要考查錯位相減法．錯位相減時要注意各項的位置要錯開，還要注意2Sn的左邊的系數(shù)要處理后，才算求出Sn，最后還需要用n＝1,2進行檢驗．規(guī)律技巧提煉1．?dāng)?shù)列通項公式的研究主要是研究相鄰項之間的關(guān)系，江蘇卷對遞推關(guān)系的考查不多，填空題中出現(xiàn)復(fù)雜遞推關(guān)系時，可以用不完全歸納法研究．在解答題中主要是轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的根本量的求解．2．?dāng)?shù)列求和問題中特殊求和方法在江蘇卷的考查也不多，主要還是利用公式法求數(shù)列的前n項和，再論證和的性質(zhì)，故不過多涉及求和的技巧以及項的變形．江蘇真題剖析例[2008·江蘇卷]將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：123456789101112131415按照以上排列的規(guī)律，第n行(n≥3)從左向右的第3個數(shù)為________【分析】此題考查了推理能力，但其本質(zhì)為分組求和．?dāng)?shù)陣問題中的某一項的求解，需要先求行的規(guī)律，再求列的規(guī)律．【答案】eq\f(n2－n＋6,2)【解析】前n－1行共有正整數(shù)1＋2＋…＋(n－1)個，即eq\f(n2－n,2)個，因此第n行第3個數(shù)是全體正整數(shù)中第eq\f(n2－n,2)＋3個，即為eq\f(n2－n＋6,2).[2010·江蘇卷]函數(shù)y＝x2(x>0)的圖象在點(ak，aeq\o\al(2,k))處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為ak＋1，k為正整數(shù)，a1＝16，那么a1＋a3＋a5＝________.21【解析】此題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，該知識點在高考考綱中為B級要求．函數(shù)y＝x2(x>0)在點(16,256)處的切線方程為y－256＝32(x－16)．令y＝0得a2＝8；同理函數(shù)y＝x2(x>0)在點(8,64)處的切線方程為y－64＝16(x－8)，令y＝0得a3＝4；依次同理求得a4＝2，a5a1＋a3＋a5＝21.專題十四等差、等比數(shù)列的性質(zhì)主干知識整合：(1)等差數(shù)列①定義法：an＋1－an＝d(n∈N*)；②等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．(2)等比數(shù)列①定義法：eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)；②等比中項：aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)．要點熱點探究?探究點一等差、等比中項性質(zhì)等差中項和等比中項不僅僅可以解決兩項和(積)之間的等量關(guān)系，也可以進一步推廣至假設(shè)干項如，假設(shè)m＋n＋p＝r＋s＋t，那么等差數(shù)列有am＋an＋ap＝ar＋as＋at；等比數(shù)列有am·an·ap＝ar·as·at.例1(1)[2011·廣東卷]等差數(shù)列{an}前9項的和等于前4項的和．假設(shè)a1＝1，ak＋a4＝0，那么k＝________.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，那么a1a2…a9＝________.(1)10(2)50eq\f(3,2)【解析】(1)由S9＝S4，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，即5a7＝0，所以a7＝0，由a7＝a1＋6d得d＝－eq\f(1,6)，又ak＋a4＝0，即a1＋(k－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))＋a1＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))＝0，即(k－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))＝－eq\f(3,2)，所以k－1＝9，所以k＝10.(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)知a1a2a3＝(a1a3)·a2＝aeq\o\al(3,2)＝5，a7a8a9＝(a7a9)·a8＝aeq\o\al(3,8)＝10，所以a2a8＝50eq\f(1,3)，所以a1a2…a9＝aeq\o\al(9,5)＝(eq\r(a2a8))9＝50eq\f(3,2).【點評】等差中項和等比中項的本質(zhì)是整體思想運用，用來實現(xiàn)等量項之間的代換．這是在數(shù)列運用根本量研究外的一個重要的處理問題的手段．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為正數(shù)，假設(shè)a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，那么a11＋a12＋a13＝________.105【解析】由條件可知，a2＝5，從而a1＋a3＝10，a1a3＝16，得a1＝2，a3＝8，公差為3，所以a11＋a12＋a13＝6＋(10＋11＋12)×3＝105.?探究點二數(shù)列單調(diào)性的研究數(shù)列的單調(diào)性研究方法有三種：一是用數(shù)列的單調(diào)性的定義，如an＋1>an；二是假設(shè)數(shù)列是等差或等比數(shù)列可以觀察其通項的系數(shù)特征；三是可以構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，通過函數(shù)單調(diào)性得到對應(yīng)數(shù)列的單調(diào)性．例2有n個首項都是1的等差數(shù)列，設(shè)第m個數(shù)列的第k項為amk(m，k＝1,2,3，…，n，n≥3)，公差為dm，并且a1n，a2n，a3n，…，ann成等差數(shù)列．且dm＝(2－m)d1＋(m－1)d2.(1)當(dāng)d1＝1，d2＝3時，將數(shù)列{dm}分組如下：(d1)，(d2，d3，d4)，(d5，d6，d7，d8，d9)，…(每組數(shù)的個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列)．設(shè)前m組中所有數(shù)之和為(cm)4(cm>0)，求數(shù)列{2cndn}的前n項和Sn；(2)設(shè)N是不超過20的正整數(shù)，當(dāng)n>N時，對于(1)中的Sn，求使得不等式eq\f(1,50)(Sn－6)>dn成立的所有N的值．【解答】(1)當(dāng)d1＝1，d2＝3時，dm＝2m－1(m∈N*)．?dāng)?shù)列{dm}分組如下：(d1)，(d2，d3，d4)，(d5，d6，d7，d8，d9)，…按分組規(guī)律，第m組中有(2m－1)個奇數(shù)，所以第1組到第m組共有1＋3＋5＋…＋(2m－1)＝m2個奇數(shù)．注意到前k個奇數(shù)的和為1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，所以前m2個奇數(shù)的和為(m2)2＝m4.即前m組中所有數(shù)之和為m4，所以(cm)4＝m4.因為cm>0，所以cm＝m，從而2cmdm＝(2m－1)·2m(m∈N*)．所以Sn＝1·2＋3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，2Sn＝1·22＋3·23＋5·24＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，故－Sn＝2＋2·22＋2·23＋2·24＋…＋2·2n－(2n－1)·2n＋1＝2(2＋22＋23＋…＋2n)－2－(2n－1)·2n＋1＝2×eq\f(22n－1,2－1)－2－(2n－1)·2n＋1＝(3－2n)2n＋1－6.所以Sn＝(2n－3)2n＋1＋6.(2)由(1)知dn＝2n－1(n∈N*)，Sn＝(2n－3)2n＋1＋6(n∈N*)．故不等式eq\f(1,50)(Sn－6)>dn就是(2n－3)2n＋1>50(2n－1)．考慮函數(shù)f(n)＝(2n－3)2n＋1－50(2n－1)＝(2n－3)(2n＋1－50)－100.當(dāng)n＝1,2,3,4,5時，都有f(n)<0，即(2n－3)2n＋1<50(2n－1)．而f(6)＝9(128－50)－100＝602>0，注意到當(dāng)n≥6時，f(n)單調(diào)遞增，故有f(n)>0.因此當(dāng)n≥6時，(2n－3)2n＋1>50(2n－1)成立，即eq\f(1,50)(Sn－6)>dn成立．所以，滿足條件的所有正整數(shù)N＝6,7，…，20.【點評】此題第二小問構(gòu)造了函數(shù)f(n)＝(2n－3)(2n＋1－50)－100，其中所構(gòu)成的函數(shù)為一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積函數(shù)，由于g(n)＝2n－3，h(n)＝2n＋1－50都是單調(diào)遞增函數(shù)，但不是恒正，故只有當(dāng)n≥6時才能保證恒正，這樣得到的函數(shù)f(n)才是單調(diào)遞增函數(shù)，前五項的性質(zhì)，可以代入后一一進行比擬．(1)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，假設(shè)eq\f(a5,a6)<－1，那么數(shù)列{|an|}的最小項是第________項．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝33，an＋1－an＝2n，那么eq\f(an,n)的最小值為________．(1)6(2)eq\f(21,2)【解析】(1)由eq\f(a5,a6)<－1得，假設(shè)a6>0，那么a5<－a6<0，此時等差數(shù)列為遞增數(shù)列，|a5|>|a6|，此時{|an|}中第6項最??；假設(shè)a6<0，那么a5>－a6>0，此時等差數(shù)列為遞減數(shù)列，|a5|>|a6|，仍然有{|an|}中第6項最?。蕒|an|}中的最小項是第6項．(2)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＋33＝n2－n＋33，所以eq\f(an,n)＝n＋eq\f(33,n)－1，設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(33,x)－1，那么f′(x)＝1－eq\f(33,x2)，從而在(eq\r(33)，＋∞)上函數(shù)f(x)為增函數(shù)，在(0，eq\r(33))上函數(shù)f(x)為減函數(shù)，因為n∈N＋，所以eq\f(an,n)在eq\r(33)附近的整數(shù)取得最小值，由于eq\f(a5,5)＝eq\f(53,5)，eq\f(a6,6)＝eq\f(21,2)，所以當(dāng)n＝6時，eq\f(an,n)有最小值為eq\f(21,2).?探究點三等差、等比數(shù)列的證明等差、等比數(shù)列的證明方法有兩種：一是用數(shù)列的定義；二是等差中項或等比中項，但其本質(zhì)都是根據(jù)條件尋求相鄰兩項或幾項之間的關(guān)系．例3數(shù)列{an}，{bn}滿足bn＝an＋1－an，其中n＝1,2,3，….(1)假設(shè)a1＝1，bn＝n，求數(shù)列{an}的通項公式；(2)假設(shè)bn＋1bn－1＝bn(n≥2)，且b1＝1，b2cn＝a6n－1(n≥1)，求證：數(shù)列{cn}為等差數(shù)列．【解答】(1)當(dāng)n≥2時，有an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋b1＋b2＋…＋bn－1＝1＋eq\f(n－1×n,2)＝eq\f(n2,2)－eq\f(n,2)＋1.又因為a1＝1也滿足上式，所以數(shù)列{an}的通項為an＝eq\f(n2,2)－eq\f(n,2)＋1.(2)因為對任意的n∈N*有bn＋6＝eq\f(bn＋5,bn＋4)＝eq\f(1,bn＋3)＝eq\f(bn＋1,bn＋2)＝bn，所以cn＋1－cn＝a6n＋5－a6n－1＝b6n－1＋b6n＋b6n＋1＋b6n＋2＋b6n＋3＋b6n＋4＝1＋2＋2＋1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝7(n≥1)，所以數(shù)列{cn}為等差數(shù)列．【點評】此題中{cn}是由{an}構(gòu)成，而數(shù)列{an}又由數(shù)列{bn}構(gòu)成，所以此題要證明數(shù)列{cn}是等差數(shù)列，其本質(zhì)還是論證數(shù)列{bn}的特征，其中bn＋6＝bn是數(shù)列周期性的證明．規(guī)律技巧提煉1．等差、等比數(shù)列性質(zhì)很多，在江蘇卷的考查中以等差中項和等比中項的考查為主，在運用該技巧時，要注意該等式兩邊的項數(shù)必須相等即兩項與兩項互換，三項與三項互換．2．在運用函數(shù)判斷數(shù)列的單調(diào)性時，要注意函數(shù)的自變量為連續(xù)的，數(shù)列的自變量為不連續(xù)的，所以函數(shù)性質(zhì)不能夠完全等同于數(shù)列的性質(zhì)．有些數(shù)列會出現(xiàn)前后幾項的大小不一，從某一項開始才符合遞增或遞減的特征，這時前幾項中每一項都必須研究．3．由一個數(shù)列構(gòu)造生成的新數(shù)列，再證明其是否是等差或等比數(shù)列時，如果已經(jīng)有通項公式，那么可以直接由通項公式的特征判斷，如果只有遞推關(guān)系，那么需要用定義來證明．江蘇真題剖析：例[2009·江蘇卷]設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，假設(shè)數(shù)列{bn}有連續(xù)四項在集合{－53，－23,19,37,82}中，那么6q＝________.【答案】－9【解析】由條件知數(shù)列{an}中連續(xù)四項在集合{－54，－24，18,36,81}中，由|q|>1，所以{an}中連續(xù)四項可能為(1)－24，36，－54,81，q＝－eq\f(3,2)，6q＝－9；(2)18，－24,36，－54，(該數(shù)列不成等比數(shù)列，不合題意)；其他情形都不符合．三個互不相等的實數(shù)成等差數(shù)列，適當(dāng)交換這三個數(shù)的位置后，變成一個等比數(shù)列，那么此等比數(shù)列的公比是________．－2或－eq\f(1,2)【解析】設(shè)這三個數(shù)分別為a－d，a，a＋d(d≠0)，由于d≠0，所以a－d，a，a＋d或a＋d，a，a－d不可能成等比數(shù)列；假設(shè)a－d，a＋d，a或a，a＋d，a－d成等比數(shù)列，那么(a＋d)2＝a(a－d)，即d＝－3