王靜龍《非參數(shù)統(tǒng)計(jì)分析》(1-6章)教（學(xué)）案

./引言一般統(tǒng)計(jì)分析分為參數(shù)分析與非參數(shù)分析,參數(shù)分析是指,知道總體分布,但其中幾個(gè)參數(shù)的值未知,用統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)參數(shù)值,但大部分情況,總體是未知的,這時(shí)候就不能用參數(shù)分析,如果強(qiáng)行用可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果。例如：分析下面的供應(yīng)商的產(chǎn)品是否合格？合格產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度為〔8.50.1〕,隨即抽取n=100件零件,數(shù)據(jù)如下：表1.18.5038.5088.4988.3478.4948.5008.4988.5008.5028.5018.4918.5048.5028.5038.5018.5058.4928.4978.1508.4968.5018.4898.5068.4978.5058.5018.5008.4998.4908.4938.5018.4978.5018.4988.5038.5058.5108.4998.4898.4968.5008.5038.4978.5048.5038.5068.4978.5078.3468.3108.4898.4998.4928.4978.5068.5028.5058.4898.5038.4928.5018.4998.8048.5058.5048.4998.5068.4998.4938.4948.4908.5058.5118.5028.5058.5038.7828.5028.5098.4998.4988.4938.8978.5048.4938.4947.7808.5098.4998.5038.4948.5118.5018.4978.4938.5018.4958.4618.5048.691經(jīng)計(jì)算,平均長(zhǎng)度為,非常接近中心位置8.5cm,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為cm.一般產(chǎn)品的質(zhì)量服從正態(tài)分布,。這說(shuō)明產(chǎn)品有接近三分之一不合格,三分之二合格,所以需要更換供應(yīng)廠商,而用非參數(shù)分析卻是另外一個(gè)結(jié)果。以下是100個(gè)零件長(zhǎng)度的分布表：長(zhǎng)度〔cm〕頻率〔%〕~8.4058.40~8.4608.46~8.4818.48~8.50458.50~8.52458.52~8.6008.60~4合計(jì)100這說(shuō)明有90%的零件長(zhǎng)度在cm之間,有9%的零件不合格,所以工廠不需要換供應(yīng)商。例2哪一個(gè)企業(yè)職工的工資高？表1.3兩個(gè)企業(yè)職工的工資企業(yè)1111213141516171819204060企業(yè)23456789103050顯然,企業(yè)1職工的工資高,倘若假設(shè)企業(yè)1與企業(yè)2的職工工資分別服從正態(tài)分布,則這兩個(gè)企業(yè)職工的工資比較問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題,原假設(shè)為,備擇假設(shè)為則若為真,則其中拒絕域?yàn)椋簷z測(cè)值為：故不能拒絕原假設(shè),認(rèn)為兩企業(yè)的工資水平無(wú)差異。也可以用檢驗(yàn)由于故不能拒絕原假設(shè),認(rèn)為兩企業(yè)的工資水平無(wú)差異。這里我們采用的顯著性水平為0.1.但這個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論與實(shí)際數(shù)據(jù)不相符合。主要是因?yàn)榧僭O(shè)工資服從正態(tài)分布,這個(gè)假設(shè)是錯(cuò)誤的,用錯(cuò)誤的假設(shè)結(jié)合參數(shù)分析自然得出的結(jié)論不可靠。這時(shí)候有兩種方法處理,一種更換其他分布的假設(shè),二是用非參數(shù)數(shù)據(jù)的方法的分析。非參數(shù)統(tǒng)計(jì)如同光譜抗生素,應(yīng)用X圍十分廣泛。參數(shù)統(tǒng)計(jì)與非參數(shù)統(tǒng)計(jì)針對(duì)不同的情況提出的統(tǒng)計(jì)方法,它們各有優(yōu)缺點(diǎn),互為補(bǔ)充。描述性統(tǒng)計(jì)§2.1表格法和圖形法表格法主要有列頻數(shù)分布表和頻率分布表例2.1某公司測(cè)試新燈絲的壽命,列表如下：10773689776799459985773815465718084799863656679866874618265986371621166479787977868976748573806878897258927888771038863688881647375906289717470856165617562947185848363926881找到最小值43,最大值116;將組數(shù)分為5~20組,,分16組,組距為5表2.2燈絲壽命的頻率分布表燈絲壽命〔小時(shí)〕個(gè)數(shù)頻率〔%〕40--4410.545--4910.550--5421.055--5984.060--642412.065--692814.070--743015.075--793417.080--842311.585--892211.090--94147.095--9984.0100--10431.5105--10910.5110--11400.0115--11910.5總和200100對(duì)應(yīng)的直方圖為：§2.2表格法和圖形法數(shù)值方法主要是用數(shù)值來(lái)表示數(shù)據(jù)的中心位置〔或者平均大小〕和離散程度等。135331323244列1平均2.833333標(biāo)準(zhǔn)誤差0.34451中位數(shù)3眾數(shù)3標(biāo)準(zhǔn)差1.193416方差1.424242峰度-0.20317偏度-0.00713區(qū)域4最小值1最大值5求和34觀測(cè)數(shù)12它的平均數(shù),中位數(shù),眾數(shù)差不多大。但大部分情況不是這樣的,例如：§表2.3某保險(xiǎn)公司賠款樣本數(shù)據(jù)頻率分布表賠款數(shù)賠款次數(shù)0--4002400--80032800--1200241200--1600191600--2000102000--240062400--280032800--320023200--360013600--40001合計(jì)100平均數(shù),中位數(shù),眾數(shù)分別為：1224,1000,600,這三者相差較大。左峰的時(shí)候：眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù),右峰的時(shí)候：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)。平均數(shù)容易受到異常值的影響,故不能很好地代表中心位。例如某地農(nóng)戶收入增長(zhǎng)了2.9%,但減收的農(nóng)戶卻是60%,為了更好地反映中心位,所以很多情況采用的切尾平均數(shù)。人們熟知的去掉最大值與最小值的平均數(shù)也是切尾平均數(shù)?！?.4經(jīng)濟(jì)專(zhuān)業(yè)畢業(yè)生的月收入數(shù)據(jù)畢業(yè)生月收入畢業(yè)生月收入118502195032050418805175061700718908213091940102340111920121880去掉最大值2340,最小值1700,的切尾平均數(shù)比總體平均數(shù)要小,它為1924,而總體平均數(shù)為1940.但中位數(shù)都一樣,均為1905,中位數(shù)表現(xiàn)了穩(wěn)定性。因此我們不僅用平均數(shù)表示中心位置,有時(shí)候也用中位數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置。另外,眾數(shù)也能用來(lái)描述數(shù)據(jù)的中心位置,尤其是定性數(shù)據(jù)的中心位置,例如：§2.5有缺陷的小巧克力不合格品問(wèn)題的頻數(shù)頻率分布表代碼問(wèn)題頻數(shù)頻率〔%〕1外層不夠48652.832兩個(gè)粘在一起434.673被壓扁29532.074外層太多849.135破裂121.30這種情況下計(jì)算平均數(shù)和中位數(shù)沒(méi)有多大意義,相反眾數(shù)為1,眾數(shù)值得關(guān)注。一般情況,平均數(shù),中位數(shù),眾數(shù)應(yīng)該綜合考量,這三個(gè)數(shù)目,使得我們可以從不同角度表達(dá)數(shù)據(jù)的中心位置,給評(píng)估對(duì)象一個(gè)全面的評(píng)價(jià),例如：某企業(yè)的職工收入的平均數(shù)為5700,元,中位數(shù)為3000元,眾數(shù)為2000元,這說(shuō)明收入2000元的人最多,有一半職工低于3000元,有一半職工高于3000元,平均數(shù)5700大于中位數(shù),說(shuō)明有些員工工資特別高。平均數(shù)與中位數(shù)為何可以表示數(shù)據(jù)的中心位置呢？主要是因?yàn)椋骸?.1〕〔2.2〕這說(shuō)明用不同的距離標(biāo)準(zhǔn)衡量,平均數(shù)與中位數(shù)到各點(diǎn)的距離最近。另外平均數(shù)的物理意義還有重心的意義,在重心位置,系統(tǒng)可以平衡,在圖2.8處,平均數(shù)為4,中位數(shù)為3,就意味著把樹(shù)木集中在3這點(diǎn),所走的路最短。***********123456789中位數(shù)平均數(shù)§2.2.2表示離散程度的數(shù)值表示離散程度的數(shù)值一般有方差,四分位數(shù),而四分位數(shù)又分上四分位數(shù)與下四分位數(shù)。為表示數(shù)據(jù)的離散程度,我們一般用五個(gè)數(shù)概括,即最小值,下四分位數(shù),中位數(shù),上四分位數(shù),最大值,分別記為例如：將12名經(jīng)濟(jì)專(zhuān)業(yè)畢業(yè)生月收入數(shù)據(jù)處理結(jié)果如下：〔用Minitab〕數(shù)據(jù)容量N12平均數(shù)Mean1940中位數(shù)Median1905切尾平均數(shù)TrMean1924標(biāo)準(zhǔn)差StDev170.6標(biāo)準(zhǔn)誤SEMean49.3最小值Minimum1700最大值Maximum2340下四分位數(shù)1857.5上四分位數(shù)2025用統(tǒng)計(jì)軟件Minitab畫(huà)箱線圖〔見(jiàn)圖2.9〕圖2.9四分位數(shù)的計(jì)算分位數(shù)是將總體的全部數(shù)據(jù)按大小順序排列后,處于各等分位置的變量值.如果將全部數(shù)據(jù)分成相等的兩部分,它就是中位數(shù)；如果分成四等分,就是四分位數(shù)；八等分就是八分位數(shù)等.四分位數(shù)也稱(chēng)為四分位點(diǎn),它是將全部數(shù)據(jù)分成相等的四部分,其中每部分包括25%的數(shù)據(jù),處在各分位點(diǎn)的數(shù)值就是四分位數(shù).四分位數(shù)有三個(gè),第一個(gè)四分位數(shù)就是通常所說(shuō)的四分位數(shù),稱(chēng)為下四分位數(shù),第二個(gè)四分位數(shù)就是中位數(shù),第三個(gè)四分位數(shù)稱(chēng)為上四分位數(shù),分別用Q1、Q2、Q3表示.四分位數(shù)作為分位數(shù)的一種形式,在統(tǒng)計(jì)中有著十分重要的作用和意義,現(xiàn)就四分位數(shù)的計(jì)算做一詳細(xì)闡述.一、資料未分組四分位數(shù)計(jì)算第一步：確定四分位數(shù)的位置.Qi所在的位置=i〔n+1〕/4,其中i=1,2,3.n表示資料項(xiàng)數(shù).第二步：根據(jù)第一步四分位數(shù)的位置,計(jì)算相應(yīng)四分位數(shù).例1：某數(shù)學(xué)補(bǔ)習(xí)小組11人年齡〔歲〕為：17,19,22,24,25,28,34,35,36,37,38.則三個(gè)四分位數(shù)的位置分別為：Q1所在的位置=〔11+1〕/4=3,Q2所在的位置=2〔11+1〕/4=6,Q3所在的位置=3〔11+1〕/4=9.變量中的第三個(gè)、第六個(gè)和第九個(gè)人的歲數(shù)分別為下四分位數(shù)、中位數(shù)和上四分位數(shù),即：Q1=22〔歲〕、Q2=28〔歲〕、Q3=36〔歲〕我們不難發(fā)現(xiàn),在上例中〔n+1〕恰好是4的整數(shù)倍,但在很多實(shí)際工作中不一定都是整數(shù)倍.這樣四分位數(shù)的位置就帶有小數(shù),需要進(jìn)一步研究.帶有小數(shù)的位置與位置前后標(biāo)志值有一定的關(guān)系：四分位數(shù)是與該小數(shù)相鄰的兩個(gè)整數(shù)位置上的標(biāo)志值的平均數(shù),權(quán)數(shù)的大小取決于兩個(gè)整數(shù)位置的遠(yuǎn)近,距離越近,權(quán)數(shù)越大,距離越遠(yuǎn),權(quán)數(shù)越小,權(quán)數(shù)之和應(yīng)等于1.例2：設(shè)有一組經(jīng)過(guò)排序的數(shù)據(jù)為12,15,17,19,20,23,25,28,30,33,34,35,36,37,則三個(gè)四分位數(shù)的位置分別為：Q1所在的位置=〔14+1〕/4=3.75,Q2所在的位置=2〔14+1〕/4=7.5,Q3所在的位置=3〔14+1〕/4=11.25.變量中的第3.75項(xiàng)、第7.5項(xiàng)和第11.25項(xiàng)分別為下四分位數(shù)、中位數(shù)和上四分位數(shù),即：Q1=0.25×第三項(xiàng)+0.75×第四項(xiàng)=0.25×17+0.75×19=18.5；Q2=0.5×第七項(xiàng)+0.5×第八項(xiàng)=0.5×25+0.5×28=26.5；Q3=0.75×第十一項(xiàng)+0.25×第十二項(xiàng)=0.75×34+0.25×35=34.25.二、資料已整理分組的組距式數(shù)列四分位數(shù)計(jì)算第一步：向上或向下累計(jì)次數(shù)〔因篇幅限制,以下均采取向上累計(jì)次數(shù)方式計(jì)算〕；第二步：根據(jù)累計(jì)次數(shù)確定四分位數(shù)的位置：Q1的位置=〔∑f+1〕/4,Q2的位置=2〔∑f+1〕/4,Q3的位置=3〔∑f+1〕/4式中：∑f表示資料的總次數(shù)；第三步：根據(jù)四分位數(shù)的位置計(jì)算各四分位數(shù)〔向上累計(jì)次數(shù),按照下限公式計(jì)算四分位數(shù)〕：Qi=Li+fi×di式中：Li——Qi所在組的下限,fi——Qi所在組的次數(shù),di——Qi所在組的組距；Qi-1——Qi所在組以前一組的累積次數(shù),∑f——總次數(shù).例3：某企業(yè)工人日產(chǎn)量的分組資料如下：根據(jù)上述資料確定四分位數(shù)步驟如下：〔1〕向上累計(jì)方式獲得四分位數(shù)位置：Q1的位置=〔∑f+1〕/4=〔164+1〕/4=41.25Q2的位置=2〔∑f+1〕/4=2〔164+1〕/4=82.5Q3的位置=3〔∑f+1〕/4=3〔164+1〕/4=123.75〔2〕可知Q1,Q2,Q3分別位于向上累計(jì)工人數(shù)的第三組、第四組和第五組,日產(chǎn)量四分位數(shù)具體為：Q1=L1+■×d1=70+■×10=72.49〔千克〕Q2=L2+■×d2=80+■×10=80.83〔千克〕Q3=L3+■×d3=90+■×10=90.96〔千克〕shitouwa43202014-10-23§2.2.3標(biāo)準(zhǔn)誤假設(shè)產(chǎn)生數(shù)據(jù)的總體的均值為,方差為。它們的估計(jì)分別為樣本平均值,樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差,由于平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為,所以它的估計(jì)取為,稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)誤。由得在顯著性水平0.95的條件下,得置信區(qū)間的端點(diǎn)即得.用Mintab計(jì)算得到:VariableNN*MeanSEMeanStDevMinimumQ1MedianQ3MaximumC11201940.049.3170.61700.01857.51905.02025.02340.0算得到所求置信區(qū)間為：用Excel計(jì)算得到：平均1940標(biāo)準(zhǔn)誤差49.25198中位數(shù)1905眾數(shù)1880標(biāo)準(zhǔn)差170.6139方差29109.09峰度1.874516偏度1.102987區(qū)域640最小值1700最大值2340求和23280觀測(cè)數(shù)12置信度<95.0%>108.4029所求置信區(qū)間為：兩款軟件計(jì)算結(jié)果相差不大?！?.2.4偏度偏度〔Skewness〕反應(yīng)單峰分布的對(duì)誠(chéng)性,總體偏度用表示樣本偏見(jiàn)度用表示,國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算公式為：其中在Excel中的計(jì)算公式為：一般數(shù)據(jù)的分布是右偏的,數(shù)據(jù)的分布是左偏的,我們傾向于認(rèn)為總體的分布是對(duì)稱(chēng)的。§2.2.4峰度峰度〔Kurtosis〕反映峰的尖峭程度,總體峰度用表示,總體的峰度的定義為〔國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)〕樣本峰度用,國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算公式為由于正態(tài)分布的峰度系數(shù)為3,當(dāng)時(shí)為尖峰分布,當(dāng)時(shí)為扁平分布。第三章符號(hào)檢驗(yàn)法符號(hào)檢驗(yàn)是一種較為簡(jiǎn)單的非參數(shù)檢驗(yàn),中位數(shù)檢驗(yàn)是符號(hào)檢驗(yàn)的一個(gè)重要應(yīng)用。例3.1某市勞動(dòng)和社會(huì)保障部門(mén)的資料說(shuō)明,1998年高級(jí)技師的年收入的中位數(shù)為21700元,該市某個(gè)行業(yè)有一個(gè)由50名高級(jí)技師組成的樣本,數(shù)據(jù)如下：230722437020327242962225619140256692240426744267442340620439248902481524556184722451422516251122348026552240741806422590原假設(shè)與備擇假設(shè)為：選擇統(tǒng)計(jì)量,即為大于中位數(shù)的的個(gè)數(shù),表示計(jì)數(shù),也可表示為：若為真,則而檢測(cè)值計(jì)算P值即檢測(cè)值落入拒絕域。故拒絕原假設(shè),接受備擇假設(shè)在excel中如何使用BINOMDIST函數(shù)返回一元二項(xiàng)式分布的概率值BINOMDIST函數(shù)用于返回一元二項(xiàng)式分布的概率值。函數(shù)語(yǔ)法語(yǔ)法形式BINOMDIST<number_s,trials,probability_s,cumulative>number_s:表示實(shí)驗(yàn)成功的次救。trials:表示獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的次數(shù)。probability_s:表示一次實(shí)驗(yàn)中成功的概率。cumulative:表示一邏輯值,決定函數(shù)的形式,如果cumulative為T(mén)RUE,函數(shù)BINOMDIST返回積累分布函數(shù),即至多number_s次成功的概率;如果為FALSE,返回概率密度函數(shù),即number_s次成功的概率。例如,拋硬幣正反面的概率是0.5若要計(jì)算出拋10次硬幣6次是正面的概率?？梢允褂肂INOMDIST函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。Step01選中C4單元格,在公式編輯欄中輸入公式:=BINOMDIST<A2,B2.C2,TRUE>按Enter鍵即可計(jì)算出積累分布函數(shù),即至多6次成功概率,如圖8-73所示。Step02選中C5單元格,在公式編輯欄中輸入公式:=BINOMDIST<A2,B2.C2.FALSE>按Enter鍵即可計(jì)算出概率密度函數(shù),即6次成功的概率,如圖8-74所示?！?.2符號(hào)檢驗(yàn)在定性數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用有的時(shí)候,觀察值是一些定性數(shù)據(jù),如果定性數(shù)據(jù)僅取兩個(gè)值,就可以使用符號(hào)檢驗(yàn)對(duì)它進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。例3.2某項(xiàng)調(diào)查詢問(wèn)了2000名年輕人。問(wèn)題是：你認(rèn)為我們的生活環(huán)境是比過(guò)去更好,更差,還是沒(méi)有變化？有800人覺(jué)得"越來(lái)越好",有720人感覺(jué)一天不如一天,有400人表示沒(méi)有變化,還有80人說(shuō)不知道,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,你是否相信,在總體認(rèn)為我們的生活比過(guò)去更好的人,比認(rèn)為我們的生活比過(guò)去差的人多？解：原假設(shè)與備擇假設(shè)為選擇統(tǒng)計(jì)量,也可表示為：則由于n很大,所以可以近似認(rèn)為其中利用正態(tài)分布的計(jì)算結(jié)果修正后由于P值較小,所以我們認(rèn)為我們的生活環(huán)境變好了?！?.3成對(duì)數(shù)據(jù)的比較問(wèn)題由于同一塊田的生長(zhǎng)環(huán)境相同,不同的地生長(zhǎng)環(huán)境各不相同,所以將這批數(shù)據(jù)寫(xiě)成成對(duì)的形式。,為品種差,為隨機(jī)差。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的分布。由于都服從關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的分布,〔同分布〕則所以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。其它分位點(diǎn)的檢驗(yàn)以往的資料表明,某種圓鋼的90%的產(chǎn)品的硬度不小于103〔〕,為了檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)論是否屬實(shí),現(xiàn)在隨機(jī)挑選20根圓鋼進(jìn)行硬度實(shí)驗(yàn),測(cè)得其硬度分別是：14213411998131102154122931378611916114415816581117128113問(wèn)這批鋼材是否達(dá)標(biāo)？解：原假設(shè)與備擇假設(shè)為：選取統(tǒng)計(jì)量,若原假設(shè)成立,則檢測(cè)值,檢驗(yàn)的P值為即檢測(cè)值落入拒絕域,故拒絕原假設(shè),接受備擇假設(shè)即產(chǎn)品不達(dá)標(biāo)。例7.6.4工廠有兩個(gè)化驗(yàn)室,每天同時(shí)從工廠的冷卻水中取樣,測(cè)量水中的含氯量〔〕一次,記錄如下：i<實(shí)驗(yàn)室A><實(shí)驗(yàn)室B>差11.0310.0321.851.89-0.0430.740.9-0.1641.821.810.0151.141.2-0.0661.651.7-0.0571.921.94-0.0281.011.11-0.191.121.23-0.11100.90.97-0.07111.41.52-0.12問(wèn)兩個(gè)化驗(yàn)室測(cè)定的結(jié)果之間有無(wú)顯著性差異？解：設(shè)A,B實(shí)驗(yàn)室的測(cè)量誤差分別為：并設(shè)的分布函數(shù)分別為。由于選取統(tǒng)計(jì)量原假設(shè)與備擇假設(shè)為：若為真,則在Z的分布關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)選取統(tǒng)計(jì)量即表示中正數(shù)的個(gè)數(shù)。檢驗(yàn)值,檢驗(yàn)的P值為：在顯著性水平為,檢測(cè)值未落入拒絕域,故接受原假設(shè),認(rèn)為兩個(gè)化驗(yàn)室的檢測(cè)結(jié)果之間無(wú)顯著性差異。例7.6.5在某保險(xiǎn)類(lèi)中,一次20xx索賠數(shù)額的隨機(jī)抽樣為〔按照升序排列〕：4632472850525064548469727596948014760150121872021240228365278867200已知20xx索賠數(shù)額的中位數(shù)為5063元,問(wèn)20xx索賠的中位數(shù)較上一年是否有所變化？解：這是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題：原假設(shè)與備擇假設(shè)為：選取統(tǒng)計(jì)量顯著性水平。計(jì)算得：所以雙側(cè)拒絕域?yàn)椋憾鴻z測(cè)值,落入拒絕域.故拒絕原假設(shè),接受備擇假設(shè),即可以認(rèn)為20xx索賠的中位數(shù)較上一年有所變化。方法二：也可采用值檢驗(yàn)檢驗(yàn)的值為：故檢測(cè)值落入拒絕域,所以拒絕原假設(shè),接受備擇假設(shè),即可以認(rèn)為20xx索賠的中位數(shù)較上一年有所變化。例7.6.6.1984年一些國(guó)家每平方公里可開(kāi)發(fā)的水資源數(shù)據(jù)如下表所示〔萬(wàn)度/年〕國(guó)家每平方可開(kāi)發(fā)水資源國(guó)家每平方可開(kāi)發(fā)水資源蘇聯(lián)4.9印度8.5巴西4.1哥倫比亞26.3美國(guó)7.5日本34.9加拿大5.4阿根廷6.9扎伊爾28.1印度尼西亞7.9墨西哥4.9瑞士78.0瑞典22.3羅馬利亞10.1意大利16.8西德8.8奧地利58.6英國(guó)1.7南斯拉夫24.8法國(guó)11.5挪威37.4西班牙13.4而當(dāng)年中國(guó)的該項(xiàng)指標(biāo)為20萬(wàn)度/年。請(qǐng)用符號(hào)檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)：這22個(gè)國(guó)家每平方公里可開(kāi)發(fā)的水資源的中位數(shù)不高于中國(guó),求檢驗(yàn)的P值,并寫(xiě)出結(jié)論。解：原假設(shè)與備擇假設(shè)為：選取統(tǒng)計(jì)量,若原假設(shè)成立,則顯著性水平,查表得：右側(cè)拒絕域?yàn)?又檢測(cè)值或者檢測(cè)的P值為故接受,拒絕。即可認(rèn)為這22個(gè)國(guó)家可開(kāi)發(fā)的水資源的中位數(shù)不高于中國(guó)。例7.6.7.下面是亞洲十個(gè)國(guó)家1996年的每1000個(gè)新生兒中的死亡數(shù)〔按從小到大的次序排列〕日本以色列韓國(guó)斯里蘭卡中國(guó)敘利亞伊朗印度孟加拉巴基斯坦46915233136657788以M表示1996年1000個(gè)新生兒中死亡數(shù)的中位數(shù),試檢驗(yàn)：,求檢驗(yàn)的P值,并寫(xiě)完出結(jié)論。解：原假設(shè)與備擇假設(shè)為：選取統(tǒng)計(jì)量,若原假設(shè)成立,則顯著性水平,查表得：左側(cè)拒絕域?yàn)?又檢測(cè)值或者檢測(cè)的P值為故接受,拒絕。即可認(rèn)為1996年1000個(gè)新生兒中死亡數(shù)的中位數(shù)不低于34。例7.6.8.某煙廠稱(chēng)其生產(chǎn)的每支香煙的尼古丁含量在12mg以下,實(shí)驗(yàn)室測(cè)定的該煙廠的12支香煙的尼古丁含量〔單位:mg〕分別為:16.717.714.111.413.410.513.611.612.012.611.713.7問(wèn)是否該廠所說(shuō)的尼古丁含量比實(shí)際要少？求檢驗(yàn)的P值,并寫(xiě)出結(jié)論。由于對(duì)于非正態(tài)總體,小樣本場(chǎng)合不能用樣本均值檢驗(yàn),所以下面采用中位數(shù)檢驗(yàn)。解：原假設(shè)與備擇假設(shè)為：選取統(tǒng)計(jì)量,若原假設(shè)成立,則顯著性水平,查表得：右側(cè)拒絕域?yàn)?又檢測(cè)值或者檢測(cè)的P值為故接受,拒絕。即可認(rèn)為該廠的尼古丁含量比實(shí)際含量要少。第四章符號(hào)秩和檢驗(yàn)法§4.1對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)的檢驗(yàn)問(wèn)題設(shè)對(duì)稱(chēng)中心為,則原假設(shè)與備擇假設(shè)分別為：引入符號(hào)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：將排序。設(shè)的秩為引入符號(hào)秩和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：表4.110個(gè)觀察值和它們的符號(hào),絕對(duì)值和絕對(duì)值的秩觀察值-7.6-5.54.32.7-4.82.1-1.2-6.6-3.3-8.5符號(hào)絕對(duì)值7.65.54.32.74.82.11.26.63.38.5絕對(duì)值的秩97536218410,下面討論符號(hào)秩和檢驗(yàn)的檢驗(yàn)方法,原假設(shè)與備擇假設(shè)為：如果,則對(duì)于任意的正數(shù)a,即此時(shí)較大,為檢驗(yàn)的臨界值為原假設(shè)與備擇假設(shè)為：此時(shí)此時(shí)較小,為檢驗(yàn)的臨界值為原假設(shè)與備擇假設(shè)為：我們?cè)谳^大或者較小的時(shí)候拒絕原假設(shè),檢驗(yàn)的臨界值,為§4.2符號(hào)秩和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)性質(zhì)4.1令,則在總體的分布關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱(chēng)時(shí),與同分布：表4.110個(gè)觀察值和它們的符號(hào),絕對(duì)值和絕對(duì)值的秩觀察值-7.6-5.54.32.7-4.82.1-1.2-6.6-3.3-8.5符號(hào)絕對(duì)值7.65.54.32.74.82.11.26.63.38.5絕對(duì)值的秩97536218410表4.310個(gè)觀察值和它們的符號(hào),絕對(duì)值和絕對(duì)值的秩觀察值-1.22.12.7-3.34.3-4.8-5.5-6.6-7.6-8.5符號(hào)絕對(duì)值1.22.12.73.34.34.85.56.67.68.5絕對(duì)值的秩97536218410,這樣就初步說(shuō)明了性質(zhì)4.1的概率分布,在總體關(guān)于原點(diǎn)0分布時(shí),相互獨(dú)立,同分布,且所以是離散的分布,它的取值X圍是,且〔4.1〕其中表示從中取若干個(gè),其和恰好為d的取法數(shù),例如：。,,性質(zhì)4.2在總體的分布關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱(chēng)時(shí),與同分布：所以的分布〔4.2〕于是這說(shuō)明的密度是以中心對(duì)稱(chēng)的。性質(zhì)4.3在總體的分布關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱(chēng)時(shí),的分布的對(duì)稱(chēng)中心為：例4.1有12個(gè)工人,每個(gè)工人用兩種生產(chǎn)方式完成一項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù),所用時(shí)間對(duì)比如下表所示：表4.4用兩種方式完成一項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的完工時(shí)間與其差值工人方式1方式2差值工人方式1方式2差值120.318.02.3716.117.2-1.1223.521.71.8818.514.93.6322.022.5-0.5921.920.01.9419.117.02.11024.221.13.1521.021.2-0.21123.422.70.7624.724.8-0.11225.023.71.3表4.5差值的符號(hào),絕對(duì)值與絕對(duì)值的秩工人差值符號(hào)差的絕對(duì)值絕對(duì)值的秩工人差值符號(hào)差的絕對(duì)值絕對(duì)值的秩12.32.3107-1.11.1521.81.8783.63.6123-0.50.5391.91.9842.12.19103.13.1115-0.20.22110.70.746-0.10.11121.31.36符號(hào)秩和統(tǒng)計(jì)量原假設(shè)與備擇假設(shè)為我們?cè)谳^大或者較小的時(shí)候拒絕原假設(shè)由于而檢測(cè)值既有故檢測(cè)值落入拒絕域所以拒絕原假設(shè),接受備擇假設(shè)即認(rèn)為兩種生產(chǎn)方法有差異,方法1不如方法2,方法1需要更多的時(shí)間。例：7.6.99名學(xué)生到英語(yǔ)培訓(xùn)學(xué)習(xí),培訓(xùn)前后各進(jìn)行了一次水平測(cè)驗(yàn),成績(jī)?nèi)缦拢簩W(xué)生編號(hào)i123456789入學(xué)前成績(jī)767170574969652659入學(xué)后成績(jī)818570525263833362-5-1405-36-18-7-3假設(shè)測(cè)驗(yàn)成績(jī)服從正態(tài)分布,問(wèn)學(xué)生的培訓(xùn)效果是否顯著？不假定總體分布,采用符號(hào)檢驗(yàn)的方法檢驗(yàn)學(xué)生的培訓(xùn)效果是否顯著?采用符號(hào)秩和檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)學(xué)生的培訓(xùn)效果是否顯著,三種檢驗(yàn)方法結(jié)論是否相同？解：〔1〕由于測(cè)驗(yàn)成績(jī)符合正態(tài)分布,而未知,所以我們采用原假設(shè)與備擇假設(shè)為：由于未知,所以我們選取統(tǒng)計(jì)量顯著性水平左側(cè)拒絕域?yàn)?而檢測(cè)值另一方面也可以用P-值也可判斷檢測(cè)值不在拒絕域。檢驗(yàn)的P值.故檢測(cè)值.故接受,拒絕,即認(rèn)為培訓(xùn)效果不明顯。〔2〕原假設(shè)與備擇假設(shè)為：選取符號(hào)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：則這里顯著性水平查表得所以左側(cè)拒絕域?yàn)槎鴻z測(cè)值.另一方面也可以用P-值也可判斷檢測(cè)值不在拒絕域。檢驗(yàn)的P值.故檢測(cè)值.故接受,拒絕,即認(rèn)為培訓(xùn)效果不明顯。〔3〕原假設(shè)與備擇假設(shè)為：選取統(tǒng)計(jì)量.這里顯著性水平查表計(jì)算得：滿足,右側(cè)臨界點(diǎn)為37,由于密度的對(duì)稱(chēng)中心為,所以左側(cè)臨界點(diǎn)為左側(cè)拒絕域?yàn)?而檢測(cè)值故接受,拒絕,即認(rèn)為培訓(xùn)效果不明顯.7.6.10為了比較來(lái)做鞋子的兩種材料的質(zhì)量,選取15個(gè)男子,每人穿一雙新鞋,其中一只是以材料A做后跟,另外一只是以材料B做后跟,其厚度均為10mm,過(guò)一個(gè)月再測(cè)量厚度,數(shù)據(jù)如下：序號(hào)123456789101112131415材料A6.67.08.38.25.29.37.98.57.87.56.18.96.19.49.1材料B7.45.48.88.06.89.16.37.57.06.54.47.74.29.49.1問(wèn)是否可以認(rèn)為材料A制成的鞋子比材料B耐穿？設(shè)來(lái)自正態(tài)總體,結(jié)論是什么？采用符號(hào)秩和檢驗(yàn),結(jié)論是什么？解：〔1〕由于符合正態(tài)分布,而未知,所以我們采用原假設(shè)與備擇假設(shè)為：由于未知,所以我們選取統(tǒng)計(jì)量顯著性水平右側(cè)拒絕域?yàn)?而檢測(cè)值另一方面也可以用P-值也可判斷檢測(cè)值在拒絕域。檢驗(yàn)的P值.故檢測(cè)值.故拒絕,接受,即認(rèn)為材料A制成的鞋后跟比材料B耐穿。〔2〕原假設(shè)與備擇假設(shè)為：選取統(tǒng)計(jì)量.這里顯著性水平查表計(jì)算得：滿足,右側(cè)臨界點(diǎn)為90。右側(cè)拒絕域?yàn)?而檢測(cè)值故拒絕,接受,即認(rèn)為材料A制成的鞋后跟比材料B耐穿。7.6.11某飲料商用兩種不同的配方推出兩種新的飲料,現(xiàn)在調(diào)查10位消費(fèi)者,他們對(duì)兩種飲料的評(píng)分如下：品嘗者12345678910A飲料10868751397B飲料6522464578問(wèn)兩種飲料評(píng)分是否有顯著性差異？采用符號(hào)檢驗(yàn)法作檢驗(yàn);采用符號(hào)秩和檢驗(yàn)法作檢驗(yàn).解:<1>解：原假設(shè)與備擇假設(shè)為：選取統(tǒng)計(jì)量即為更喜歡A飲料的人數(shù),若原假設(shè)成立,則計(jì)算得：所以雙側(cè)拒絕域?yàn)椋簷z測(cè)值,檢驗(yàn)的P值為即檢測(cè)值未落入拒絕域,故接受,拒絕。即認(rèn)為兩種飲料的評(píng)分沒(méi)有顯著性差異?！?〕原假設(shè)與備擇假設(shè)為：選取統(tǒng)計(jì)量.這里顯著性水平查表計(jì)算得：滿足,右側(cè)臨界點(diǎn)為47,則左側(cè)臨界點(diǎn)為雙側(cè)拒絕域?yàn)?而檢測(cè)值故接受,拒絕,即認(rèn)為兩種飲料的評(píng)分沒(méi)有顯著性差異。7.6.12測(cè)試精神壓力和沒(méi)有精神壓力的血壓差別,10個(gè)志愿者進(jìn)行了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn),數(shù)據(jù)如下〔單位：毫米汞柱收縮壓〕：無(wú)精神壓力時(shí)107108122119116118121111114108有精神壓力時(shí)127119123113125132121131116124該數(shù)據(jù)是否表明有精神壓力的情況下的血壓是否有所增加？解:采用符號(hào)秩和檢驗(yàn)原假設(shè)與備擇假設(shè)為：其中為總體密度函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心,選取統(tǒng)計(jì)量.這里顯著性水平查表計(jì)算得：滿足,右側(cè)臨界點(diǎn)為45,則左側(cè)臨界點(diǎn)為左側(cè)拒絕域?yàn)?而檢測(cè)值故拒絕,接受,即認(rèn)為有精神壓力導(dǎo)致血壓增加?！?.3符號(hào)秩和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸近正態(tài)性期望與方差在總體的分布關(guān)于原點(diǎn)o對(duì)稱(chēng)時(shí),相互獨(dú)立,每一個(gè)的分布都是。而,則它的期望與方差分別為：由于與有相同的分布,所以<2>漸近正態(tài)性性質(zhì)4.5如果總體關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則在樣本容量n趨于無(wú)窮大時(shí),有漸近正態(tài)性：或者簡(jiǎn)記為.§4.4平均秩法平均秩的基本定義：即對(duì)于相同的樣本取平均秩。每個(gè)元素賦予平均秩為：平均時(shí)的秩和與平方和為非平均的時(shí)候秩和與平方和為<4.8>與〔4.10〕結(jié)果一樣。由〔4.11〕減去〔4.9〕得到于是由〔4.11〕與〔4.12〕得：性質(zhì)4.6在總體的分布關(guān)于原點(diǎn)o對(duì)稱(chēng),有結(jié)秩取平均時(shí),在有結(jié)的情況下,如果總體關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則在樣本容量n趨于無(wú)窮大時(shí),有漸近正態(tài)性：嚴(yán)格上以上期望與方差是在有結(jié)的情況下的計(jì)算結(jié)果,所以嚴(yán)格書(shū)寫(xiě)應(yīng)該按照以下方式：§4.5對(duì)稱(chēng)中心的檢驗(yàn)問(wèn)題有以下幾種情形：原假設(shè)與備擇假設(shè)為例4.5：通常認(rèn)為人在放松條件下入睡的時(shí)間比緊X狀態(tài)下的入睡時(shí)間要少兩分鐘,現(xiàn)在有十名男性,他們?cè)诜潘上屡c緊X狀態(tài)下的入睡時(shí)間分別為,,表4.10顯示10個(gè)差值8個(gè)小與-2,只有2個(gè)不小于-2,所以我們有理由猜測(cè)放松狀態(tài)下比非放松狀態(tài)下入睡時(shí)間要少2分鐘,這個(gè)猜測(cè)是否正確？表4.10成年人在放松的條件下和沒(méi)有放松的條件下入睡所需的時(shí)間研究對(duì)象i放松條件非放松條件差值差值+2絕對(duì)值秩11015-5-3372912-3-11331222-10-88104815-7-5595910-111367702267816-6-4488710-3-11391114-3-1131069-3-113符號(hào)秩和檢測(cè)值為原假設(shè)與備擇假設(shè)為左側(cè)拒絕域?yàn)?而檢測(cè)值故拒絕,接受,即認(rèn)為成年男性在放松條件下入睡的時(shí)間比緊X狀態(tài)下入睡時(shí)間要少于2分鐘。由于樣本容量n足夠大的時(shí)候,有漸近正態(tài)性,所以也可以用正態(tài)分布作檢測(cè)。原假設(shè)與備擇假設(shè)為在為真的時(shí),即檢測(cè)值為：檢測(cè)p值為所以在顯著性水平為0.05下,檢測(cè)值落入拒絕域故拒絕,接受,即認(rèn)為成年男性在放松條件下入睡的時(shí)間比緊X狀態(tài)下入睡時(shí)間要少于2分鐘。第五章兩樣本問(wèn)題§5.1Mood中位數(shù)檢驗(yàn)法例2哪一個(gè)企業(yè)職工的工資高？表1.3兩個(gè)企業(yè)職工的工資企業(yè)1111213141516171819204060企業(yè)23456789103050他們的合樣本為其中帶表示企業(yè)2的職工的工資,其他的為企業(yè)1的工資,合樣本的中位數(shù)為13.5,將以上數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為四表格表5.1四格表工資<13.5千元工資>13.5千元合計(jì)企業(yè)1企業(yè)2合計(jì),這說(shuō)明服從超幾何分布設(shè)總體的的中位數(shù)分別為原假設(shè)與備擇假設(shè)為在成立的情況下,服從超幾何分布這是一個(gè)單側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題,拒絕域在左邊.檢測(cè)值為,檢測(cè)P值為所以檢測(cè)值落入拒絕域,故拒絕,接受,即認(rèn)為企業(yè)1的職工比企業(yè)2的職工的工資要高?！?.2Wilcoxon秩和檢驗(yàn)法設(shè)有獨(dú)立同分布的樣本,不妨設(shè)總體是連續(xù)的隨機(jī)變量,從而可以以概率為1保證樣本單元互不相等,則單個(gè)的秩服從均勻分布：由以上結(jié)論,我們可以得出定理5.1對(duì)任意的都有證明：對(duì)于任意的,都有定理5.2對(duì)于任意的,都有證明：對(duì)于任意的,都有于是所以5.22秩和檢驗(yàn)的求解過(guò)程例1.2將兩個(gè)企業(yè)22名職工合在一起,從小到大排序得到下表：工資秩1234567891011工資秩1213141516171819202122帶表示企業(yè)2的工資,不帶表示企業(yè)1的工資.考慮到人數(shù)多的檢驗(yàn)效果一樣,所以一般我們選擇人數(shù)少的企業(yè)的秩和作檢驗(yàn)。設(shè)公司1與公司2的中位數(shù)分別為原假設(shè)與備擇假設(shè)為選取統(tǒng)計(jì)量,這里代表公司2的員工工資的秩和。這是一個(gè)單側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題,拒絕域在左邊.查表得：所以檢測(cè)p值故檢測(cè)值在拒絕域,所以拒絕原假設(shè),接受備擇假設(shè),即認(rèn)為企業(yè)2的工資比企業(yè)1要低.§5.3Wilcoxon秩和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)假設(shè)樣本和分別來(lái)自相互獨(dú)立的連續(xù)隨機(jī)變量總體,不妨設(shè)合樣本各元素互不相同,樣本容量為,原假設(shè).記在合樣本中的秩為。在原假設(shè)為真的條件下,服從均勻分布：所以記的樣本的秩和為下面討論Wilcoxon秩和統(tǒng)計(jì)量的分布性質(zhì)它依次取由于服從均勻分布：所以具有以下性質(zhì)性質(zhì)5.1設(shè)原假設(shè)成立,的概率分布和累積概率分別為為從取n數(shù),其和恰好為d的取法數(shù)。從中任取10個(gè)數(shù),其和恰好為d的取法故故故故故對(duì)稱(chēng)性假設(shè)從中取出n個(gè)數(shù),其和為d,則剩下的數(shù),其和為,故和為d的取法數(shù)與和為的取法數(shù)一樣多。從而故概率密度的對(duì)稱(chēng)軸為.從而有性質(zhì)5.2在原假設(shè)為真的條件下,概率密度的對(duì)稱(chēng)軸為.由定理5.1和5.2知由于在原假設(shè)為真的條件下,當(dāng)時(shí),有漸進(jìn)正態(tài)性.由以上分析,有以下結(jié)論.性質(zhì)5.4在原假設(shè)為真的條件下,當(dāng)時(shí),有§5.2.4Wilcoxon秩和檢驗(yàn)的備擇假設(shè)原假設(shè)與備擇假設(shè)為在成立的條件下,的值較小.在成立的條件下,的值較大.在成立的條件下,的值可能較小也可能較大.§5.2.5Wilcoxon秩和檢驗(yàn)的平均秩法對(duì)于任意的記分函數(shù),我們有定理5.6設(shè)有獨(dú)立的隨機(jī)變量,,則對(duì)于任意的,都有證明：又故定理5.7設(shè)樣本和分別來(lái)自相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量總體和.令,記在合樣本中的秩為設(shè)有計(jì)分函數(shù),則在和同分布時(shí),有利用證明。針對(duì)有結(jié)的情況下,在下,由〔4.13〕〔4.14〕于是〔5.4〕〔5.5〕〔5.6〕在有結(jié)的情況下,wilcoxon秩和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的期望與方差分別為由以上結(jié)論,有例5.2.5為了比較兩種型號(hào)的汽車(chē)每加侖汽油的行駛里程,合樣本中的秩見(jiàn)表如下：第一種型號(hào)汽油第二種型號(hào)汽油汽車(chē)行駛里程〔英里〕秩序汽車(chē)行駛里程〔英里〕秩序120.621121.324219.916217.64318.68317.43418.911418.57518.89.5519.713620.218621.123721.022717.32820.519.5818.89.5919.814.5917.851019.814.51016.911119.2121118.061220.519.51220.117解;原假設(shè)與備擇假設(shè)為選取統(tǒng)計(jì)量則檢測(cè)值這是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題,拒絕域在兩側(cè)檢測(cè)P值故檢測(cè)值落入拒絕域,所以拒絕原假設(shè),接受備擇假設(shè),即對(duì)于每加侖汽油汽車(chē)行駛的里程數(shù)不相同,而且認(rèn)為對(duì)于每加侖汽油,第一種汽油行駛的里程數(shù)大?！?.2.5Wilcoxon秩和處理位置參數(shù)差的檢驗(yàn)問(wèn)題原假設(shè)與備擇假設(shè)為原假設(shè)與備擇假設(shè)為以上檢測(cè)均可用Wilcoxon秩和處理.注明：課本74-77的Mann-WhitneyU統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)法與Wilcoxon檢驗(yàn)法類(lèi)似,因?yàn)閮煞N檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量只相差一個(gè)常數(shù),故檢測(cè)模式類(lèi)似,這里就不做詳細(xì)介紹.§5.4兩樣本尺度參數(shù)的秩檢驗(yàn)法設(shè)的分布函數(shù)分別為,則,成立的充分必要條件證明：充分性證明.由知,對(duì)于任意的都有必要性的證明.若對(duì)任意都有,則由于的分布函數(shù)所以.當(dāng)時(shí)即即由以上式子知：在左右兩邊的尾部概率比要大.即樣本傾向于排兩邊,樣本傾向于排中間。類(lèi)似的當(dāng)時(shí),既有由以上式子知：在左右兩邊的尾部概率比要小.即樣本傾向于排中間,樣本傾向于排兩邊?！?.4.2尺度參數(shù)檢驗(yàn)問(wèn)題Mood檢驗(yàn)取計(jì)分函數(shù)為單谷函數(shù),〔2〕Ansari-Bradley檢驗(yàn)取計(jì)分函數(shù)為單峰函數(shù),即在時(shí),即在時(shí),例如時(shí)123456781234432112345678912