高等數(shù)學(xué)一講義

PAGE19函數(shù)1.1預(yù)備知識

1.1.1初等代數(shù)的幾個(gè)問題

1.一元二次方程

關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），稱為一元二次方程，稱為此方程的判別式.

（1）求根公式：

當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根：

當(dāng)△＝0時(shí)，方程有一個(gè)二重實(shí)根：

當(dāng)△＜0時(shí)，方程有一對共軛復(fù)根：

（2）根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）：

（3）一元二次函數(shù)（拋物線）：y＝ax2＋bx＋c（a≠0），

當(dāng)a＞0時(shí)，開口向上，當(dāng)a＜0時(shí)，開口向下.

對稱軸

頂點(diǎn)坐標(biāo)

例1.若x3＋x2＋ax＋b能被x2－3x＋2整除，則a、b是多少？結(jié)論：多項(xiàng)式f（x），g（x）.若f（x）能被g（x）整除，則g（x）＝0的根均為f（x）＝0的根.

解：令x2－3x＋2＝0，解得x＝1或2，代入被除式得

解得

2.二元一次方程組

兩個(gè)未知量x，y滿足的形如的方程組稱為二元一次方程組.

當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解；

當(dāng)時(shí)，方程組無解；

當(dāng)時(shí)，方程組有無窮多解.

例2.已知方程組

（1）若方程組有無窮多解，求a的值；

（2）當(dāng)a＝6時(shí)，求方程組的解.解：（1）因?yàn)榉匠探M有無窮多組解，所以,

解得a＝4.

（2）當(dāng)a＝6是，原方程組變?yōu)?

解得3.不等式

（1）一元二次不等式

考慮不等式ax2＋bx＋c＞0，如果記一元二次方程ax2＋bx＋c=0的兩個(gè)不同實(shí)根分別為x1，x2，且x1＜x2，根據(jù)一元二次函數(shù)的圖形可知：

當(dāng)a＞0時(shí)，這個(gè)不等式的解集是{x│x＜x1或x＞x2}；

當(dāng)a＜0時(shí)，它的解集是{x│x1＜x＜x2}.

用類似的方法可以求解不等式ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c＜0和ax2＋bx＋c≤0.

例3.解不等式x2－5x＋6≥0.解：令x2－5x＋6＝0,

（x－2）（x－3）＝0,

得x＝2或x=3,

∴解集為（－∞，2]∪[3，＋∞）.例4.解不等式x2＋（1－a）x－a＜0.解：令x2＋（1－a）x－a＝0,

（x－a）（x＋1）＝0,

得x＝a或x＝－1,

①若a＜－1，解集為（a，－1）,

②如a＝－1，解集為Φ,

③若a＞－1，解集為（－1，a）.（2）絕對值不等式

不等式│f（x）│＞a＞0等價(jià)于f（x）＞a或f（x）＜－a；

不等式│f（x）│＜a等價(jià)于－a＜f（x）＜a.

例5.解下列含有絕對值符號的不等式：

（1）│2x－3│≤5（2）│3x－1│≥7解：（1）原不等式等價(jià)于－5≤2x－3≤5

解得：－1≤x≤4.

所以解集為[－1，4].（2）原不等式等價(jià)于3x－1≤－7或3x－1≥73x－1≤－7的解集為x≤－2，

3x－1≥7的解集為x≥,

所以解集為（－∞，－2]∪[，＋∞）.例6.解不等式│x2－2x－5│＜3.解：原不等式等價(jià)于

x2－2x－5＞－3的解集為（－∞，]∪[，＋∞），

x2－2x－5＜3的解集為（－2，4），

所以原不等式的解集為（－2，]∪[，＋4）.4.數(shù)列

（1）等差數(shù)列：相鄰兩項(xiàng)的差為定值，即an＋1－an＝d，d稱為公差.

通項(xiàng)公式：an＝a1＋（n－1）d

前n項(xiàng)和公式：

當(dāng)m＋n＝k＋l時(shí)，am＋an＝ak＋al

特別地有

例7.設(shè){an}是一個(gè)等差數(shù)列，且a2＋a3＋a10＋a11＝64，求a6＋a7和S12解：因?yàn)?＋11＝3＋10＝13

所以a2＋a11＝a3＋a10＝32,

又因?yàn)?＋7＝13，所以a6＋a7＝32,

S12＝（a1＋a12）×12÷2＝6（a1＋a12）＝6×32＝192.（2）等比數(shù)列：相鄰兩項(xiàng)的商為定值，即，q稱為公比.

通項(xiàng)公式：an＝a1qn-1

前n項(xiàng)和公式：

當(dāng)m＋n＝k＋l時(shí)，aman＝akal

特別地有

例8.設(shè){an}是一個(gè)等比數(shù)列，且a3＝12，a5＝48，求a1，a10和a2a6的值.解：

所以q＝±2

a10＝a5·q5＝48×（±2）5＝±1536

因?yàn)?＋6＝3＋5＝8

所以a2·a6＝a3·a5＝12×48＝576.1.1.2集合與邏輯符號

1.集合的概念

集合是指由一些特定的對象匯集的全體，其中每個(gè)對象叫做集合的元素.

數(shù)集分類：

N——自然數(shù)集Z——整數(shù)集

Q——有理數(shù)集R——實(shí)數(shù)集

C——復(fù)數(shù)集合

2.元素與集合的關(guān)系

元素a在集合A中，就說a屬于A，記為a∈A；否則就說a不屬于A，記為aA.

3.集合與集合的關(guān)系

集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，稱為A包含于B，或B包含A，也說A是B的子集，記為A?B或者B?A.

若A?B，且B?A，就稱集合A與B相等，記作A＝B.

例9.A＝{1，2}，C＝{x│x2－3x＋2＝0}，則A和C是什么關(guān)系？解：解方程x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2.

所以C＝{1，2}，從而A＝C.4.空集

不含任何元素的集合稱為空集（記作Φ）.規(guī)定空集為任何集合的子集.

例10.{x│x∈R，x2＋1＝0}＝Φ

5.集合的表示方法：列舉法，描述法

一般的，有限集用列舉法，無限集用描述法

閉區(qū)間：[a，b]＝{x│a≤x≤b，x∈R}；

開區(qū)間：（a，b）＝{x│a＜x＜b，x∈R}；

半開半閉區(qū)間：

左開右閉區(qū)間：（a，b]＝{x│a＜x≤b，x∈R}，

左閉右開區(qū)間：[a，b）＝{x│a≤x＜b，x∈R}；

（－∞，b]＝{x│x≤b，x∈R}，[a，＋∞]＝{x│x≥a，x∈R}；

點(diǎn)a的鄰域：U（a，ε）＝（a－ε，a＋ε），ε＞0，即U（a，ε）是一個(gè)以a為中心的開區(qū)間.在不強(qiáng)調(diào)鄰域的大小時(shí)，點(diǎn)a的鄰域也用Ua表示；

點(diǎn)a的去心鄰域：N（a，ε）＝（a－ε，a）∪（a，a＋ε），ε＞0.點(diǎn)a的去心鄰域也可以表示為Na.

6.集合之間的運(yùn)算

（1）并：由A、B中所有元素組成的集合稱為A和B的并集，記為A∪B.

A∪B＝{x│x∈A或x∈B}，A∪B＝B∪A.

例11.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8，10，12}，求：A∪B.解：A∪B＝{1，2，3，4，6，8，10，12}.例12.已知：A＝{x│1＜x＜5}，B＝{x│－3＜x≤2}，求：A∪B.解：A∪B＝{x│－3＜x＜5}.（2）交：由既屬于A又屬于B的元素組成的集合稱為A和B的交集，記為A∩B.

A∩B＝{x│x∈A且x∈B}，A∩B＝B∩A

例13.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2、4、6、8、10、12}，

求：A∩B.解：A∩B＝{2，4}.例14.已知：A＝{x│1＜x＜4}，B＝{x│－3＜x≤3}，求：A∩B.解：A∩B＝{x│1＜x≤3}.（3）余集（差集）：由A中不屬于B的元素組成的集合稱為A與B的差集，記為A－B.

A－B＝{x│x∈A但xB}.

例15.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8，10，12}，求：A－B.解：A－B＝{1，3}.7.一些邏輯符號

p能推出q，記為pq，此時(shí)稱p是q的充分條件，q是p的必要條件.

如果pq，qp同時(shí)成立，就成p與q等價(jià)，或者說p與q互為充分必要條件（充要條件），記作pq.

1.2函數(shù)的概念與圖形

1.2.1函數(shù)的概念

1.定義

設(shè)D是一個(gè)非空數(shù)集，f是定義在D上的一個(gè)對應(yīng)關(guān)系，如果對于任意的實(shí)數(shù)x∈D，都有唯一的實(shí)數(shù)y通過f與之對應(yīng)，則稱f是定義在D上的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f（x），x∈D.

也稱y是x的函數(shù)，其中x稱為自變量，y稱為因變量.當(dāng)x0∈D時(shí)，稱f（x0）為函數(shù)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值.數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域，函數(shù)值全體組成的數(shù)W＝{y│y＝f（x），x∈D}稱為函數(shù)的值域.

例1.已知：，

求：y的定義域、值域.解：令1－x2≥0，解得：－1≤x≤1,

所以定義域?yàn)閇－1，1].

因?yàn)?≤1－x2≤1，所以0≤≤1，

所以值域?yàn)閇0，1].例2.已知：，

求：y的定義域、值域.解：根據(jù)題意，得，

解得－1＜x＜1，所以定義域?yàn)椋ǎ?，1），

因?yàn)?＜≤1，從而，

所以值域?yàn)閇1，＋∞）.2.函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)法則、值域.

約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.在具體問題中定義域會根據(jù)實(shí)際需要而有所變化.

例3.判斷下列兩個(gè)函數(shù)是否相等，

（1）y＝x＋3；（2）.例4.求函數(shù)的定義域.解：根據(jù)題意，得

解得:2≤x＜3或3＜x＜5，

所以定義域?yàn)閇2，3）∪（3，5）.3.函數(shù)的表示法：表達(dá)式法（解析法）、圖形法、數(shù)表法.

1.2.2函數(shù)的圖形

1.函數(shù)圖形的概念

函數(shù)y＝f（x），x∈D的圖形是指在xOy平面上的點(diǎn)集{（x,y）│y＝f（x），x∈D}.

常見的幾個(gè)冪函數(shù)的圖形：

2.函數(shù)的性質(zhì)

（1）有界性

函數(shù)f（x），x∈D，存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m、M，滿足條件：對于D中所有的x都有不等式m≤f（x）≤M，則稱函數(shù)f（x）在D上有界，否則稱無界.

例5.判斷下面函數(shù)在其定義域是否有界，

（1）y=sinx，（2）.（2）單調(diào)性

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上有定義，如果對于區(qū)間D上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，恒有f（x1）＜f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是單調(diào)增加，稱f（x）是D上的單調(diào)增加函數(shù)，稱D是函數(shù)f（x）的單調(diào)增加區(qū)間.

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上有定義，如果對于區(qū)間D上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，恒有f（x1）＞f（x2），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是單調(diào)減少，稱f（x）是D上的單調(diào)減少函數(shù)，稱D是函數(shù)f（x）的單調(diào)減少區(qū)間.

例6.求y＝x2的單調(diào)性.解：任取x1＜x2＜0，

x12－x22＝（x1－x2）（x1＋x2）＞0,

所以y＝x2在（－∞，0）上單調(diào)減少.

同理可得：y＝x2在（0，＋∞）上單調(diào)增加.例7.求y＝sinx的單調(diào)性.解：y＝sinx的圖像如圖，

y=sinx在（2kπ－，2kπ＋）上單調(diào)增加，

在（2kπ＋，2kπ＋）上單調(diào)減少.（3）奇偶性

設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對稱，對于任意的x∈D，有f（﹣x）＝f（x），稱f（x）為偶函數(shù)；

設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對稱，對于任意的x∈D，有f（﹣x）＝﹣f（x），稱f（x）為奇函數(shù).

例8.判斷下面函數(shù)的奇偶性

（1）

（2）解：（1）

因?yàn)?，所以定義域?yàn)镽.

所以f（x）為奇函數(shù).

（2）

因?yàn)閍x－a-x≠0，故x≠0，

所以定義域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（0，＋∞）.

所以f（x）為奇函數(shù).

（4）冪函數(shù)的性質(zhì)

形如y＝xα的函數(shù)為冪函數(shù)，其中α為任意常數(shù).

性質(zhì)：

對任意實(shí)數(shù)α，曲線y＝xα都通過平面上的點(diǎn)（1，1）；

α＞0時(shí)，y＝xα在（0，+∞）單調(diào)增加；

α＜0時(shí)，y＝xα在（0，+∞）單調(diào)減少；

α為正整數(shù)時(shí)，冪函數(shù)的定義域是（－∞，+∞）；

α為偶數(shù)時(shí)，y＝xα為偶函數(shù)；

α為奇數(shù)時(shí)，y＝xα為奇函數(shù)；

α為負(fù)整數(shù)時(shí)，冪函數(shù)的定義域是

（－∞，0）∪（0，+∞）.

冪函數(shù)y＝xα（α是常數(shù)）的圖形：

1.2.3分段函數(shù)

在自變量的不同變化范圍中，對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù).

例9.畫出符號函數(shù)的圖形：

例10.畫出下面分段函數(shù)的圖形：

例11.求下面分段函數(shù)定義域并畫出圖形.

1.3三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)

1.3.1三角函數(shù)

1.三角函數(shù)的定義

三角函數(shù)的定義可以在一個(gè)圓心在原點(diǎn)、半徑為r的圓上給出，如圖1.3.1—1所示.

圖1.3.1—1

定義1.7正弦函數(shù)；余弦函數(shù)；正切函數(shù)；

余切函數(shù)；正割函數(shù)；余割函數(shù).

2.常見三角函數(shù)關(guān)系式

（1）同角公式：

1）倒數(shù)關(guān)系：sinx·cscx＝1，cosx·secx＝1，tanx·cotx＝1

2）商的關(guān)系：，

3）平方關(guān)系：sin2x＋cos2x＝1，1＋tan2x＝sec2x，1＋cot2x＝csc2x.

（2）和角公式：

sin（x±y）＝sinxcosy±cosxsiny

cos（x±y）＝cosxcosysinxsiny

（3）倍角公式：

sin2x＝2sinxcosx

cos2x＝cos2x－sin2x

（4）半角公式（降冪公式）：

（5）正弦定理：

（6）余弦定理：

a2＝b2＋c2－2bccosA，

b2＝a2＋c2－2accosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC.

例1.利用降冪公式，將下列各式變形，

（1），

（2）cos23x，

（3）sin45x.解：（1）原式＝

（2）原式＝

（3）原式

例2.已知一個(gè)三角函數(shù)值，求其他的三角函數(shù)值.

（1）已知tanx＝3求其他的三角函數(shù)值；

（2）已知secx＝5，求其他的三角函數(shù)值.解：（1）

（2）3.三角函數(shù)的圖像及簡單性質(zhì)

（1）正弦函數(shù)y＝sinx

正弦函數(shù)sinx是定義域?yàn)椋ǎ?，＋∞），值域?yàn)閇－1，1]的奇函數(shù)；

圖1.3.1—2

（2）余弦函數(shù)y＝cosx

余弦函數(shù)cosx是定義域?yàn)椋ǎ?，＋∞），值域?yàn)閇－1，1]的偶函數(shù)；

圖1.3.1—3

（3）正切函數(shù)y＝tanx

正切函數(shù)tanx是定義域?yàn)閧x│x∈R，x≠kπ＋}（k是整數(shù)），值域?yàn)椋ǎ蓿蓿┑钠婧瘮?shù)；

圖1.3.1—4

（4）余切函數(shù)y＝cotx

余切函數(shù)cotx是定義域?yàn)閧x│x∈R，x≠kπ}（k是整數(shù)），值域?yàn)椋ǎ?，＋∞）的奇函?shù)；

圖1.3.1—5

4.特殊角的三角函數(shù)值

A0sinA01cosA10tanA01cotA15.周期函數(shù)

從三角函數(shù)的定義域可以看出，當(dāng)θ的值增加2π后，點(diǎn)P又回到了原來的位置，所以

sin（θ＋2π）＝sinθ，

cos（θ＋2π）＝cosθ，

tan（θ＋2π）＝tanθ，

cot（θ＋2π）＝cotθ，

sec（θ＋2π）＝secθ，

csc（θ＋2π）＝cscθ.

這種函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的性質(zhì)就是函數(shù)的周期性.定義1.8設(shè)函數(shù)f（（x））的定義域?yàn)镽.若存在正數(shù)T＞0，使得對于任意的x∈R都有f（x＋T）＝f（x），則稱f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，T稱為f（x）的周期.

如果T是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期，則2T，3T等也是f（x）的周期，一般說的周期指的是最小正周期.如sinx，cosx的最小正周期是2π，通常就說sinx，cosx是以2π為周期的周期函數(shù).類似地，tanx，cotx是以π為周期的周期函數(shù).

例3.判斷下列函數(shù)是否是周期函數(shù)，如果是，則求出最小正周期.

（1）y＝sin2x，

（2）y＝sin（2x＋3），

（3）y＝sin3x＋tanx，

（4）y＝sin3x＋x2.解：（1）π；（2）π；（3）2π；（4）不是周期函數(shù).例4.設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（－∞，＋∞）內(nèi)的周期為3的周期函數(shù)，且f（－1）＝－1，f（0）＝1，f（1）＝2，則＝（）.

A.－2B.0C.2D.4答案：C

解析：因?yàn)橹芷跒?，

所以f（23）＝f（－1）＝－1，f（－3）＝f（0）＝1，f（4）＝f（1）＝2

所以原式＝，選C.1.3.2指數(shù)函數(shù)

函數(shù)y＝ax（a＞0，a≠1）稱為以a為底的指數(shù)函數(shù)，常用的是以無理數(shù)e為底的指數(shù)函數(shù)y＝ex.

函數(shù)y＝ax（a＞0，a≠1）的定義域是（－∞，＋∞）值域是（0，﹢∞），當(dāng)a＞1時(shí)是單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)是單調(diào)減函數(shù).

圖1.3.2—1給出了底數(shù)a分別取2，3，和時(shí)函數(shù)y＝ax的圖形.

圖1.3.2—1

指數(shù)函數(shù)的一些基本運(yùn)算規(guī)則：

axay＝ax＋y，（ax）y＝axy，axbx＝（ab）x，a0＝1，a－x＝

例5.復(fù)利問題：設(shè)銀行存款的年利率是r，且按復(fù)利計(jì)算.若某人在銀行存入10000元，經(jīng)過10年的時(shí)間，此人最終的存款額是多少？解：經(jīng)過1年的時(shí)間，存款額變成

10000＋10000r＝10000（1＋r）；

經(jīng)過2年的時(shí)間，存款額變成

10000（1＋r）＋10000（1＋r）r＝10000（1＋r）2；

經(jīng)過3年的時(shí)間，存款額變成

10000（1＋r）2＋10000（1＋r）2r＝10000（1＋r）3；

類似地算下去，經(jīng)過10年的時(shí)間，存款額會變成10000（1＋r）10.

一般地，經(jīng)過n年的時(shí)間，存款額會變成10000（1＋r）n.1.3.3反函數(shù)

1.反函數(shù)的概念

定義1.9設(shè)f（x）是定義在D上的一一對應(yīng)函數(shù)，值域?yàn)閆，若對應(yīng)關(guān)系g使得對任意的y∈Z，都有唯一的x∈D與之對應(yīng)，且f（x）＝y(tǒng)，則稱g是f的反函數(shù).反函數(shù)也記作x＝g（y）＝f－1（y）.

由單調(diào)函數(shù)的定義可以知道，在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)（增或減）的函數(shù)必有反函數(shù).

函數(shù)的定義域和值域分別與其反函數(shù)的值域和定義域一致.判斷g與f是否互為反函數(shù)，就是要判斷f（g（y））＝y(tǒng)且g（f（x））＝x是否成立.

習(xí)慣上將自變量用x表示，因變量用y表示.根據(jù)反函數(shù)的定義，y＝f（x）與x＝f－1（y）的圖形是一樣的，而y＝f－1（x）是將x＝f－1（y）中的x與y對換，由于點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（y，x）關(guān)于直線y＝x對稱，所以y＝f（x）與y＝f－1（x）的圖形關(guān)于直線y＝x對稱（圖1.3.3—1）.

圖1.3.3—1

例6.求下列函數(shù)的反函數(shù)：

（1）y＝2x＋1；

（2）解：（1）由y＝2x＋1，得x＝（y－1）.

交換x與y的位置，得y＝（x－1）.

由于函數(shù)y＝2x＋1的值域?yàn)椋ǎ蓿蓿?/p>

所以其反函數(shù)為y＝（x－1），x∈（－∞，＋∞）.

（2）有，得.

交換x與y的位置，得.

由于函數(shù)（x＞1）的值域?yàn)椋?，1），

所以其反函數(shù)為，x∈（0，1）.2.反三角函數(shù)

（1）反正弦函數(shù)：y＝arcsinx，x∈[－1，1]，值域?yàn)閇－，]

圖1.3.3—2

（2）反余弦函數(shù)：y＝arccosx，x∈[－1，1]，值域?yàn)閇0，π]

圖1.3.3—3

（3）反正切函數(shù)：y＝arctanx，x∈（－∞，＋∞），值域?yàn)椋ǎ?/p>

圖1.3.3—4

例7.計(jì)算，

（1）arcsin；解：（2）arccos；解：（3）arctan；解：（4）tanarcsin；解：（5）sinarccot5解：例8.已知arccos，求x的取值范圍.解：令－1≤≤1，解得－1≤x≤3

所以x的取值范圍為[－1，3].1.3.4對數(shù)函數(shù)：

1.定義：

當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y＝ax在其定義域（－∞，＋∞）內(nèi)是單調(diào)的，因此它是一個(gè)一一對應(yīng)的函數(shù)，于是存在反函數(shù).函數(shù)y＝ax的反函數(shù)稱為以a為底的對數(shù)函數(shù)，記作y＝logax，其定義域是（0，＋∞），值域是（－∞，＋∞）.

常見的對數(shù)函數(shù)：常用對數(shù)y＝lgx，自然對數(shù)y＝lnx

當(dāng)a＞1時(shí)，y＝logax在定義域內(nèi)是單調(diào)增加的；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y＝logax在定義域內(nèi)是單調(diào)減少的.

2.對數(shù)的運(yùn)算法則：

設(shè)a，b，x，y都是大于零的實(shí)數(shù)，則

loga（xy）＝logax＋logay

logaxr＝rlogax

logaa＝1，loga1＝0

例9.設(shè)銀行存款的年利率是3%，且按復(fù)利計(jì)算.若某人在銀行存入10000元，問經(jīng)過多少年，此人的最終存款額是15000元？解：設(shè)經(jīng)過x年，此人的最終存款額是15000元.由于

10000×（1.03）x＝15000

所以x＝log1.031.51.4函數(shù)運(yùn)算

1.4.1函數(shù)的四則運(yùn)算

定義1.10設(shè)函數(shù)f（x），g（x）都在D上有定義，k∈R，則對它們進(jìn)行四則運(yùn)算的結(jié)果還是一個(gè)函數(shù)，它們的定義域不變（除法運(yùn)算時(shí)除數(shù)為0的點(diǎn)除外），而函數(shù)值的對應(yīng)定義如下：

（1）加法運(yùn)算（f＋g）（x）＝f（x）＋g（x），x∈D.

（2）數(shù)乘運(yùn)算（kf）（x）＝kf（x），x∈D.

（3）乘法運(yùn)算（fg）（x）＝f（x）g（x），x∈D.

（4）除法運(yùn)算g（x）≠0，x∈D.

其中等號左端括號表示對兩個(gè)函數(shù)f，g進(jìn)行運(yùn)算后所得的函數(shù)，它在x處的值等于右端的值.

例1.已知f（x）=ln（1＋x），g（x）=1－cosx，求.解因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ln（1＋x）的定義域?yàn)椋ǎ?，+∞），函數(shù)g（x）=1－cosx的定義域?yàn)椋ǎ蓿?∞），且當(dāng)x=2kπ（k為整數(shù)）時(shí)，g（x）=0，所以，

，x∈（－1，+∞）\{2kπ}（k為整數(shù)）1.4.2復(fù)合函數(shù)

如有函數(shù)f（x）和g（x）,它們的定義域分別為Df和Dg，值域分別是Zf和Zg..當(dāng)ZgDf時(shí)，對于任意x∈Dg,都有唯一的g（x）∈ZgDf,，從而有唯一的f（g（x））∈Zf與x∈Dg對應(yīng)，這樣就確定了一個(gè)從Dg到Zf的函數(shù)，此函數(shù)稱為f和g的復(fù)合函數(shù)，記作重點(diǎn)是學(xué)會函數(shù)的分解與復(fù)合。例2.分解下列復(fù)合函數(shù)

（1）；（2）。解：（1）y=arcsinu，y=av，

（2）y=sin2u，u=lnv，v=x3+1例3.求下列復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式和定義域

（1）f（x）=lgx，g（x）=2x

（2）f（x）=arcsinx，解：（1）f（g（x））=lg2x=xlg2，定義域?yàn)镽，

（2），

令

解得：1≤x≤2，

所以定義域?yàn)閇1,2].例4.求下列復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式

（1）設(shè)，求。解：令x－1=t，則x=t+1，

則f（t）=（t+1）3－1=t3+3t2+3t,

所以f（x）=x3+3x2+3x.（2）設(shè)，求。解：x+1=t,則x=t－1，

當(dāng)0≤t－1≤1，即1≤t≤2時(shí)，g（t）=（t－1）2=t2－2t+1，

當(dāng)1<t－1≤2，即2<t≤3時(shí)，g（t）=2（t－1）=2t－2，

所以，（3）則有（）

（A）f（f（x））=（f（x））2（B）f（f（x））=f（x）

（C）f（f（x））>f（x）（D）f（f（x））>f（x）答案：B

解析：令f（x）>0，得x∈R，

所以f（f（x））=f（x）.（4）已知若f（g（x））=lnx,則g（x）=（）.

（A）（B）

（C）（D）答案：B

解析：令x－1=t，則x=t+1，

則

所以

所以1.4.3初等函數(shù)

1.基本初等函數(shù)

常見的六類函數(shù)，即常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)，稱為基本初等函數(shù)

2.初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合運(yùn)算得到的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。

1.5經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常用函數(shù)

1.5.1需求函數(shù)與供給函數(shù)

1.需求函數(shù)

商品需求量Q與其價(jià)格P之間的函數(shù)關(guān)系Q＝Q（P）稱為需求函數(shù).一般地，需求函數(shù)是一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù).

常見的幾種需求函數(shù)模型如下：

（1）線性需求函數(shù)：Q＝a－bP，其中a，b是非負(fù)常數(shù).

（2）二次曲線需求函數(shù)：Q＝a－bP－cP2，其中a,b,c是非負(fù)常數(shù).

（3）指數(shù)需求函數(shù)：Q＝Ae－bp，其中A，b是非負(fù)常數(shù).

2.供給函數(shù)

商品供給量S與其價(jià)格P之間的函數(shù)關(guān)系S＝S（P）稱為供給函數(shù).一般地，供給函數(shù)是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù).

常見的幾種供給函數(shù)模型如下：

（1）線性供給函數(shù)：S＝a＋bP，其中a，b是非負(fù)常數(shù).

（2）二次曲線供給函數(shù)：S＝a＋bP＋cP2，其中a，b，c是非負(fù)常數(shù).

（3）指數(shù)供給函數(shù)：S＝AebP，其中A，b是非負(fù)常數(shù).

當(dāng)供給量與需求量相等，即時(shí)，這時(shí)的價(jià)格稱為均衡價(jià)格；這時(shí)的商品數(shù)量稱為均衡數(shù)量.

例1.已知某種商品的需求量Q和供給量S與其價(jià)格P滿足的關(guān)系式分別為Q2－20Q－P＋99＝0和3S2＋P－123＝0，求該商品的市場均衡價(jià)格和均衡數(shù)量.解：令Q＝S，由Q2－20Q－P＋99＝0與3S2＋P－123＝0，得

由3S2＋P－123＝0與，解得S＝－1（舍去）和S＝6.

當(dāng)S＝6時(shí)，解得P＝15.故均衡價(jià)格為15，均衡數(shù)量為6.1.5.2成本函數(shù)

一般地，總成本C可分為兩部分，分別是固定成本C1和可變成本C2.C1是一個(gè)與產(chǎn)品數(shù)量無關(guān)的常數(shù)，C2與產(chǎn)品的數(shù)量q有關(guān)，是q的函數(shù)，記作C2（q）.所以，

總成本C（q）＝固定成本＋可變成本＝C1＋C2（q）.

平均成本指的是總成本與產(chǎn)品數(shù)量之比記作.

常見的成本函數(shù)模型是：

（1）線性成本函數(shù)：C（q）＝C1＋cq,其中c是單位產(chǎn)品的可變成本.

（2）二次成本函數(shù)：C（q）＝C1＋bp＋cq2.

例2.已知某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為求生產(chǎn)50件該產(chǎn)品時(shí)的總成本與平均成本.解：所求總成本為

平均成本為

1.5.3收益函數(shù)與利潤函數(shù)

1.收益函數(shù)

收益指的是出售商品得到的總收入，等于出售單價(jià)與售出總量的乘積，即

總收益函數(shù)R＝R（q）＝qP（q），

其中R表示收益，q表示售出的商品總量，P（q）是商品的單價(jià)與售出量的關(guān)系，是該商品的價(jià)格函數(shù).

平均收益函數(shù)為

2.利潤函數(shù)

在供需平衡時(shí)，某種產(chǎn)品獲得的總利潤等于出售該產(chǎn)品獲得的總收益與生產(chǎn)該產(chǎn)品付出的總成本之差，即

總利潤函數(shù)＝L＝L（q）＝R（q）－C（q），

其中，L表示總利潤，q表示產(chǎn)品數(shù)量.

平均利潤函數(shù)為

當(dāng)L＝L（q）＝R（q）－C（q）>0時(shí)，是有盈余生產(chǎn)；

當(dāng)L＝L（q）＝R（q）－C（q）<0時(shí)，是虧損生產(chǎn)；

當(dāng)L＝L（q）＝R（q）－C（q）＝0時(shí)，是無盈余生產(chǎn)，無盈余生產(chǎn)時(shí)的產(chǎn)量q0稱為無盈虧點(diǎn).

例3.已知生產(chǎn)某商品的總成本為C（q）＝20＋2q＋q2（萬元）.若每售出一件該商品的收入是20萬元，求生產(chǎn)20件該商品時(shí)的總利潤和平均利潤.解：總利潤為

L（q）＝R（q）－C（q）＝20q－（20＋2q＋q2）＝18q－q2－20，

所求總利潤為L（20）＝140（萬元）；平均利潤為極限和連續(xù)2.1函數(shù)極限的概念

2.1.1函數(shù)在時(shí)的極限

1.函數(shù)在一點(diǎn)的極限

定義2.1設(shè)函數(shù)f（x）在x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)x“無限趨于”x0時(shí)，其對應(yīng)的函數(shù)值f（x）“無限趨于”一個(gè)確定的數(shù)A，則稱函數(shù)f（x）在x→x0時(shí)的極限是A，記作

由于極限反映的是當(dāng)x“無限趨于”x0時(shí)函數(shù)值f（x）的變化情況，所以極限是否存在、極限值的大小是什么與f（x）在x0處的情況無關(guān).從幾何上看，指的是在x0附近，曲線y=f（x）可以無限靠近水平直線y=A.

極限不存在的三種情況：

①函數(shù)值f（x）“無限趨于”任何一個(gè)確定的常數(shù)A；

②函數(shù)值f（x）“無限趨于”無窮大；

③函數(shù)值f（x）“無限趨于”多個(gè)確定的常數(shù)

例1.求下列函數(shù)的極限

（1）解：1（2）解：（3）解：32.函數(shù)在一點(diǎn)的單側(cè)極限

（1）函數(shù)在一點(diǎn)的左極限

定義2.2設(shè)函數(shù)f（x）在x0的左側(cè)附近有定義，若當(dāng)x<x0且“無限趨于”x0時(shí)，其對應(yīng)的函數(shù)值f（x）“無限趨于”一個(gè)確定的數(shù)A，則稱函數(shù)f（x）在x→x0時(shí)的左極限是A，記作

（2）函數(shù)在一點(diǎn)的右極限

定義2.3設(shè)函數(shù)f（x）在x0的左側(cè)附近有定義，若當(dāng)x>x0且“無限趨于”x0時(shí)，其對應(yīng)的函數(shù)值f（x）“無限趨于”一個(gè)確定的數(shù)A，則稱函數(shù)f（x）在x→x0時(shí)的右極限是A，記作

例2.求函數(shù)在x=0點(diǎn)的右極限.解：因?yàn)楫?dāng)x>0且無限趨于0時(shí)無限趨于0，

所以例3.求符號函數(shù)sgn（x）在x=0點(diǎn)的左極限和右極限.解：，

所以當(dāng)x<0且無限趨于0時(shí)sgn（x）無限趨于﹣1，當(dāng)x>0且無限趨于0時(shí)sgn（x）無限趨于1，

故3.函數(shù)在一點(diǎn)的極限與左、右極限的關(guān)系

定理2.1設(shè)函數(shù)f（x）在x0點(diǎn)附近有定義，則的充分必要條件是：

且

例4.求下列函數(shù)在x=0處的左極限與右極限，并說明在x=0處的極限是否存在.

（1）,（2）解：（1），

所以在x=0處的極限存在，

（2）

所以在x=0處的極限不存在.2.1.2函數(shù)在無窮遠(yuǎn)的極限

1.函數(shù)在x→∞時(shí)的極限

定義2.4設(shè)函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處有定義，A是一個(gè)常數(shù).若對于任意的ε>0，都存在X>0，使得當(dāng)|x|>X，總有|f（x）－A|<ε成立，則稱函數(shù)f（x）在x→∞時(shí)的極限是A，記作：

通俗地說，的含義就是當(dāng)|x|無限增大時(shí)，與x對應(yīng)的函數(shù)值f（x）無限趨于常數(shù)A.

定義中的“函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處有定義”指的是：存在大于零的數(shù)M，函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣M）∪（M，+∞）內(nèi)有定義.

例5.求下列函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的極限，

（1）解：1（2）解：0（3）解：2.函數(shù)在x→+∞時(shí)的極限

定義2.5設(shè)函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處有定義，A是一個(gè)常數(shù).若對于任意的ε>0，都存在X>0，使得當(dāng)x>X，總有|f（x）－A|<ε成立，則稱函數(shù)f（x）在x→+∞時(shí)的極限是A，記作：

定義中的“函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處有定義”指的是：存在大于零的數(shù)M，函數(shù)f（x）在（M，+∞）內(nèi)有定義.

請讀者自己給出的定義.

定理2.2設(shè)函數(shù)f（x）在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處有定義，則的充分必要條件是：且

例6.設(shè)f（x）=arctanx,求及的值，并說明是否存在.解：根據(jù)f（x）=arctanx的性質(zhì)，易知：

當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）=arctanx無限趨于，當(dāng)x→﹣∞時(shí)，f（x）=arctanx無限趨于，

所以

所以不存在.例7.求在x=0處的左極限與右極限，并說明在x=0處的極限是否存在.解：，

所以在x=0處的極限不存在.2.1.3數(shù)列的極限

設(shè){an}是一個(gè)無窮數(shù)列.與函數(shù)類似，如果當(dāng)下標(biāo)n越來越大時(shí)，其對應(yīng)的值an越來越接近某一個(gè)常數(shù)A，而且可以無限接近，我們就說數(shù)列{an}的極限是A，記作

因?yàn)橄聵?biāo)n只有一種變化趨勢n→+∞，所以一般表示為

當(dāng)極限存在時(shí)，就稱數(shù)列{an}收斂；當(dāng)極限不存在時(shí)，就稱數(shù)列{an}發(fā)散.

根據(jù)定義，易知數(shù)列{n}發(fā)散，而數(shù)列與{qn}（|x|<1）均收斂，且

例8.設(shè)求解：因?yàn)?/p>

所以當(dāng)n→+∞時(shí)，無限趨于1，

故例9.判斷下列數(shù)列的極限是否存在，若存在，求出極限值.

（1）；（2）解：（1）數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是，而偶數(shù)項(xiàng)是2，該數(shù)列不會無限靠近任何一個(gè)常數(shù)，所以極限不存在.

（2）.2.2函數(shù)極限的性質(zhì)與運(yùn)算

函數(shù)的自變量x的變化趨勢有六種情況：，，，，，，下面只給出這一種變化趨勢下的結(jié)論，其他變化趨勢下結(jié)論都照樣成立.

2.2.1函數(shù)極限的性質(zhì)（識記）

1.極限值的唯一性

定理2.3若極限存在，則其值唯一.

2.函數(shù)在極限存在點(diǎn)附近的有界性

定理2.4若極限存在，則函數(shù)f（x）在x0的一個(gè)去心鄰域內(nèi)有界.

所謂函數(shù)f（x）在x0的一個(gè)去心鄰域內(nèi)有界指的是：存在M＞0，δ＞0，使得對任意的x∈（x0－δ,x0）∪（x0，x0＋δ），都有|f（x）|＜M.

對于無窮來說，定理2.4說明：如果存在，就會存在M＞0，X＞0，使得對任意x∈（－∞,－X）∪（X，＋∞），都有|f（x）|＜M.

定理2.4反映的是極限存在點(diǎn)附近函數(shù)的局部有界性，而對于數(shù)列來說，結(jié)論則是：

定理2.5若極限存在，則數(shù)列{an}有界.

定理2.5說明，數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件.

3.函數(shù)極限的保號性

定理2.6若極限，且A＞0，則函數(shù)f（x）在x0的一個(gè)去心鄰域內(nèi)大于零；若在x0的一個(gè)去心鄰域內(nèi)f（x）≥0，且極限.

2.2.2函數(shù)極限的運(yùn)算

1.極限的四則運(yùn)算

定理2.7若則：

（1）

（2）

（3），在x0的一個(gè)去心鄰域內(nèi)滿足：

本定理說明，如果函數(shù)f（x）與g（x）在同一極限過程下的極限都存在，那么它們的和、差、積、商（分母極限下不等于零）在同一極限過程下的極限也存在，且其極限值就是f（x）與g（x）極限值的和、差、積、商.

本定理的結(jié)論可以推廣到任意有限個(gè)函數(shù)的和、差、積、商.

這里的函數(shù)一般是基本初等函數(shù).

例1.設(shè)存在，不存在，則（）.

（A）一定不存在

（B）一定不存在

（C）一定不存在

（D）與中恰有一個(gè)存在答案：BC例2.求極限.解：

例3.求極限解：因?yàn)?，?/p>

所以例4.求極限解：因?yàn)椋圆荒苤苯永贸ㄟ\(yùn)算求極限

由于，

所以

從而例5.求極限解：

例6.已知，求a的值.解：當(dāng)時(shí)，分母趨于0，所以分子也趨于0，

也就是，所以.例7.求極限解：2.復(fù)合函數(shù)的極限

結(jié)論：，則

復(fù)合函數(shù)求極限的方法一般稱為換元法.

例8.求極限解：因?yàn)椋?，所?3.夾逼定理

定理2.8設(shè)函數(shù)f（x）、g（x）、h（x）在x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)滿足：

（1）夾條件：

（2）逼條件：

則

單調(diào)有界收斂定理：若數(shù)列滿足且有上界，則存在；若數(shù)列滿足且有下界，則存在.

例9.求極限，其中[·]是取整函數(shù)符號.解：根據(jù)取整函數(shù)的定義，對任意的x≠0，有

當(dāng)x＞0時(shí)，由于，且

所以

當(dāng)x＜0時(shí)，由于，且

根據(jù)極限與左、右極限的關(guān)系，得例10.設(shè)，利用夾逼定理求的值.解：，，

所以例11.利用單調(diào)有界收斂定理，證明極限存在.證：記，則

，

且

由單調(diào)有界收斂定理，知極限存在.2.2.3兩個(gè)重要極限

1.重要極限

由于當(dāng)x→0時(shí)，sinx也趨向于0，這是一個(gè)“”型的極限問題，不能利用除法運(yùn)算.我們可以利用如下方法求得它的值.

如2-1，設(shè)圓的半徑為1.當(dāng)時(shí)，因?yàn)椤鱋AB的面積小于扇形OAB面積，扇形OAB的面積小于△OAC的面積，所以

從而即

因?yàn)樗詩A逼定理，知

又因?yàn)?/p>

所以

例12.求下列極限：

（1）；（2）；

（3）；（4）解：（1）

（2）

（3）令u=arcsinx，則

（3）令u=arctanx，則例13.求下列極限：

（1）；（2）；（3）解：（1）

（2）

（3）2.重要極限

這個(gè)極限式子也可以寫為，

例14.求下列極限：

（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）

（2）因?yàn)榍?/p>

所以

（3）因?yàn)椋?/p>

所以

（4）令，因?yàn)?，且?/p>

所以例15.已知函數(shù)若極限存在，則a=（）.

（A）-1（B）0（C）1（D）2解析：

所以.

答案：B例16.設(shè)有一筆本金P0存入銀行，年利率為r.若以復(fù)利計(jì)息，到第t年末將增值到Pt.計(jì)算Pt的值.解：

引申：如果把一年分成n期計(jì)算，每期利息可以認(rèn)為是,此時(shí)第t年末本利之和為，.

如果每年計(jì)算的次數(shù)n→∞，則第t年末的本利之和Pt的變化趨勢就是

就是連續(xù)計(jì)息時(shí)本利之和的計(jì)算公式，即復(fù)利公式.2.3無窮小量與無窮大量

2.3.1無窮小量與無窮大量的概念

1.無窮小量的概念

若，則稱函數(shù)在時(shí)是一個(gè)無窮小量，記作

一個(gè)函數(shù)是否是無窮小量，一定要指明極限過程.例如，只有當(dāng)時(shí)是無窮小量；而函數(shù)只有當(dāng)時(shí)才是無窮小量.

常見的無窮小量：當(dāng)時(shí)，

2.無窮小的運(yùn)算

①有限個(gè)無窮小的和仍為無窮小.

②有限個(gè)無窮小的積仍為無窮小.

③有界函數(shù)與無窮小的積仍為無窮小.

④例1.函數(shù)在點(diǎn)處（）.

（A）有定義但無極限

（B）有定義且有極限

（C）既無定義又無極限

（D）無定義但有極限答案：D

解析：很顯然在處沒有定義，但是，所以有極限，應(yīng)該選D.例2.當(dāng)時(shí)，下述函數(shù)中為無窮小量的是（）.

（A）

（B）

（C）

（D）答案：Ａ

解析：（A）

（B）

（C），極限不存在，

（D）

所以選A.3.無窮大量的概念

定義2.7若函數(shù)在x→x0時(shí)是一個(gè)無窮小量，則稱函數(shù)f（x）在x→x0時(shí)是一個(gè)無窮大量，記作.

當(dāng)x無限趨于x0時(shí)，若且無限趨于0，則稱函數(shù)f（x）在x→x0時(shí)是一個(gè)正無窮大量，記作.

當(dāng)x無限趨于x0時(shí)，若且無限趨于0，則稱函數(shù)f（x）在x→x0時(shí)是一個(gè)負(fù)無窮大量，記作.

從無窮大量的定義可以看出：無窮大量的倒數(shù)是同一極限過程下的無窮小量，非零無窮小量的倒數(shù)是同一極限過程下的無窮大量.

常見的無窮大量：

（），

，

（）.

例3.若則必有（）.

（A）

（B）

（C）

（D）答案：D2.3.2無窮小量的比較

定義2.8設(shè)若則：

（1）當(dāng)c=0時(shí)，稱f（x）是g（x）在時(shí)的高階無窮小量，記作

（2）當(dāng)c≠0且c≠1時(shí)，稱f（x）與g（x）在時(shí)是同階無窮小量.

（3）當(dāng)c=1時(shí)，稱f（x）是g（x）在時(shí)是等價(jià)無窮小量，記作

當(dāng)時(shí)，

sinx～x，，tanx～x，arcsinx～x，

arctanx～x，，，

例4.證明（1）（）證：因?yàn)椋?，故?）arcsinx～x（）證：，所以arcsinx～x（）（3）arctanx～x（）證：，所以arctanx～x（）（4）證明證：因?yàn)椋?/p>

且

所以，即等價(jià)無窮小替換法：在同一個(gè)極限過程中,若

例5.求極限解：

例6.求極限解：例7.當(dāng)x→0時(shí)，f（x）=tanx－sinx與g（x）=x2ln（1－ax）是等價(jià)無窮小量，則a=（）.

（A）﹣1

（B）

（C）

（D）1答案：B例8.設(shè)x→0時(shí)，與是同階無窮小量，則n的值為（）.

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4答案：C例9.當(dāng)x→0時(shí)，（1－cosx）ln（1+x2）是比xsin（xn）高階的無窮小量，而xsin（xn）是比高階的無窮小量，則正整數(shù)n的值為（）.

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4答案：B2.4連續(xù)函數(shù)的概念與性質(zhì)

2.4.1函數(shù)的連續(xù)與間斷

1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念

定義2.9設(shè)函數(shù)f（x）在x0及其附近有定義，若成立，則稱函數(shù)f（x）在x0處連續(xù)，x0稱函數(shù)f（x）的連續(xù)點(diǎn).

一般地，△x＝x－x0稱為自變量的改變量，△f（x0）=f（x）－f（x0）=f（x0+△x）－f（x0）稱為函數(shù)f（x）在x0處的改變量.函數(shù)f（x）在x0處連續(xù)指的是：當(dāng)△x→0時(shí)，有△f（x0）→0，即.

從定義可以看出，連續(xù)性是函數(shù)的一種點(diǎn)性質(zhì)，也就是說函數(shù)f（x）在x0處是否連續(xù)與它在其他點(diǎn)處是否連續(xù)沒有關(guān)系.如對于函數(shù)因?yàn)?，，且f（0）=0，所以f（x）在x=0處連續(xù).由于x0≠0時(shí)極限不存在，

所以該函數(shù)也只有x=0這一個(gè)連續(xù)點(diǎn).

例1.f（x）在x0處有定義是f（x）在x0處連續(xù)的（）.

（A）必要條件

（B）充分條件

（C）充要條件

（D）無關(guān)條件答案：A例2.若函數(shù)在x=﹣1處連續(xù)，求a的值.解：因?yàn)閒（x）在x=﹣1處連續(xù)，且

所以a＝﹣2.例3.求a的值，使得函數(shù)在x＝1處連續(xù).解：因?yàn)閒（x）在x=1處連續(xù)，且f（1）=a,所以，a=6.2.函數(shù)在一點(diǎn)的單側(cè)連續(xù)性

定義2.10設(shè)函數(shù)f（x）在x0及其左側(cè)附有定義，若成立，則稱函數(shù)f（x）在x0處左連續(xù)；設(shè)函數(shù)f（x）在x0及其右側(cè)附近有定義，若成立，則稱函數(shù)f（x）在x0處右連續(xù).

左連續(xù)和右連續(xù)統(tǒng)稱為單側(cè)連續(xù).

對于分段函數(shù)，在分段點(diǎn)處的連續(xù)性，首先要討論它的單側(cè)連續(xù)性.

對于定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)，在區(qū)間端點(diǎn)處也要討論它的單側(cè)連續(xù)性。

如果函數(shù)在開區(qū)間（a,b）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，就說函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a,b）上連續(xù)，如果函數(shù)在開區(qū)間（a,b）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，并且在x=a處右連續(xù)，在x=b處左連續(xù)，就說函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).

連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.

定理2.9：函數(shù)在處連續(xù)的充分必要條件是：在處既是左連續(xù)的，又是右連續(xù)的.

例4.已知函數(shù)判斷f（x）在x=0處的單側(cè)連續(xù)性.解：因?yàn)閒（0）=1，且

所以，

故f（x）在x=0處左連續(xù).

又因?yàn)?/p>

所以故f（x）在x=0處右連續(xù).例5.已知函數(shù)判斷f（x）在x=0處連續(xù)性.解：因?yàn)閒（0）=﹣1，且

所以即f（x）在x＝0處左連續(xù).

又因?yàn)椋?/p>

所以，即f（x）在x=0處右連續(xù).

由于f（x）在x＝0處既是左連續(xù)的，又是右連續(xù)的，所以f（x）在x＝0處連續(xù).3.間斷點(diǎn)及其分類

若函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處不連續(xù)，則稱x0為f（x）的間斷點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)在間斷處左、右極限的情況，可將間斷點(diǎn)進(jìn)行如下分類.

（1）第一類間斷點(diǎn)

若函數(shù)f（x）點(diǎn)x0處的左、右極限均存在，但不連續(xù)，則稱x0為f（x）的第一類間斷點(diǎn).

在第一類間斷點(diǎn)中，當(dāng)左、右極限相等時(shí)，又稱這樣的間斷點(diǎn)為可去型間斷點(diǎn).如x=0就是函數(shù)的可去型間斷點(diǎn)，x=1則是函數(shù)的可去型間斷點(diǎn).

在第一類間斷點(diǎn)中，當(dāng)左、右極限存在但不相等時(shí)，又稱這樣的間斷點(diǎn)為跳躍型間斷點(diǎn).如x＝0是符號函數(shù)sgn（x）的跳躍型間斷點(diǎn)，任何一個(gè)整數(shù)都是取整函數(shù)f（x）=[x]的跳躍型間斷點(diǎn).

（2）第二類間斷點(diǎn)

若函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的左、右極限中至少有一個(gè)不存在時(shí)，則稱x0為f（x）的第二類間斷點(diǎn).例如x＝0就是函數(shù)和的第二類間斷點(diǎn).

例6.x＝0是的（）.

（A）連續(xù)點(diǎn)

（B）跳躍型間斷點(diǎn)

（C）可去型間斷點(diǎn)

（D）第二類間斷點(diǎn)解：

所以是跳躍型間斷點(diǎn)，選B.例7.函數(shù)的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）.

（A）0

（B）1

（C）2

（D）無窮多解：f（x）的可去間斷點(diǎn)處只能在x=0,1處取到，

x=0,1都是可去間斷點(diǎn)，選C.

例8.求出下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指明其類型.

（1）；（2）

解：（1）

所以，x=1是f（x）的可去間斷點(diǎn)，

所以，x=2是f（x）的第二類間斷點(diǎn).（2）

所以，x=-1是f（x）的可去間斷點(diǎn).2.4.2連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

1.連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算

若函數(shù)均在處連續(xù)，則

均在處連續(xù).

2.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

若函數(shù)在處連續(xù)，在處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在處連續(xù).

在連續(xù)條件下，求極限的運(yùn)算與求函數(shù)值的運(yùn)算可以交換次序：

3.反函數(shù)的連續(xù)性

定理2.12設(shè)函數(shù)存在反函數(shù)，且在處連續(xù)，則其反函數(shù)在處連續(xù).

基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)，從而初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)函數(shù).這樣求函數(shù)極限的問題就變成了計(jì)算函數(shù)值的問題.

2.4.3連續(xù)函數(shù)的其他常用性質(zhì)

1.連續(xù)函數(shù)的保號性

定理2.13若函數(shù)f（x）在x0處連續(xù)，且f（x0）＞0，則在x0附近f（x）＞0.

本定理說明連續(xù)函數(shù)在一點(diǎn)處函數(shù)值的正、負(fù)號可以確定它在這一點(diǎn)附近的正、負(fù)號.需要指出的是，這僅僅是一個(gè)局部性質(zhì)，不能推廣到函數(shù)的整個(gè)定義域上.

2.連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性

定理2.14若函數(shù)f（x）連續(xù)，且存在兩點(diǎn)x1,x2使得f（x1）f（x2）＜0，則至少存在介于x1,x2之間的一個(gè)點(diǎn)ξ，使得f（ξ）=0.

從幾何上講，本定理說的是：當(dāng)連續(xù)曲線在既存在位于x軸上方的點(diǎn)，又存在位于x軸下方的點(diǎn)時(shí)，在這兩點(diǎn)之間曲線至少要與x軸相交一次（如圖2-2所示）.

圖2-2

例9.證明方程2x+x＝0在區(qū)間（﹣1，0）內(nèi)存在唯一實(shí)根.證：記f（x）=2x+x，則f（x）在區(qū)間[﹣1,0]上連續(xù).

又f（0）=1＞0，

所以存在ξ∈（﹣1，0），使得f（ξ）=0,即方程2x+x＝0在區(qū)間（﹣1，0）內(nèi)存在實(shí)根ξ.

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=2x+x單調(diào)增加，所以ξ是方程2x+x＝0在區(qū)間（﹣1，0）內(nèi)的唯一實(shí)根.例10.證明方程在區(qū)間（1,2）內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根.證：記f（x）=x3-3x+1,則f（x）在區(qū)間（1,2）上連續(xù)，f（1）=1-3+1=-1<0,f（2）=8-6+1=3>0,

所以，存在ξ∈（1,2），使得f（ξ）=0,即方程x3-3x+1=0在區(qū)間（1,2）內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根.3.連續(xù)函數(shù)的介值定理

將連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理推廣到一般情況，就會得到連續(xù)函數(shù)的介值定理.

定理2.15若函數(shù)f（x）連續(xù)，且存在兩點(diǎn)x1，x2使得f（x1）＜f（x2），則對于任意滿足條件f（x1）＜μ＜f（x2）的實(shí)數(shù)μ，至少存在介于x1，x2之間的一個(gè)點(diǎn)ξ，使得f（ξ）=μ.證：令F（x）=f（x）－μ，則F（x）連續(xù)，且

F（x1）=f（x1）－μ＜0，F(xiàn)（x2）=f（x2）－μ＞0.

根據(jù)零點(diǎn)存在定理，至少存在介于x1，x2之間的一個(gè)點(diǎn)ξ，使得F（ξ）=f（ξ）－μ＝0，即f（ξ）＝μ.4.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性

定理2.16若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f（x）在[a,b]上有界.即存在M＞0，使得對任意的x∈[a,b],都有|f（x）|＜M成立.

5.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最大值、最小值的存在性

對閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)來說，我們不僅能得到它的有界性，還能得到它的更好的性質(zhì)，這就是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最大值、最小值的存在性結(jié)論.

定理2.17若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則存在ξ，η∈[a,b]，使得對任意的x∈[a,b]都有f（ξ）≤f（x）≤f（η）成立.即f（ξ）是函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a,b]上的最小值,f（η）是函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a,b]上的最大值.

值得注意的是，最值存在性對于開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)而言未必成立.例如，函數(shù)在開區(qū)間（0,1）內(nèi)連續(xù)，但不存在c,d∈（0,1），使得f（c）≤f（x）≤f（d）對任意的x∈（0,1）都成立.

例11.如圖2-3所示的函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f（x）≥0.設(shè)S曲線y=f（x）與直線x=a,x=b及x軸圍成的區(qū)域面積，試證：存在ξ∈（a,b），使得S=f（ξ）（b－a）.

圖2-3證：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，所以存在x1,x2∈[a,b]，使得對任意的x∈[a,b]，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立.

由圖可知f（x）不恒為常數(shù)，故f（x1）（b－a）＜S＜f（x2）（b－a），

即

根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在介于x1與x2之間的點(diǎn)，使得即S=f（ξ）（b－a）.例12.證明：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的值域是閉區(qū)間.證：設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，Zf表示f（x）在[a,b]中所有點(diǎn)的函數(shù)值構(gòu)成的集合.

一方面，因?yàn)閒（x）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，所以存在x1,x2∈[a,b]，使得對任意的x∈[a,b]，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，故

另一方面，對于任意的μ∈（f（x1）,f（x2）），根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理，可知存在ξ∈[a,b]，使得f（ξ）＝μ，所以.

綜上可知，Zf＝[f（x1）,f（x2）]，即Zf是一個(gè)閉區(qū)間.導(dǎo)數(shù)與微分3.1導(dǎo)數(shù)與微分的概念

前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)在一點(diǎn)處的兩個(gè)性質(zhì)：極限與連續(xù)，它們刻畫的只是函數(shù)f（x）在一點(diǎn)附近隨著自變量的變化而變化的定性性質(zhì)，但不能反映函數(shù)值的變化與自變量的變化之間的量的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)與微分恰恰是反映它們之間的量的關(guān)系的兩個(gè)概念.

例1.曲線在一點(diǎn)處的切線.

如圖3-1，設(shè)）是曲線y=f（x）上的兩點(diǎn)，直線是過A,B兩點(diǎn)的直線，當(dāng)點(diǎn)B沿曲線y=f（x）趨向于點(diǎn)A時(shí)，若直線趨向于直線L，則稱L為曲線y=f（x）在點(diǎn)A處的切線，直線的斜率的極限就是切線L斜率.

例2.變速運(yùn)動物體的瞬時(shí)速度

設(shè)運(yùn)動物體走過的距離S與行走時(shí)間t之間的關(guān)系為S=S（t）,則該物體從時(shí)刻到t時(shí)刻之間的平均速度是，極限就是此物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度.

3.1.1導(dǎo)數(shù)的概念

1.函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義

定義3.1設(shè)函數(shù)y=f（x）在及其附近有定義，如果極限存在，則稱函數(shù)f（x）在處可導(dǎo)，極限的值稱為函數(shù)f（x）在處的導(dǎo)數(shù)，記作等.

記，導(dǎo)數(shù)定義可表述為：

若極限存在，則稱函數(shù)f（x）在處可導(dǎo)，極限的值稱為函數(shù)f（x）在處的導(dǎo)數(shù).

由于表示的是函數(shù)f（x）在上自變量改變1個(gè)單位時(shí)，函數(shù)值平均改變了幾個(gè)單位，所以其值稱為f（x）在上的平均變化率.極限值也就是導(dǎo)數(shù)值，稱為函數(shù)f（x）在處的瞬時(shí)變化率，的大小反映了f（x）在處函數(shù)值隨著自變量變化而變化的快慢，的正、負(fù)號反映的是函數(shù)值隨著自變量的增加時(shí)增加還是減少.

由定義求導(dǎo)數(shù)的步驟：

（1）求增量

（2）算比值

（3）求極限

例3.用定義求常數(shù)函數(shù)f（x）=C在任一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解：設(shè)x是任意實(shí)數(shù)，因?yàn)?/p>

，

所以函數(shù)f（x）=C在x處可導(dǎo)，且f’（x）=0.例4.用定義求函數(shù)在任一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解：設(shè)x是任意函數(shù)，因?yàn)?/p>

所以函數(shù)在x處可導(dǎo)，且f’（x）=2x.例5.用定義求函數(shù)在任一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解：設(shè)x是任意實(shí)數(shù)，因?yàn)?/p>

，

所以函數(shù)在x處可導(dǎo)，且

特別地，例6.用定義求函數(shù)f（x）=lnx在x（x>0）處的導(dǎo)數(shù).解：因?yàn)?/p>

所以函數(shù)f（x）=lnx在x（x>0）處可導(dǎo)，且例7.用定義求函數(shù)f（x）=sinx在任一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解：設(shè)x是任意實(shí)數(shù)，因?yàn)?/p>

所以函數(shù)在x處可導(dǎo)，且

類似地，可以求得

例8.（1）設(shè)函數(shù)f（x）在x=a處可導(dǎo)則（）.

（A）（B）

（C）（D）答案：D（2）設(shè)f（x）為奇函數(shù)且導(dǎo)數(shù)存在，若f（1）=1,f’（1）=﹣1,則（）.

（A）（B）

（C）（D）答案：C（3）設(shè)f（x）是周期為4的可導(dǎo)的偶函數(shù)，若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為，則該曲線在點(diǎn)（3，f（3））處的切線斜率為（）.

（A）（B）

（C）（D）﹣2答案：B2.函數(shù)在一點(diǎn)處的單側(cè)導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f（x）在及其左側(cè)附近有定義，如果極限存在，則稱函數(shù)f（x）在處左可導(dǎo)，極限的值稱為函數(shù)f（x）在處的左導(dǎo)數(shù)，記作.

設(shè)函數(shù)y=f（x）在及其右側(cè)附近有定義，如果極限存在，則稱函數(shù)f（x）在處右可導(dǎo)，極限的值稱為函數(shù)f（x）在處的右導(dǎo)數(shù)，記作.

定理3.1設(shè)函數(shù)y=f（x）在及其附近有定義，則f（x）在處可導(dǎo)，且的充分必要條件是：f（x）在處既是左可導(dǎo)的，又是右可導(dǎo)的，且.

當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a,b）內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)時(shí)，就說它在區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，f’（x）稱為f（x）在區(qū)間（a,b）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).

當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a,b）內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，且在x=a處右可導(dǎo)，在x=b處左可導(dǎo)時(shí)，就說它在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，f’（x）也稱為f（x）在區(qū)間[a,b]上的導(dǎo)函數(shù).

例9.證明函數(shù)在x=1處不可導(dǎo).證：因?yàn)?/p>

所以，故函數(shù)f（x）在x=1處不可導(dǎo).例10.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的是（）.

（A）（B）

（C）（D）答案：A3.函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義

從函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義可以看出，表示的是曲線y=f（x）在點(diǎn)（）處切線的斜率，所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（）處的切線方程為

過切點(diǎn)且與曲線在該點(diǎn)的切線垂直的直線稱為曲線在該點(diǎn)的法線，當(dāng)時(shí)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（）處的法線方程為，

兩條曲線在點(diǎn)（）處相切指的是它們在該點(diǎn)的切線重合，即它們在處不僅函數(shù)值相等，導(dǎo)數(shù)值也相等.

例11.求曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線方程與法線方程.解：因?yàn)?/p>

.

所以，故曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線方程為y=1+3（x－1）,即y=3x－2;

曲線在點(diǎn)（1,1）處的法線方程為例12.設(shè)曲線y=f（x）與y=lnx在x=1處相切，求f（1）與f’（1）的值.解：因?yàn)榍€y=f（x）與y=lnx在x=1處相切，且，

所以f（1）=0,f’（1）=1.例13.求曲線平行的切線方程.解：令解得x=1.

此時(shí)，y=6.

所以，切線方程是y=6+4（x-1）,y=4x+2.4.函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系

函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)是比它在該點(diǎn)處連續(xù)更強(qiáng)的一種性質(zhì)：

定理3.2若函數(shù)在處可導(dǎo)，則在處連續(xù).

注意：連續(xù)僅僅是可導(dǎo)的必要條件，而不是充分條件.

例如，函數(shù)在x=0處連續(xù)，但由于，

所以在x=0處不可導(dǎo).

例14.設(shè)在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo)，則α的取值范圍是（）.

（A）α<0（B）0<α<1

（C）0<α≤1（D）α>1答案：C例15.已知函數(shù)在x=0處可導(dǎo)，求a,b的值.解：因?yàn)閒（x）在x=0處可導(dǎo)，所以f（x）在x=0處連續(xù).

由于

又因?yàn)?/p>

所以a=0.3.1.2微分的概念

如圖3-2，邊長為x的正方形，當(dāng)其邊長增加了時(shí)，它的面積增加了.

上述面積的增加值由兩部分構(gòu)成，是的一次項(xiàng)，滿足.

1.函數(shù)在一點(diǎn)處的微分

設(shè)函數(shù)y=f（x）在及其附近有定義，如果函數(shù)值f（x）在點(diǎn)處的改變量可以表示成自變量改變量的一次項(xiàng)a（）與自變量改變量的高階無窮小量o（）之和，即，則稱函數(shù)f（x）在處可微，a（）稱為f（x）在處的微分，記作

前面關(guān)于正方形面積的例子說明函數(shù)在任一點(diǎn)是可微的，且微分值表示的是函數(shù)值改變量的主要部分，是函數(shù)值改變量的近似值.

例16.設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)處可導(dǎo)，則當(dāng)h→0時(shí)，必有（）.

（A）dy是h的等價(jià)無窮小量

（B）△y-dy是h的同階無窮小量

（C）dy是比h高階的無窮小量

（D）△y-dy是比h高階的無窮小量答案：D例17.求函數(shù)的微分.解：因?yàn)椋?/p>

所以，故.2.函數(shù)在一點(diǎn)處可微與可導(dǎo)的關(guān)系——微分計(jì)算公式

定理3.3函數(shù)f（x）在處可微的充要條件是函數(shù)f（x）在處可導(dǎo)，且，其中.

本定理說明，一元函數(shù)的可導(dǎo)性與可微性是等價(jià)的性質(zhì)，且導(dǎo)數(shù)值與微分值滿足等式，即導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)微分與自變量微分的商，所以導(dǎo)數(shù)有時(shí)也稱為微商.

正是由于微分與導(dǎo)數(shù)滿足等式，所以后面我們只介紹導(dǎo)數(shù)的求法，而不再單獨(dú)介紹微分的求法.

3.函數(shù)微分的幾何意義

曲線y=f（x）在點(diǎn)（）處的切線方程為.

將切線方程變形，得，

即函數(shù)f（x）在處的微分值是曲線y=f（x）在該點(diǎn)切線上縱坐標(biāo)的改變量，用微分作為函數(shù)值改變量的近似值，就是在該點(diǎn)附近用切線近似表示曲線y=f（x）

例18.求得一個(gè)近似值.解：考慮函數(shù)，則

因?yàn)椋?/p>

且，

所以例19.已知運(yùn)動物體走過的距離S與行走的時(shí)間t之間的關(guān)系為，求t=2時(shí)物體的瞬時(shí)速度v（2）.解：v=S’=2t+4,t=2時(shí)，v（2）=8,所以，此時(shí)的瞬時(shí)速度是8.例20.設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)x個(gè)單位時(shí)的總收入為，求生產(chǎn)第100個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)，總收入的變化率.解：

所以，總收入的變化率是198.3.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

導(dǎo)數(shù)運(yùn)算時(shí)微積分中最基本和最重要的運(yùn)算，本節(jié)主要介紹常用的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，并給出基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式.

3.2.1導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

定理3.4若函數(shù)f（x）,g（x）在處可導(dǎo)，則其和、差、積、商構(gòu)成的函數(shù)均在處可導(dǎo)，且：

（1）.

（2）.

（3）.

例1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：因?yàn)?/p>

例2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（1）（2）

（3）（4）解：因?yàn)樗裕?/p>

（1）

（2）

（3）

（4）例3.（1）已知函數(shù).解：因?yàn)?/p>

，

故（2）設(shè)函數(shù)，則（）.

（A）﹣6（B）﹣2

（C）6（D）2解：3.2.2復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則

1.復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則

設(shè)函數(shù)是函數(shù)和的復(fù)合，若在處可導(dǎo)，在處可導(dǎo)，則函數(shù)關(guān)于x在處的導(dǎo)數(shù)為：

例4.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（1）（2）（3）解：（1）因?yàn)?，所?/p>

.

（2）因?yàn)椋?/p>

.

（3）因?yàn)椋?/p>

.例5.設(shè)函數(shù)，其中滿足，則=（）.

（A）（B）

（C）（D）答案：B例6.設(shè)，其中可導(dǎo)，，則（）.

（A）-2（B）

（C）0（D）2解：2.復(fù)合函數(shù)的微分

已知函數(shù)可微，利用微分計(jì)算公式，得，若函數(shù)可微，且復(fù)合函數(shù)有意義，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則及微分計(jì)算公式，可知的微分是

上面的討論說明，對于函數(shù)，無論變量u是自變量還是中間變量.都有成立，這個(gè)性質(zhì)稱為一階微分形式的不變性.

例7.設(shè)，求.解：由一階微分形式的不變性，得

所以3.2.3反函數(shù)求導(dǎo)法

設(shè)函數(shù)f，g互為反函數(shù)，若存在且不為零，則g（y）在處可導(dǎo)，且.

例8.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（1）（2）解：（1）因?yàn)椋裕鶕?jù)反函數(shù)的求導(dǎo)公式，得

（2）因?yàn)椋?，根?jù)反函數(shù)求導(dǎo)公式，得

類似地，可以求得

例9.求的導(dǎo)數(shù).解：因?yàn)?，所以，根?jù)反函數(shù)求導(dǎo)公式，得

3.2.4基本求導(dǎo)公式

基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式稱為基本導(dǎo)數(shù)公式，熟練掌握這些公式是正確解決導(dǎo)數(shù)運(yùn)算問題的基礎(chǔ).

1.常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

2.冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

3.指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

4.對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

5.三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

6.反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例10.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（1）（2）

（3）（4）

（5）（6）解：

例11.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)的微分；

（1）

（2）解：所以，在x=0處的微分是dy=ln2dx.

例12.設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)存在，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（1）

（2）解：

3.3幾種特殊函數(shù)的求導(dǎo)法、高階導(dǎo)數(shù)

3.3.1幾種特殊函數(shù)的求導(dǎo)法

1.隱函數(shù)求導(dǎo)法

當(dāng)y解不出來的時(shí)候，我們可以把y視為一個(gè)中間變量，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法，進(jìn)行求導(dǎo).

例1.已知函數(shù)y=y（x）由方程確定，求.解：在方程兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，y看作是中間變量，得

解得，

例2.已知函數(shù)y=y（x）由方程確定，求y=y（x）在x=0處的導(dǎo)數(shù).解：在方程兩邊關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y看作是中間變量，得

將x=0代入方程，得y（0）=1.

將x=0，y（0）=1代入方程

得例3.已知函數(shù)y=y（x）由方程確定，求曲線y=y（x）在點(diǎn)（0，y（0））處的切線方程與法線方程.解：在方程兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y看作是中間變量，得

將x=0代入方程，解得y（0）=0.

將x=0，y（0）=0代入，解得

所以曲線y=y（x）在點(diǎn)（0，y（0））處的切線方程為y=-x，法線方程為y=x.例4.求笛卡兒葉形線（如圖3-4所示）在點(diǎn)（2,4）處的切線方程與法線方程.

解：這個(gè)方程在點(diǎn)（2,4）附近確定了y是x的函數(shù).

在方程兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y看作是中間變量，得

將x=2，y=4代入上式，得

12+48y’=36+18y’,解得

于是笛卡兒葉形線在點(diǎn)（2,4）處的切線方程為

法線方程為2.對數(shù)求導(dǎo)法

當(dāng)函數(shù)可以表示成多個(gè)因子的積、商，即時(shí)，為了簡化求導(dǎo)運(yùn)算，可以在等式兩端取對數(shù)，將原式變成如下形式.兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y看作是中間變量，得

所以

類似地，在求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，可以在等式兩端取對數(shù)，將原式變成如下形式：，兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y看作是中間變量，得.所以

上述兩類函數(shù)的求導(dǎo)法也稱為對數(shù)求導(dǎo)法.

例5.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：因?yàn)?，所?/p>

兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y看作是中間變量，得

所以例6.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：因?yàn)椋?/p>

兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y看作是中間變量，得

所以例7.（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：因?yàn)椋裕?/p>

兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y看作是中間變量，得

所以（2）求的導(dǎo)數(shù).解：因?yàn)?，所以，lny=ln（x-1）=2ln（x-2）+3ln（x-3）

兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y看作是中間變量，得

所以，

3.3.2高階導(dǎo)數(shù)

1.高階導(dǎo)數(shù)的概念

我們知道，當(dāng)運(yùn)動物體移動的距離S與移動時(shí)間t之間的關(guān)系式S=S（t）已知時(shí)，導(dǎo)數(shù)S’（t）表示的是該物體在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即.該物體在t時(shí)刻的加速度指的是即的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).為了明確的關(guān)系，就需要引進(jìn)二階導(dǎo)數(shù)的概念.

設(shè)函數(shù)內(nèi)有定義，并在中的每一點(diǎn)x都有導(dǎo)數(shù)，這種對應(yīng)就定義了一個(gè)新的函數(shù)關(guān)系，稱這個(gè)函數(shù)為內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，記為.

如果導(dǎo)函數(shù)還是一個(gè)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，那么它的導(dǎo)數(shù)就稱為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作，即.

類似地，函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)定義為.

二階和高于二階的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)記作，其定義為.

有了二階導(dǎo)數(shù)的概念，在本節(jié)開始的例子中，加速度與距離的關(guān)系就是.

2.高階導(dǎo)數(shù)的求法

例8.求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).解：因?yàn)?，所?/p>

從而.例9.求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).解：因?yàn)?，所?/p>

從而,

例10.已知物體的運(yùn)動距離S與時(shí)間t的關(guān)系為，求物體運(yùn)動的加速度.解：因?yàn)?，所以物體的運(yùn)動速度為

從而物體運(yùn)動的加速度為例11.已知函數(shù)f具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，解：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，對求導(dǎo)，得

因?yàn)殛P(guān)于自變量x仍然是復(fù)合函數(shù)，所以它關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)是，從而由再求導(dǎo)，得例12.已知函數(shù)y=y（x）由方程確定，求.解：在方程兩端關(guān)于變量x求導(dǎo)，將y看作中間變量，得

再在上式兩端關(guān)于x求導(dǎo)，將y，y’均看作中間變量，得

將代入上式并整理，得

例13.求函數(shù)f（x）=sinx的n階導(dǎo)數(shù).解：由f（x）=sinx，得

歸納得

類似地，可以求得例14.求函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).解：因?yàn)?/p>

且

所以例15.若y=ln（2x+3），則=（）.

（A）