專題8-4四大分布二項(xiàng)分布超幾何分布正態(tài)分布（13類題型）（原卷版）

專題84四大分布：二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布（13類題型）TOC\o"13"\n\h\z\u題型一兩點(diǎn)分布題型二二項(xiàng)分布題型三建立二項(xiàng)分布模型解決問題題型四服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量概率最大問題題型五利用二項(xiàng)分布求分布列題型六二項(xiàng)分布之高爾頓釘板問題題型七超幾何分布題型八超幾何分布與二項(xiàng)分布題型九正態(tài)分布：正態(tài)曲線的對(duì)稱性題型十正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用(選填)題型十一正態(tài)分布大題專練題型十二二項(xiàng)分布與正態(tài)分布題型十三超幾何分布與正態(tài)分布1、兩點(diǎn)分布（1）兩步法判斷一個(gè)分布是否為兩點(diǎn)分布①看取值：隨機(jī)變量只取兩個(gè)值：0和1.②驗(yàn)概率：檢驗(yàn)P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．如果一個(gè)分布滿足以上兩點(diǎn)，則該分布是兩點(diǎn)分布，否則不是（2）若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為01其中，則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布．其中稱為成功概率．注意：兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)可能性，且其概率之和為；兩點(diǎn)分布又稱分布、伯努利分布，其應(yīng)用十分廣泛．2、二項(xiàng)分布定義一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開式各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作，并稱為成功概率．注意：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特點(diǎn)①每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的；②每次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的，其實(shí)質(zhì)是相互獨(dú)立事件的特例．2.判斷隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布的條件(X～B(n，p))①的取值為0，1，2，…，n；②P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n，p為試驗(yàn)成功的概率)．注意：在實(shí)際應(yīng)用中，往往出現(xiàn)數(shù)量“較大”“很大”“非常大”等字眼，這表明試驗(yàn)可視為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，進(jìn)而判定是否服從二項(xiàng)分布．3.二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)（1）適用范圍：①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．（2）本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．4.二項(xiàng)分布的期望、方差若，則，．3、超幾何分布（1）本質(zhì)：超幾何分布的模型是不放回抽樣，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．（2）超幾何分布中的參數(shù)是M，N，n；（3）超幾何分布可解決產(chǎn)品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同學(xué)中的男和女等問題，往往由差異明顯的兩部分組成.4、正態(tài)分布一、正態(tài)曲線1、定義：我們把函數(shù)，（其中是樣本均值，是樣本標(biāo)準(zhǔn)差）的圖象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低．2、正態(tài)曲線的性質(zhì)（1）曲線位于軸上方，與軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱；（3）曲線在處達(dá)到峰值（最大值）；（4）曲線與軸之間的面積為1；（5）當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖甲所示：（6）當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定．越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示：：甲乙二、正態(tài)分布1、定義隨機(jī)變量落在區(qū)間的概率為，即由正態(tài)曲線，過點(diǎn)和點(diǎn)的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)，，隨機(jī)變量滿足，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則記為．其中，參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．2、原則若，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，為下圖中陰影部分的面積，對(duì)于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周圍的概率越大特別地，有；；．由，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值，并簡(jiǎn)稱之為原則．正態(tài)分布在四個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率若則（1）；（2）；（3）；（4）.三、超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別∶（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；（2）超幾何分布是不放回抽樣，而二項(xiàng)分布是放回抽樣（獨(dú)立重復(fù)），當(dāng)總體的容量非常大時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布.（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測(cè)量中在的概率越大B．該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C．該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則．3．（2017·全國(guó)·高考真題）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.（?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得，，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，.用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ（精確到0.01）.附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則，，.4．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?5.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：0.1000.0500.010重點(diǎn)題型·歸類精重點(diǎn)題型·歸類精練題型一兩點(diǎn)分布設(shè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7已知離散型隨機(jī)變量的分布列服從兩點(diǎn)分布，且，則（

）A． B． C． D．已知隨機(jī)變量ξi滿足Pξi=0=pi，PξiA．p1<p2，且DξC．p1<p2，且Dξ已知隨機(jī)變量ξ滿足P(ξ=0)=1-p，P(ξ=1)=p，其中0<p<1.令隨機(jī)變量η=|ξ-E(ξ)|，則（

）A．E(η)>E(ξ) B．E(η)<E(ξ)C．D(η)>D(ξ) D．D(η)<D(ξ)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中PX=0=13，EXA．PX=1=EXC．D3X+2=4 D有3個(gè)人在一樓進(jìn)入電梯，樓上共有4層，設(shè)每個(gè)人在任何一層出電梯的概率相等，并且各層樓無人再進(jìn)電梯，設(shè)電梯中的人走空時(shí)電梯需停的次數(shù)為ξ，則Eξ=有一個(gè)盒子里有1個(gè)紅球，現(xiàn)將（）個(gè)黑球放入盒子后，再從盒子里隨機(jī)取一球，記取到的紅球個(gè)數(shù)為個(gè)，則隨著（）的增加，下列說法正確的是（

）A．減小，增加 B．增加，減小C．增加，增加 D．減小，減小某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不合格的概率均為，現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽(yù)，要求在交付用戶前每件產(chǎn)品都通過合格檢驗(yàn)，已知該工廠的檢驗(yàn)儀器一次最多可檢驗(yàn)件該產(chǎn)品，且每件產(chǎn)品檢驗(yàn)合格與否相互獨(dú)立．若每件產(chǎn)品均檢驗(yàn)一次，所需檢驗(yàn)費(fèi)用較多，該工廠提出以下檢驗(yàn)方案：將產(chǎn)品每個(gè)一組進(jìn)行分組檢驗(yàn)，如果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格，則說明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若檢驗(yàn)不合格，則說明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品，再對(duì)該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn)，如此，每一組產(chǎn)品只需檢驗(yàn)次或次．設(shè)該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品，記每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)為．（1）求的分布列及其期望；（2）（i）試說明，當(dāng)越小時(shí)，該方案越合理，即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少；（ii）當(dāng)時(shí)，求使該方案最合理時(shí)的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)．題型二二項(xiàng)分布【點(diǎn)撥】1、二項(xiàng)分布求解隨機(jī)變量涉及“至少”“至多”問題的取值概率，其實(shí)質(zhì)是求在某一取值范圍內(nèi)的概率，一般轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件發(fā)生的概率的和，或者利用對(duì)立事件求概率．2、二項(xiàng)分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用是求次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率．解題的一般思路是：（1）根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量；（2）分析出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布；（3）找到參數(shù)，；（4）寫出二項(xiàng)分布的分布列；（5）將值代入求解概率．設(shè)隨機(jī)變量，若，則p的值為.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則.在3重伯努利試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的概率相同，若事件A至少出現(xiàn)1次的概率為，則事件A在1次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為．假設(shè)某型號(hào)的每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為，且各引擎是否有故障是獨(dú)立的，如有至少50%的引擎能正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行，若使4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更為安全，則p的取值范圍是．題型三建立二項(xiàng)分布模型解決問題知甲每次投擲飛鏢中靶的概率為0.6，若甲連續(xù)投擲飛鏢n次，要使飛鏢最少中靶一次的概率超過90%，至少需要投擲飛鏢次.（參考數(shù)據(jù)：）32名業(yè)余棋手組隊(duì)與甲、乙2名專業(yè)棋手進(jìn)行車輪挑戰(zhàn)賽，每名業(yè)余棋手隨機(jī)選擇一名專業(yè)棋手進(jìn)行一盤比賽，每盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立，若獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)不少于10名，則業(yè)余棋手隊(duì)獲勝．已知每名業(yè)余棋手與甲比賽獲勝的概率均為，每名業(yè)余棋手與乙比賽獲勝的概率均為，若業(yè)余棋手隊(duì)獲勝，則選擇與甲進(jìn)行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)至少為（

）A．24 B．25 C．26 D．27設(shè)隨機(jī)變量，則函數(shù)存在零點(diǎn)的概率是．題型四服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量概率最大問題若，則取得最大值時(shí)，.有同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實(shí)時(shí)記錄點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù)，當(dāng)投擲到第35次時(shí)，記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)5次．若繼續(xù)再進(jìn)行65次投擲試驗(yàn)，則當(dāng)投擲到第100次時(shí)，點(diǎn)數(shù)1一共出現(xiàn)的次數(shù)為 的概率最大．設(shè)隨機(jī)變量，記，．在研究的最大值時(shí)，某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)并證明了如下正確結(jié)論：若為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值；若不為正整數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)取的整數(shù)部分時(shí)，取最大值．某同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實(shí)時(shí)記錄點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù)．當(dāng)投擲到第20次時(shí)，記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)4次，若繼續(xù)再進(jìn)行80次投擲試驗(yàn)，則在這100次投擲試驗(yàn)中，點(diǎn)數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為的概率最大．已知隨機(jī)變量，若對(duì)，都有，則的取值范圍是．設(shè)隨機(jī)變量，記，．在研究的最大值時(shí)，某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)并證明了如下正確結(jié)論：若為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值；若不為正整數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)取的整數(shù)部分時(shí)，取最大值．某同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實(shí)時(shí)記錄點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù)．當(dāng)投擲到第20次時(shí)，記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)4次，若繼續(xù)再進(jìn)行80次投擲試驗(yàn)，則在這100次投擲試驗(yàn)中，點(diǎn)數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為的概率最大．已知一個(gè)質(zhì)子在隨機(jī)外力作用下，從原點(diǎn)出發(fā)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，每隔一秒等可能地向數(shù)軸正方向或負(fù)方向移動(dòng)一個(gè)單位.若移動(dòng)次，則當(dāng)時(shí)，質(zhì)子位于原點(diǎn)的概率為，當(dāng)時(shí)，質(zhì)子位于6對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的概率最大.題型五利用二項(xiàng)分布求分布列甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行五局三勝制的乒乓球比賽，先贏得3局的運(yùn)動(dòng)員獲勝，并結(jié)束比賽．設(shè)各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，每局比賽甲贏的概率為，乙贏的概率為．(1)求甲獲勝的概率；(2)設(shè)為結(jié)束比賽所需要的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．一個(gè)袋子中裝有大小相同的球，其中有個(gè)黃球，個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出個(gè)球作為樣本，用表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).(1)若采取不放回摸球，當(dāng)，，，時(shí)，求的分布列；(2)若采取有放回摸球，當(dāng)，，，時(shí)，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體黃球的比例，求誤差不超過的概率(用分?jǐn)?shù)表示).“雙減”政策執(zhí)行以來，中學(xué)生有更多的時(shí)間參加志愿服務(wù)和體育鍛煉等課后活動(dòng).某校為了解學(xué)生課后活動(dòng)的情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)選取人，統(tǒng)計(jì)了他們一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），分別位于區(qū)間，，，，，，用頻率分布直方圖表示如下，假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每個(gè)學(xué)生參加課后活動(dòng)的時(shí)間相互獨(dú)立.(1)估計(jì)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間的概率；(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)選取人，記表示這人一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.甲、乙兩位同學(xué)決定進(jìn)行一次投籃比賽，他們每次投中的概率均為P，且每次投籃相互獨(dú)立，經(jīng)商定共設(shè)定5個(gè)投籃點(diǎn)，每個(gè)投籃點(diǎn)投球一次，確立的比賽規(guī)則如下：甲分別在5個(gè)投籃點(diǎn)投球，且每投中一次可獲得1分；乙按約定的投籃點(diǎn)順序依次投球，如投中可繼續(xù)進(jìn)行下一次投籃，如沒有投中，投籃中止，且每投中一次可獲得2分.按累計(jì)得分高低確定勝負(fù)．(1)若乙得6分的概率，求；(2)由（1）問中求得的值，判斷甲、乙兩位選手誰獲勝的可能性大？鹽水選種是古代勞動(dòng)人民的智慧結(jié)晶，其原理是借助鹽水估測(cè)種子的密度，進(jìn)而判斷其優(yōu)良．現(xiàn)對(duì)一批某品種種子的密度（單位：g/cm3）進(jìn)行測(cè)定，測(cè)定結(jié)果整理成頻率分布直方圖如圖所示，認(rèn)為密度不小于1.2的種子為優(yōu)種，小于1.2的為良種．自然情況下，優(yōu)種和良種的萌發(fā)率分別為0.8和0.5(1)估計(jì)這批種子密度的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）(2)用頻率估計(jì)概率，從這批種子（總數(shù)遠(yuǎn)大于2）中選取2粒在自然情況下種植，設(shè)萌發(fā)的種子數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望（各種子的萌發(fā)相互獨(dú)立）．某工廠的質(zhì)檢部門對(duì)擬購買的一批原料進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)，以判定是接收還是拒收這批原料.現(xiàn)有如下兩種抽樣檢驗(yàn)方案：方案一：隨機(jī)抽取一個(gè)容量為10的樣本，并全部檢驗(yàn)，若樣本中不合格數(shù)不超過1個(gè)，則認(rèn)為這批原料合格，予以接收；方案二：先隨機(jī)抽取一個(gè)容量為5的樣本，全部檢驗(yàn)，若都合格，則予以接收；若樣本中不合格數(shù)超過1個(gè)，則拒收；若樣本中不合格數(shù)為1個(gè)，則再抽取一個(gè)容量為5的樣本，并全部檢驗(yàn)，且只有第二批樣本全部合格才予以接收.假設(shè)擬購進(jìn)的這批原料的合格率為p0<p<1，并用p作為原料中每件產(chǎn)品是合格品的概率.若每件產(chǎn)品所需的檢驗(yàn)費(fèi)用為3元，且費(fèi)用由工廠承擔(dān)(1)若p=23，即方案二中所需的檢驗(yàn)費(fèi)用為隨機(jī)變量X，求(2)分別計(jì)算兩種方案中這批原料通過檢驗(yàn)的概率，若你是原料供應(yīng)商，你希望質(zhì)檢部門采取哪種檢驗(yàn)方案?說明理由.題型六二項(xiàng)分布之高爾頓釘板問題高爾頓釘板是英國(guó)生物學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)的，如圖，每一個(gè)黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，上一層的每個(gè)釘子水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間，從入口處放進(jìn)一個(gè)直徑略小于兩顆釘子之間距離的白色圓玻璃球，白球向下降落的過程中，首先碰到最上面的釘子，碰到釘子后皆以二分之一的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子如此繼續(xù)下去，直到滾到底板的一個(gè)格子內(nèi)為止現(xiàn)從入口放進(jìn)一個(gè)白球，則其落在第③個(gè)格子的概率為（

）A． B． C． D．如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過程中，每次碰到小木釘后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率為，向右下落的概率為，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號(hào)為，，，，，則小球落入號(hào)格子的概率最大.圖片僅供參考高爾頓(釘)板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行?水平間隔相等的圓柱形鐵釘(如圖)，并且每一排鐵釘數(shù)目都比上一排多一個(gè)，一排中各個(gè)鐵釘恰好對(duì)準(zhǔn)上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒?從入口處放入一個(gè)直徑略小于兩顆鐵釘間隔的小球，當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時(shí)，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去，在最底層的5個(gè)出口處各放置一個(gè)容器接住小球.（1）理論上，小球落入4號(hào)容器的概率是多少？（2）一數(shù)學(xué)興趣小組取3個(gè)小球進(jìn)行試驗(yàn)，設(shè)其中落入4號(hào)容器的小球的個(gè)數(shù)為，求的分布列.高爾頓板是英國(guó)生物數(shù)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃.讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞.且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖所示的高爾頓板有7層小木塊，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右流下，依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞，最后掉入編號(hào)為1，2，…，7的球槽內(nèi).例如小球要掉入3號(hào)球槽，則在6次碰撞中有2次向右4次向左滾下.(1)若進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn)，求這個(gè)小球掉入2號(hào)球槽的概率；(2)若進(jìn)行5次高爾頓板試驗(yàn)，記小球掉入偶數(shù)號(hào)球槽的次數(shù)為.求的分布列與期望.題型七超幾何分布【點(diǎn)撥】1、隨機(jī)變量是否服從超幾何分布的判斷若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：(1)該試驗(yàn)是不放回地抽取次；(2)隨機(jī)變量表示抽取到的次品件數(shù)(或類似事件)，反之亦然．2、求超幾何分布的分布列的步驟（1）驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)，，的值；（2）根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率；（3）列出分布列．廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否接收這批產(chǎn)品．若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件，都進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品，否則拒收．則該商家拒收這批產(chǎn)品的概率是．袋中裝有10個(gè)除顏色外完全一樣的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是．現(xiàn)從該袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X，則E(X)=．某乒乓球隊(duì)訓(xùn)練教官為了檢驗(yàn)學(xué)員某項(xiàng)技能的水平，隨機(jī)抽取100名學(xué)員進(jìn)行測(cè)試，并根據(jù)該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)，按分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求a的值，并估計(jì)該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)的中位數(shù)（精確到0.1）；(2)若采用分層抽樣的方法從評(píng)價(jià)指標(biāo)在和內(nèi)的學(xué)員中隨機(jī)抽取12名，再從這12名學(xué)員中隨機(jī)抽取5名學(xué)員，記抽取到學(xué)員的該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)在內(nèi)的學(xué)員人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．某公司生產(chǎn)一種電子產(chǎn)品，每批產(chǎn)品進(jìn)入市場(chǎng)之前，需要對(duì)其進(jìn)行檢測(cè)，現(xiàn)從某批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取9箱進(jìn)行檢測(cè)，其中有5箱為一等品.(1)若從這9箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；(2)若從這9箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3箱，記表示抽到一等品的箱數(shù)，求的分布列和期望.課堂上，老師為了講解“利用組合數(shù)計(jì)算古典概型的問題”，準(zhǔn)備了x（x≥3,x∈N*）個(gè)不同的盒子，上面標(biāo)有數(shù)字1，2，3，…，每個(gè)盒子準(zhǔn)備裝x張形狀相同的卡片，其中一部分卡片寫有“巨額獎(jiǎng)勵(lì)”的字樣，另一部分卡片寫有“謝謝惠顧”的字樣．第1個(gè)盒子放有1張“巨額獎(jiǎng)勵(lì)”，x-1張“謝謝惠顧”，第2個(gè)盒子放有2張“巨額獎(jiǎng)勵(lì)”，x-2張“謝謝惠顧”，…，以此類推．游戲時(shí)，老師在所有盒子中隨機(jī)選取1個(gè)盒子后，再讓一個(gè)同學(xué)上臺(tái)每次從中隨機(jī)抽取1張卡片，抽取的卡片不再放回，連續(xù)抽取(1)若老師選擇了第3個(gè)盒子，x=7，記摸到“謝謝惠顧”卡片的張數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望EX(2)若x=5，求該同學(xué)第3次抽到“謝謝惠顧”的概率．為弘揚(yáng)中國(guó)共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團(tuán)委決定舉辦“中國(guó)共產(chǎn)黨黨史知識(shí)”競(jìng)賽活動(dòng)．競(jìng)賽共有A和B兩類試題，每類試題各10題，其中每答對(duì)1道A類試題得10分；每答對(duì)1道B類試題得20分，答錯(cuò)都不得分．每位參加競(jìng)賽的同學(xué)從這兩類試題中共抽出3道題回答（每道題抽后不放回）．已知某同學(xué)A類試題中有7道題能答對(duì)，而他答對(duì)各道B類試題的概率均為23(1)若該同學(xué)只抽取3道A類試題作答，設(shè)X表示該同學(xué)答這3道試題的總得分，求X的分布和期望；(2)若該同學(xué)在A類試題中只抽1道題作答，求他在這次競(jìng)賽中僅答對(duì)1道題的概率．某從事智能教育技術(shù)研發(fā)的科技公司開發(fā)了一個(gè)“AI作業(yè)”項(xiàng)目，并且在甲、乙兩個(gè)學(xué)校的高一學(xué)生中做用戶測(cè)試.經(jīng)過一個(gè)階段的試用，為了解“AI作業(yè)”對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)情況，該公司隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，對(duì)他們的“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)掌握的情況進(jìn)行調(diào)查，樣本調(diào)查結(jié)果如下表：甲校乙校使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)基本掌握32285030沒有掌握8141226假設(shè)每位學(xué)生是否掌握“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)相互獨(dú)立.從樣本中沒有掌握“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，用ξ表示抽取的2名學(xué)生中使用“AI作業(yè)”的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望為了適當(dāng)疏導(dǎo)電價(jià)矛盾，保障電力供應(yīng)，支持可再生能源發(fā)展，促進(jìn)節(jié)能減排，某省推出了省內(nèi)居民階梯電價(jià)的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)：以一個(gè)年度為計(jì)費(fèi)周期，月度滾動(dòng)使用．第一階梯：年用電量在2160度以下(含2160度)，執(zhí)行第一檔電價(jià)0.5653元/度；第二階梯：年用電量在2161度到4200度內(nèi)(含4200度)，超出2160度的電量執(zhí)行第二檔電價(jià)0.6153元/度；第三階梯：年用電量在4200度以上，超出4200度的電量執(zhí)行第三檔電價(jià)0.8653元/度．某市的電力部門從本市的用戶中隨機(jī)抽取10戶，統(tǒng)計(jì)其同一年度的用電情況，列表如下：用戶編號(hào)12345678910年用電量/度1000126014001824218024232815332544114600(1)計(jì)算表中編號(hào)為10的用戶該年應(yīng)交的電費(fèi)；(2)現(xiàn)要在這10戶中任意選取4戶，對(duì)其用電情況進(jìn)行進(jìn)一步分析，求取到第二階梯的戶數(shù)的分布列．題型八超幾何分布與二項(xiàng)分布超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別∶（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；（2）超幾何分布是不放回抽樣，而二項(xiàng)分布是放回抽樣（獨(dú)立重復(fù)），當(dāng)總體的容量非常大時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布.電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了名觀眾進(jìn)行調(diào)查．如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于分鐘的觀眾稱為“體育迷”．將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．(1)現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取名觀眾，抽取次，記被抽取的名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為．若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．(2)用分層抽樣的方法從這名“體育迷”中抽取名觀眾，再從抽取的抽取名觀眾中隨機(jī)抽取名，表示抽取的是“體育迷”的人數(shù)，求的分布列．近日，某企業(yè)舉行“猜燈謎，鬧元宵”趣味競(jìng)賽活動(dòng)，每個(gè)員工從8道謎語中一次性抽出4道作答．小張有6道謎語能猜中，2道不能猜中；小王每道謎語能猜中的概率均為p(0<p<1)，且猜中每道謎語與否互不影響．(1)分別求小張，小王猜中謎語道數(shù)的分布列；(2)若預(yù)測(cè)小張猜中謎語的道數(shù)多于小王猜中謎語的道數(shù)，求p的取值范圍．4月23日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書日”.為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成0,2、2,4、4,6、6,8、8,10、10,12、12,14、14,16、16,18九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在6,8、14,16、16,18三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在14,16內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取8名學(xué)生，用Pk表示這8名學(xué)生中恰有k名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在8,12內(nèi)的概率，其中k=0,1,2,???,8.當(dāng)Pk最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出k的值某學(xué)校從全體師生中隨機(jī)抽取30位男生、30位女生、12位教師一起參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).(1)假設(shè)30位男生身高均不相同，記其身高的第80百分位數(shù)為，從學(xué)校全體男生中隨機(jī)選取3人，記為3人中身高不超過的人數(shù)，以頻率估計(jì)概率求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)從參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的72人中一次性隨機(jī)選出30位，記被選出的人中恰好有個(gè)男生的概率為，求使得取得最大值的的值.為不斷改進(jìn)勞動(dòng)教育，進(jìn)一步深化勞動(dòng)教育改革，現(xiàn)從某單位全體員工中隨機(jī)抽取3人做問卷調(diào)查.已知某單位有N名員工，其中25是男性，35(1)當(dāng)N=20時(shí)，求出3人中男性員工人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)我們知道，當(dāng)總量N足夠大而抽出的個(gè)體足夠小時(shí)，超幾何分布近似為二項(xiàng)分布.現(xiàn)在全市范圍內(nèi)考慮.從N名員工（男女比例不變）中隨機(jī)抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的概率記作P1；有二項(xiàng)分布中（即男性員工的人數(shù)X～B3,25）男性員工恰有2人的概率記作P2.那么當(dāng)N至少為多少時(shí)，我們可以在誤差不超過0.001（即P杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)后，多所高校掀起了體育運(yùn)動(dòng)的熱潮．為了深入了解學(xué)生在“藝術(shù)體操”活動(dòng)中的參與情況，隨機(jī)選取了10所高校進(jìn)行研究，得到數(shù)據(jù)繪制成如下的折線圖：(1)若“藝術(shù)體操”參與人數(shù)超過35人的學(xué)?？梢宰鳛椤盎匦！保F(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機(jī)選出3所，記可作為“基地校”的學(xué)校個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)現(xiàn)有一個(gè)“藝術(shù)體操”集訓(xùn)班，對(duì)“支撐、手倒立、手翻”這3個(gè)動(dòng)作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測(cè)試．規(guī)定：在一輪測(cè)試中，這3個(gè)動(dòng)作中至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測(cè)試記為“優(yōu)秀”．在集訓(xùn)測(cè)試中，某同學(xué)3個(gè)動(dòng)作中每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為25，每個(gè)動(dòng)作及每輪測(cè)試互不影響．如果該同學(xué)在集訓(xùn)測(cè)試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的平均值達(dá)到8題型九正態(tài)分布：正態(tài)曲線的對(duì)稱性已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則.已知隨機(jī)變量，，且，則.已知，若函數(shù)為偶函數(shù)，則.設(shè)，且，那么的值是（

）A．p B． C． D．已知隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，若，，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4題型十正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用(選填)研究人員采取普查的方式調(diào)查某市國(guó)企普通職工的收入情況，記被調(diào)查的職工的收入為X，統(tǒng)計(jì)分析可知，則（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，，.A．0.8186 B．0.9759 C．0.74 D．0.84長(zhǎng)風(fēng)工廠產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布.質(zhì)量指標(biāo)介于98至102之間的產(chǎn)品為良品.為使這種產(chǎn)品的良品率達(dá)到，則需要調(diào)整生產(chǎn)工藝，使得至多為.（若，則）山東煙臺(tái)某地種植的蘋果按果徑（單位：）的大小分級(jí)，其中的蘋果為特級(jí)，且該地種植的蘋果果徑．若在某一次采摘中，該地果農(nóng)采摘了2萬個(gè)蘋果，則其中特級(jí)蘋果的個(gè)數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，．，）A．3000 B．13654 C．16800 D．19946在某次大型人才招聘活動(dòng)中，共有2000人參加筆試，筆試成績(jī)位于區(qū)間，，的人數(shù)分別為683，272，45，已知此次筆試滿分為100分，且成績(jī)近似服從正態(tài)分布，則筆試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差約為（參考數(shù)據(jù)：若，則）題型十一正態(tài)分布大題專練某地區(qū)舉行專業(yè)技能考試，共有8000人參加，分為初試和復(fù)試，初試通過后方可參加復(fù)試．為了解考生的考試情況，隨機(jī)抽取了100名考生的初試成績(jī)繪制成如圖所示的樣本頻率分布直方圖．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本的平均數(shù)；(2)若所有考生的初試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，，試估計(jì)所有考生中初試成績(jī)不低于80分的人數(shù)；(3)復(fù)試共四道題，前兩道題考生每題答對(duì)得5分，答錯(cuò)得0分，后兩道題考生每題答對(duì)得10分，答錯(cuò)得0分，四道題的總得分為考生的復(fù)試成績(jī)．已知某考生進(jìn)入復(fù)試，他在復(fù)試中前兩題每道題能答對(duì)的概率均為，后兩題每道題能答對(duì)的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響．記該考生的復(fù)試成績(jī)?yōu)?，?附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則：，，.零件的精度幾乎決定了產(chǎn)品的質(zhì)量，越精密的零件其精度要求也會(huì)越高.某企業(yè)為了提高零件產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)檢部門隨機(jī)抽查了100個(gè)零件的直徑進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，得到數(shù)據(jù)如下表：零件直徑（單位：厘米）零件個(gè)數(shù)1025302510已知零件的直徑可視為服從正態(tài)分布，，分別為這100個(gè)零件的直徑的平均數(shù)及方差（同一組區(qū)間的直徑尺寸用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）.(1)分別求，的值；(2)試估計(jì)這批零件直徑在的概率；(3)隨機(jī)抽查2000個(gè)零件，估計(jì)在這2000個(gè)零件中，零件的直徑在的個(gè)數(shù).參考數(shù)據(jù)：；若隨機(jī)變量，則，，.某公司建有1000個(gè)銷售群，在某產(chǎn)品的銷售旺季，所有群銷售件數(shù)X服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中μ=376,σ2=12100，公司把銷售件數(shù)不小于596的群稱為“A級(jí)群”，銷售件數(shù)在[266,596)內(nèi)的群為“B級(jí)群”，銷售件數(shù)小于(1)若P(X<a)≥P(X>2a-1)，求a的取值范圍；(2)該公司決定對(duì)每個(gè)“A級(jí)群”獎(jiǎng)勵(lì)1000元，每個(gè)“B級(jí)群”獎(jiǎng)勵(lì)500元，每個(gè)“C級(jí)群”獎(jiǎng)勵(lì)200元，那么公司大約需要準(zhǔn)備多少獎(jiǎng)金？（群的個(gè)數(shù)按四舍五入取整數(shù)）附：若，X~Nμ,σ2，則P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9545在某市舉行的2024屆高三第一次市統(tǒng)考中，為調(diào)查本次考試數(shù)學(xué)試卷的有效性，市教研部門從參加本次數(shù)學(xué)考試且成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取1000名學(xué)生的成績(jī)作為樣本，并將數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示．成績(jī)X50,7070,9090,110110,130130,150人數(shù)Y2022053020030(1)假設(shè)樣本中的數(shù)學(xué)考試成績(jī)X服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中μ為樣本的平均數(shù)，σ2為樣本的方差，以各組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組的取值，求(2)在（1）的條件下，若全市數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?4.25～131.5分的考生人數(shù)占80%參考數(shù)據(jù)：若X～Nμ,σ2，則P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544，P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.9974隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，各種購物群成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新渠道.在丑橘銷售旺季，某丑橘基地隨機(jī)抽查了100個(gè)購物群的銷售情況，各購物群銷售丑橘的數(shù)量（都在100箱到600箱之間）情況如下：丑橘數(shù)量（箱）100,200200,300300,400400,500500,600購物群數(shù)量（個(gè)）a18a+8a+2018(1)求實(shí)數(shù)a的值，并用組中值估計(jì)這100個(gè)購物群銷售丑橘總量的平均數(shù)（箱）；(2)假設(shè)所有購物群銷售丑橘的數(shù)量X服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中μ為（1）中的平均數(shù)，σ2=12100.若參與銷售該基地丑橘的購物群約有2000個(gè)，銷售丑橘的數(shù)量在[266,596)（單位：箱）內(nèi)的群為“一級(jí)群”，銷售數(shù)量小于266箱的購物群為“二級(jí)群”，銷售數(shù)量大于等于596箱的購物群為“優(yōu)質(zhì)群”.該丑橘基地對(duì)每個(gè)“優(yōu)質(zhì)群”獎(jiǎng)勵(lì)1000元，每個(gè)“一級(jí)群”獎(jiǎng)勵(lì)200附：若X服從正態(tài)分布X～Nμ,σ22023年3月某學(xué)校舉辦了春季科技體育節(jié)，其中安排的女排賽事共有12個(gè)班級(jí)作為參賽隊(duì)伍，本次比賽啟用了新的排球用球已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)（單位：g）服從正態(tài)分布，其中，.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊(duì)進(jìn)行11場(chǎng)比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分規(guī)則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以3：0或3：1取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；而在比賽中以3：2取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊(duì)和2班排球隊(duì)，1班排球隊(duì)積26分，2班排球隊(duì)積22分.第10輪1班排球隊(duì)對(duì)抗3班排球隊(duì)，設(shè)每局比賽1班排球隊(duì)取勝的概率為.(1)令，則，且，求，并證明：；(2)第10輪比賽中，記1班排球隊(duì)3：1取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn)，并以作為的值，解決下列問題.（?。┰诘?0輪比賽中，1班排球隊(duì)所得積分為，求的分布列；（ⅱ）已知第10輪2班排球隊(duì)積3分，判斷1班排球隊(duì)能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過后，無論最后一輪即第11輪結(jié)果如何，1班排球隊(duì)積分最多）？若能，求出相應(yīng)的概率；若不能，請(qǐng)說明理由.參考數(shù)據(jù)：，則，，.《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：高考總成績(jī)由語文、數(shù)學(xué)、外語三門統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為、、、、、、、共8個(gè)等級(jí)，參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、，選擇科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將至等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照（、分別為正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差）分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī)．如果山東省年某次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理科目的原始成績(jī)，．(1)若規(guī)定等級(jí)、、、、、為合格，、為不合格，需要補(bǔ)考，估計(jì)這次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理合格線的最低原始分是多少；(2)現(xiàn)隨機(jī)抽取了該省名參加此次物理學(xué)科學(xué)業(yè)水平測(cè)試的原始分，若這些學(xué)生的原始分相互獨(dú)立，記為被抽到的原始分不低于分的學(xué)生人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望和方差．附：當(dāng)時(shí)，，．某地在全國(guó)志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊(cè)登記志愿者8萬多人，2020年7月份以來，共完成1931個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，8900多名志愿者開展志愿服務(wù)活動(dòng)累計(jì)超過150萬小時(shí)，為了了解此地志愿者對(duì)志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機(jī)調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)(單位：小時(shí))，并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．(1)估計(jì)這500名志愿者每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中間值代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時(shí)長(zhǎng)X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算：若，令，則，且．(i)利用直方圖得到的正態(tài)分布，求；(ii)從該地隨機(jī)抽取20名志愿者，記Z表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過10小時(shí)的人數(shù)，求(結(jié)果精確到0.001)，以及Z的數(shù)學(xué)期望(結(jié)果精確到0.01)．參考數(shù)據(jù)：，，，，.若，則，，.某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性檢測(cè)（檢測(cè)分為初試和復(fù)試），并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績(jī)，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值和80%分位數(shù);(2)若所有學(xué)生的初試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，．初試成績(jī)不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù);(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對(duì)獲得一等獎(jiǎng);答對(duì)兩道題獲得二等獎(jiǎng);答對(duì)一道題獲得三等獎(jiǎng);全部答錯(cuò)不獲獎(jiǎng)．已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對(duì)的概率均為，第三道題答對(duì)的概率為．若他獲得一等獎(jiǎng)的概率為，設(shè)他獲得二等獎(jiǎng)的概率為，求的最小值．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，題型十二二項(xiàng)分布與正態(tài)分布若隨機(jī)變量，若，則．某企業(yè)瓷磚生產(chǎn)線上生產(chǎn)的瓷磚某項(xiàng)指標(biāo)，且，現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10片瓷磚，記表示的瓷磚片數(shù)，則．2020年五一期間，銀泰百貨舉辦了一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，消費(fèi)每超過600元(含600元)，均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有10個(gè)形狀?大小完全相同的小球(其中紅球2個(gè)，白球1個(gè)，黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中，一次性摸出3個(gè)球其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸到2個(gè)紅球和1個(gè)白球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球則打5折；若摸出1個(gè)白球2個(gè)黑球，則打7折；其余情況不打折.方案二：從裝有10個(gè)形狀?大小完全相同的小球(其中紅球3個(gè)，黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.（1）若兩個(gè)顧客均分別消費(fèi)了600元，且均選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客消費(fèi)恰好滿1000元，試從概率角度比較該顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家，最艱巨最繁重的任務(wù)仍然在農(nóng)村