（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 平面向量與復(fù)數(shù) 第33課 平面向量的概念與線性運(yùn)算 文-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

第33課平面向量的概念與線性運(yùn)算(本課時(shí)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第頁)自主學(xué)習(xí)回歸教材1.(必修4P67練習(xí)4改編)化簡(jiǎn)：+++=.【答案】0【解析】注意結(jié)果不是0，是零向量.2.(必修4P62習(xí)題5改編)判斷下列四個(gè)命題：①若a∥b，則a=b；②若|a|=|b|，則a=b；③若|a|>|b|，則a>b；④若a∥b，b∥c，則a∥c.其中正確的個(gè)數(shù)是.【答案】0【解析】對(duì)于①，a與b的長(zhǎng)度可能不相同，故①錯(cuò)；對(duì)于②，a與b的模相等，但方向不一定相同，故②錯(cuò)；對(duì)于③，向量不能比較大小，故③錯(cuò)；對(duì)于④，若b=0，則a與c不一定平行，故④錯(cuò).3.(必修4P57習(xí)題2改編)對(duì)于非零向量a，b，“a∥b”是“a+b=0”成立的條件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)【答案】必要不充分【解析】由a+b=0，可得a=-b，即得a∥b，但a∥b，不一定有a=-b，所以“a∥b”是“a+b=0”成立的必要不充分條件.4.(必修4P60例1改編)如圖，在正六邊形ABCDEF中，++=.(第4題)【答案】【解析】因?yàn)?，所以++=++=.5.(必修4P68習(xí)題10改編)在△ABC中，若||=||=|-|，則△ABC的形狀是.【答案】等邊三角形【解析】由-=，知三角形的三邊相等，所以△ABC是等邊三角形.1.向量的有關(guān)概念向量：既有大小又有方向的量叫作向量.向量的大小叫向量的長(zhǎng)度(或模).2.幾個(gè)特殊的向量(1)零向量：長(zhǎng)度為零的向量，記作0，其方向是任意的.(2)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.(3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又稱為共線向量，規(guī)定0與任一向量共線.(4)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.(5)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.3.向量的加法(1)運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)，將兩個(gè)已知向量平移到公共起點(diǎn)，和向量是以公共點(diǎn)為起點(diǎn)的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量.(2)運(yùn)用向量加法的三角形法則時(shí)，要特別注意“首尾相接”，即第二個(gè)向量要以第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，即由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)為和向量.4.向量的減法將兩個(gè)已知向量平移到公共起點(diǎn)，差向量是減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)的向量.注意方向指向被減向量.5.向量的數(shù)乘實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：(1)|λa|=|λ||a|.(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0.注：向量的加法、減法、數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.6.兩個(gè)向量共線定理向量b與非零向量a共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b=λa.【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破向量的線性運(yùn)算例1如圖，在平行四邊形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，N是對(duì)角線AC上的點(diǎn)，且=3，設(shè)=a，=b，試用a，b分別表示.(例1)【思維引導(dǎo)】觀察圖形中線段AM，MN與AB，AD的關(guān)系即可.【解答】因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以==b，所以=+=a+b.因?yàn)?3，所以==(a+b)，所以=-=-a+b.【精要點(diǎn)評(píng)】正確運(yùn)用向量的加法和減法是解答本題的關(guān)鍵.變式1(2015·北京卷)在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足=2=.若=x+y，則x=，y=.【答案】-【解析】=+=+=+(-)=-.變式2(2015·南京二模)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E為線段AO的中點(diǎn)，若=λ+μ(λ，μ∈R)，則λ+μ=.(變式2)【答案】【解析】因?yàn)镺，E分別是AC，AO的中點(diǎn)，所以=+=+=+(-)=+.又=λ+μ=λ+μ(+)=(λ+μ)+μ，故λ+μ=.例2如圖，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，且P，G，Q三點(diǎn)共線.(例2)(1)設(shè)=λ，試將用λ，表示出來；(2)設(shè)=x=y，求證：+為定值.【解答】(1)=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.(2)由(1)知=(1-λ)+λ=(1-λ)x+λy，因?yàn)镚是△OAB的重心，所以==×(+)=+.因?yàn)椴还簿€，所以所以+=3(1-λ)+3λ=3.所以+為定值.變式在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=30°，AB=2，BC=2，點(diǎn)E在線段CD上，若=+μ，則實(shí)數(shù)μ的取值范圍是.【答案】【解析】由題意可求得AD=1，CD=，所以=2.因?yàn)辄c(diǎn)E在線段CD上，所以=λ(0≤λ≤1).因?yàn)?+，又=+μ=+2μ=+，所以=1，即μ=.因?yàn)?≤λ≤1，所以0≤μ≤.向量的平行和共線問題例3已知非零向量a和b不共線.(1)若=a+b，=2a+8b，=3(a-b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)若ka+b和a+kb共線，求實(shí)數(shù)k的值.【思維引導(dǎo)】結(jié)合向量的線性運(yùn)算先證明向量共線，進(jìn)而證明三點(diǎn)共線.【解答】(1)因?yàn)?a+b，=2a+8b，=3(a-b)，所以=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.所以與共線.又有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線.(2)因?yàn)閗a+b與a+kb共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得ka+b=λ(a+kb)，即ka+b=λa+λkb，所以(k-λ)a=(λk-1)b.因?yàn)閍，b是兩個(gè)不共線的非零向量，所以k-λ=λk-1=0，所以k2-1=0，所以k=±1.經(jīng)檢驗(yàn)，k=±1均符合題意.【精要點(diǎn)評(píng)】利用平面向量基本定理進(jìn)行點(diǎn)共線和向量共線的相關(guān)運(yùn)算時(shí)，如果已知點(diǎn)共線，則很容易得到向量共線；如果已知向量共線來證明點(diǎn)共線，必須找到這兩個(gè)向量的公共點(diǎn).變式1已知非零向量a和b不共線，=a，=b，=c，=d，=e，設(shè)t∈R，如果3a=c，2b=d，e=t(a+b)，問：是否存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上?若存在，求出實(shí)數(shù)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解答】由題設(shè)知，=d-c=2b-3a，=e-c=(t-3)a+tb，因?yàn)镃，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得=k，即(t-3)a+tb=-3ka+2kb，整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.因?yàn)閍，b不共線，所以有解得t=.故存在實(shí)數(shù)t=，使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上.變式2在△ABC中，已知=a，=b，對(duì)于平面ABC上任意一點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)P滿足=+λa+λb，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為.(變式2)【答案】直線AD【解析】依題意，由=+λa+λb，得-=λ(a+b)，即=λ(+).如圖，以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，對(duì)角線交于點(diǎn)M，則=λ，所以A，P，D三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P的軌跡是AD所在的直線.1.下列命題中為真命題的是.(填序號(hào))①對(duì)任意兩向量a，b，a-b與b-a是相反向量；②在△ABC中，+-=0；③在四邊形ABCD中，(+)-(+)=0；④在△ABC中，-=.【答案】①②【解析】①是真命題，因?yàn)?a-b)+(b-a)=a+(-b)+b+(-a)=a+(-a)+b+(-b)=(a-a)+(b-b)=0，所以a-b與b-a是相反向量.②是真命題，因?yàn)?-=-=0，所以命題成立.③是假命題，因?yàn)?=+=，所以(+)-(+)=-=+≠0，所以該命題不成立.④是假命題，因?yàn)?=+=≠，所以該命題不成立.2.(2015·全國(guó)卷)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且=3，用表示為.【答案】=-+【解析】由題知=+=+=+(-)=-+.3.如圖，若=，則=.(用表示)(第3題)【答案】-+【解析】=+=+=+(-)=-+.4.如圖，在△ABC中，||=||，延長(zhǎng)CB到D，使⊥，若=λ+μ，則λ-μ=.(第4題)【答案】3【解析】由題意可知，B是DC的中點(diǎn)，故=(+)，即=2-，所以λ=2，μ=-1，則λ-μ=3.5.如圖，已知平行四邊形ABCD的邊BC，CD上的中點(diǎn)分別為K，L，且=e1，=e2，試用e1，e2表示.(第5題)【解答】設(shè)=x，則=x，=+=e1-x，=e1-x，又=x，由+=，得x+e1-x=e2，解得x=e2-e1，即=e2-e1，由=-=e1-x，得=-e1+e2.趁熱打鐵，事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套檢測(cè)與評(píng)估》中的練習(xí)第65~66頁.【檢測(cè)與評(píng)估】第六章平面向量與復(fù)數(shù)第33課平面向量的概念與線性運(yùn)算一、填空題1.化簡(jiǎn)：(+)+=.2.若向量a，b不共線，且a+mb與-(b-2a)共線，則實(shí)數(shù)m的值為.3.在△ABC中，M為BC邊上一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，若=λ+μ，則λ+μ的值為.4.在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足=3=.若=x+y，則x+y=.5.(2014·蘇錫常鎮(zhèn)三模)已知平面內(nèi)四點(diǎn)O，A，B，C滿足·=2，·=3，那么·=.6.已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且=a，=b，給出下列命題：①=-a-b；②=a+b；③=-a+b；④++=0.其中正確的命題是.(填序號(hào))7.已知O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，D為邊BC的中點(diǎn)，且2++=0，則下列結(jié)論中正確的是.(填序號(hào))①=2；②=；③=3；④2=.8.在△ABC中，D在線段BC上，=2.若=m+n，則=.二、解答題9.如圖，四邊形OADB為平行四邊形，點(diǎn)C為對(duì)角線AB，OD的交點(diǎn)，向量=a，=b.又BM=BC，CN=CD，試用a，b表示.(第9題)10.設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)非零向量.(1)若=2a-b，=3a+b，=a-3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；(2)若8a+kb與ka+2b共線，求實(shí)數(shù)k的值；(3)設(shè)=ma，=nb，=αa+βb，其中m，n，α，β均為實(shí)數(shù)，m≠0，n≠0，若M，P，N三點(diǎn)共線，求證：+=1.11.在△OBC中，已知點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，D是OB上的點(diǎn)，且OD=2DB，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)=a，=b.(1)用a，b表示向量；(2)若=λ，求實(shí)數(shù)λ的值.三、選做題(不要求解題過程，直接給出最終結(jié)果)12.已知向量c=+，其中a，b均為非零向量，則|c|的取值范圍是.13.在△ABC所在平面上有一點(diǎn)P，使得++=，則點(diǎn)P的位置在.【檢測(cè)與評(píng)估答案】第六章平面向量與復(fù)數(shù)第33課平面向量的概念與線性運(yùn)算1.【解析】原式=++=.2.-【解析】因?yàn)閍+mb與-(b-2a)共線，所以存在實(shí)數(shù)λ(λ≠0)使得-(b-2a)=λ(a+mb)成立，即(2-λ)a=(λm+1)b.因?yàn)橄蛄縜，b不共線，所以所以m=-.3.【解析】設(shè)=x+y，x+y=1.因?yàn)镹為AM的中點(diǎn)，所以==x·+y·=λ+μ，所以λ+μ=(x+y)=.4.【解析】=+=+=+(-)=-，所以x=，y=-，x+y=.5.-5【解析】·=(+)·(-)=·+·-·-·=·(-+-)-·=-·-·=-2-3=-5.6.①②③④【解析】=+=--=-a-b，=+=a+b，=(+)=-a+b，所以++=0.7.②【解析】因?yàn)镈為邊BC的中點(diǎn)，所以由2++=0，得+=-2=2，即2=2，所以=.8.【解析】因?yàn)?+=+=2，所以=+=m+n，所以m=，n=，所以=.9.=+=+=+=+(-)=+=a+b，==(+)=a+b，=-=a-b.10.(1)因?yàn)?-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b，而=-=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2，所以與共線.又與有公共點(diǎn)B，所以A，B，C三點(diǎn)共線.(2)因?yàn)?a+kb與ka+2b共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得8a+kb=λ(ka+2b)=λka+2λb，從而解得λ=±2，故k=2λ=±4.(3)因?yàn)镸，P，N三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得=λ，即-=λ(-)，所以==a+b，因?yàn)閍，b不共線，所以所以+=+=1.11.(1)如圖，(第11題)=+=+2=+2(-)=2-=