2023年高考數(shù)學(xué)解析幾何模型練習(xí) 圓錐曲線壓軸小題（解析版）

突破圓錐曲線壓軸小題

圓錐曲線的壓軸小題往往與圓的方程、平面向量、解析幾何等知識交回，與實(shí)際生活密切相關(guān)，提升

數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

類型一圓錐曲線與向量、圓等知識的交匯問題

【例1】⑴(2022?濟(jì)南聯(lián)考)已知橢圓C：5+W=im>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是Fι(-c,0),B(c,0),點(diǎn)P是

橢圓C上一點(diǎn)，滿足I同T+百7|=|百7一￥萬|,若以點(diǎn)P為圓心，r為半徑的圓與圓Q：(x+c)2+y2=

4a2,圓尸2：(x-c)2+>2=/都內(nèi)切，其中0<yq,則橢圓C的離心率為()

A.1B∣C邛D.華

【答案】C

【解析】由|百7+不KI=|而*一下KI兩邊平方，

可得PF；?PF；=0,則PF；_LPF；,

??PFi?=2a-r,

由已知得即IPFIl-IPF2∣=d

[?PFι?-a-r,

f∣PFιI=y,

由IPQl+∣PBI=24,得，

在aPQE中，由IP吊F+∣P尸2∣2=∣BF/

得竽+*4c2,即e2=H所以e=乎.

(2)(2022?廣州模擬)已知A,8分別為橢圓C：，+產(chǎn)=1的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓C上一動點(diǎn)，PA,PB與直

線x=3交于M,N兩點(diǎn)，與△/?B的外接圓的周長分別為∕∣,I2,則￡的最小值為()

A乎B坐C乎D.∣

【答案】A

【解析】由已知得4—2,0),8(2,0),設(shè)橢圓C上動點(diǎn)P(X,y),

2

則利用兩點(diǎn)連線的斜率公式可知上％=三，?β≈-?,

X十2X-2

^2

.y—0y—0______?2________F'4?

?-=X+2、_2=(X+2)(L2)=X2_4=W_4=

設(shè)直線PA的方程為y=k(x+2),

則直線PB的方程為產(chǎn)一如一2),

根據(jù)對稱性設(shè)Q0,

令x=3,得加=5%,yN=—

即M(3,5A),N(3-~),則IMN=5%+1.

4k"

設(shè)aPMN與△/?2的外接圓的半徑分別為r∣,⑵

由下船生神彳日。IMNCIABl

由正弦定理付2∏-sin∕MPN'2z^2-sinZAPB'

,.?ZMPN+ZAPB=180o,sin/MPN=SinNAPB,

.h_2πr∣_r∣_∣MN∣_.+籥＞豆—小

,『赤一彳一?AB?—一4-14-4，

當(dāng)且僅當(dāng)5&=七,即無=*時,等號成立，

即上的最小值為手.

【方法總結(jié)】

高考對圓錐曲線的考查，經(jīng)常出現(xiàn)一些與其他知識交匯的題目，如與平面向量交匯、與三角函數(shù)交匯、與

不等式交匯、與導(dǎo)數(shù)交匯等等，這些問題的實(shí)質(zhì)是圓錐曲線問題.

【針對訓(xùn)練】(1)(2022?深圳模擬)B,巳分別為雙曲線C：X2—上=1的左、右焦點(diǎn)，過Q的直線/與C的左、

右兩支曲線分別交于A,B兩點(diǎn),若ILFzB,則壽?用等于()

A.4-2√3B.4+√3C.6~2√5D.6+2√5

【答案】C

【解析】在雙曲線C中，a=l,b=??∣2,C=小,

則F,(-√3,0),F2(√3,0),

因?yàn)橹本€/過點(diǎn)人，由圖知，直線/的斜率存在且不為零，

因?yàn)閯tAEBF2為直角三角形，

可得IBFIl2+山尸2∣2=∣F∣F2∣2=12,

由雙曲線的定義可得出F∣L∣BF2∣=2,

所以4=（∣8F∣∣一∣BF2∣）2=∣8QF+∣8F2∣2-2∣Bal?∣8F2l=i2—2∣BF∣∣?∣BF2∣,

可得由Q∣?∣BF2I=4,

JMLlBBl=2,

聯(lián)立］

〔出FIHBF2∣=4,

解得IBBI=小T,

因此京?用=（用+R）?用=疫2+五雇用

=（√5-l）2=6-2√5.

⑵（多選）（2022.德州模擬）己知橢圓C：方+%=1（0。＜洞的左、右焦點(diǎn)分別為F∣,F2,點(diǎn)P在橢圓上，點(diǎn)Q

是圓/+。，-4）2=1關(guān)于直線χ-y=0對稱的曲線E上任意一點(diǎn)，若尸。|一|「&|的最小值為5—2小，則下列

說法正確的是（）

A.橢圓C的焦距為2

B.曲線E過點(diǎn)B的切線斜率為千

C.若A,B為橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的異于頂點(diǎn)和點(diǎn)尸的兩點(diǎn)，則直線%與PB斜率之積為一T

D.IPQ+∣PF2∣的最小值為2

【答案】BC

【解析】圓W+G—4）2=1關(guān)于直線X—y=0對稱的曲線為以C（4,0）為圓心，1為半徑的圓，

即曲線E的方程為（χ-4）2+y2=l,

由橢圓定義有IPQl+∣PF2∣=2α=2√^,

IPQI—IPBI=IPQ一（2小一|PBl）

^?PQ?+?PFi?-2y∣5^?Q'F,∣-2√5.

由圖知Q'(3,0),

?Q'F1∣-2√5=3+c-2√5=5-2√5,

解得c=2,b=l,

橢圓方程為尹V=L

故焦距內(nèi)Bl=2c=4,A錯誤；

IPQI+∣P@BIQ'F2∣=3-C=I,D錯誤;

設(shè)曲線E過點(diǎn)尸2的切線斜率為k,

則切線方程為kχ-2k-y=Q,

由圓心到切線方程的距離等于半徑得及泮UI=1,

?√l+∕r

即Ic=B正確;

設(shè)P(A0,yo)9A(xj,y),B(-χ?,—y∣),

yi—泗一yi—3oN—)不

貝(kpA?kpB=

x?-χo—?i-??后一看‘

又點(diǎn)P,A,B都在橢圓上，即日+4=1,

X↑,2—%

5+M=ι=/I，C正確.

類型2圓錐曲線與三角形“四心”問題

92

【例2】⑴（2022?蘇州聯(lián)考）已知雙曲線C：，一方=Im>0,方>0）的左、右焦點(diǎn)分別是F∣,B，點(diǎn)P是雙曲

線C右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)”在直線x=α上，且滿足而=%（生+生），2∈R.若5W>+4WT+3^W7

冏附

=0,則雙曲線C的離心率為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】由麗=2（絲+空_）,Λ∈R,

M陷

則點(diǎn)”在NQPF2的角平分線上，

由點(diǎn)H在直線x=α上，則點(diǎn)〃是4PQF2的內(nèi)心,

由5壽+4HF；+3HFi=0,

由奔馳定理(已知P為IxNBC內(nèi)一點(diǎn)，則有SAPBC?麗+S△以c?而+S△用B?元=0)知,

SAHWSAHF?P?SAHFF=5.4.3,

即mF∣B∣?r:∣∣PF,∣τ：∣∣PF2∣?r=5：4：3,

則IFlBI：I尸居I：∣PBI=5：4：3,

設(shè)IFlF2∣=52,IPFII=4九∣PF2∣=3九

則尸ιBI=2c=52,

即C=苧，IPMLFF2∣=24=2,

即°=存，貝IJe=^=5.

2

（2）（2022?江蘇百師聯(lián)盟聯(lián)考）過拋物線C：∕=2pyS>0）上點(diǎn)M作拋物線。：y=4x的兩條切線∕∣,I2,切點(diǎn)

分別為尸，Q，若AMPQ的重心為G（1,3）,則P=.

2

3

【答案】正

【解析】設(shè)M(Xo,，!-),P(X1,%),Q(X2,丫2),

設(shè)過點(diǎn)M的直線方程為x=r（%-壬）+演），①

與y2=4x聯(lián)立得y2=4f(y-∕j)+4X0,

即y2-4(y+誓-4xo=O,②

2

由題意知∕=16/—4(也--4x0)=0,

P

即2〃尸一焉力+2PXO=。，

則介+，2=翁人也=%0（力，/2分別表示/1，/2斜率的倒數(shù)）,

由于方程②/=0,則其根為y=2r,

當(dāng)/=A時，y?=2tι,當(dāng)，=殳時，”=2/2,

,?,△MPQ的重心為G（1,∣）,

?β??÷yι+y2=方+2(h+⑵

≈∣+2×?=f4③

而Xi+X2=t↑(y1-?-)+%θ+∕2(y2-?)+?θ

=2(A+[)-撒ι+f2)+2xo

2

=2[(rl+Z2)-2介亥]一4S+切+2xo

=2*_2%)_第+2XO=χ3

)

4p22x(.

.?.xo+xι+x2=3-Xθ=3,④

3

聯(lián)立③④得P=啟

【方法總結(jié)】圓錐曲線中面積、弦長、最值等幾乎成為研究的常規(guī)問題.但“四心”問題進(jìn)入圓錐曲線后，

讓我們更是耳目一新.在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，通過研究三角形的“四心”與圓錐曲線的結(jié)合問題，快速提高

數(shù)學(xué)解題能力.

【針對訓(xùn)練】(1)(2022?南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測)已知Q(-l,0),尸2(1,0)，仞是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且滿

足IMFll+∣MB∣=4,若/是的內(nèi)心，G是AMQB的重心，記4∕F∣F2與4GQM的面積分別為S∣,

S2，則()

A.S1>S2B.S1=S2

C.Sι<S2D.Sl與S2大小不確定

【答案】B

【解析】因?yàn)镮MFlI+∣M尸2∣=4>∣BFd=2,

所以M的軌跡是橢圓1+9=1在第一象限內(nèi)的部分，如圖所示.

因?yàn)?是^MF∣F2的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為廣，

(IMFiI+1MF2∣+∣QT)?rIFRE,

所以2—2，

?j_聞?2CIQFJrVM

所fip以r=?y,所以Sl=5=~,

又因?yàn)镚是AMFiB的重心，

所以O(shè)G：GM=I:2,

所以邑=§SAMOR=]SxF?MF[

4%強(qiáng)=學(xué)所以S∣=S3

(2)(2022?湖北?荊州中學(xué)模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系OX)，中，雙曲線C”，一^=l(α>0,b>0)的漸近線

與拋物線C2：f=2PyS>0）交于點(diǎn)。，A,B,若aOAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，則G的離心率為

3

答

案-

2

【解析】設(shè)OA所在的直線方程為y=。，

則OB所在的直線方程為y=一3,

[b絲

y=τx,Ici

解方程組〈。得〈C心2

j,[產(chǎn)竿

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（辿,竺），

aa~

拋物線的焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0苧.

因?yàn)镕是AOAB的垂心，所以koB?kAF=—1,

,2p從p

上?b一2-1一Zr5

所以一￡（?pb）=—1了=不

?293

-解得

+-=-

所以e?=力=-2e-2

〃4,

類型3圓錐曲線在生活中的應(yīng)用

【例3】（1）（2022.湛江質(zhì)檢）根據(jù)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后,

反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線，平分該點(diǎn)與兩焦

點(diǎn)連線的夾角.請解決下面問題：已知B，尸2分別是雙曲線C/一號=1的左、右焦點(diǎn)，若從點(diǎn)尸2發(fā)出的

光線經(jīng)雙曲線右支上的點(diǎn)A（XO,2）反射后，反射光線為射線AM,則NBAM的角平分線所在的直線的斜率為

（）

A.一小B.—?C坐D.√3

【答案】B

【解析】由已知可得AQ?,2）在第一象限，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線方程可得看一;=1,

解得知=小，所以A（小，2）,

又由雙曲線的方程可得α=l,?=√2,

所以c=√5,則尸2（4，0）,

所以IAF2∣=2,且點(diǎn)A,B都在直線X=5上,

又QFII=I。尸2∣=√5,

所以tan∕Q4F2=賢腎=邛小，

所以/尸/尸2=60。，

設(shè)ZF2AM的角平分線為AN,

o

則ZF2AN=（180°-60）×60°,

所以NFMM的角平分成所在的直線AN的傾斜角為150°,

所以直線的斜率為tan150。=-孝

（2）（2022?莆田華僑中學(xué)模擬預(yù)測）第24屆冬奧會，是中國歷史上第一次舉辦的冬季奧運(yùn)會，國家體育場（鳥

巢）成為北京冬奧會開、閉幕式的場館.國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖I,內(nèi)外兩圈的鋼骨架是

離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC,8。（如圖2）,

9

且兩切線斜率之積等于一而，則橢圓的離心率為（）

【答案】B

【解析】若內(nèi)層橢圓方程為最+1=13功＞0）,由離心率相同，可設(shè)外層橢圓方程為

磊+.=1(21)'

.?.A(一∕%4,0),B(O,mb),

設(shè)切線AC為y=k↑(x+ma)9

切線BD為y=%2x+mθ,

y=k?(x+ma)f

，,口2

F+產(chǎn)=1,

整理得(『后+?2)Λ2+2ma3klx+nι1a4k↑-a2b2=0,

由J=O知

(2加〃3后)2—4(/后+b2)(m2a4k?—a2b2)=0,

A21

整理得好=5?T~r,

am—1

y=k^+mb,

同理g+/=],

?2

可得?2=^2?(w2-?),

【方法總結(jié)】圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)、新定義問題、圓錐曲線的應(yīng)用等內(nèi)容在高考占一席之地.研究圓錐曲

線的光學(xué)性質(zhì)、新定義問題、圓錐曲線的應(yīng)用等相關(guān)問題，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用性.

【針對訓(xùn)練】（1）（2022?德州市教育科學(xué)研究院二模）如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦

點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn).根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下題：已知曲

線C的方程為f+4V=4,其左、右焦點(diǎn)分別是Q,F2,直線/與橢圓C切于點(diǎn)P,且IPQI=1,過點(diǎn)P且

與直線/垂直的直線/'與橢圓長軸交于點(diǎn)M,則IQM：IBM等于（）

A.√2：√3B.1：√2C.1：3D.1：√3

【答案】C

【解析】由橢圓的光學(xué)性質(zhì)得直線/'平分NQPF2,

m工SAPMRIFlM

因?yàn)?-----------IBM

tj

?PMF2

；伊巳||PMSinNBPM一∣PF2∣'

?∣PF∣∣=1,∣PF,∣+∣PF2∣=4得IPF2∣=3,

故IQM：IFM=I：3.

（2）（2022?東北育才學(xué)校二模）一個工業(yè)凹槽的軸截面是雙曲線的一部分，它的方程是y2-f=l,y∈U,10],

在凹槽內(nèi)放入一個清潔鋼球（規(guī)則的球體），要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部，則清潔鋼球的最大半徑為

（）

_____________

A.1B.2C.3D.2.5

【答案】A

【解析】清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部時，軸截面如圖所示,

圓心在雙曲線的對稱軸上，且圓與雙曲線的頂點(diǎn)相切，設(shè)半徑為r,圓心為(O,r+l),

圓的方程為x2+(y-r—l)2=r,

代入雙曲線方程y2-∕=l,

得y2—(r+l)y+r=0,；.y=l或y=r,

要使清潔鋼球到達(dá)底部，即rWl.

1.(2023?陜西榆林?陜西省神木中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知雙曲線C：q-￡=l(a>0力>0)的左、右焦點(diǎn)分

別為6、％點(diǎn)p在雙曲線C的右支上，且IPKl=川P閭，雙曲線C的一條漸近線方程為y=H,則Z的最

大值為()

,4433

A.-B.—C.-D.—

3344

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，耳、K和尸共線時取等號，列出α,C的不等式即可.

【詳解】?PF↑=4?PF2?,?PFl?-?PF2?=2a,

??∣PE∣=∣α,IPKl=Ia

IP周+∣p聞引耳聞,

3

b4

.?.-≤?即左的最大值為4:

a33

故選：A.

2.（2023?河南洛陽?洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）已知雙曲線cW-1=l（">08>0）的左、右焦點(diǎn)分別為月,

a^h^

2

K,A是雙曲線C的左頂點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P,Q兩點(diǎn),且APAQ=-4a,

則雙曲線C的離心率為（）

A.√2B.6C.√5D.2

【答案】C

【分析】方法一：根據(jù)已知條件分別表示出點(diǎn)A、P、。的坐標(biāo)，代入AP?4Q=-4/可得人與。的關(guān)系式,

再由/+b2=c2及離心率公式可求得結(jié)果.

方法二：運(yùn)用極化恒等式及向量的加法、減法法則計算可得結(jié)果.

【詳解】方法-：依題意，易得以耳鳥為直徑的圓的方程為/+）產(chǎn)=。2.

又由雙曲線7-白叱。"），易得雙曲線C的漸近線方程為

當(dāng)y=2χ時，如圖，設(shè)P(Xo,%),則Q(Ti)

b

y=—x?(x=a?(x=-a

聯(lián)立廣ɑ,解得八或，，所以P(4,b),Q(—α,4).

Y+//[y=b[y=~b

又因?yàn)?-α,0),所以AQ?LX軸.

所以AP=(24,Z>),AQ=(O,-3.所以AP?AQ=-從=一4/,所以b=24.

因?yàn)?+從=02,所以5〃=C2

同理，當(dāng)y=-2χ時，亦可得5〃=（?.

a

故雙曲線C的離心率為e=￡=石.

a

故選：C.

方法二（極化恒等式）：易得坐標(biāo)原點(diǎn)O為線段PQ的中點(diǎn)，且IPQI=2c,

所以ARAQ=；[(AP+AQ)2—(AP-AQ)[=](∣24O∣2-∣QP∣2)=∕-c2=Y42,所以5/=°z,所以

e=3=舊.

a

故選：C.

3?（2。23?河南?洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）已知過橢圓C:f+；=l的上焦點(diǎn)/且斜率為A的直線,交橢

圓。于AB兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線QAO8分別與直線y=2相交于M,N兩點(diǎn).若NMoN為銳角，則直線

/的斜率Z的取值范圍是（）

r√2也)

A.(-∞,-l)u(l,+∞)B.

2'2

(42]ιf√2+)

、s,2JI2，XJD.□(I,+?)

2'2

【答案】D

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線的斜截式方程設(shè)出直線的方程，將直線方程與橢圓

方程聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理及兩直線相交聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合己知條件、點(diǎn)在直線上及向量的

數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【詳解】由題意可知，a1=2,b2=?,^c1=a--b1=?,

所以橢圓Ud+1=1的上焦點(diǎn)為尸（0,1）,

設(shè)直線/的方程為y=kx+?,Aa,>-1）,β（x2,y2）,

γ=Ax+l,

2

聯(lián)立，2V消去九得（2+公卜2+2丘-1=0,

X÷-=1,

2

匕匚I、I~~2k—1

所以“+“.，中2=五聲

由題設(shè)知，。4所在的立線方程為y="X.

x?

因?yàn)橹本€04與直線y=2相交于點(diǎn)M,

所以M，2；

因?yàn)镹MON為銳角,

所以O(shè)M?ON>0,

內(nèi)士

4+4

所以。"N=兼+"混旬+4=k1xx+?(Λ+Λ)+1

"Hy2I2

-1

4×

2+?2+4=^-+4=4?2-2

公*—+■三+]Jl2-IJl2-I

2+k12+k2

即紇二>0,解得：二或二>1，

Ic2-I2

所以-e<%<也,或&>1,或Av-I.

22

故直線/的斜率k的取值范圍是(-8,-1)。-?,?u(l,+0)).

故選:D.

4.(2023?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知點(diǎn)尸是拋物線C爐=4),的焦點(diǎn)，過F的直線/交拋物線C于不同的兩

點(diǎn)、M,N,設(shè)例/=2&V，點(diǎn)。為MN的中點(diǎn)，則Q到九軸的距離為()

4577

A.-B.-C.-D.一

3434

【答案】B

【分析】根據(jù)給定的拋物線，設(shè)出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，利用MF=2FN求出點(diǎn)M,N的縱坐標(biāo)和即可求解作答.

^>2??

【詳解】依題意，點(diǎn)尸(0,1),設(shè)點(diǎn)Ma令),N(w,爭,則MF=(F/-予,FN=(X2，a-1),

22

由ΛfF=2FN得：—玉=2工2』—=~2^一,解得芍=2,不；=8,

1V2X25

因此點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為3》號)=：，

所以。到X軸的距離為g?

4

故選：B

5.(2023?湖南,模擬預(yù)測)希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)："平面內(nèi)到兩個

定點(diǎn)A,8的距離之比為定值4(Λ≠l)的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波

羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，A(-4,D,β(-4,4),若點(diǎn)P是滿足4=；的阿氏圓上

的任意一點(diǎn)，點(diǎn)。為拋物線C：y、16x上的動點(diǎn)，Q在直線X=Y上的射影為R,則∣PB∣+2∣PQ∣+2IQRl的

最小值為()

A.4√5B.8√5C.??D.2√65

2

【答案】D

【分析】先求出點(diǎn)P的軌跡方程，再結(jié)合阿波羅尼斯圓的定義及拋物線的定義可得

?PB?+2?PQ?+2?QR?=2?PA?+2?PQ?+2?QF?,從而可得出答案.

【詳解】設(shè)P(χ,y),

22

∣PA∣-7(x+4)+(y-l)

IP周J(X+4)2+(y-4)22

化簡整理得(x+4)2+V=4,

所以點(diǎn)P的軌跡為以(T,0)為圓心2為半徑的圓,

拋物線C.?y2=16x的焦點(diǎn)F(4,0),準(zhǔn)線方程為X=T,

^∣PB∣+2∣P0∣+2∣βΛ∣=2∣∕?∣+2∣Pβ∣+2∣βF∣

=2(?PA?+?PQ?+?QF?)≥2?AF?=2y[65,

當(dāng)且僅當(dāng)AP,。,尸(P,Q兩點(diǎn)在A,尸兩點(diǎn)中間)四點(diǎn)共線時取等號,

所以IPBl+21PQI+210RI的最小值為2病.

6.(2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模)由倫敦著名建筑事務(wù)所SfeWS〃Hi。設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建

筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線G-A=I

(?>0,%>0)下支的部分，且此雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為60,則該雙曲線的離心率為()

A-fB?Gc?Td?￥

【答案】D

【分析】根據(jù)已知結(jié)合雙曲線兩條漸近線對稱關(guān)系可得y=%的傾斜角為6。，即冷皿6。=G則

八#,則即可得出雙曲線的離心率為e

22

【詳解】雙曲線，Al（八。，“。）的漸近線的方程為y如

雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為60，

根據(jù)雙曲線兩條漸近線對稱關(guān)系可得y=fX的傾斜角為60，

b

則—=tan60=5/3,則b?=14?,

b3

:.c2=a~2+b1~2=-4a~2,

3

（TT

則該雙曲線的離心率為_c」鏟-2√3,

e~~a~?cΓ~~3~

故選：D.

7.（2022?山東聊城?統(tǒng)考三模）2021年4月12日，四川省三星堆遺址考古發(fā)據(jù)3號坑出土一件完整的圓口

方尊，這是經(jīng)科學(xué)考古發(fā)據(jù)出土的首件完整圓口方尊（圖D.北京冬奧會火種臺“承天載物"的設(shè)計理念正是

來源于此，它的基座沉穩(wěn)，象征"地載萬物"，頂部舒展開翩，寓意迎接純潔的奧林匹克火種，一種圓口方尊

的上部（圖2）外形近似為雙曲線的一部分繞著虛軸所在的直線旋轉(zhuǎn)形成的曲面，該曲面的高為50cm,上

口直徑為竿cm,下口直徑為25cm,最小橫截面的直徑為20cm,則該雙曲線的離心率為（）

13

D.

T

22

【分析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-yy-p-=l(^>0,?>0),利用已知條件確定。力的值，即可求解

22

【詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為春?=1（。>0,6>0）,

則由題意最小橫截面的直徑為20cm,可知α=10,

設(shè)點(diǎn)A得，，，8（m，f-50）,（r>0）,

則2500a_]625（TO）。_]

900b2'400b2

解得f=32,b=24,

故選：D

8.（2022?四川成都?樹德中學(xué)?？寄M預(yù)測）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為①：如圖，從雙曲線右焦點(diǎn)K發(fā)出的光

線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)K?我國首先研制成功的"雙曲線新聞燈”，就是利

用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì).某"雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖②，其方程為

22

J-^r=l（β>0,?>0）,Fi,F2為其左右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)外發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)8反射后，

【答案】B

【分析】設(shè)IAKl=M，|傷|=〃（加>0,">0）,根據(jù)題意可得∣AB∣=gm,求得忸聞、怛耳進(jìn)而求出m（用

。表示），然后在AAK鳥中，應(yīng)用勾股定理得出〃、C的關(guān)系，求得離心率.

【詳解】連接A￡、BFt,易知士、A、。共線，工、B、C共線，

設(shè)IAFJl=An,∣A∕^∣=w(ττ2>0,n>0),

NABR(ZABC)ZABC=:AF.?..4

tan=tan180-=-tan?畫，所以,=

22

由勾股定理可得?BFl?=√∣A∕<∣+∣AB∣=?

m-n=2a

AFl?-?AF2=2cιm-3a

由雙曲線的定義可得〈即V5m(=2√解得

BF?-?BF=2a,--πn=a

l2ιτ

因?yàn)镹KA鳥=180-NBAD=90,

由勾股定理可得|前『+卜圖2=內(nèi)身2,即(34)2+∕=(2c)2,即4C2=10∕,

a2

故選：B.

9?(2022?湖北省直轄縣級單位?湖北省天門中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線，焦點(diǎn)為片，F(xiàn)2,

記它們其中的一個交點(diǎn)為尸，且NGP罵二120。，則該橢圓離心率q與雙曲線離心率內(nèi)必定滿足的關(guān)系式為

()

【答案】C

【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為％,雙曲線的半實(shí)軸長。2,焦距2c,根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用4,生表

31

示出歸用,I"I,在△￡尸鳥中根據(jù)余弦定理可得到在+營的值.

則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義∣M∣+∣P段=2α∣,IMITPq=2?,.?.∣P用=4+α2,∣P段=4一生，

2τz*

設(shè)比用=2GNEPE=牙，

22

則在APf;鳥中由余弦定理得4/=（4+?）+（?,-a2）-2（6+。2乂4一%）cos號,

31

二化簡3a；+苗=4c2,該式變成小"+”=1.

?Z4el4e2

故選：C.

10.（2022?河北唐山?統(tǒng)考三模）阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積.當(dāng)

我們垂直地縮小一個圓時，我們得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率]與橢圓的長半軸長與短半軸長的

?>2

乘積，已知橢圓C:=+與=l（a>b>0）的面積為6√Lr,兩個焦點(diǎn)分別為匕，工，點(diǎn)P為橢圓C的上頂點(diǎn).直

a^b'

Q

線y=丘與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),若PAPB的斜率之積為則橢圓C的長軸長為（）

A.3B.6C.2χ∕2D.4√2

【答案】B

【分析】由題意得到方程組必=60①和5[②，即可解出。、b，求出長軸長.

【詳解】橢圓的面積S=πab—6?∣2π?即ab=6Λ∕2①.

因?yàn)辄c(diǎn)尸為橢圓。的上項(xiàng)點(diǎn)，所以P（0,b）.

,>222

因?yàn)橹本€>=丘與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，不妨設(shè)A（W）,則B（Tn）TJ）目.%+}=ι,所以療=/一學(xué)1

因?yàn)镻ApB的斜率之積為_3，所以七且=-，，把.=。2一尊代入整理化簡得：匕=2②

9m-m9b（T9

①②聯(lián)立解得：a=3,b=2λ∕2.

所以橢圓。的長軸長為2a=6.

故選：B

IL（多選題）（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓U±+2=l,A，4分別為橢圓C的左右頂點(diǎn),

43

B為橢圓的上頂點(diǎn).設(shè)M是橢圓C上一點(diǎn)，且不與頂點(diǎn)重合，若直線AB與直線4例交于點(diǎn)P,直線AM與

直線AzB交于點(diǎn)Q,則（）

A.若直線AM與的斜率分別為勺，k2,則

B.直線PQ與X軸垂直

ClBPl=IBQl

D.?MP?=?MQ?

【答案】ABC

【分析】設(shè)M（x,y）,由斜率公式及點(diǎn)在橢圓上可得仁?與判斷A,聯(lián)立直線的方程求出。、P坐標(biāo)，由條件

可得％=%即可判斷B,求出PQ中點(diǎn)在y=√5上，即可判斷CD.

【詳解】如圖，

3f1回

j

設(shè)M(X,y),則yy/Γ4J3，故A正確；

K,'k=----------:—=—7=z--------=--

1"x+2x-2x~-4X2-44

-4*l+2√3

y=kt(x+2)X=.

1

直線AM的方程為廣勺(尤+2),直線AB的方程為>=一包x+G,聯(lián)立也得?'

22y=--x+^3>4√3?

12[y=Ξξ7√l3

f-4?l+2√34回]

即氣豐?，有二萬J

64e+2號備2行小一曲而…「

MTBIHr俎p(4勺+2占46勺〕田、36.6=_。∣;

Q73_____/?2k∣+,3

2k∣

則直線PQ與X軸垂直，故B正確；

3√3

同理_J,所以）,+）_±^

=+二二衛(wèi)"故尸Q的中

2k,_62?,+√3JP為2k、+ylLG

32?1+√32?1+√3

2kt'

點(diǎn)在直線y=√J上，故C正確；D錯誤，

故選：ABC.

12.（多選題）（2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測）過拋物線Cy2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A,3兩點(diǎn)，

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）

A.OA8可能為銳角三角形

B.過點(diǎn)M(0,l)且與拋物線C僅有一個公共點(diǎn)的直線有2條

C.若∣AF∣=3,則AOB的面積為邛

D.∣A耳+2|明最小值為3+2&

【答案】CD

IlLIULll

【分析】對于A：聯(lián)立直線AB與拋物線C的方程，由韋達(dá)定理得乂%=T，%々=1，從而得到。4?080,

由此判斷即可；對于B：判斷得點(diǎn)M(0,1)在拋物線C外，由此得以判斷；對于C：利用拋物線的定義可求

得4(2,2夜)，進(jìn)而求得B(；,一√f),從而根據(jù)SMJ=3|。尸|“力-九|即可判斷；對于D：利用拋物線的

定義得到IA尸|+2忸司=3+%+一,從而利用基本不等式即可判斷.

xI

【詳解】對于A：因?yàn)閽佄锞€Cya=?的焦點(diǎn)為尸，所以Fa°),

設(shè)A(Λ1,y∣),B(Λ2,y2),A8方程為x=%y+l,

[x=λHV÷lV2V2

-4

由｛2">-4∕ny-4=0,所以乂必=，x∣x2=-?-=?,

Iy=4x44

故OA?Q8=Λ?Λ2+y%=-3<0,所以S40B為鈍角，故A錯誤；

對于B：因?yàn)閷τ赩=4x,當(dāng)X=O時，N=O,

所以M((M)在拋物線C外，顯然過M((U)與拋物線C相切的直線有2條,

當(dāng)此直線與X軸平行時，與拋物線C也是僅有一個公共點(diǎn)，

所以過點(diǎn)M(O,1)且與拋物線C僅有一個公共點(diǎn)的直線有3條，故B錯誤；

對于C：當(dāng)IAFl=3時，設(shè)A(J?,%),則XO+1=3,

.?.Λ0=2,y0=±2√2,即A(2,±2√Σ),不妨設(shè)AQ,2√Σ),

此時kAB=2?-O=2y∣2,故AB方程為y=2√∑(x-1),

2—1

聯(lián)立拋物線C：∕=4x,解得

所以s.=Jo用4力-%卜￥，故C正確；

對于D：由選項(xiàng)A知x∣Xz=l,且不>()，

2O/2_.

所以IAFl+2忸F[=1+X[+2(1+x2)=3+xl÷2x2=3+x∣H—=3+x1H—≥3÷X1—=3+2Λ∕2,

XXvxI

2

當(dāng)且僅當(dāng)X=二，即X=G時，等號成立，故D正確.

xι

故選：CD.

13.(多選題)(2023?山東?濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知雙曲線C:1-/=i和圓p：√+(??_3)2=f2(r>0),

則()

A.雙曲線C的離心率為五

2

B.雙曲線C的漸近線方程為x±2y=0

C.當(dāng)r=卡時，雙曲線C與圓戶沒有公共點(diǎn)

D.當(dāng)廠=20時，雙曲線C與圓P恰有兩個公共點(diǎn)

【答案】ACD

【分析】根據(jù)雙曲線方程求出離心率與漸近線方程，即可判斷A、B,求出圓心到漸近線的距離，即可判斷

C,設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)。的坐標(biāo)為(χ,y),表示出PQ的距離，即可得到圓心尸到雙曲線Ck的點(diǎn)的距離的最

小值，從而判斷D.

【詳解】解：由已知得“=√∑,人=1,則C=百，所以雙曲線C的離心率e=￡=巫，故選項(xiàng)A正確；

a2

雙曲線C的漸近線方程為y=±?x,即x±√Σy=O,故選項(xiàng)B錯誤；

3λ∕^"

因?yàn)閳A心P(0,3)到雙曲線C的漸近線的距離"=』+附2=底,

所以當(dāng)r=G時，圓尸與雙曲線C的漸近線相切，此時雙曲線C與圓P沒有公共點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確：

設(shè)雙曲線C上的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(χ,y),(y≥l),則圓心尸到點(diǎn)。的距離為?[=肉FUwT

2

=λ∕3(y-l)+8≥2√2,當(dāng)且僅當(dāng)y=l時取等號，

所以圓心P到雙曲線C上的點(diǎn)的距離的最小值為2正，且雙曲線C上只有兩個點(diǎn)到圓心P的距離為2立，

所以當(dāng)r=2正時，雙曲線C與圓戶恰有兩個公共點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確.

故選：ACD

14.(多選題)(2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考二模)球冠是指球面被平面所截得的一部分曲面，截得的圓叫做球冠的

底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.小明撐傘站在太陽下，撐開的傘面可以近似看作一個

球冠.已知該球冠的底半徑為60cm,高為20cm.假設(shè)地面是平面，太陽光線是平行光束，下列說法正確

的是()

U

A.若傘柄垂直于地面，太陽光線與地面所成角為:，則傘在地面的影子是圓

B.若傘柄垂直于地面，太陽光線與地面所成角為：，則傘在地面的影子是橢圓