第03講 4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（原卷版）

第03講4.2.2等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及求取思路，熟練掌握等差數(shù)列的五個(gè)量之間的關(guān)系并能由三求二，能用通項(xiàng)與和求通項(xiàng)。②會(huì)利用等差數(shù)列性質(zhì)簡(jiǎn)化求和運(yùn)算，會(huì)利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特征求最值。③能處理與等差數(shù)列相關(guān)的綜合問(wèn)題。能掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的相關(guān)計(jì)算公式，能熟練處理與等差數(shù)列的相關(guān)量之間的關(guān)系，用函數(shù)的思想解決數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)、和的最大（?。┲祮?wèn)題，會(huì)利用等差數(shù)列的性質(zhì)靈活解決與之相關(guān)的問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)01：等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式1、首項(xiàng)為，末項(xiàng)為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2、首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式【即學(xué)即練1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列均為等差數(shù)列．(1)設(shè)，，求；(2)設(shè)，，求；(3)設(shè)，求．【答案】(1)260(2)21.7(3)49【詳解】（1）依題意，．（2），于是，從而.（3）設(shè)公差為，則，，于是，所以．知識(shí)點(diǎn)02：等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的函數(shù)特征等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可變形為.當(dāng)時(shí)，它是關(guān)于的二次函數(shù)，表示為(，為常數(shù))．知識(shí)點(diǎn)03：等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)(1)若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,則數(shù)列也是等差數(shù)列,且公差為(2)設(shè)等差數(shù)列的公差為,為其前項(xiàng)和,則，，，,…組成公差為的等差數(shù)列(3)在等差數(shù)列，中，它們的前項(xiàng)和分別記為則(4)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為,則，。(5)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為,則，，，【即學(xué)即練2】（2023春·云南曲靖·高二統(tǒng)考期末）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則．【答案】15【詳解】設(shè)，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，又，則，解得．故答案為：15題型01等差數(shù)列前項(xiàng)和的基本量計(jì)算【典例1】（2023秋·天津和平·高三天津市第二十一中學(xué)校考階段練習(xí)）等差數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求n.【典例2】（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，求解下列問(wèn)題：(1)若，，求；(2)若，，求；(3)若，，，求n．【變式1】（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）一個(gè)物體第1s下落4.90m，以后每秒比前一秒多下落9.80m．(1)如果它從山頂下落，經(jīng)過(guò)5s到達(dá)地面，那么這山的高度是多少米？(2)如果它從1960m的高空下落到地面，要經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？【變式2】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知數(shù)列是等差數(shù)列．(1)若，，求；(2)若，，求；(3)若，，，求n．題型02利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式判斷【典例1】（2023春·湖北十堰·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，則數(shù)列的通項(xiàng)公式．【典例2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)當(dāng)時(shí)，求證：該數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，求滿(mǎn)足條件．【變式1】（2023秋·重慶九龍坡·高二重慶市渝高中學(xué)校校考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求證：是等差數(shù)列；【變式2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式；求證：數(shù)列是等差數(shù)列．題型03等差數(shù)列片段和性質(zhì)【典例1】（2023秋·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則等于（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A．10 B．20 C．30 D．15【變式1】（2023秋·天津河?xùn)|·高三天津市第四十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列中，已知，，則（

）A．90 B．40 C．50 D．60【變式2】（2023秋·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C． D．【變式3】（2023秋·上海閔行·高二?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，，則.題型04比值問(wèn)題（含同角標(biāo)和不同角標(biāo)）【典例1】（2023秋·天津武清·高三天津市武清區(qū)城關(guān)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別是與，且，則.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為、，若對(duì)任意的，都有，則．【典例3】（2023春·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？计谥校┮阎炔顢?shù)列和的前項(xiàng)和為分別為和，若，則的值為（

）A． B． C． D．【變式1】（2023春·遼寧阜新·高二校考期中）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求.【變式2】（2023春·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且，則（

）A． B． C． D．【變式3】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別是與，且，則；.題型05等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題【典例1】（2023春·遼寧朝陽(yáng)·高二建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列中，已知，前n項(xiàng)和為，且，則最小時(shí)n的值為（

）A．11 B．11或12 C．12 D．12或13【典例2】（2023春·遼寧鐵嶺·高二校聯(lián)考期末）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求以及的最小值．【典例3】（2023春·甘肅臨夏·高二?？茧A段練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.(1)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的最小值及對(duì)應(yīng)的n值．【變式1】（多選）（2023春·河南南陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且，則（

）A． B． C．或?yàn)榈淖畲笾?D．【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若，則的最大值為.【變式3】（2023秋·山西大同·高三大同市第二中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的最大值.題型06符合條件的最值問(wèn)題【典例1】（2023秋·湖南邵陽(yáng)·高三湖南省邵東市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)取得最大值時(shí)， D．【典例2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為有最小值，且，則使成立的正整數(shù)n的最小值為（

）A．9 B．10 C．17 D．18【典例3】（多選）（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C． D．?dāng)?shù)列中最大項(xiàng)為第6項(xiàng)【變式1】（2023春·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，若，則當(dāng)取得最大值時(shí)，＝（

）A．8 B．9 C．10 D．11【變式2】（多選）（2023秋·河北保定·高三河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)是公差為d的等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，且，，則（

）A． B． C． D．【變式3】（多選）（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）.A． B．C． D．與均為的最大值題型07求數(shù)列的前項(xiàng)和問(wèn)題【典例1】（2023秋·江蘇蘇州·高二吳江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若等差數(shù)列的首項(xiàng)，，記，則．【典例2】（2023秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式(2)若，求的前項(xiàng)和.【典例3】（2023秋·河北保定·高三河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并作答．問(wèn)題：已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且__________，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【變式1】（2023秋·江蘇南京·高二南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在公差為的等差數(shù)列中，已知，且.(1)求；(2)若，求.【變式2】（2023秋·西藏林芝·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．題型08等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)和【典例1】（2023秋·甘肅·高二?？茧A段練習(xí)）一個(gè)等差數(shù)列共100項(xiàng)，其和為80，奇數(shù)項(xiàng)和為30，則該數(shù)列的公差為（

）A． B．2 C． D．【典例2】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，若數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為，，則公差的值為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知等差數(shù)列中，前m（m為奇數(shù)）項(xiàng)的和為77，其中偶數(shù)項(xiàng)之和為33，且，求通項(xiàng)公式．【變式1】（2023春·陜西寶雞·高三校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為，且，，則（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，則的值為（

）．A．30 B．29 C．28 D．27【變式3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)的和為40，偶數(shù)項(xiàng)的和為32，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11題型09數(shù)列求和（倒序相加法）【典例1】（2023春·山東淄博·高二山東省淄博第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子.在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成;因此，此方法也稱(chēng)之為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·廣東珠海·高二珠海市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式的方法，可求得．【變式1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)滿(mǎn)足，若數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為（

）A．100 B．105 C．110 D．115【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，等差數(shù)列滿(mǎn)足，則．題型10數(shù)列求和（裂項(xiàng)相消法）【典例1】（2023秋·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的取值范圍為.【典例2】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且當(dāng)時(shí)，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿(mǎn)足：，求的前項(xiàng)和.【典例3】（2023秋·陜西商洛·高三陜西省山陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）記遞增的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且．(1)求和；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【變式1】（2023秋·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）數(shù)列中，，，則（

）A．97 B．98 C．99 D．100【變式2】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【變式3】（2023秋·四川成都·高三?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C． D．2．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）明代數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中已經(jīng)給出由n，和d求各項(xiàng)的問(wèn)題，如九兒?jiǎn)柤赘瑁骸耙粋€(gè)公公九個(gè)兒，若問(wèn)生年總不知，自長(zhǎng)排來(lái)差三歲，共年二百又零七．借問(wèn)長(zhǎng)兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．”則該問(wèn)題中老人的長(zhǎng)子的歲數(shù)為（

）A．35 B．32 C．29 D．263．（2023春·江西·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列的前項(xiàng)和，則取最大值時(shí)的值為（

）A． B．2 C． D．44．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A．66 B．72 C．132 D．1445．（2023春·遼寧大連·高二大連八中?？计谥校┰O(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．0 B． C． D．6．（2023秋·江蘇淮安·高三江蘇省清浦中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．97．（2023秋·江蘇南京·高三南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，，公差，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（

）A．10 B．50 C．60 D．708．（2023秋·山東濰坊·高三?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023秋·江西南昌·高三?？茧A段練習(xí)）公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的有（

）A． B． C．中最大 D．10．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙一中?？计谀┮阎獮榈炔顢?shù)列，前項(xiàng)和為，，公差d=?2，則（

）A．=B．當(dāng)n=6或7時(shí)，取得最小值C．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為50D．當(dāng)n≤2023時(shí)，與數(shù)列（mN）共有671項(xiàng)互為相反數(shù)．三、填空題11．（2023秋·上海普陀·高二上海市晉元高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，前項(xiàng)和取得最小值，則公差的取值范圍是.12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列的通項(xiàng)為，其前n項(xiàng)和為，若，則項(xiàng)數(shù)．四、解答題13．（2023秋·江蘇淮安·高三江蘇省清浦中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.14．（2023秋·四川涼山·高二寧南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的最小值．B能力提升1．（2023秋·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的，均有成立，則的值的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·江蘇淮安·高三江蘇省清浦中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)家楊輝在其專(zhuān)著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列.其中二階等差數(shù)列是一個(gè)常見(jiàn)的高階等差數(shù)列，如數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前六項(xiàng)分別為，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．3．（2023秋·福建寧德·高二福鼎市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“楊輝三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕