第01講 空間向量及其運(yùn)算【秋季講義】（人教A版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

第01講空間向量及其運(yùn)算【人教A版2019】·模塊一空間向量及其線性運(yùn)算·模塊二空間向量的數(shù)量積運(yùn)算·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一空間向量及其線性運(yùn)算1．空間向量的概念(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：向量的大小．(3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量2．空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當(dāng)λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時，λa＝0運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.3．共線向量(1)空間兩個向量共線的充要條件對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0//a.(3)共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；②證明三點(diǎn)共線.【注】：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法；證明三點(diǎn)共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點(diǎn).4．共面向量(1)共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要條件如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①證明四點(diǎn)共面；②證明線面平行.【考點(diǎn)1空間向量的線性運(yùn)算】【例1.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）12a+2A．-52a-4c B．-5【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可.【解答過程】12故選：C.【例1.2】（2022秋·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在ABCD中，點(diǎn)M,N分別是棱AD,CD的中點(diǎn)，則12BD+A．CA B．AC C．NM D．MN【解題思路】由中點(diǎn)的向量公式與向量的減法運(yùn)算即可得到答案.【解答過程】如圖所示，連接BM,BN，因?yàn)镸,N分別是棱AD,CD的中點(diǎn)，所以12故選：C.【變式1.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）若A,B,C,D為空間不同的四點(diǎn)，則下列各式不一定為零向量的是（

）A．ABB．2C．ABD．AB【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算逐一分析各個選項(xiàng)即可得出答案.【解答過程】對于A，AB+2對于B，2AB對于C，AB+對于D，AB-故選：A.【變式1.2】（2023秋·廣東廣州·高二?？计谀┤鐖D，在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，AC與BD的交點(diǎn)為O，點(diǎn)M在A．-12AB+76ADC．-12AB+56AD【解題思路】根據(jù)平行六面體的幾何特點(diǎn)，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算，即可求得結(jié)果.【解答過程】因?yàn)槠叫辛骟wABCD-A'B'C'故可得OM=OB+BM=1212AB-AD+2故選：D.【考點(diǎn)2由空間向量的線性運(yùn)算求參數(shù)】【例2.1】（2023秋·江西吉安·高二?？计谀┮阎陂L方體ABCD-A1B1C1DA．3 B．2 C．1 D．-2【解題思路】利用空間向量的運(yùn)算法則即可求解.【解答過程】依題知，∵AD∴x=-1,y=z=1，∴x+y+z=1．故選：C.【例2.2】（2022秋·山東煙臺·高二?？茧A段練習(xí)）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)MA．12 B．1 C．-12【解題思路】根據(jù)空間向量加法，數(shù)乘運(yùn)算求解即可.【解答過程】解：因?yàn)辄c(diǎn)M為棱DD1中點(diǎn)，所以BM=所以x故選：A.【變式2.1】（2023秋·山東泰安·高二?？计谀┤鐖D所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)A．x=-12,y=C．x=-12,y=-【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【解答過程】根據(jù)題意，得；BE==又∵∴x=-故選：A.【變式2.2】（2023春·高二課時練習(xí)）設(shè)a1=2m-j+k，a2=m+3j-2k，a3=-2m+j-3k，aA．1，-2，-3B．-2，1，-3C．-2，1，3D．-1，2，3【解題思路】根據(jù)條件可得(2λ+μ-2υ)m+(-λ+3μ+υ)【解答過程】a4即(2λ+μ-2υ)m所以2λ+μ-2υ=3-λ+3μ+υ=2λ-2μ-3υ=故選：B.【考點(diǎn)3向量共線的判定及應(yīng)用】【例3.1】（2023秋·高二課時練習(xí)）AB與CD共線是直線AB∥CD的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)向量共線的定義，結(jié)合充分條件和必要條件的概念判斷即可.【解答過程】根據(jù)向量共線的定義，可知若AB與CD共線，則它們所在的直線可能平行，也可能重合；若AB∥CD，則AB與CD共線；根據(jù)充分條件和必要條件的概念，可知AB與CD共線是直線AB∥CD的必要不充分條件，故選B.【例3.2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）滿足下列條件，能說明空間不重合的A、B、C三點(diǎn)共線的是()A．AB+BC=C．AB=BC D【解題思路】由題意逐一考查所給的說法是否正確即可.【解答過程】對于空間中的任意向量，都有AB+BC=若AB-BC=AC，則AC+BC=AB，而AB=BC，則A、B、C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)AB=BC，則線段AB的長度與線段BC的長度相等，不一定有A、B、C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)故選C.【變式3.1】（2022·高二課時練習(xí)）已知非零向量a=3m-2n-4p，b=(x+1)m+8n+2yp，且A．-13B．-5C．8D．13【解題思路】先由向量平行，得到b=λa，利用系數(shù)對應(yīng)相等構(gòu)建關(guān)系，即求得x，y【解答過程】∵a//b且a≠0，∴又m、n、p不共面，∴x+1=3λ8=-2λ2y=-4λ，解得x=-13，y=8，故選：B.【變式3.2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）若a=-i+2j-k，b=-3i+6j-3A．可組成銳角三角形 B．可組成直角三角形C．可組成鈍角三角形 D．不構(gòu)成三角形【解題思路】由共線定理判斷是否共線可知.【解答過程】由題知，b所以a→所以a?b?c不構(gòu)成三角形.故選：D.【考點(diǎn)4向量共面的判定及應(yīng)用】【例4.1】（2023秋·高一單元測試）下列條件能使點(diǎn)M與點(diǎn)A,B,C一定共面的是（

）A．OMB．OMC．OMD．OM【解題思路】根據(jù)空間共面向量定理以及其結(jié)論一一判斷各選項(xiàng)，即可得答案.【解答過程】設(shè)OM=xOA+yOB+z對于A，OM=OA-OB-對于B，OM=OA+OB+對于C,OM=-OA-OB+對于D，OM=-OA-OB+3OC，由于-1-1+3=1故選：D.【例4.2】（2023·全國·高二課堂例題）已知O為空間任意一點(diǎn)，A,B,C,P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且OP=mOA+2OB+A．-1 B．-2 C．-3 D．1【解題思路】由題知，存在x,y∈R，使得AP=xAB+y【解答過程】解：因?yàn)锳,B,C,P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，所以，根據(jù)共面向量基本定理，存在x,y∈R，使得AP因?yàn)锳P=OP-OA，所以O(shè)P-OA=x因?yàn)镺P=m所以，1-x-y=mx=2y=1故選：B.【變式4.1】（2023春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）已知A,B,C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，若由OP=15OA+13OB+λA．-23 B．23 C．7【解題思路】根據(jù)四點(diǎn)共面的充要條件及其推論，即可得出答案.【解答過程】由P與A,B,C三點(diǎn)共面以及OP=可得，15+1故選：C.【變式4.2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知A、B、C是空間中不共線的三個點(diǎn)，若點(diǎn)O滿足A．點(diǎn)O是唯一的，且一定與A、B．點(diǎn)O不唯一，但一定與A、C．點(diǎn)O是唯一的，但不一定與A、D．點(diǎn)O不唯一，也不一定與A、【解題思路】由OA+2OB+3OC=0，可得OA=-2OB【解答過程】由空間向量的知識可知a,b,c共面的充要條件為存在實(shí)數(shù)因?yàn)镺A+2所以O(shè)A=-2所以O(shè)A,所以O(shè),A,B,C四點(diǎn)共面，因?yàn)镺A+2OB+3所以點(diǎn)O唯一.故選：A.模塊二模塊二空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1．空間向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.特別地，當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a⊥b.2．空間向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.性質(zhì)①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運(yùn)算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空間向量夾角的計(jì)算求兩個向量的夾角：利用公式＝求，進(jìn)而確定．4．空間向量數(shù)量積的計(jì)算求空間向量數(shù)量積的步驟：(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積．(3)代入求解．【考點(diǎn)5空間向量數(shù)量積的計(jì)算】【例5.1】（2023春·黑龍江哈爾濱·高一?？计谀┤鐖D，在四面體ABCD中，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=45°，AD=2，AB=AC=3.則BC?BD

A．32 B．52 C．92【解題思路】根據(jù)圖形，轉(zhuǎn)化向量，利用向量數(shù)量積公式，即可求解.【解答過程】BC===3×=9故選：C.【例5.2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1DA．1 B．0 C．-1 D．-2【解題思路】利用空間向量的運(yùn)算法則即可求解.【解答過程】由正方體的性質(zhì)可得，AB⊥AD,AB⊥故選：B.【變式5.1】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,M,N分別是A1C1,BB

A．4 B．5 C．6 D．8【解題思路】連接AN,AM，將待求表達(dá)式轉(zhuǎn)化進(jìn)行運(yùn)算簡化.【解答過程】連接AN,AM，由棱柱性質(zhì)，側(cè)棱AA1⊥平面A1B1C故AM=AA1AG?故選：C.【變式5.2】（2023秋·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知EF是棱長為8的正方體外接球的一條直徑，點(diǎn)M在正方體的棱上運(yùn)動，則ME?MF的最小值為（A．-48 B．-32 C．-16 D．0【解題思路】求得正方體外接球的半徑，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算求得ME?MF的表達(dá)式|OM|【解答過程】如圖，EF是棱長為8的正方體外接球的一條直徑，即正方體的一條體對角線，由正方體的特征可得其外接球半徑為82設(shè)外接球球心為O，則ME?=|MO由于點(diǎn)M在正方體的棱上運(yùn)動,故|OM|2即為正方體面對角線的一半，為82所以ME?MF的最小值為故選：C.【考點(diǎn)6空間向量的夾角及其應(yīng)用】【例6.1】（2023春·廣西柳州·高二?？茧A段練習(xí)）已知a、b都是空間向量，且a,b=2π3A．π3 B．π6 C．2π3【解題思路】利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得到答案【解答過程】解：∵∴a?b∴cos2a,-3b∵2a,-3b故選：A.【例6.2】（2023·全國·高三對口高考）在三棱錐V-ABC中，VA⊥BC,VB⊥AC，則VC與AB的夾角為（

）A．60° B．90° C．30° D．不確定【解題思路】根據(jù)題意得VA?BC=【解答過程】∵VA⊥BC,VB⊥AC，∴VA?∴VA?BC=∴VB?VC-VA∴VC?AB=0，則VC與AB的夾角為90°．故選：B．【變式6.1】（2023春·高二課時練習(xí)）若非零向量a，b滿足a=b，(2a-b)?b=0A．30° B．60° C．120° D．150°【解題思路】設(shè)a與b的夾角為θ，則由(2a-b)?b=0，a=【解答過程】設(shè)a與b的夾角為θ，因?yàn)?2a-b所以2a因?yàn)榉橇阆蛄縜，b滿足a=所以cosθ=因?yàn)棣取蔥0,π]，所以θ=π3，即故選：B.【變式6.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AAA．30° B．45° C．60° D．90°【解題思路】根據(jù)空間向量模公式，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義進(jìn)行求解即可.【解答過程】∵AC1==1+1+1+2×1×1×-12+2×1×1×-1故選：C.【考點(diǎn)7利用空間向量的數(shù)量積求?！俊纠?.1】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）已知單位向量a，b，c中，a⊥b，a,c=A．5 B．5 C．6 D．6【解題思路】根據(jù)題意，由空間向量的模長公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【解答過程】因?yàn)閍⊥b，a,c=b,則a=1+1+4-0+4×1×1×故選：D.【例7.2】（2023春·福建莆田·高二統(tǒng)考期末）如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，其中AB=2，AD=4，

A．9 B．29 C．47 D．4【解題思路】由AC1=【解答過程】由ACAC因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，AB=2，AD=4，AA所以AC2=AC因?yàn)椤螦所以AB所以2ACA故選：C.【變式7.1】（2023春·高二課時練習(xí)）平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）ABCD-A1B1C1D1所有棱長都為A．3-1 B．2-1 C．3-2【解題思路】由BD1=【解答過程】如圖：由B∴==1+1+1-2×1×1×=3-2∴|B故選：C.【變式7.2】（2023春·甘肅天水·高二統(tǒng)考期末）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=

A．AC1=a+b+C．AC1=a+b+【解題思路】用向量的線性運(yùn)算可直接求得AC1【解答過程】在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，∵AC∴A=1+1+1+0+2×1×1×1∴AC故選:C．【考點(diǎn)8空間向量數(shù)量積的應(yīng)用】【例8.1】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知a，b是異面直線，a⊥b，e1，e2分別為取自直線a，b上的單位向量，且m=2e1+3eA．-6 B．6 C．3 D．-3【解題思路】由m⊥n，可得m?n=0，再將m=2【解答過程】因?yàn)閍，b是異面直線，a⊥b，e1，e2分別為取自直線所以e1⊥e因?yàn)閙⊥n，所以m?所以2ke12-8e故選：B.【例8.2】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二校考期末）如圖，二面角A-EF-C的大小為45°，四邊形ABFE、CDEF都是邊長為1的正方形，則B、D兩點(diǎn)間的距離是（

A．2 B．3 C．3-2 D．【解題思路】利用二面角的定義可得出∠AED=45°，由空間向量的線性運(yùn)算可得出DB=EA【解答過程】因?yàn)樗倪呅蜛BFE、CDEF都是邊長為1的正方形，則AE⊥EF，DE⊥EF，又因?yàn)槎娼茿-EF-C的大小為45°，即∠AED=45°因?yàn)镈B=DE+EA+所以，DB=1+1+1-2×1×1×故選：C.【變式8.1】（2023春·福建寧德·高二?？茧A段練習(xí)）已知A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足AC?AD=0，AB?AD=0，點(diǎn)M為A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．以上三種情況都有可能【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積，可得AM⊥AD，進(jìn)而可知△AMD為直角三角形.【解答過程】∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴AM=∴AM?∴AM⊥AD，∴△AMD為直角三角形.故選：C.【變式8.2】（2022秋·北京西城·高二?？茧A段練習(xí)）已知四邊形ABCD滿足：AB?BC=0，BC?CD=0，A．以下答案都不對 B．不確定C．空間四邊形 D．矩形【解題思路】利用反證法證明A,B,C,D共面，再根據(jù)向量數(shù)量積為0，則向量垂直，即可判斷四邊形形狀.【解答過程】若A,B,C,D共面，因?yàn)锳B?BC=0，BC?CD所以AB⊥BC，BC⊥CD，若A,B,C,D不共面，在平面ABC內(nèi)過A作AD'//BC，且A則四邊形ABCD'為平行四邊形，由AB?所以四邊形ABCD'為矩形，所以BC⊥CD'，由又因?yàn)镃D∩CD'=C，CD,C所以BC⊥平面DCD'，因?yàn)樗訟D'⊥平面CDD'，因?yàn)镃D?平面CD∴CD⊥DA，因?yàn)锳D∩AD'=A，AD,A∴CD⊥平面ADD'，又因?yàn)镈A?AB=0AD∩AD'=A，AD,AD'?平面所以CD//AB，所以A,B,C,D四點(diǎn)共面，這與假設(shè)矛盾，故A,B,C,D共面，綜上：該四邊形為矩形.故選：D.模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023春·江蘇南京·高二校考期中）已知正方體ABCD-A'B'C'D'，點(diǎn)E是A'C'A．13AAC．13AA【解題思路】根據(jù)空間向量的分解，線性表示方法可求解.【解答過程】因?yàn)锳E==A所以AF=故選:D.2．（2023秋·廣西防城港·高二統(tǒng)考期末）如圖，設(shè)O為平行四邊形ABCD所在平面外任意一點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn)，若OE=12OD+xA．-2 B．0 C．-1 D．3【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算的幾何表示，得出OE=1【解答過程】∵E為OC的中點(diǎn)，∴OE∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∴OE∵OE∴x=12，∴x+y=0，故選：B.3．（2023春·福建莆田·高二統(tǒng)考期末）若點(diǎn)P∈平面ABC，且對空間內(nèi)任意一點(diǎn)O滿足OP=14OA+λA．-58 B．-38 C．【解題思路】根據(jù)條件得出P，A，B，C四點(diǎn)共面，再根據(jù)OP=14【解答過程】∵P∈平面ABC，∴P，A，B，C四點(diǎn)共面，又OP=∴14+1故選：D．4．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知空間向量a，b，a=1，b=2，且a-b與a垂直，則aA．60° B．30° C．135°【解題思路】根據(jù)已知可得a-b?a【解答過程】因?yàn)閍-b與a垂直，所以即a2所以cosa又0°≤a故選：D.5．（2023春·甘肅白銀·高二?？计谀┰O(shè)向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)A，C，D三點(diǎn)共線，可得AC//CD，則存在唯一實(shí)數(shù)μ，使得AC【解答過程】由AB=e1得AC=因?yàn)锳，C，D三點(diǎn)共線，所以AC//則存在唯一實(shí)數(shù)μ，使得AC=μ則2=4μ1+λ=8μ2=4μ，解得故選：C.6．（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）已知向量e1，e2不共線，AB=e1+eA．AB與AC共線 B．AB與CD共線C．A，B，C，D四點(diǎn)不共面 D．A，B，C，D四點(diǎn)共面【解題思路】根據(jù)平面向量共線定理及推論依次判斷各個選項(xiàng)即可.【解答過程】對于A，∵12≠18，∴不存在實(shí)數(shù)λ，使得AB=λAC成立，∴對于B，∵AC=2e1+8e2，又11≠1-13，∴不存在實(shí)數(shù)λ，使得AB=λCD成立，∴對于C、D，若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則有AD=x∴x+2y=3x+8y=-5，即x=17故A，B，C，D四點(diǎn)共面，C錯誤，D正確.故選：D.7．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在三棱錐O-ABC中，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°,OB=OC=2OA=2,E為OC的中點(diǎn)，則AEA．-1 B．0 C．1 D．3【解題思路】由題意可得AE=1【解答過程】因?yàn)椤螦OB=∠AOC=∠BOC=60所以O(shè)C?OA?OA?因?yàn)锳E=AE=1故選：C.

8．（2023春·黑龍江綏化·高一?？茧A段練習(xí)）已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的各棱長均為1，

A．3 B．2+2 C．2 D．【解題思路】分析得出AC1=AB【解答過程】由已知可得AB?AB?AD=0所以AC所以AC故選：D．9．（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）在三維空間中，三個非零向量OA,OB,OC滿足OA⊥A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．直角或銳角三角形【解題思路】根據(jù)已知條件推出AB?AC>0，得∠CAB為銳角．同理可得【解答過程】因?yàn)镺A⊥所以O(shè)A?AB=OB所以cos∠CAB=即知∠CAB為銳角．同理可知∠ABC,∠BCA也為銳角．故△ABC是銳角三角形．故選：A．10．（2023春·上海浦東新·高二?？茧A段練習(xí)）空間有一四面體A-BCD，滿足AD⊥AB，AD⊥AC，則所有正確的選項(xiàng)為（

）①DB?②若∠BAC是直角，則∠BDC是銳角；③若∠BAC是鈍角，則∠BDC是鈍角；④若AB<DA且AC<DAA．② B．①③ C．②④ D．②③④【解題思路】由題意知AD?AB=0，AD?AC=0，DB?DC=DA+AB?DA+AC=DA2+AB?AC可判斷①；若∠【解答過程】對于①，因?yàn)锳D⊥AB，AD⊥AC，所以AD?AB=0則DB?DC=對于②，若∠BAC是直角，則AB?DB所以∠BDC是銳角，故②正確；對于③，若∠BAC是鈍角，設(shè)∠BAC=120°，AB=AD=AC=1，在△ABC中，由余弦定理可得：BC而DB=DC=2，所以在△DBC中，cos所以∠BDC為銳角，所以③不正確；對于④，DB?若AB<DA且AC<因?yàn)椤螧AC∈0,DB→?DC→>0，所以故選：C.11．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，已知G為△BCD的重心，E,F,H分別為邊CD,AD和BC的中點(diǎn)，化簡下列各式：(1)AG→(2)12(3)13【解題思路】（1）根據(jù)向量共線，加法與減法運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則求解即可；（3）根據(jù)13AB【解答過程】（1）解：因?yàn)镚為△BCD的重心，E,F為邊CD,AD的中點(diǎn)，所以AG=AB→+所以AG（2）解：因?yàn)镋,F,H分別為邊CD,AD和BC的中點(diǎn)，