（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十三章 第五節(jié) 空間向量的應(yīng)用（二）-求空間角課時(shí)作業(yè) 蘇教版-蘇教版高三數(shù)學(xué)試題

第五節(jié)空間向量的應(yīng)用(二)——求空間角課時(shí)作業(yè)練1.(2018江蘇如皋中學(xué)高三階段練習(xí))如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,頂點(diǎn)A1在底面ABC上的投影恰為點(diǎn)B,且AB=AC=A1B=2.(1)求棱AA1與BC所成角的大小;(2)在棱B1C1上確定一點(diǎn)P,使AP=14,并求出二面角P-AB-A1的余弦值.解析(1)如圖,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則C(2,0,0),B(0,2,0),A1(0,2,2),B1(0,4,2),AA1=(0,2,2),BC=cos<AA1,BC>=AA1·故棱AA1與BC所成的角是π3(2)設(shè)B1P=λ于是AP=4λ2+(4則P為棱B1C1的中點(diǎn),其坐標(biāo)為P(1,3,2).設(shè)平面PAB的法向量為n1=(x,y,z),則n1·AP=0故n1=(-2,0,1).易知平面ABA1的一個(gè)法向量是n2=(1,0,0),則cos<n1,n2>=n1·n2|結(jié)合題意知二面角P-AB-A1的余弦值是252.(2019江蘇南京高三模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AP=AB=AD=1.(1)若直線PB與CD所成角的大小為π3(2)求二面角B-PD-A的余弦值.解析(1)以{AB,AD,AP}為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.因?yàn)锳P=AB=AD=1,所以A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).設(shè)C(1,y,0),則PB=(1,0,-1),CD=(-1,1-y,0).因?yàn)橹本€PB與CD所成角的大小為π3所以|cos<PB,CD>|=|PB·CD即12·1+所以C(1,2,0).所以BC的長為2.(2)設(shè)平面PBD的法向量為n1=(x,y,z).因?yàn)镻B=(1,0,-1),PD=(0,1,-1),則PB·n令x=1,則y=1,z=1,所以n1=(1,1,1).易知平面PAD的一個(gè)法向量為n2=(1,0,0),所以cos<n1,n2>=n1·n由圖可知二面角B-PD-A為銳二面角,所以二面角B-PD-A的余弦值為333.(2019南京、鹽城高三模擬)如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形,AC與BD交于點(diǎn)O,OP⊥底面ABCD,點(diǎn)M為PC的中點(diǎn),AC=4,BD=2,OP=4.(1)求直線AP與BM所成角的余弦值;(2)求平面ABM與平面PAC所成銳二面角的余弦值.解析(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以AC⊥BD.又OP⊥底面ABCD,故以O(shè)為原點(diǎn),直線OA,OB,OP分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,4),C(-2,0,0),M(-1,0,2).所以AP=(-2,0,4),BM=(-1,-1,2),AP·BM=10,|AP|=25,|BM|=6.則cos<AP,BM>=AP·BM|AP||故直線AP與BM所成角的余弦值為306(2)AB=(-2,1,0),BM=(-1,-1,2).設(shè)平面ABM的法向量為n=(x,y,z),則由n·AB=0所以平面ABM的一個(gè)法向量為n=(2,4,3).又平面PAC的一個(gè)法向量為OB=(0,1,0),所以n·OB=4,|n|=29,|OB|=1.則cos<n,OB>=n·OB|n||故平面ABM與平面PAC所成銳二面角的余弦值為4294.(2018江蘇蘇州學(xué)業(yè)陽光指標(biāo)調(diào)研)如圖,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面,且AB=BP=2,AD=AE=1,AE⊥AB,且AE∥BP.(1)求平面PCD與平面ABPE所成的二面角的余弦值;(2)線段PD上是否存在一點(diǎn)N,使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于25解析(1)因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABPE,平面ABCD∩平面ABPE=AB,BP⊥AB,BP?平面ABPE,所以BP⊥平面ABCD.又AB?平面ABCD,BC?平面ABCD,所以BP⊥AB,BP⊥BC,又AB⊥BC,所以直線BA,BP,BC兩兩垂直.以B為原點(diǎn),分別以BA,BP,BC所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則P(0,2,0),B(0,0,0),D(2,0,1),E(2,1,0),C(0,0,1).因?yàn)锽C⊥平面ABPE,所以BC=(0,0,1)為平面ABPE的一個(gè)法向量.設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),易得PD=(2,-2,1),CD=(2,0,0),則n·CD=0設(shè)平面PCD與平面ABPE所成的二面角為θ,顯然0<θ<π2又<n,BC>cosθ=n·BC|n|·|所以平面PCD與平面ABPE所成二面角的余弦值為25(2)存在.假設(shè)滿足題意的點(diǎn)N存在,設(shè)PN=λPD=(2λ,-2λ,λ)(0≤λ≤1),則BN=BP+PN=(2λ,2-2λ,λ).由(1)知,平面PCD的一個(gè)法向量為n=(0,1,2),設(shè)直線BN與平面PCD所成的角為α,則sinα=|cos<BN,n>|=BN·n|BN|·|即9λ2-8λ-1=0,解得λ=1或λ=-19故當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí),直線BN與平面PCD所成角的正弦值為255.(2018蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調(diào)研)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=AD=2AB,點(diǎn)Q為線段PA(不含端點(diǎn))上一點(diǎn).(1)當(dāng)Q是線段PA的中點(diǎn)時(shí),求CQ與平面PBD所成角的正弦值;(2)已知二面角Q-BD-P的正弦值為23,求PQ解析(1)以D為原點(diǎn),DA,DC,DP所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=t(t>0),則D(0,0,0),A(2t,0,0),B(2t,t,0),C(0,t,0),P(0,0,2t),Q(t,0,t),所以CQ=(t,-t,t),DB=(2t,t,0),DP=(0,0,2t),設(shè)平面PBD的法向量為n1=(x,y,z),則DB·n1=0所以平面PBD的一個(gè)法向量為n1=(1,-2,0).則cos<n1,CQ>=n1·CQ|n1||(2)由(1)知平面PBD的一個(gè)法向量為n1=(1,-2,0),設(shè)PQPA=λ(0<λ<1),則PQ=λPA,DQ=DP+PQ=(0,0,2t)+λ(2t,0,-2t)=(2tλ,0,2t(1-λ)),DB設(shè)平面QBD的法向量為n2=(x1,y1,z1),則DQ·n2=0,DB·由題意得1-232=|cos<n1,n2>|=所以59=5(1又0<λ<1,所以λ=23,即PQPA=基礎(chǔ)滾動練(滾動循環(huán)夯實(shí)基礎(chǔ))1.焦點(diǎn)為(0,-1)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案x2=-4y解析拋物線的焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上,且p2=1,則p=2,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x22.(2018江蘇泰州中學(xué)高三月度檢測)運(yùn)行如圖所示的偽代碼,則輸出的S的值為.

I←0WhileI<9S←2I+1I←I+3EndWhilePrintS答案15解析當(dāng)I=0時(shí),滿足循環(huán)的條件,S=1,I=4;當(dāng)I=4時(shí),滿足循環(huán)的條件,S=9,I=7;當(dāng)I=7時(shí),滿足循環(huán)的條件,S=15,I=10;當(dāng)I=10時(shí),不滿足循環(huán)的條件,結(jié)束運(yùn)行,故輸出的S的值為15.3.(2018江蘇南通高三調(diào)研)某班40名學(xué)生參加普法知識競賽,成績都在區(qū)間[40,100](單位:分)上,其頻率分布直方圖如圖所示,則成績不低于60分的人數(shù)為.

答案30解析由題意可得成績不低于60分的人數(shù)為40×(0.015+0.030+0.025+0.005)×10=30.4.下列命題中,正確的序號是.

(1)平面內(nèi)一個(gè)三角形各邊所在的直線都與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行;(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行;(3)若兩個(gè)平面平行,則位于這兩個(gè)平面內(nèi)的直線也互相平行;(4)若兩個(gè)平面平行,則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面.答案(1)(2)(4)解析若兩個(gè)平面平行,則位于這兩個(gè)平面內(nèi)的直線互相平行或異面,故(3)錯(cuò)誤;由面面平行的判定和性質(zhì)可得(1)(2)(4)都正確.5.若變量x,y滿足約束條件y≤x,答案-2解析約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域是以點(diǎn)(3,3)、(k,k)、(6-k,k),k≤3為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包含邊界),當(dāng)目標(biāo)函數(shù)y=-3x+z的圖象經(jīng)過點(diǎn)(k,k)時(shí),z取得最小值-8,則4k=-8,解得k=-2.6.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=3,對任意m,n∈N*,都有am·an=am+n.則當(dāng)n≥1時(shí),log3a1+log3a3+…+log3a2n-1=.

答案n2解析在am·an=am+n中,令m=1,得a1·an=an+1,又a1=3,則3an=an+1,則{an}是首項(xiàng)和公比均為3的等比數(shù)列.則an=3n.log3a1+log3a3+…+log3a2n-1=log3(a1a3…a2n-1)=log33n2=n7.已知函數(shù)f(x)=(lnx)2+alnx+答案12解析由題意可得4+2a+∴當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(lnx)2-2lnx+3=(lnx-1)2+2≥2,當(dāng)x≤0時(shí),12<ex+12≤e0+12則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?28.(2019江蘇揚(yáng)州中學(xué)高三月考)若函數(shù)g(x)=sinωx+cosωx+π6(ω>0)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2π,0)對稱,且在區(qū)間-答案13或解析g(x)=12sinωx+32cosωx=sinωx+π3(ω>0)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2π,0)對稱,則g(2π)=sin2πω+π3=0,則2πω+π3=kπ,k∈Z,得ω=12k-16,k∈Z.又g(x)在區(qū)間9.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A,B1,B2分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右、下、上頂點(diǎn),F是橢圓C的右焦點(diǎn).若B答案5解析由題意可知B2(0,b),F(c,0),B1(0,-b),A(a,0),由B2F⊥AB1得kB2F·kB1A=-b故a2-c2=ac,所以e2+e-1=0.解得e=-5-1又橢圓離心率e∈(0,1),所以e=5-10.(2019江蘇揚(yáng)州中學(xué)高三月考)為豐富農(nóng)村業(yè)余文化生活,決定在A,B,N三個(gè)村子的中間地帶建造文化中心.通過測量發(fā)現(xiàn),三個(gè)村子分別位于矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B和以邊AB的中心M為圓心,以MC長為半徑的圓弧的中心N處,且AB=8km,BC=42km.經(jīng)協(xié)商,文化服務(wù)中心擬建在與A,B等距離的O處,并建造三條道路AO,BO,NO與各村通達(dá).若道路建設(shè)成本AO,BO段為每公里2a萬元,NO段為每公里a萬元,建設(shè)總費(fèi)用為w萬元.(1)若三條道路建設(shè)的費(fèi)用相同,求該文化中心離N村的距離;(2)若建設(shè)總費(fèi)用最少,求該文化中心離N村的距離.解析(1)不妨設(shè)∠ABO=θ,依題意得