2023年貴州省貴陽市高考文科數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2023年貴州省貴陽市高考文科數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1?（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)」上對應(yīng)的點為例，復(fù)數(shù)（2+i）2對應(yīng)的點為M則向量疝的

l+4ι

模為（）

A.2√17B.√TθC.2√13D.√26

2.（5分）若集合A={x∈N仇W6},B={2,0,22},則AUB中的元素個數(shù)為（）

A.2B.4C.7D.8

3.（5分）設(shè)p：a＞2,q：函數(shù)F（X）=Λ2-ox+j-3沒有零點，則P是q的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（5分）已知入＞0,平面向量Z=（-2,A）,b=（6,Λ-2）,若（3之+2小1之，則實數(shù)入

的值為（）

64

A.2B.—C.一D.4

55

5.（5分）函數(shù)/"（;＜）=￥￥在區(qū)間［-π,π］上的圖象可能是（）

9+1

6.（5分）已知數(shù)列{即}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，若它的前5項的和為105,第2項、第4

項、第8項成等比數(shù)列，則它的通項公式為（）

、7儲

A.即=7〃或許=21B.an=-2-

n_7n（n+l）

?.Un——inD.cιn-2-----

7.（5分）由函數(shù)y=sin2r的圖象經(jīng)過圖象變換得到函數(shù)y=sin（x+力的圖象，則這個變

換過程為（）

Tl

A.向左平移百個單位長度，把所有點的橫坐標(biāo)擴大為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）

Tl

B.向左平移一個單位長度，把所有點的橫坐標(biāo)擴大為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）

4

1n

C.把所有點的橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），向左平移T個單位長度

24

1Tl

D.把所有點的橫坐標(biāo)縮小為原來的一（縱坐標(biāo)不變），向左平移一個單位長度

28

8.（5分）如圖給出的程序框圖中，輸出的結(jié)果是（）

/輸電A/

結(jié)束

252132521

A.—B.—C.-----D.—

332246244

9.（5分）已知三棱錐P-ABC中，PA=3,PB=PC=5,AB=BC=AC=4,則它的外接球

的表面積為（）

9191

A.一πB.一πC.84πD.21π

123

10.（5分）2022年2月冬奧會在北京召開，“三億人參與冰雪運動”的愿景，正在億萬國人

逐漸高漲的運動熱情中走向現(xiàn)實.小明愛上了冰壺運動，在自己家附近的冰面上和父親

一起制作了簡易冰壺場地，得分區(qū)是四個半徑不等的同心圓，由內(nèi)而外稱為A，B,C,

。.小明每次投擲都能使得冰壺進入得分區(qū)，若每次投擲后冰壺進入A，B,C,D區(qū)的

概率分別為0.01,0.1,0.3,0.59,小明投擲兩個冰壺，兩次投擲互不影響，則有一個冰

壺進入A或C區(qū)，另一個冰壺進入B或。區(qū)的概率為（）

A.1B.0.2139C.0.4278D.0.1958

11.（5分）已知f（x）=∕n（x+2）+√T不I一鬲，則曲線y=f（x）在點（3,7（3））處的

切線方程為（）

A.2χ-1O>H-1O∕∕25-1=0B.2x+10γ+10∕∕ι5-1=0

C.x-12>÷12∕n5-15=0D.x+12y+l2ln5-15=0

12.（5分）已知雙曲線C：WT=I（α>0,b>0）的左、右焦點分別為Q,F2,一條漸

JT

近線方程為y=過雙曲線C的右焦點尸2作傾斜角為孑的直線/交雙曲線的右支于A,

8兩點，若aAFiB的周長為36,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

X2y2X2y2

A.---=1B.—――=1

2442

C.X2—=1D.——y2=1

22J

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

f4x-1,%<1

13.（5分）已知函數(shù)f（x）=",若lV√（α）W2,則實數(shù)。的取值范圍為________.

｛log2Xfx>l

5βn,

14.（5分）設(shè)數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”，已知%=α2=[αn+2=J"為奇數(shù)’、則

Z（即+1，C為偶數(shù)

S2”等于.

1

15.（5分）在三棱柱ABC-ABiCi中，底面ABC,AB=BC=CA=訝A4ll,點P是棱

AAl上的點，ΛP=2∕?ι,若截面BPeI分這個棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比

為?

16.（5分）已知拋物線「：/=8》的焦點為凡四邊形ABCD的頂點都在拋物線上，三點、F,

D,B共線，AC垂直平分線段DB,若AB與CB垂直，則直線DB的方程為,

四邊形ABCO的面積為.

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17,21題為必考題，

每個試題考生都必須作答，第22,23題為選做題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共

60分

17.（12分）某校組織學(xué)生觀看“太空授課”，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.學(xué)校組織IOOO名學(xué)

生進行科學(xué)探索知識競賽，成績分成5組：[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,

[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.如圖中未知的數(shù)據(jù)”,b,C成等差數(shù)列，

成績落在區(qū)間[60,70）內(nèi)的人數(shù)為400.

（1）求出直方圖中α,b,C的值：

(2)估計中位數(shù)(精確到0.1)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)；

(3)若從得分在區(qū)間［50,60)內(nèi)的學(xué)生中抽取2人編號為A,B,從得分在區(qū)間［90,100］

內(nèi)的學(xué)生中抽取6人編號為1,2,3,4,5,6,組成幫助小組，從1,2,3,4,5,6

中選3個人幫助A,余下的3個人幫助B,求事件“1,2幫助A”的概率.

18.(12分)在AABC中，----=-----.

2b-ac

(1)求角C的大小.

(2)若α=3,Z?A8C的面積為6舊，。為A8的中點，求CO的長.

19.(12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，DAlAB,PDlPC,PBlPC,AB=AD=PD^

4

PB=I,COSZDCB=

(1)求證：BOJ_平面PAC；

(2)求四棱錐P-ABe0的體積.

%y

20.(12分)已知坐標(biāo)原點為O,直角三角形AoB的頂點A在橢圓一+—=1上運動，頂

168

點B在直線y=4上運動.

(1)求證：坐標(biāo)原點O到斜邊A8所在直線的距離是常數(shù).

(2)求斜邊AB的最小值.

pXOf

21.(12分)已知函數(shù)/(X)=彩—tlnx,g(X)=―,F(X)—f(x)-g(X).

(1)當(dāng)f=l時，求證：F(x)>0對于任意正實數(shù)X恒成立.

(2)若函數(shù)F(X)在(0,2)上有且僅有兩個極值點，求實數(shù)f的取值范圍.

［選修4—4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程I

(x=1+t

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系XOy中，曲線CI的參數(shù)方程為=4+”'為參數(shù)).以坐

標(biāo)原點為極點，以%軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為p(sinθ-

2cosθ)-2=0.

(I)求曲線Cl的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程.

(2)若CI與C2交于A，B兩點，求aAOB的面積.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)/(x)=∣χ-2α∣+∣χ-02-2∣.

(1)求證：/(x)21.

(2)若/(2)>2,求實數(shù)4的取值范圍.

2023年貴州省貴陽市高考文科數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

17fr→

1.(5分)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)——:對應(yīng)的點為復(fù)數(shù)(2+1)2對應(yīng)的點為N,則向量MN的

l+4ι

模為()

A.2√17B.√TθC.2√13D.√26

【解答】解：復(fù)數(shù)」?=N*',一4)=4+i對應(yīng)的點為則M(4,1),

l+4ι(l+4ι)(l-4ι)

復(fù)數(shù)(2+1)2=3+4i對應(yīng)的點為N,則N(3,4),

所以向量加=(3-4,4-1)=(-1,3),

所以I加I=√(-l)2+32=√10,

故選：B.

2.(5分)若集合A={xEN∣xW6},B={2,0,22},則AUB中的元素個數(shù)為()

A.2B.4C.7D.8

【解答】解：；集合A={x∈N∣x這6}={0,1,2,3,4,5,6)；

.?.AU8={0,1,2,3,4,5,6,22}；

.?.AU8中元素的個數(shù)為8.

故選：D.

3.(5分)設(shè)p：a>2,q：函數(shù)/(x)=x2-Or+/-3沒有零點，則P是q的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：函數(shù)/(x)=∕-0r+42-3沒有零點，

.?.Δ=/-4(/-3)=-3Λ2+12<0,

.?.4>2或“<-2.

.,./?：α>2推出g,但q推不出p,

???p是4的充分而不必要條件.

故選：A.

4.(5分)已知入>0,平面向量Z=(-2,Λ),b=(6,λ-2),若(32+2])_L2，則實數(shù)入

的值為()

64

A.2B.-C.-D.4

55

【解答］解：Vλ>O,平面向量)=(一2,1),b=(6,λ-2),(3α+2h)lα,

(3α+2h)?α=3α2+2α?h=3(4+λ2)+2(-12+λ2-2λ)=0,

即5λ2-4λ-12=0,

求得實數(shù)入=2或入=—I(舍去),

故選：A.

3x?cosx

5.(5分)函數(shù)/(%)在區(qū)間［-π,π］上的圖象可能是()

9x+l

【解答】解：???函數(shù)/(X)=%等定義域為：LmE關(guān)于原點對稱，

?"(-X)=三黑言=［箸=∕(x),故為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，排除CZZ

當(dāng)尸0時，/(0)=親等另，/(π)=辛詈E=離;VO,排除8,

故選：A.

6.(5分)已知數(shù)列｛〃”｝是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，若它的前5項的和為105,第2項、第4

項、第8項成等比數(shù)列，則它的通項公式為()

A.斯=7〃或斯=21B.即=竽

C?Cln~~7flD.…普由

【解答】解：數(shù)列｛0,,｝是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，設(shè)公差為d(d>O),

若它的前5項的和為105,則5αι+10d=105,即α∣+2d=21,①

12

又第2項、第4項、第8項成等比數(shù)列，可得a4=a2m,即（m+3d）=（aι+d）（m+7d）,

即有d-a?,②

由①②可得"1=<1=7,

則”,ι=7+7（n-?）=In.

故選：C.

7.（5分）由函數(shù)y=sin2x的圖象經(jīng)過圖象變換得到函數(shù)y=sin（x+多的圖象，則這個變

換過程為（）

Tr

A.向左平移R個單位長度，把所有點的橫坐標(biāo)擴大為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）

Tr

B.向左平移一個單位長度，把所有點的橫坐標(biāo)擴大為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）

4

C.把所有點的橫坐標(biāo)縮小為原來的:（縱坐標(biāo)不變），向左平移E個單位長度

D.把所有點的橫坐標(biāo)縮小為原來的］（縱坐標(biāo)不變），向左平移E個單位長度

【解答】解：由函數(shù)y=sin2x的圖象經(jīng)過圖象變換得到函數(shù)y=s譏（x+今）的圖象，

Tl

這個變換過程為：向左平移三個單位長度，

再把所有點的橫坐標(biāo)擴大為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），

故選：A.

8.（5分）如圖給出的程序框圖中，輸出的結(jié)果是（）

252132521

A.一B.一C.—D.—

332246244

【解答】解：當(dāng)k=1時，A=1當(dāng)k=2時,A=1??+ɑ?4,

IXSl??ZXzi,

+2^4+'-?+∕<×（fc+2）=2（1-3+2^4+'??+fc→^fc+T+fc^EF2?

Illl

=2（1+2-FPT-fc+2^

當(dāng)Q20時，^=∣（f-?-?=Hf-

由程序框圖可知當(dāng)k=20時循環(huán)結(jié)束，

故選：C.

9.（5分）已知三棱錐P-ABC中，PA=2>,PB=PC=5,A8=BC=AC=4,則它的外接球

的表面積為（）

9191

A.—TrB.—TiC.84πD.21π

123

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)三棱錐尸-ABC的外接球的半徑為此

△ABC中,AB=BC=AC=4,則AABC為等邊三角形,其外接圓半徑后∣x乎x4=竽，

又由孫=3,PB=PC=5,AB=AC=4,∣JI∣JPALAB,PAlAC,故B4_L面ABC,

→-2dA、216,991

則hlll有Ro2-='+（3）=至+4=Ir

故外接球的表面積S=W=~

故選：B.

10.（5分）2022年2月冬奧會在北京召開，“三億人參與冰雪運動”的愿景，正在億萬國人

逐漸高漲的運動熱情中走向現(xiàn)實.小明愛上了冰壺運動，在自己家附近的冰面上和父親

一起制作了簡易冰壺場地，得分區(qū)是四個半徑不等的同心圓，由內(nèi)而外稱為A,B,C,

。.小明每次投擲都能使得冰壺進入得分區(qū)，若每次投擲后冰壺進入A,B,C,D區(qū)的

概率分別為0?01,01，0.3,0.59,小明投擲兩個冰壺，兩次投擲互不影響，則有一個冰

壺進入A或C區(qū)，另一個冰壺進入B或。區(qū)的概率為（）

A.1B.0.2139C.0.4278D.0.1958

【解答】解：投擲一個冰壺進入A或C區(qū)域的概率為0.01+0.3=0.31,

投擲一個冰壺進去B或。區(qū)域的概率為0.1+0.59=0.69,

小明投擲兩個冰壺,則有一個冰壺進入A或C區(qū),另一個進入B或。區(qū)的概率為P=6X

0.31X0.69=0.4278,

故選：C.

11.(5分)已知/(x)=∕n(x+2)+√7TT-晶，則曲線y=∕(x)在點(3,f(3))處的

切線方程為()

A.2x-10>>+10∕n5-1=0B.2x+10y+10∕n5-1=0

C.Λ-12y+12∕n5-15=0D.x+?2y+?2ln5-15=0

【解答】解：因為f(%)="(x+2)+√Frl-晶,

所以尸(X)=殺+1_3(x+3)-3x(x+3)'_J_+_______9

2√x+l(x+3)2—x+22√x+l(χ+3)2

所以1(3)

因為/⑶=^+InS,

11

所以曲線y=fG)在點(3,/(3))處的切線方程為y-(-÷Zn5)=?(X-3),

2?

即2χ-10尹10/〃5-1=0.

故選：A.

12.(5分)已知雙曲線C：4-?=l(α>0,b>0)的左、右焦點分別為Q,F2,一條漸

ab

一ττ

近線方程為y=√∑c,過雙曲線C的右焦點上作傾斜角為］的直線/交雙曲線的右支于A,

B兩點，若aAQB的周長為36,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

X2y2X2y2

A.---=1B.---=1

2442

,V2χ22

C.X2-?=1D.--y=l

22J

【解答】解：因為雙曲線的一條漸近線方程為y=四久，

所以6=V∑α,c=√3α,

Tr

因為直線/的傾斜角為3

所以直線/的方程為)，=√3(x-√3a),

設(shè)4(xi，yι),B(X2，”)，

f≡!-j±=ι

聯(lián)立(次2a2可得——6√5αx+IlM=o,

Iy=√3(x-√3α)

則Xl+X2=6√5α,XIX2=11/,

22

所以∣A3∣=2λ∕(%ι+&)2-4%IX2=2√108α-44α=16?,

因為HFl∣÷∣BFι1=lΛF2∣+∣BF2∣+4β=HBl+4。=20。,

由周長為36可得20g+16〃=36,即。=1,

所以雙曲線方程為/一。=1.

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

ΛX_IV≤11

一’一，若lV∕（α）W2,則實數(shù)。的取值范圍為—?一

｛2

Iog2Xrx>l

log43]U(2,4]

【解答】解：已知函數(shù)/（x）=[*—i'*≤ι

Uog2%，x>l

若lV∕（α）≤2,

ɑ≤1Ta>l

則,1<4α-1≤2或

,1<log2a≤2

a≤1

解得

I<α≤log43

'?2<a≤4

1

即為3Va<bg43或2V〃W4.

故答案為：（alog4引U（2,4].

14.（5分）設(shè)數(shù)列｛〃”｝的前〃項和為S〃，已知的=g=α∏+2=1""''為"'數(shù)'，則

Un+1>C為偶數(shù)

S2〃等于_1一￡+?一?

【解答】解：由QI=熱an+2=^an（〃為奇數(shù)），

可得數(shù)列｛如｝的奇數(shù)項構(gòu)成以之為首項，以之為公比的等比數(shù)列;

由。2=乎即+2=?！?1（〃為偶數(shù)），

可得數(shù)列｛斯｝的偶數(shù)項構(gòu)成以[為首項，以1為公差的等差數(shù)列.

?*?S2n=(αi+α3+???+02〃-1)+(。2+〃4+?一+。2〃)

_W),1一一n(n-1)x111,n2

=不"22=]_/+，

故答案為：I-■十+導(dǎo).

15.(5分)在三棱柱ABC-AlBICl中，AAl，底面ABC,AB=BC=CA=,點P是棱

4

44上的點，AP=2PAi,若截面BPCl分這個棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比為

∏V-

—4—'

【解答】解：取4B∣中點。，連接CiD,

由題意知：AABC為等邊三角形，則BICl為等邊三角形，.?.CιCAιBι,

?.?44|，平面4?(?,平面ABC〃平面AlBlC1，平面A向。，

又。。U平面AlBlC1，.'.AAiJLC↑D,

VAAbAlBlU平面ABBIA1，CiO-L平面A8B∣4,

設(shè)AAl=4,則AB=BC=A出=BIG=2,ΛC1D=√3,A1P=

?*?SAABC=2*2x2Xg=v?,S梯形BBlAlP=)X(w+4)x2=可，

1116

取,

:?KlBC-A遇ICl=SMBCT"I=4Vc1-BB1A1P=^^BB1A1P'CID=?×?×?/?=

16√3

~9~9

16很

._______PCLBBIAIP_________"V-_4

Vv5，

ABC-A1B1C1^C1-BB1A1P

9

45

即這兩部分的體積比為二或：

54

、.45

故答案為：;或：

54

16.(5分)已知拋物線Γ：√=8x的焦點為F,四邊形ABa)的頂點都在拋物線上，三點F,

D,8共線，AC垂直平分線段DB,若AB與CB垂直，則直線DB的方程為y=x-2

或y=-x+2,四邊形ABCD的面積為128√3.

【解答】解：由題意得尸(2,O),AC,8。的斜率存在，

設(shè)Bo所在的直線方程為X=OIy+2,B(x∣,yi),DCx2,”)，BO的中點尸，

聯(lián)立Q二黑+2可得y2-8∕wγ-16=0,

所以)'l+y2=8m,y?yi~~16,x?+x2-m(y1+y2)+4=8m2+4,

所以P(2+4m2,4m),

所以∣B3∣=√(1+m2)((8τn)2-4×(-16)=8+8∕n2,

因為AC垂直平分8。，

設(shè)AC所在直線方程為X=-^y+4m2+6,

設(shè)A(X3，”)，C(X4,丫4)，

2

聯(lián)立直線AC的方程與拋物線方程可得y2+^-y-32τn-48=0,

0-1O

所以y3+y4=一帚丁3)4=-32∕n2-48,x3+x4=一而。3+丫4)+?^?2+12=+Sm2+12,

4?4

Q(--+4m-+6,-----),

τn2機

所以IPQI=J*+春)2+扁+4m)2,

因為AC垂直平分線段且AB與CB垂直，

所以A,B,C,。四點共圓且是以AC為直徑，。為圓心的圓，

?1

所以一∣BO∣2+∣PQ∣2=;MCI2,

44

222

(8+8m)4,2/4,,212λ2l+2m

4m2m4vym2

解得m=?或機=-I,

所以BD所在的直線方程為y=x-2或y=-x+2,

11

所以∣B0=16,μq=16√3,四邊形的面積S=那DllAG=WXI6X16√^=128√5.

故答案為：y=χ-2或y=-x+2；128√3.

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17,21題為必考題，

每個試題考生都必須作答，第22,23題為選做題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共

60分

17.（12分）某校組織學(xué)生觀看“太空授課”，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.學(xué)校組織Io（X）名學(xué)

生進行科學(xué)探索知識競賽，成績分成5組：［50,60）,［60,70）,［70,80）,［80,90）,

190,IOOJ,得到如圖所示的頻率分布直方圖.如圖中未知的數(shù)據(jù)4,b,C成等差數(shù)列，

成績落在區(qū)間［60,70）內(nèi)的人數(shù)為400.

（1）求出直方圖中α,b,C的值；

（2）估計中位數(shù)（精確到0.1）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；

（3）若從得分在區(qū)間［50,60）內(nèi)的學(xué)生中抽取2人編號為A,B,從得分在區(qū)間［90,IOOJ

內(nèi)的學(xué)生中抽取6人編號為1,2,3,4,5,6,組成幫助小組，從1,2,3,4,5,6

中選3個人幫助A,余下的3個人幫助3,求事件”1,2幫助A”的概率.

u5060708090100成績

【解答】解：(1)根據(jù)題意，圖中未知的數(shù)據(jù)4,6,c成等差數(shù)列，成績落在區(qū)間[60,

70)內(nèi)的人數(shù)為400,

則IOaXIOoo=400,則a=0.04,

又α+c=2∕?,(0.005+a+?+c+0.005)×10=l,得c=0.02,b=0.03,

(2)因為(0.005+0.04)×10=0.45,設(shè)中位數(shù)為x,則x∈[70,80),

所以(0.005+0.04)×10+(%-70)×0.03=0.5,得X=71.7,即中位數(shù)為71.7,

平均數(shù)為(55X0.005+65×0.04+75×0.03+85×0.02+95×0.005)×10=73,

(3)從1,2,3,4,5,6中選3個人幫助A,余下的3人幫助B,

所以可能結(jié)果為(只列出幫助A的學(xué)生)(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),

(1,3,4),(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,4,6),(1,5,6),(2,3,4),

(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),

(3,5,6),(4,5,6)共20個基本事件，

其中滿足1,2幫助A的有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6)共4個,

41

故滿足“1,2幫助A”的概率一=二

205

八一CosAcosC

18.(12分)在aABC中1，----=-----.

2b-ac

(1)求角C的大小.

(2)若α=3,Z?A2C的面積為6g,。為A3的中點，求Co的長.

cosAcosC

【解答】(1)解：因為一;---=-----，所以CCOS4=(2。-〃)CoSe

2b-ac

由正弦定理可得SinCCoSA=(2SinB-SinA)cosC,

即sinCcosΛ+sinAcosC=2sin∕JcosC,

即sin(C+A)=2SinBCOsC,

即Sin(π-B)=2SinBCOSG

即SinB=2sin8cosC,

又在三角形中SinB>0,所以COSC=?,

因為C∈(0,π),所以C=*

(2)解：因為SC=WabSinC=6Λ∕3,即一×3b×—=e?/?,所以b=8,

又。為AB的中點，所以CB=T(21+C?,

222

所以必=i(c?+CB)=1(CA+CB+2CA-CB),

BP∣CD∣2=i(∣Ol∣2+∣C?∣2+2?CA?■?CB?cosC)=?(82+32+2×3×8×?)=

所以ICBl=毋，

√97

即CD的長為---.

2

19.(12分)如圖，四棱錐P-ABCO中，DALABfPD±PCfPBl.PC,AB=AD=PD=

4

PB=I,CoSNoC8=*

(1)求證：平面PAC；

(2)求四棱錐P-ABe。的體積.

【解答】（1）證明：??PDJ?PC,PBLPC,PB=PD,ΛRt?PDC≡Rt?PBC,.?BC^DC,

又PBCPD=P,.?.PCJ-平面PBD,；8。U平面PBO,：.PClBD,

"：AB=AD,BC=CD,易知ACLLB。，

又YACCPC=C,.?.BO_L平面Λ4C;

（2）解：如圖，設(shè)AC交8。于0,則。是8。的中點，連接OP.

_A

由（1）知，BC=CD,又BD=VLcos?DCB=?,

在ABCD中，由余弦定理得：BD1=BC2+DC1-2BC?DC?cosZDCB,

BP2=2BC2-2BC2?∣,解得BC=5,

:.oc=y∕βc2-OB2=J5_、=5,OA=號,OP=√PB2-OB2=Jι-?=孝,

PC=y∕BC2-PB2=√Γz7T=2,

VPC15F≡PBD,OPU平面尸80,

：.PCLOP,.?.SΔPCO=∣?0P?PC=∣×^×2=^,

上SAP40OA?γ√2√2

由SNC0_OCδpao~?2^6,

?Q_Q,Q_>∕2l42_2∕Σ

??APAC—d?PCO十d?PΛO一區(qū)十^δ^~~~3~f

1孥4

2

XXX√2一

-2一-

39

*?^P-ABCD=2Vβ-p4c

4

.?.四棱錐P-ABs的體積為g?

P

χz?yz?

20.⑴分)已知坐標(biāo)原點為。，直角三角形AoB的頂點A在橢圓森+至=1上運動，頂

點B在直線y—4上運動.

(1)求證：坐標(biāo)原點O到斜邊AB所在直線的距離是常數(shù).

(2)求斜邊AB的最小值.

【解答】(1)證明：設(shè)4(xo,)，o),當(dāng)直線OA的斜率為0時，即A(±4,0),貝∣]B(0,

4),

則坐標(biāo)原點。到斜邊AB所在直線的距離為d=但弟般==2√2.

4√2

當(dāng)直線04的斜率不存在時，不存在滿足條件的B點.

所以直線OA的斜率存在，當(dāng)直線OA的斜率不為O時，設(shè)∕QA:y=kx,

1

則IOB：y——%x，則B(-4匕4),

(y=kx2(入)2

即,

由今+若=1，可得口+丁=LT=Γ?

Vioo

16

?2=

222

1+2216∕C16(fc+l)

所以,2，則|。坪=16(?+l),IoAF=XO2+),()2=16

16kl+2fc22^^l+2fc2，

7o2=l+2fc

l+2fc2

??9

IABI2=∣OA∣2+∣Oβ∣2=16(fe+?+16(?2+l)=文、+?

l+2√l+2√

7

I。*2χ∣OB∣2_16(∕∕+l)χl^U

所以/==8,即d=2√∑,

MBl232(∕C2+1)

1+2∕C2

所以坐標(biāo)原點O到斜邊AB所在直線的距離是常數(shù)2√Σ

(2)解：由(1)可得當(dāng)直線04的斜率為0時，∣AB∣=4√2,

當(dāng)直線。4的斜率不為O時，IABI2=32(/+,2,

1+25

設(shè)，=1+2必>0,則F=與i,所以∣AB∣2=32(χ+l)=8(d+jt+l),

即∣AB∣2=8(什"+2),當(dāng)Al時，y=f+*單調(diào)遞增，所以什空2,

故∣A8∣2=8(r+∣+2)>32,即∣48∣>4√L

綜上所述，IAB|24近，故HBl的最小值為4√Σ

px9/-

21.(12分)已知函數(shù)/(X)=彩—tlnx,g(X)=—>F(x)=f(X)-g(x).

(1)當(dāng)/=1時，求證：F(X)>0對于任意正實數(shù)X恒成立.

(2)若函數(shù)/(x)在(0,2)上有且僅有兩個極值點，求實數(shù)f的取值范圍.

p