數(shù)學(xué)建`模課堂練習(xí)

第一次課堂練習(xí)1、設(shè)一容器內(nèi)原有100L鹽,內(nèi)含有鹽10kg,現(xiàn)以3L/min的速度注入質(zhì)量濃度為0.01kg/L的淡鹽水,同時(shí)以2L/min的速度抽出混合均勻的鹽水,求容器內(nèi)鹽量變化的數(shù)學(xué)模型.2、設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的甲艦向位于軸上點(diǎn)處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈始終對準(zhǔn)乙艦。如果乙艦以最大的速度〔是常數(shù)〕沿平行于軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是，求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線。又乙艦行駛多遠(yuǎn)時(shí)，導(dǎo)彈將它擊中？3、某商品的需求函數(shù)與供應(yīng)函數(shù)分別為:與,其中均為正常數(shù),而商品價(jià)格又是時(shí)間的函數(shù).假設(shè)初始條件為,且在任一時(shí)刻,價(jià)格的變化率總與這一時(shí)刻的超額需求成正比〔比例常數(shù)為〕.〔1〕求供需相等時(shí)的價(jià)格〔即均衡價(jià)格〕;〔2〕求價(jià)格函數(shù);〔3〕分析價(jià)格函數(shù)隨時(shí)間的變化情況.第二次課堂練習(xí)1、假設(shè)銀行年利率為，現(xiàn)存入元，試分析銀行的利率分別按年復(fù)合、季復(fù)合、月復(fù)合、日復(fù)合及連續(xù)復(fù)合時(shí):〔1〕年后,總金額的計(jì)算公式;〔2〕當(dāng),元時(shí),算出年后,本息合計(jì)分別為多少?〔3〕連續(xù)復(fù)合時(shí),總金額所滿足的微分方程.2、在某池塘內(nèi)養(yǎng)魚,該池塘內(nèi)最多能養(yǎng)1000尾,設(shè)在時(shí)刻該池塘內(nèi)魚數(shù)為是時(shí)間〔月〕的函數(shù),其變化率與魚數(shù)及的乘積成正比〔比例常數(shù)為〕.在池塘內(nèi)放養(yǎng)魚100尾,個(gè)月后池塘內(nèi)有魚250尾,試求:〔1〕在時(shí)刻池塘內(nèi)魚數(shù)的計(jì)算公式;〔2〕放養(yǎng)個(gè)月后池塘內(nèi)又有多少尾魚?3、某銀行帳戶,以連續(xù)復(fù)利方式計(jì)息,年利率為,希望連續(xù)年以每年萬元人民幣的速率用這一帳戶支付職工工資,假設(shè)以年為單位,試寫出余額所滿足的微分方程,且問當(dāng)初始存入的數(shù)額為多少時(shí),才能使年后賬戶中的余額精確地減至.1、設(shè)一容器內(nèi)原有100L鹽,內(nèi)含有鹽10kg,現(xiàn)以3L/min的速度注入質(zhì)量濃度為0.01kg/L的淡鹽水,同時(shí)以2L/min的速度抽出混合均勻的鹽水,求容器內(nèi)鹽量變化的數(shù)學(xué)模型.解設(shè)時(shí)刻容器內(nèi)的鹽量為kg,考慮到時(shí)間內(nèi)容器中鹽的變化情況,在時(shí)間內(nèi)容器中鹽的改變量注入的鹽水中所含鹽量－抽出的鹽水中所含鹽量容器內(nèi)鹽的改變量為,注入的鹽水中所含鹽量為,時(shí)刻容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度為,假設(shè)到時(shí)間內(nèi)容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度不變〔事實(shí)上,容器內(nèi)的溶液質(zhì)量濃度時(shí)刻在變,由于時(shí)間很短,可以這樣看〕.于是抽出的鹽水中所含鹽量為,這樣即可列出方程,即.又因?yàn)闀r(shí),容器內(nèi)有鹽kg,于是得該問題的數(shù)學(xué)模型為這是一階非齊次線性方程的初值問題,其解為.下面對該問題進(jìn)行一下簡單的討論,由上式不難發(fā)現(xiàn):時(shí)刻容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度為,且當(dāng)時(shí),,即長時(shí)間地進(jìn)行上述稀釋過程,容器內(nèi)鹽水的質(zhì)量濃度將趨于注入溶液的質(zhì)量濃度.溶液混合問題的更一般的提法是：設(shè)有一容器裝有某種質(zhì)量濃度的溶液,以流量注入質(zhì)量濃度為的溶液〔指同一種類溶液,只是質(zhì)量濃度不同〕,假定溶液立即被攪勻,并以的流量流出這種混合溶液,試建立容器中質(zhì)量濃度與時(shí)間的數(shù)學(xué)模型.首先設(shè)容器中溶質(zhì)的質(zhì)量為,原來的初始質(zhì)量為,=0時(shí)溶液的體積為,在d時(shí)間內(nèi),容器內(nèi)溶質(zhì)的改變量等于流入溶質(zhì)的數(shù)量減去流出溶質(zhì)的數(shù)量,即,其中是流入溶液的質(zhì)量濃度,為時(shí)刻容器中溶液的質(zhì)量濃度,于是,有混合溶液的數(shù)學(xué)模型該模型不僅適用于液體的混合,而且還適用于討論氣體的混合.2、設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的甲艦向位于軸上點(diǎn)處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈始終對準(zhǔn)乙艦。如果乙艦以最大的速度〔是常數(shù)〕沿平行于軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是，求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線。又乙艦行駛多遠(yuǎn)時(shí)，導(dǎo)彈將它擊中？解法一〔解析法〕假設(shè)導(dǎo)彈在時(shí)刻的位置為，乙艦位于。由于導(dǎo)彈頭始終對準(zhǔn)乙艦，故此時(shí)直線就是導(dǎo)彈的軌跡曲線弧在點(diǎn)處的切線，即有即〔1〕又根據(jù)題意，弧的長度為的5倍，即〔2〕由(1),(2)消去整理得模型：〔3〕初值條件為：，。解即為導(dǎo)彈的運(yùn)行軌跡：當(dāng)時(shí)，即當(dāng)乙艦航行到點(diǎn)處時(shí)被導(dǎo)彈擊中。被擊中時(shí)間為：。假設(shè),那么在處被擊中。解法二(數(shù)值解)令，，將方程〔3〕化為一階微分方程組。1〕建立m-文件eq1.mfunctiondy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);2〕取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下：x0=0，xf=0.9999[x,y]=ode15s('eq1',[x0xf],[00]);plot(x,y(:,1),’b.')holdony=0:0.01:2;plot(1,y,’b*')結(jié)論：導(dǎo)彈大致在處擊中乙艦。解法三(建立參數(shù)方程求數(shù)值解)設(shè)時(shí)刻乙艦的坐標(biāo)為，導(dǎo)彈的坐標(biāo)為。設(shè)導(dǎo)彈速度恒為，那么〔1〕由于彈頭始終對準(zhǔn)乙艦，故導(dǎo)彈的速度平行于乙艦與導(dǎo)彈頭位置的差向量，，〔2〕消去得：〔3〕因乙艦以速度沿直線運(yùn)動，設(shè)，那么，，，因此導(dǎo)彈運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程為解導(dǎo)彈運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程建立m-文件eq2.m如下：functiondy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(1-y(1))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下：[t,y]=ode45('eq2',[02],[00]);Y=0:0.01:2;plot(1,Y,'-')，holdonplot(y(:,1),y(:,2),'*')結(jié)果見圖導(dǎo)彈大致在處擊中乙艦，與前面的結(jié)論一致。按二分法逐步修改tf，即分別取tf=1，0.5,0.25,…,直到tf=0.21時(shí)，得圖2。結(jié)論：時(shí)刻t=0.21時(shí)，導(dǎo)彈在處擊中乙艦。追跡問題例2〔E02〕設(shè)開始時(shí)甲、乙水平距離為1單位,乙從A點(diǎn)沿垂直于OA的直線以等速向正北行走；甲從乙的左側(cè)O點(diǎn)出發(fā),始終對準(zhǔn)乙以的速度追趕.求追跡曲線方程,并問乙行多遠(yuǎn)時(shí),被甲追到.解設(shè)所求追跡曲線方程為經(jīng)過時(shí)刻甲在追跡曲線上的點(diǎn)為乙在點(diǎn)于是(1)由題設(shè)，曲線的弧長為解出代入(1)，得整理得追跡問題的數(shù)學(xué)模型設(shè)那么方程化為或兩邊積分，得即將初始條件代入上式，得于是(2)兩邊同乘并化簡得(3)(2)式與(3)式相加得兩邊積分得代入初始條件得故所求追跡曲線為甲追到乙時(shí)，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)此時(shí)即乙行走至離點(diǎn)個(gè)單位距離時(shí)被甲追到.3、某商品的需求函數(shù)與供應(yīng)函數(shù)分別為:與,其中均為正常數(shù),而商品價(jià)格又是時(shí)間的函數(shù).假設(shè)初始條件為,且在任一時(shí)刻,價(jià)格的變化率總與這一時(shí)刻的超額需求成正比〔比例常數(shù)為〕.〔1〕求供需相等時(shí)的價(jià)格〔即均衡價(jià)格〕;〔2〕求價(jià)格函數(shù);〔3〕分析價(jià)格函數(shù)隨時(shí)間的變化情況.【解】〔1〕由得,;〔2〕由題意可知,它是一階線性非齊次微分方程,用常數(shù)變易法,可求得,由,,得;〔3〕由于是常數(shù),,故當(dāng)時(shí),有;根據(jù)與的大小,可分三種情況討論〔見圖6.3〕:當(dāng)時(shí),有,即價(jià)格為常數(shù),市場無需調(diào)節(jié)已到達(dá)均衡;當(dāng)時(shí),有總大于,而趨于;當(dāng)時(shí),有總小于,而趨于.1、假設(shè)銀行年利率為，現(xiàn)存入元，試分析銀行的利率分別按年復(fù)合、季復(fù)合、月復(fù)合、日復(fù)合及連續(xù)復(fù)合時(shí):〔1〕年后,總金額的計(jì)算公式;〔2〕當(dāng),元時(shí),算出年后,本息合計(jì)分別為多少?〔3〕連續(xù)復(fù)合時(shí),總金額所滿足的微分方程.【解】〔1〕銀行的利率分別按年復(fù)合、季復(fù)合、月復(fù)合、日復(fù)合及連續(xù)復(fù)合時(shí):一年后,總金額分別是:、、、及,于是年后,總金額的計(jì)算公式分別是:、、、及;〔2〕于是當(dāng),時(shí),本息合計(jì)分別為:元,元,元,元及元;〔3〕因銀行利率按連續(xù)復(fù)合時(shí),年后的總金額為,對等式兩邊微分,得,這說明利率連續(xù)復(fù)合時(shí),總金額增長速度和本金數(shù)額成正比,這就是所要求的微分方程.2、在某池塘內(nèi)養(yǎng)魚,該池塘內(nèi)最多能養(yǎng)1000尾,設(shè)在時(shí)刻該池塘內(nèi)魚數(shù)為是時(shí)間〔月〕的函數(shù),其變化率與魚數(shù)及的乘積成正比〔比例常數(shù)為〕.在池塘內(nèi)放養(yǎng)魚100尾,個(gè)月后池塘內(nèi)有魚250尾,試求:〔1〕在時(shí)刻池塘內(nèi)魚數(shù)的計(jì)算公式;〔2〕放養(yǎng)個(gè)月后池塘內(nèi)又有多少尾魚?【解】〔1〕由題意可知,在時(shí)刻池塘內(nèi)魚數(shù)應(yīng)滿足如下關(guān)系式:,這就是我們熟悉的邏輯斯諦〔Logistic〕模型,用別離變量法,可求得,將條件,代入,得,,于是在時(shí)刻池塘內(nèi)魚數(shù)的計(jì)算公式為:〔尾〕;〔2〕取,得放養(yǎng)個(gè)月后池塘內(nèi)魚數(shù)為:〔尾〕.3、某銀行帳戶,以連續(xù)復(fù)利方式計(jì)息,年利率為,希望連續(xù)年以每年萬元人民幣的速率用這一帳戶支付職工工資,假設(shè)以年為單