9.1.1 變量的相關性（原卷版）

9.1.1變量的相關性一、變量的相關關系1、相關關系：兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系；2、散點圖：將樣本中n個數(shù)據(jù)點（）描在平面直角坐標系中得到的統(tǒng)計圖叫做散點圖，是描述成對數(shù)據(jù)之間關系的一種直觀方法；3、正相關與負相關：如果從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關；如果當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這兩個變量負相關；4、線性相關：一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近，我們稱這兩個變量線性相關；5、非線性相關與曲線相關：如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關；二、相關關系與函數(shù)關系的異同1、相同點：兩者均是指兩個變量之間的關系；2、不同點：（1）函數(shù)關系是一種確定的關系，如勻速直線運動中時間t與路程s的關系；相關關系是一種不確定的關系，如一塊農田的水稻產量與施肥量之間的關系；事實上，函數(shù)是兩個非隨機變量的關系，而相關關系是非隨機變量與隨機變量的關系；（2）函數(shù)關系是一種因果關系，而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系。三、樣本相關系數(shù)1、樣本相關系數(shù)：設由變量x和y獲得的兩組數(shù)據(jù)分別為和（i=1，2，…，n），其對應關系如下表所示：變量x…變量y…兩組數(shù)據(jù)和的線性相關系數(shù)是度量兩個變量x與y之間線性相關程度的統(tǒng)計量，其計算公式為，其中，，，它們分別是這兩組數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)．2、相關系數(shù)r的性質（1）；（2）時，與呈正相關關系；時，與呈負相關關系（3）越接近1，與的相關程度越強；越接近0，與的相關程度越弱.通常情況下，時，認為線性相關關系顯著；當時，認為幾乎沒有線性相關關系。題型一相關關系與函數(shù)關系【例1】（2023·江蘇·高二專題練習）對于給定的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，下列說法正確的是__________．（填序號）①都可以分析出兩個變量的關系；②都可以用一條直線近似地表示兩者的關系；③都可以作出散點圖；④都可以用確定的表達式表示兩者的關系．【變式1-1】（2022春·甘肅蘭州·高二統(tǒng)考期中）有下列關系：①人的年齡與他（她）擁有的財富之間的關系；②曲線上的點與該點的坐標之間的關系；③蘋果的產量與氣候之間的關系；④森林中的同一種樹木，其橫斷面直徑與高度之間的關系，其中有相關關系的是（）A．①②③B．①②C．②③D．①③④【變式1-2】（2023·江蘇·高二專題練習）下列兩個量之間的關系是相關關系的是（）A．勻速直線運動中時間與位移的關系B．學生的成績和身高C．兒童的年齡與體重D．物體的體積和質量【變式1-3】（2022·高二課時練習）下列語句表示的事件中的因素不具有相關關系的是（）A．瑞雪兆豐年B．名師出高徒C．不積跬步，無以至千里D．喜鵲叫喜，烏鴉叫喪題型二由散點圖判斷相關關系【例2】（2022·高二課時練習）有五組變量：①汽車的重量和汽車每消耗升汽油所行駛的平均路程；②平均日學習時間和平均學習成績；③某人每日吸煙量和身體健康情況；④圓的半徑與面積；⑤汽車的重量和每千米耗油量.其中兩個變量成正相關的是（）A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤【變式2-1】（2022·高二課時練習）某商家今年上半年各月的人均銷售額（單位：千元）與利潤率統(tǒng)計表如下：月份人均銷售額利潤率根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A．利潤率與人均銷售額成正相關關系B．利潤率與人均銷售額成負相關關系C．利潤率與人均銷售額成正出例函數(shù)關系D．利潤率與人均銷售額成反比例函數(shù)關系【變式2-2】（2023春·陜西咸陽·高二?？茧A段練習）對變量、由觀測數(shù)據(jù)得散點圖，對變量、由觀測數(shù)據(jù)得散點圖.由這兩個散點圖可以判斷（）A．變量與負相關，與正相關B．變量與負相關，與負相關C．變量與正相關，與正相關D．變量與正相關，與負相關【變式2-3】（2023·高二課時練習）如下四個散點圖中，正相關的是（）A．B．C．D．題型三相關系數(shù)的理解與判斷【例3】（2023春·陜西咸陽·高二武功縣普集高級中學?？茧A段練習）對于樣本相關系數(shù)，下列說法錯誤的是（）A．樣本相關系數(shù)可以用來判斷成對樣本數(shù)據(jù)相關的正負性B．樣本相關系數(shù)可以是正的，也可以是負的C．樣本相關系數(shù)D．樣本相關系數(shù)越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度也越強【變式3-1】（2023春·高二單元測試）對兩個變量與進行回歸分析，分別選擇不同的模型，它們的相關系數(shù)如下，其中擬合效果最好的模型是（）①模型Ⅰ的相關系數(shù)為；②模型Ⅱ的相關系數(shù)為；③模型Ⅲ的相關系數(shù)為；④模型Ⅳ的相關系數(shù)為；A．ⅠB．ⅡC．ⅢD．Ⅳ【變式3-2】（2023·高二課時練習）在一次試驗中，測得的五組數(shù)據(jù)分別為，，，，，去掉一組數(shù)據(jù)后，下列說法正確的是（）A．樣本數(shù)據(jù)由正相關變成負相關B．樣本的相關系數(shù)不變C．樣本的相關性變弱D．樣本的相關系數(shù)變大【變式3-3】（2023·高二課時練習）對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，依次獲得如圖所示的散點圖．關于其相關系數(shù)的大小比較，將0、、、、從小到大排列，應為______．題型四相關系數(shù)的計算與應用【例4】（2022·高二課時練習）在一次試驗中，測得的四組值分別為，則與的相關系數(shù)為（）A．B．C．0D．【變式4-1】（2021春·陜西咸陽·高二?？茧A段練習）若已知是的兩倍，是的1.2倍，則相關系數(shù)r的值為（）A．B．C．0.92D．0.65【變式4-2】（2023春·陜西西安·高二校聯(lián)考階段練習）已知某個樣本點中的變量x、y線性相關，相關系數(shù)，則在以為坐標原點的坐標系下的散點圖中，大多數(shù)的點都落在第_____