高考數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習(xí)課時(shí)訓(xùn)練第12章推理與證明算法復(fù)數(shù)54

【課時(shí)訓(xùn)練】直接證明與間接證明一、選擇題1．(2018廣東廣州模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a，b是正實(shí)數(shù)，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ab,a＋b)))，則A、B、C的大小關(guān)系為()A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A【答案】A【解析】∵eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)，又f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R內(nèi)為減函數(shù)．∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))≤f(eq\r(ab))≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，即A≤B≤C，選A.2．(2018寧波模擬)分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”索的因應(yīng)是()A．a(chǎn)－b>0 B．a(chǎn)－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0【答案】C【解析】eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a?b2－ac<3a2?(a＋c)2－ac<3a2?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0?－2a2＋ac＋c2<0?2a2－ac－c2>0?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.3．(2018浙江嘉興高三模擬)設(shè)f(x)是定義在R內(nèi)的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若x1＋x2>0，則f(x1)＋f(x2)的值()A．恒為負(fù)值 B．恒等于零C．恒為正值 D．無法確定正負(fù)【答案】A【解析】由f(x)是定義在R內(nèi)的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)，由x1＋x2>0可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，則f(x1)＋f(x2)<0，故選A.4．(2018福建福州一中1月月考)一不相等的三個(gè)正數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，并且x是a，b的等比中項(xiàng)，y是b，c的等比中項(xiàng)，則x2，b2，y2三數(shù)()A．成等比數(shù)列而非等差數(shù)列B．成等差數(shù)列而非等比數(shù)列C．既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列D．既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列【答案】B【解析】由已知條件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝2b，①,x2＝ab，②,y2＝bc，③))由②③，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(x2,b)，,c＝\f(y2,b).))代入①，得eq\f(x2,b)＋eq\f(y2,b)＝2b，即x2＋y2＝2b2.故x2，b2，y2成等差數(shù)列．5．(2018大連模擬)設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合，在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”(即對(duì)任意的a，b∈S，對(duì)于有序元素對(duì)(a，b)，在S中有唯一確定的元素a*b與之對(duì)應(yīng))，若對(duì)任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，則對(duì)任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是()A．(a*b)*a＝aB．[a*(b*a)]*(a*b)＝aC．b*(b*b)＝bD．(a*b)*[b*(a*b)]＝b【答案】A【解析】由已知條件可得對(duì)任意a，b∈S，a*(b*a)＝b，則b*(b*b)＝b，[a*(b*a)]*(a*b)＝b*(a*b)＝a，(a*b)*[b*(a*b)]＝(a*b)*a＝b，即選項(xiàng)B，C，D中的等式均恒成立，僅選項(xiàng)A中的等式不恒成立．故選A.二、填空題6．(2018太原模擬)用反證法證明“若x2－1＝0，則x＝－1或x＝1”時(shí)，應(yīng)假設(shè)________．【答案】x≠－1且x≠1【解析】“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．7．(2018華師附中一模)如果aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，則a，b應(yīng)滿足的條件是________．【答案】a≥0，b≥0且a≠b【解析】aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)?(eq\r(a)－eq\r(b))2·(eq\r(a)＋eq\r(b))>0?a≥0，b≥0且a≠b.8．(2018浙江杭州模擬)若P＝eq\r(a)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)，則P，Q的大小關(guān)系是________．【答案】P<Q【解析】∵P2＝2a＋7＋2eq\r(a)eq\r(a＋7)＝2a＋7＋2eq\r(a2＋7a)，Q2＝2a＋7＋2eq\r(a＋3)eq\r(a＋4)＝2a＋7＋2eq\r(a2＋7a＋12)，∴P2<Q2.又∵P>0，Q>0，∴P<Q.三、解答題9．(2018成都模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中點(diǎn)．(1)求證：EC∥平面PAD；(2)求證：平面EAC⊥平面PBC.【證明】(1)作線段AB的中點(diǎn)F，連接EF，CF(圖略)，則AF＝CD，AF∥CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，則CF∥AD.又EF∥AP，且CF∩EF＝F，AD∩AP＝A，∴平面CFE∥平面PAD.又EC?平面CEF，∴EC∥平面PAD.(2)∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AC.∵四邊形ABCD是直角梯形，且AB＝2AD＝2CD＝2，∴AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(2).∴AB2＝AC2＋BC2.∴AC⊥BC.∵PC∩BC＝C，∴AC⊥平面PBC.∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.10．(2018昆明三中、玉溪一中統(tǒng)考)若f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇a，b](a<b)，則稱函數(shù)f(x)是[a，b]上的“四維光軍”函數(shù)．(1)設(shè)g(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)是[1，b]上的“四維光軍”函數(shù)，求常數(shù)b的值；(2)是否存在常數(shù)a，b(a>－2)，使函數(shù)h(x)＝eq\f(1,x＋2)是區(qū)間[a，b]上的“四維光軍”函數(shù)？若存在，求出a，b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解】(1)由題設(shè)，得g(x)＝eq\f(1,2)(x－1)2＋1，其圖象的對(duì)稱軸為x＝1，區(qū)間[1，b]在對(duì)稱軸的右邊，所以函數(shù)在區(qū)間[1，b]上單調(diào)遞增．由“四維光軍”函數(shù)的定義可知g(1)＝1，g(b)＝b，即eq\f(1,2)b2－b＋eq\f(3,2)＝b，解得b＝1或b＝3.因?yàn)閎>1，所以b＝3.(2)假設(shè)函數(shù)h(x)＝eq\f(1,x＋2)在區(qū)間[a，b](a>－2)上是“四維光軍”函數(shù)，因?yàn)閔(x