2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)寧市嘉祥縣八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)寧市嘉祥縣八年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試

卷

一、選擇題（共10個(gè)小題.每小題3分，共30分.）

1.下列手機(jī)中的圖標(biāo)是軸對(duì)稱圖形的是（）

2.已知乙4。艮下面是“作一個(gè)角等于已知角，即作N4O'B'=/AOB”的尺規(guī)作圖痕跡.該

尺規(guī)作圖的依據(jù)是（）

3.若〃、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足5|+匹工=0,則c的值可以為（）

A.6B.7C.8D.9

4.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P（“-3,1）與點(diǎn)Q（2,6+1）關(guān)于x軸對(duì)稱，則的值

是（）

A.1B.2C.3D.4

5.如圖，在△ABC和△4BO中，已知AC=A。，則添加以下條件，仍不能判定

ABD的是（）

A.BC=BDB.ZABC=ZABDC.NC=NO=90°D.ZCAB=ZDAB

6.若從一個(gè)正多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可以引5條對(duì)角線，則它的一個(gè)內(nèi)角為（）

A.1080°B.720°C.140°D.135°

7.如圖，在aABC中，D,E是8c邊上的兩點(diǎn)，AD=AE,BE=CD,Zl=Z2=110°,

NBAE=60°,則N8AC的度數(shù)為（）

8.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)￡>,若AABC的周長(zhǎng)為

19cm,AE=3cm,則△ACO的周長(zhǎng)為（）

9.如圖，的兩條中線AM,8N相交于點(diǎn)0,已知△ABO的面積為4,△BOM的面

積為2,則四邊形MCN0的面積為（）

10.如圖，在△ABC中，NBAC=60°,NBAC的平分線AO與邊BC的垂直平分線相交于

點(diǎn)。，OEL48交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,。F，4c于點(diǎn)F,現(xiàn)有以下結(jié)論：@DE=DF;②

DE+DF=AD；③0M平分NADR@AB+AC=2AE；其中正確的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.1個(gè)

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分.）

11.若一個(gè)正多邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為108。，則這個(gè)正多邊形是正邊形.

12.在等腰三角形A8C中，它的兩邊長(zhǎng)分別為和3cm,則它的周長(zhǎng).

13.如圖，△ABC四△AOE,。在BC邊上，ZEAC=40°,則NB的度數(shù)為

E

14.如圖，在△ABC中，AB=AC,D、E是AABC內(nèi)兩點(diǎn)，40平分乙B4C,NEBC=NE

=60°,若BE=6cm,DE=2cm,則BC=cm.

15.如圖，在RtZ\A8C中，/C=90°,AC=12cw,BC=6cm,一條線段PQ=A8,P,Q

兩點(diǎn)分別在線段AC和AC的垂線AX上移動(dòng)，若以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以A、P、

Q為頂點(diǎn)的三角形全等，則4P的長(zhǎng)為.

三、解答題：（本大題共7小題，共55分）

16.兩個(gè)城鎮(zhèn)A、8與兩條公路ME,立置如圖所示，其中ME是東西方向公路.現(xiàn)電

信部門需在C處修建一座信號(hào)發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)4、B的距離必須相等,

到兩條公路ME,MF的距離也必須相等，且在NFME的內(nèi)部，請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找

出符合條件的點(diǎn)C(不寫己知、求作、作法，只保留作圖痕跡)

E也在一條直線上，OC_LA￡>,OH

OE.

ZABD=30°,AB=AD,￡>CJ_8C于點(diǎn)C,若BD

=2,求CO的長(zhǎng).

CE分別是AC、AB邊上的高，BQ=4C,點(diǎn)尸在CE的延長(zhǎng)線

20.如圖，△4BC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,1)、B(4,2)、C(3,4).

(1)若△AiBCi與△ABC關(guān)于y軸成軸對(duì)稱，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出囪C”并寫出△ASG

三頂點(diǎn)坐標(biāo)：4，Bi

(2)計(jì)算△A8C的面積;

(3)若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)PA+PB最小時(shí)，寫出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)

21.圖①中所示的遮陽(yáng)傘，傘柄垂直于地面，其示意圖如圖②.當(dāng)傘收緊時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A

重合；當(dāng)傘慢慢撐開(kāi)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)尸由4向B移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，傘張得最開(kāi).已知

傘在撐開(kāi)的過(guò)程中，總有PM=PN,CM=CN.

(1)求證：PC垂直平分MN；

(2)若CN=PN=60cm,當(dāng)/CPN=60"時(shí)，求AP的值.

22.(1)如圖①，把AABC紙片沿。E折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCEZ)內(nèi)部點(diǎn)A'的位置

時(shí)，NA、ZhN2之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.

(2)如圖②，把△ABC紙片沿OE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCE。外部點(diǎn)A'的位置時(shí)，

/A、ZKN2之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.

(3)如圖③，把四邊形A8CZ)沿EF折疊，當(dāng)點(diǎn)A、￡)分別落在四邊形8CFE內(nèi)部點(diǎn)A'、

D'的位置時(shí)，你能求出NA'、ND'、N1與N2之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇題：（本大題共10個(gè)小題.每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.下列手機(jī)中的圖標(biāo)是軸對(duì)稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠

互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，進(jìn)行判斷即可.

解：4.不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

H.不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C.是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

D.不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱圖形的概念，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

2.已知/AOB.下面是“作一個(gè)角等于已知角，即作N4Ob=NAOB”的尺規(guī)作圖痕跡.該

尺規(guī)作圖的依據(jù)是（）

【分析】作圖過(guò)程可得。0=。'O'=CO=C'O',CD=CD',利用SSS判定△

DOC^/XD'O'C,可得NO'=NO.

解：由作圖得OO=。'O'=CO=C'O',CD=CD',

在△OOC和△￡>'O'C'中，

'DO=D'O'

<co=c?o',

CD=C'D'

:.△Dogzyo'c（sss）,

:.zo'=zo.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-基本作圖，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì).

3.若a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足5|+JR=0,則。的值可以為（）

A.6B.7C.8D.9

【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出“、〃的值，進(jìn)一步根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“第三邊

大于兩邊之差，而小于兩邊之和”，求得第三邊的取值范圍，從而確定C的可能值.

解：：|a-5|+后^=0,

.,?。-5=0,。=5；b-2=0,b=2；

則5-2VcV5+2,

3<c<7,

6符合條件.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和三角形三條邊的關(guān)系，準(zhǔn)確求出縱力的值是解題的關(guān)

鍵.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P（4-3,1）與點(diǎn)。（2,b+1）關(guān)于x軸對(duì)稱，則〃+人的值

是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】直接利用關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得出〃,

匕的值，進(jìn)而得出答案.

解：???點(diǎn)尸（4-3,1）與點(diǎn)。（2,力+1）關(guān)于X軸對(duì)稱，

-3=2,6+1=-1,

.,.〃=5,b=-2,

則a+b=5-2=3.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于%軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確記憶關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的符號(hào)關(guān)系

是解題關(guān)鍵.

5.如圖，在△4BC和△AB。中，已知4c=40,則添加以下條件，仍不能判定

ABO的是（）

A.BC=BDB.NABC=NABDC.ZC=ZD=90°D.ZCAB=ZDAB

【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理分別判定即可.

解：A、根據(jù)SSS可判定△ABCg/\AB￡>,故本選項(xiàng)不符合題意；

B、根據(jù)SSA不能判定△ABCg/iABC,故本選項(xiàng)符合題意；

C、根據(jù)可判定△ABC四△AB。，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、根據(jù)SAS可判定△ABC絲△AB。，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，

即A4S、ASA、SAS、SSS,直角三角形可用”L定理，但AA4、SSA,無(wú)法證明三角形全

等，本題是一道較為簡(jiǎn)單的題目.

6.若從一個(gè)正多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可以引5條對(duì)角線，則它的一個(gè)內(nèi)角為（）

A.1080°B.720°C.140°D.135°

【分析】設(shè)多邊形邊數(shù)為〃，根據(jù)〃邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出5-3）條對(duì)角線可得〃

-3=5,計(jì)算出〃的值，再根據(jù)多邊形內(nèi)角和180。（〃-2）可得內(nèi)角和，易得一個(gè)內(nèi)角

的度數(shù).

解：設(shè)多邊形邊數(shù)為〃，由題意得：

n-3=5,

〃=8,

內(nèi)角和：180°X（8-2）=1080。，

108004-8=135°,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多邊形的對(duì)角線以及多邊形內(nèi)角和，關(guān)鍵是掌握“邊形從一個(gè)

頂點(diǎn)出發(fā)可引出（〃-3）條對(duì)角線，多邊形內(nèi)角和公式180°X（n-2）.

7.如圖，在△ABC中，D,E是8C邊上的兩點(diǎn)，AD=AE,BE=CD,Zl=Z2=110°,

N8AE=60°,則/BAC的度數(shù)為（）

【分析】證△ACZ）絲（SAS）,得AC=AB,/CAO=/BAE=60°,再由等腰三

角形的性質(zhì)得/B=NC,然后由三角形的外角性質(zhì)求出/C=50°,即可解決問(wèn)題.

解：'：AD=AE,

：.ZADC=ZAEB,

在△ACQ和△ABE中，

'AD=AE

-ZADC=ZAEB-

CD=BE

A/XACD^/\ABE（SAS）,

；.AC=AB,NCA￡>=NBAE=60°,

：.NB=NC,

VZC=Z1-ZCAD=110°-60°=50°,

/.ZB=50°,

AZBAC=1800-ZB-ZC=180°-50°-50°=80°,

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)

以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的

關(guān)鍵.

8.如圖，在AABC中，A8的垂直平分線交AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)O,若△A8C的周長(zhǎng)為

\9cm,AE=3cm,則△AC。的周長(zhǎng)為（）

￡

B-----------------z7\-------

A.22cmB.19cmC.\3anD.1cm

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到D4=D8,AB=2AE=6(cm),根據(jù)三角形的

周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案.

解：:△ABC的周長(zhǎng)為19c〃?，

：.AB+AC+BC=19cm,

?.?OE是AB的垂直平分線，AE=3cm,

.'.DA=DB,AB=2AE=6(cm),

...AC+8C=19-6=13(cm),

.?.△ACO的周長(zhǎng)=AC+CD+ZM=AC+C￡)+￡)8=AC+8C=13(cm),

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的

兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，△4BC的兩條中線4例，BN相交于點(diǎn)0,已知△ABO的面積為4,△B0M的面

積為2,則四邊形MCN0的面積為()

A.3B.4C.5D.6

【分析】利用點(diǎn)。為AABC的重心得到B0=20N,根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可.

解：和BN為△ABC的兩條中線，

,?AABO的面積為4,△BOM的面積為2,

SAAMC-S^BO+S&BOM—4+2=6,

；點(diǎn)。為△ABC的重心，

:.B0=20N,

SAAOW=_5AASO="^_X4=2,

22

?'?Sraii)RMCNO=S^AMC-S&AON=6-2=4.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心:重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：

1.也考查了三角形的面積.

10.如圖，在△ABC中，/BAC=60°,/BAC的平分線AO與邊BC的垂直平分線相交于

點(diǎn)。，OEL4B交A3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,￡>F_LAC于點(diǎn)F,現(xiàn)有以下結(jié)論：?DE=DF；②

DE+DF=AD-③DW平分NAOF；?AB+AC=2AE；其中正確的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.1個(gè)

【分析】①由角平分線的性質(zhì)可知①正確；②由題意可知NE4O=NE4Q=30°,故此

可知EO=《A￡）,DF^AD,從而可證明②正確；③錯(cuò)誤；④連接BQ、DC,然后證明

22

△EBD安ADFC,從而得到3E=FC,從而可證明④.

解：如圖所示：連接80、DC.

①平分NBAC,DE±AB,DFLAC,

：,ED=DF.故①正確.

②4c=60。，4。平分N8AC,

.?./E4O=NE4￡>=30°.

-：DE±AB,

：.ZAED=90°.

VZAED=90°,ZEAD=30°,

：.ED=—AD.

2

同理：DF=—AD.

2

：.DE+DF=AD.故②正確.

③不能判定MD平分ZADF.故③錯(cuò)誤.

◎；DM是BC的垂直平分線，

：.DB=DC.

在RtABED和RtACFD中，

JDE=DF

lBD=DC'

：.Rt/\BED^Rt/\CFD(HL).

：.BE=FC.

：.AB+AC=AE-BE+AF+FC,

又：AE=AF,BE=FC,

：.AB+AC=2AE.故④正確.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分

線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分.)

11.若一個(gè)正多邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為108。，則這個(gè)正多邊形是正五邊形.

【分析】先求出它的每一個(gè)外角的度數(shù)，再根據(jù)“多邊形的外角和等于360?！?，即可求

解.

解：???一個(gè)正多邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為108。，

二它的每一個(gè)外角的度數(shù)為180。-108°=72°,

這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為端一=5，

即這個(gè)正多邊形是正五邊形.

故答案為：五.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了鄰補(bǔ)角，正多邊形的外角和問(wèn)題，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵.

12.在等腰三角形A8C中，它的兩邊長(zhǎng)分別為8。"和3cm,則它的周長(zhǎng)19cm.

【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為8cm,底邊長(zhǎng)為3c7〃時(shí)一；當(dāng)?shù)妊切蔚?/p>

腰長(zhǎng)為3cm,底邊長(zhǎng)為8c加時(shí)；然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答.

解：分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為8cm,底邊長(zhǎng)為3cm時(shí)，

.?.它的周長(zhǎng)=8+8+3=19(cm)；

當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為3cvn,底邊長(zhǎng)為8?！睍r(shí)，

：3+3=6V8,

二不能組成三角形；

綜上所述：它的周長(zhǎng)為19cm,

故答案為：19cm.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，分兩種情況討論是解題的

關(guān)鍵.

13.如圖，AABC^AADE,。在8C邊上，NEAC=40。，則NB的度數(shù)為70°.

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/BAC=/D4E,AD=AB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

計(jì)算，得到答案.

解：XABC色△NDE,

：.ZBAC=ZDAE,AD=AB,

：.ZBAC-ZDAC^ZDAE-ADAC,即NBA￡>=/EAC=40°,

"：AB=AD,

：.ZB=ZADB=10°,

故答案為：70。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌

握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在△A3C中，AB=AC,D、E是△ABC內(nèi)兩點(diǎn)，AO平分N3AC,ZEBC=ZE

=60°,若BE=6cm,DE=2cm,貝?。軧C=8cm.

【分析】延長(zhǎng)互＞交于M,延長(zhǎng)AD交8c于M只要求出BN即可解決問(wèn)題.

解：延長(zhǎng)皮＞交3c于M,延長(zhǎng)A。交8C于N,

,.?A8=AC,A。平分NB4C,

:.ANLBC,BN=CN,

VZEBC=ZE=60°,

??.△3EM為等邊三角形，

VBE=6,DE=2f

：.DM=4,

???△3EM為等邊三角形，

ZEMB=60°,

?.?AN_LBC,

；?NDNM=90°,

：./NDM=30。,

:.NM=2,

:,BN=4,

:?BC=2BN=8,

故答案為8.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，能求出MN的長(zhǎng)是解

決問(wèn)題的關(guān)鍵.

15.如圖，在Rt/VIBC中，NC=90°,AC=\2cm,BC=6an,一條線段尸。=AB,P,Q

兩點(diǎn)分別在線段AC和AC的垂線AX上移動(dòng)，若以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以A、尸、

。為頂點(diǎn)的三角形全等，則AP的長(zhǎng)為6c7〃或1.

【分析】分為兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可.

解：有兩種情況：

①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AP=BC=6cw,②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AP=AC=

12cm,

故答案為：6c7〃或\2crn,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理，能熟記全等三角形的性質(zhì)定理是解此題的

關(guān)鍵，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.

三、解答題：（本大題共7小題，共55分）

16.兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME,MF位置如圖所示，其中ME是東西方向公路.現(xiàn)電

信部門需在C處修建一座信號(hào)發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，

到兩條公路ME,MF的距離也必須相等，且在NFME的內(nèi)部，請(qǐng)?jiān)趫D中，用尺規(guī)作圖找

出符合條件的點(diǎn)C.（不寫己知、求作、作法，只保留作圖痕跡）

ME

【分析】到城鎮(zhèn)A、8距離相等的點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，到兩條公路距離相等的

點(diǎn)在兩條公路所夾角的角平分線上，分別作出垂直平分線與角平分線，它們的交點(diǎn)即為

所求作的點(diǎn)C.

解：如圖：

點(diǎn)C即為所求作的點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】此題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，掌握垂直平分線和角平分線的性質(zhì)，以及尺

規(guī)作圖的方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

17.如圖，已知點(diǎn)A,D,G在一條直線上，點(diǎn)A,H,E也在一條直線上，0H

J_AE,DE交GH于裊0.若N1=N2,求證：OG=OE.

【分析】由"AAS”可證△OOG絲△HOE,可得OG=OE.

【解答】證明：VZ1=Z2,OD±AD,OHLAE,

：.OD=OH,

在△OOG和△〃0E中，

，Z0DG=Z0HE=90°

-ZD0G=ZH0E,

OD=OH

:.ADOG妥/\HOE(A4S),

OG=OE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判

定定理是本題的關(guān)鍵.

18.如圖，四邊形ABCQ中，AD//BC,/ABZ)=30°,AB=AD,Z)C_LBC于點(diǎn)C,若BD

=2,求C。的長(zhǎng).

【分析】由已知可求得NABD=N￡>BC=30°,已知。CLBC,則根據(jù)直角三角形中30

度所對(duì)的邊是斜邊的一半求解即可.

解：'JAD//BC,

：.ZADB=ZDBC,

又

NADB=NABD,

...N￡>BC=NABO=3（r,

于點(diǎn)C,

AZC=90°,

?.?在RtZYBCC中，/CBC=30。，BD=2,

：.CD=^［）,

：.CD=1.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對(duì)的

直角邊等于斜邊的一半.

19.已知：aABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，BQ=AC,點(diǎn)尸在CE的延長(zhǎng)線

【分析】首先證明出NABD=/ACE,再有條件8Q=AC,CF=AB可得△A8Q絲△尸CA,

進(jìn)而得到NF=/BAQ,然后再根據(jù)/F+/尸AE=90°,可得NBAQ+/FAE=90°,進(jìn)

而證出AFLAQ.

【解答】證明：..?BO、CE分別是AC、AB邊上的高，

AZADB=90°,/AEC=90°,

：.ZABQ+ZBAD=90°,NR4C+NACE=90°,

ZABD=ZACE,

'AB=CF

在△ABQ和△尸CA中，ZABD=ZACE>

BQ=AC

：./\ABQ^/\FCA(SAS),

.\ZF=ZBAQ,

'：ZF+ZFAE=90°,

：.ZBAQ+ZFAE=90°,

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法,

以及全等三角形的性質(zhì)定理.

20.如圖，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(1,1)、8(4,2)、C(3,4).

(1)若△AiSG與△48C關(guān)于y軸成軸對(duì)稱，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出△4BC”并寫出△4SCi

三頂點(diǎn)坐標(biāo)：A,(-1,1),B\(-4,2),Ci(-3,4)；

(2)計(jì)算AABC的面積；

(3)若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)PA+PB最小時(shí)，寫出此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo)(2,0).

【分析】(1)依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行作圖，即可得到△4&G,進(jìn)而得出△4BG三頂

點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)依據(jù)割補(bǔ)法進(jìn)行計(jì)算，即可得到△A8C的面積；

(3)作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AB,交x軸于點(diǎn)P,依據(jù)一次函數(shù)的圖象可得

點(diǎn)P的坐標(biāo).

(2)△ABC的面積為：3X33X1——1X22X3—3.5.

222

(3)如圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A,連接A8,則4'B與x軸的交點(diǎn)即是點(diǎn)P的

位置.

設(shè)AB的解析式為(&W0),

把4(1,-1)和B(4,2)代入可得:

f-l=k+b

l2=4k+b'

解得，

Ib=-2

.'.y=x-2,

令y=0,則x=2,

二尸點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),

故答案為：(2,0).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-軸對(duì)稱變換、軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌

握軸對(duì)稱的性質(zhì).凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱

變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn).

21.圖①中所示的遮陽(yáng)傘，傘柄垂直于地面，其示意圖如圖②.當(dāng)傘收緊時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)A

重合；當(dāng)傘慢慢撐開(kāi)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)尸由A向B移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，傘張得最開(kāi).已知

傘在撐開(kāi)的過(guò)程中，總有CM=CN.

(1)求證：PC垂直平分MN：

(2)若CN=PN=60an,當(dāng)/CPN=6Q°時(shí)，求4尸的值.

【分析】1)首先根據(jù)題意證明絲△CNP(SSS),然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求

解；

(2)首先根據(jù)題意得到當(dāng)傘收緊時(shí)，AC=CN+PN=126cm,然后證明出ACPN是等邊

三角形，求出PC=PN=60cm,進(jìn)而求解即可.

【解答】(1)證明：在△CMP和