探究高中導(dǎo)數(shù)問題的一般性解題方法

探究高中導(dǎo)數(shù)問題的一般性解題方法甄珠摘要：對(duì)于科學(xué)技術(shù)研究而言，導(dǎo)數(shù)是重要的研究工具和手段.對(duì)于中學(xué)階段而言,導(dǎo)數(shù)是進(jìn)一步研究函數(shù)的方法與手段也是高考命題的熱點(diǎn),在研究函數(shù)一些性質(zhì)和意義方面時(shí)有著廣泛的應(yīng)用,同時(shí)對(duì)研究幾何、不等式起著重要作用.學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題能夠有利于更好地理解問題,更好地掌握函數(shù)及其性質(zhì),并發(fā)展學(xué)生的思維.本文就高中導(dǎo)數(shù)部分相關(guān)知識(shí)和應(yīng)試要求進(jìn)行闡述解決導(dǎo)數(shù)問題的一般性解題方法并加以例題的論證應(yīng)用.關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)；解題方法1高中導(dǎo)數(shù)研究趨勢(shì)1.1導(dǎo)數(shù)的地位及意義在科技的發(fā)展研究中,導(dǎo)數(shù)起著至關(guān)重要的作用，為數(shù)學(xué)的發(fā)展和其他學(xué)科的發(fā)展進(jìn)步奠定了基礎(chǔ).由于數(shù)學(xué)的的抽象性，導(dǎo)數(shù)在其他自然學(xué)科等方面都有廣泛且深入的應(yīng)用，是深入研究發(fā)展科學(xué)的重要手段.對(duì)于中學(xué)階段而言,導(dǎo)數(shù)對(duì)于研究函數(shù)和其他方面有著廣泛的應(yīng)用,從而也就導(dǎo)致了導(dǎo)數(shù)部分不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn),更是高考中著重考察的重難點(diǎn),并且利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值、結(jié)合單調(diào)性與最值求參數(shù)范圍、證明不等式更是高考的熱點(diǎn),所占分值較高.雖然導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用在中學(xué)教學(xué)和高考中是重點(diǎn),但我們不能忽視概念的教學(xué),否則學(xué)生很難體會(huì)學(xué)習(xí)理解導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用時(shí)涉及的數(shù)學(xué)思想與方法.事實(shí)上,導(dǎo)數(shù)中動(dòng)態(tài)的變化過(guò)程與靜態(tài)思想方法較多的初中教學(xué)有很大的差異,囿于學(xué)生的認(rèn)知水平和可接受能力,人教版的教材中并沒有突然地引進(jìn)極限的概念,而是從學(xué)生的實(shí)際生活和其他學(xué)科知識(shí)出發(fā),通過(guò)實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過(guò)程,直至建立起整個(gè)高中階段的導(dǎo)數(shù)的教學(xué)模型.1.2中學(xué)教學(xué)對(duì)導(dǎo)數(shù)的要求1.21課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)導(dǎo)數(shù)相關(guān)內(nèi)容的要求《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》[1]教學(xué)與高考的基本依據(jù),它對(duì)高中數(shù)學(xué)的每一塊知識(shí)都有相應(yīng)的具體橫向和縱向的要求.通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)這部分知識(shí)的要求的研究可知,微積分是數(shù)學(xué)發(fā)展和進(jìn)步的里程碑，它提供了重要的方法來(lái)研究函數(shù)及變量.其中導(dǎo)數(shù)又是學(xué)習(xí)微積分的核心與基礎(chǔ).在高中時(shí)期導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)中,學(xué)生不僅要能理解和掌握導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)及其在應(yīng)試解題中的應(yīng)用,還要從中體會(huì)導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)在解決實(shí)際問題中的實(shí)用性，更重要的是要向?qū)W生滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想,進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).1.22高考大綱對(duì)導(dǎo)數(shù)相關(guān)內(nèi)容的要求導(dǎo)數(shù),自1986年第一次作為選修內(nèi)容放到中學(xué)教學(xué)以后,就逐步成為研究函數(shù)問題的重要手段,近幾年來(lái),更是成為六高考的熱點(diǎn)、難點(diǎn),并逐步成為了高考?jí)狠S題的必考內(nèi)容.通過(guò)研讀“2018年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)教學(xué)大綱”[2],闡述高考大綱對(duì)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的相關(guān)要求再結(jié)合高中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用試題發(fā)現(xiàn),學(xué)生如果想要達(dá)到《課程標(biāo)準(zhǔn)》和考綱的要求,并且能在高考數(shù)學(xué)中迅速、準(zhǔn)確地解決導(dǎo)數(shù)應(yīng)用試題,需要對(duì)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用這部分知識(shí)極其的熟悉,并且能夠完全熟練掌握加以應(yīng)用,如：能求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和部分的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和“四值”等.除此之外還需要多種數(shù)學(xué)思想作為支撐和數(shù)學(xué)能力作為輔助,做到舉一反三,以不變應(yīng)萬(wàn)變.因此,基于導(dǎo)數(shù)如此重要的地位，應(yīng)用試題的解題策略和方法的研究是這一塊知識(shí)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn),解題策略與方法的研究可以幫助學(xué)生在達(dá)到課標(biāo)和考綱要求的同時(shí),做到高效率解題,進(jìn)一步也可以培養(yǎng)學(xué)生思維,鍛煉學(xué)生對(duì)新知識(shí)的內(nèi)化能力,將新知識(shí)與頭腦中原有的認(rèn)知建立起聯(lián)系,構(gòu)建整個(gè)高中階段導(dǎo)數(shù)的框架,這也鍛煉了學(xué)生歸納總結(jié)的能力.2導(dǎo)數(shù)相關(guān)概念的界定2.1導(dǎo)數(shù)的概念一般地,函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率是,我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)（）,記作或,即.2.2幾何意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點(diǎn)處的切線斜率,即,相應(yīng)地,切線方程為.2.3物理意義函數(shù),在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是物體的運(yùn)動(dòng)方程在時(shí)刻的瞬時(shí)速度,即;那么在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是物體的運(yùn)動(dòng)方程在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度,即.2.4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),是的導(dǎo)數(shù),則在內(nèi)單調(diào)遞增在內(nèi)單調(diào)遞減在內(nèi)為常函數(shù)注：對(duì)于在內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)來(lái)說(shuō),是在上為遞增函數(shù)的充分不必要條件；是在上為遞減函數(shù)的充分不必要條件.例如：在整個(gè)定義域上為增函數(shù),但,所以在處并不滿足,即并不是在定義域任意一點(diǎn)處都滿足.分析解讀：導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義與運(yùn)算等是高考熱點(diǎn),?？碱}型多為選擇題、填空題和解答題第一問.學(xué)習(xí)過(guò)這部部分的知識(shí)后,學(xué)生應(yīng)達(dá)到理解導(dǎo)數(shù)概念,會(huì)求過(guò)曲線上某點(diǎn)的切線的斜率并能寫出切線方程,能將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，會(huì)計(jì)算應(yīng)試試題中的導(dǎo)數(shù)的水平.3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程若已知曲線過(guò)點(diǎn),求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程.此時(shí)需要分別討論點(diǎn)是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況來(lái)進(jìn)行求解：=1\*GB1⒈當(dāng)點(diǎn)是切點(diǎn)時(shí),可以直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點(diǎn)斜式直線方程表達(dá)式寫出切線方程為；=2\*GB1⒉當(dāng)點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí),步驟當(dāng)點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)=1\*CHINESENUM3一因?yàn)辄c(diǎn)不是切點(diǎn),所以要先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)=2\*CHINESENUM3二根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與點(diǎn)斜式方程表達(dá)式寫出過(guò)點(diǎn)的切線方程此時(shí)方程中需要求出的值=3\*CHINESENUM3三因?yàn)辄c(diǎn)在切線方程上,所以將坐標(biāo)帶入切線方程求出和=4\*CHINESENUM3四將和的值代入方程,就可得過(guò)點(diǎn)的切線方程例1已知為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則曲線在點(diǎn)處的切線方程是分析：根據(jù)已知條件和函數(shù)的性質(zhì)求出當(dāng)時(shí)函數(shù)的解析式,在判斷點(diǎn)是否在曲線上,即該點(diǎn)是否是切點(diǎn)，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的的幾何意義和點(diǎn)斜式直線方程的表達(dá)式寫出所求的切線方程.解析：令,則,又,則,∴在點(diǎn)處的切線方程為,即.例2已知,則曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程是分析：本題考查“過(guò)某點(diǎn)的切線方程”該點(diǎn)又不在曲線上，所以需要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)再求解.解析：由題意,得,點(diǎn)不在曲線上,設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn),則所求切線方程的斜率,所以切線方程為,由在曲線上,得,將代入切線方程得,解得或,所以所求切線方程為或,即或.例3定義曲線上的點(diǎn)到直線的距離最小值稱為曲線到直線的距離，已知曲線到直線的距離等于曲線到直線的距離，則實(shí)數(shù)解析：曲線到直線的距離為設(shè)曲線上的點(diǎn)到直線的距離最短，則過(guò)點(diǎn)的切線平行于直線.對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)為，由得出，所以點(diǎn)為，由題意知解得或當(dāng)直線與曲線相交，不合題意舍去.3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性方法一：方法二：=1\*GB3①首先求出函數(shù)的定義域,確保原函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)有意義；=2\*GB3②根據(jù)求導(dǎo)法則和四則運(yùn)算等求出導(dǎo)函數(shù)；=3\*GB3③在定義域內(nèi)解不等式和,若不等式中帶有參數(shù),則一般需對(duì)參數(shù)進(jìn)行多種情況分類討論；=4\*GB3④確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,若函數(shù)中帶有參數(shù),最后所求區(qū)間也帶有參數(shù).例4已知函數(shù),,討論函數(shù)的單調(diào)性.解析：函數(shù)的定義域?yàn)?,,得,其判別式.=1\*GB3①當(dāng),即時(shí),,,此時(shí)在上單調(diào)遞增；=2\*GB3②當(dāng),即時(shí),方程的兩根為,,若,則,則時(shí),,時(shí),,即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；若,則,則時(shí),,時(shí),,時(shí),,即在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增.3.3利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍這類求參數(shù)問題一般可將函數(shù)單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為(或)，分離參數(shù)，最后轉(zhuǎn)化為不等式問題求解.例5設(shè)函數(shù)=1\*GB2⑴若在處取得極值,確定的值,并求此時(shí)曲線在點(diǎn)處的切線方程；=2\*GB2⑵若在上為減函數(shù),求的取值范圍.解析：=1\*GB2⑴對(duì)求導(dǎo)得,因?yàn)樵谔幦〉脴O值,所以,即,當(dāng)時(shí),,故,,從而在點(diǎn)處的切線方程為,化簡(jiǎn)得.=2\*GB2⑵由（1）可知,令,由,解得,,當(dāng)時(shí),,即,故為減函數(shù)；當(dāng)時(shí),gx>0,即,故為增函數(shù)；當(dāng)時(shí),gx<0,即,故為減函數(shù).由在上為減函數(shù),知,解得,故的取值范圍為.例6已知函數(shù)在上單調(diào)遞減且滿足.=1\*GB2⑴求的取值范圍.=2\*GB2⑵設(shè)求在上的最大值和最小值.分析：=1\*GB2⑴將用含的代數(shù)式表示出來(lái),根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解.=2\*GB2⑵化簡(jiǎn)通過(guò)對(duì)求導(dǎo),然后分類討論求最值.解析：=1\*GB2⑴由,得則依題意對(duì)于任意有當(dāng)時(shí),因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象開口向上，而所以需即；當(dāng)時(shí),對(duì)于任意有且只在時(shí)符合條件；當(dāng)時(shí),對(duì)于任意且只在時(shí)符合條件；當(dāng)時(shí)，因不符合條件.故的取值范圍為.=2\*GB2⑵因=1\*romani當(dāng)時(shí)，在處取得最小值，在處取得最大值=2\*romanii當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意有在處取得最大值，在處取得最小值=3\*romaniii當(dāng)時(shí)，由得若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在處取得最小值，在處取得最大值若即時(shí)，在處取得最大值，在或處取得最小值，而由得則當(dāng)時(shí)，在處取得最小值；當(dāng)時(shí)，在處取得最小值3.4利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極（最）值解決函數(shù)極值問題的一般思路求定義域求定義域求導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)知方程根的情況知方程根的情況解方程得關(guān)于參數(shù)的方程（不等式）確定左右得關(guān)于參數(shù)的方程（不等式）確定左右的符號(hào)得參數(shù)（范圍）得極值得參數(shù)（范圍）得極值例7已知函數(shù)（,為常數(shù),為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.=1\*GB2⑴當(dāng)時(shí),討論函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；=2\*GB2⑵當(dāng)時(shí),對(duì)任意的都有成立,求正實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：=1\*GB2⑴當(dāng)時(shí),,記,則,令,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),取得極小值,又,,,所以(=1\*romani)當(dāng),即時(shí),,所以函數(shù)在區(qū)間上無(wú)極值點(diǎn)；(=2\*romanii)當(dāng),即時(shí),有兩個(gè)不同的解,函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)；(=3\*romaniii)當(dāng),即時(shí),有一個(gè)解,函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)極值點(diǎn)；(=4\*romaniv)當(dāng),即時(shí),,函數(shù)在區(qū)間上無(wú)極值點(diǎn).=2\*GB2⑵當(dāng)時(shí),對(duì)任意的都有成立,即,即,記,,由于,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),取得最大值,又,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),取得最小值,所以只需,即正實(shí)數(shù)的取值范圍是.3.5利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題的常見類型及解題策略3.51利用導(dǎo)數(shù)證明不等式若證明,則可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù),證明；如果證明在上的最大值小于0,那么即可證明.3.52利用構(gòu)造函數(shù)證明不等式這一類問題常見于選擇填空,主要是通過(guò)題目中的與的關(guān)系式構(gòu)造出我們需要的函數(shù),再通過(guò)已知條件和構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性,從而解決相應(yīng)的問題：=1\*GB2⑴關(guān)系為“加”：=1\*GB3①,構(gòu)造;=2\*GB3②,構(gòu)造;=3\*GB3③,構(gòu)造;=2\*GB2⑵關(guān)系為“減”：=1\*GB3①,構(gòu)造；=2\*GB3②,構(gòu)造；=3\*GB3③,構(gòu)造.例8設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),,當(dāng)時(shí),,則使得成立的的取值范圍是解析：令,則,由題意知,當(dāng)時(shí),,在上是減函數(shù).是奇函數(shù),,,.當(dāng)時(shí),,從而當(dāng)時(shí),,從而.又,是偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,從而;當(dāng)時(shí),,從而.綜上,所求的取值范圍是.此外還可能有一些特殊的構(gòu)造,比如接下來(lái)這個(gè)問題：例9定義在上的函數(shù),是它的導(dǎo)函數(shù),且恒有成立,則解析：令,則,由題意知,當(dāng)時(shí),,在上是增函數(shù),,即,故選A.3.53利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題“恒成立”問題,一般都可以通過(guò)求相關(guān)函數(shù)的最值來(lái)解決,如：當(dāng)在上存在最大值和最小值時(shí),若對(duì)于恒成立,應(yīng)求在上的最小值,將原條件轉(zhuǎn)化為；若對(duì)于恒成立,應(yīng)求在上的最大值,將原條件轉(zhuǎn)化為；若存在,使得成立,則應(yīng)求在上的最大值,將原條件轉(zhuǎn)化為；若存在,使得成立,則應(yīng)求在上的最小值,將原條件轉(zhuǎn)化為.例10已知函數(shù).=1\*GB2⑴若,求的值；=2\*GB2⑵設(shè)為整數(shù),且對(duì)于任意正整數(shù),,求的最小值.解題引導(dǎo)：=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵換元后求出的范圍換元后求出的范圍由(1)得當(dāng)時(shí),,令 得出的最小值得出的最小值解析：=1\*GB2⑴定義域?yàn)?=1\*GB3①若,因?yàn)?所以不滿足題意；=2\*GB3②若,由知,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),.所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.故是在上的唯一最小值點(diǎn).由于,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),.故.=2\*GB2⑵由(1)可知當(dāng)時(shí),,令,得,從而,故.而,所以的最小值為3.例11已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.=1\*GB2⑴求的單調(diào)區(qū)間.=2\*GB2⑵設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意分析：=1\*GB2⑴求出以及的根，再判斷的符號(hào).=2\*GB2⑵直接求的最值很困難，可以對(duì)進(jìn)行放縮，再求最值.解析：=1\*GB2⑴由得，得令可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在區(qū)間上是增函數(shù)；在上為減函數(shù).=2\*GB2⑵因此，對(duì)于任意的，等價(jià)于令則因此，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以故.設(shè)單調(diào)遞增，故時(shí)，即，所以因此，對(duì)任意3.6利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程的根方法：=1\*GB2⑴先求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)；=2\*GB2⑵根據(jù)導(dǎo)函數(shù)來(lái)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；=3\*GB2⑶根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)做出大致圖象；=4\*GB2⑷判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).在高考中這類問題通常含有參數(shù)，此時(shí)則需要我們對(duì)參數(shù)進(jìn)行多種情況的分類討論.例12已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).=1\*GB2⑴求的取值范圍；=2\*GB2⑵設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn),證明：.解析：=1\*GB2⑴,(=1\*romani)設(shè),則,只有一個(gè)零點(diǎn)；(=2\*romanii)設(shè),則當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.又,取滿足且,則,故存在兩個(gè)零點(diǎn).(=3\*romaniii)設(shè),由得或,若,則,故當(dāng)時(shí),,因此在上單調(diào)遞增,又當(dāng)時(shí),所以不存在兩個(gè)零點(diǎn).若,則,故當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),.因此在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí),,所以不存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上,的取值范圍為.=2\*GB2⑵不妨設(shè),由(1)知,,在上單調(diào)遞減,所以等價(jià)于,即.由于,而,所以,設(shè),則,所以當(dāng)時(shí),而,故當(dāng)時(shí),,從而,故得證.3.7利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題這類問題一般都將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的“四值”問題，因此，導(dǎo)數(shù)就成為了解決此類問題的有力工具.解決優(yōu)化問題的基本思路：例13請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒.如圖所示，是邊長(zhǎng)為的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)，使硬紙板剛好折成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒.在上，的長(zhǎng)是被切去的等腰直角三角形斜邊的長(zhǎng).設(shè)=1\*GB2⑴甲廠商要求包裝盒的側(cè)面積最大，試問此時(shí)應(yīng)取何值？=2\*GB2⑵乙廠商要求包裝盒的體積最大，此時(shí)應(yīng)如何取值？此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值是多少？分析：本題主要考查求函數(shù)的最值，其中有配方法和通過(guò)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法.=1\*GB2⑴由圖寫出側(cè)面積的函數(shù)表達(dá)式，再對(duì)表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)、配方，可以求出的最大值和與之相對(duì)應(yīng)的值.=2\*GB2⑵由圖寫出體積的函數(shù)表達(dá)式，對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，再通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得的最大值和與之對(duì)應(yīng)此時(shí)的值，再求長(zhǎng)度比即可.解析：=1\*GB2⑴由題意可知，時(shí)，側(cè)面積最大.=2\*GB2⑵由題可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，最大.此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為例14某工廠生產(chǎn)某種碳素筆,每百支的碳素筆的成本價(jià)格為30元,并且每百支碳素筆的加工費(fèi)為元（其中為常數(shù),且）.設(shè)該工廠碳素筆的出廠價(jià)為元／百支（）,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,日銷售量與成反比例,當(dāng)每百支碳素筆的出廠價(jià)為40元時(shí),日銷售量為10萬(wàn)支.=1\*GB2⑴當(dāng)每百支碳素筆的出廠價(jià)為多少元時(shí),該工廠的日利潤(rùn)最大？并求出的最大值.=2\*GB2⑵已知工廠日利潤(rùn)達(dá)到1000元才能保證工廠盈利.若該工廠在出廠價(jià)規(guī)定的范圍內(nèi),總能盈利,則百支碳素筆的加工費(fèi)最多為多少元？（精確到0.1元）解析：=1\*GB2⑴設(shè)日銷量為百支,則（為常數(shù),且）,時(shí),,,,.,令,可得,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故當(dāng)時(shí),.=2\*GB2⑵由題意知時(shí),恒成立,綜合(1)可知解得,所以每百支碳素筆的加工費(fèi)最多為4.9元.分析解讀：優(yōu)化問題是導(dǎo)數(shù)與現(xiàn)實(shí)實(shí)際生活的一個(gè)結(jié)合，在應(yīng)試中此類問題一般最終都是轉(zhuǎn)化為關(guān)于函數(shù)“四值”的求解.通過(guò)這部分的學(xué)習(xí)后，學(xué)生應(yīng)該熟練掌握此部分相關(guān)知識(shí)，更要體會(huì)數(shù)學(xué)的思想和價(jià)值.3.8定積分與微分基本定理3.81定積分的基本性質(zhì)=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶（其中）.3.82定積分的幾何意義=1\*GB2⑴當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上恒為正時(shí),定積分的幾何意義是由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積（圖甲）.甲=2\*GB2⑵一般情況下,定積分的幾何意義是介于軸、曲線以及直線之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和（圖乙）,其中在軸上方的面積等于該區(qū)間的積分值,在軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù).乙3.83定積分的物理意義=1\*GB2⑴變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式如果變速直線運(yùn)動(dòng)的速度為,那么從時(shí)刻到所經(jīng)過(guò)的路程.=2\*GB2⑵變力做功公式一物體在變力的作用下,沿著與相同方向從移動(dòng)到時(shí),力所