橢圓-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國通用）（解析版）

考向32橢圓

經(jīng)典真題

r2V21

1?(2022?全國甲(文)Tll)已知橢圓C:j+==l(α>8>0)的離心率為一，分別為C的左、右

a^b^3

頂點(diǎn)，8為C的上頂點(diǎn).若朗?%=—1,則C的方程為()

2

X2

D.τ+y=1

【答案】B

【解析】因?yàn)殡x心率e=￡=Jl-仁=1，解得(=§,b2=-a2,

a?a239

4,A2分別為C左右頂點(diǎn)，則A(-α,0),C(4,0),

B為上頂點(diǎn),所以8(0力).

所以例=(-a,-b),BA1=(a,-b),因?yàn)樗?BA2=—1

Q

所以一儲(chǔ)+從=一1，將/=§/代入，解得/=922=8,

故橢圓的方程為:+《=L

22

2.(2022?全國甲(S)TlO)橢圓C:=+==l(4>0>0)的左頂點(diǎn)為4,點(diǎn)P,。均在C上，且關(guān)于y

ab

軸對稱.若直線AP,AQ的斜率之積為L,則C的離心率為()

4

A.BB.交C.?D.?

2223

【答案】A

【解析】A(-a,0),設(shè)Pa,χ),則Q(F,y),則勤

X^-rCl-Xj+Cl

yy=堞=1

故k∕4P,ZAQ))d

F+Q—Xy+ci—XJ+a~4

b2(a2-x2)

b2^a2-x2i

唔+3=1,則W=t即2

,所以/1,

a2

-x∣2+a24

所以橢圓C的離心率e=—

a

3.（2022?新高考I卷TI6）已知橢圓C：J+*l(4>0>0),C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為入，F(xiàn),

a2

離心率為T.過G且垂直于4尼的直線與C交于。，E兩點(diǎn)，IOE=6,則AZ）E的周長是

【答案】13

【解析】；橢圓的離心率為e=￡=！，.?.α=2c,.??∕J2=∕-C2=3C2,...橢圓的方程為

a2

/2

二+當(dāng)v=1,gp3√+4√-12c2=0,不妨設(shè)左焦點(diǎn)為￡,右焦點(diǎn)為居，如圖所示，

4C23C2

JT

'：AF2^a,OF?=c,α=2c,.?./4鳥。=一，.?.ZXAK8為正三角形，；過耳且垂直于AB的直線與

C交于DE兩點(diǎn),OE為線段A居的垂直平分線，.?.直線的斜率為立，斜率倒數(shù)為JJ,直線OE

3

的方程：x=My-c,代入橢圓方程3尤2+4y2-i2c2=0,整理化簡得到：13/一66c：y-9c?=O,

判別式/廠\2222，

Δ=(6J3c)+4×13×9c~-6~×↑6×C2

S=IV1-V,I=2×=2x6x4x*=6

11211313

13,,C13

.*.c=—>z得?a=2c=—，

84

???DE為線段AK的垂直平分線，根據(jù)對稱性，AD^DF2,AE=EB,.?.AADE的周長等于AgOE的

周長，利用橢圓的定義得到E周長為

?DF2?+?EF2?+?DE?=IDF21+|EF21+|DFi∣+∣EF]∣=∣DFl?+?DF21+∣EFt?+?EF2?=2a+2a=4a=↑3.

4.（2022.新高考∏卷TI6）已知橢圓工+二=1,直線/與橢圓在第一象限交于A,B兩點(diǎn),與X軸，y軸

63

分別交于M,N兩點(diǎn)，且IMAl=IM3∣,IMNl=2JL則直線/的方程為.

【答案】x+√2y-2√2=0

【解析】令A(yù)B的中點(diǎn)為E,因?yàn)镮MAI=IN用，所以IMEI=IN￡|,

2222

設(shè)A(XI,y),B(χ2,y2),則菅+￡-=1,方-+]-=ι,

所以近一互+式_立=0,即（X「w）a+x2）+（x+/）（y/必）=0

663363

所以"坐上&=一1，即EE?3S=-4，設(shè)直線ABf=丘+m,∕c<0.m>0,

(xl-x2)(xl+x2)22

令X=O得丁=機(jī)，令y=0得X=一1，即M[-%,0N（O,機(jī)），所以E

m

即左x，-=一=，解得jt=-Yl或后=Yl(舍去)，

_m222

~2k

22

又IMNl=2λ∕LBP?MN?=^+(√2m)=2√3.解得加=2或機(jī)=一2(舍去)，

所以直線A8:y=-半x+2,即x+√∑y-2√Σ=0:

5.（2022?全國乙（理）T20（文）T）21.已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為X軸、y軸，且過

A(O,-2),8(|,-1)兩點(diǎn).

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)尸(1,—2)的直線交E于M,N兩點(diǎn)，過M且平行于X軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T,點(diǎn)”滿足

MT=TH-證明：直線HN過定點(diǎn)?

23V2

【答案】(1)?v-+-=1(2)(0,-2)

43

【解析】【小問1詳解】

解：設(shè)橢圓E的方程為/加+江=1,過A(O

4〃=122

則＜9，解得相=9〃=一，所以橢圓E的方程為：^-+―=1.

-m+n=?3443

14

【小問2詳解】

32

A(0,-2),β(-,-l),所以AB:y+2=§x,

22

①若過點(diǎn)P(l,-2)的直線斜率不存在，直線X=1.代入工+二=1,

34

可得M(l,濁)，N(l,—濁)，代入4B方程y=gx-2,可得

T(√6+3,，由Mf=TTi得到HQ瓜+5,把2).求得HV方程:

y=(2-半)％-2,過點(diǎn)(0,-2).

②若過點(diǎn)尸(1,-2)的直線斜率存在，設(shè)依一y-(A+2)=0,M(x”M),N(x2,y2).

AX_y_(4+2)=0

聯(lián)立Iχ22,W(3^2+4)X2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0,

—+—=1

34

6k(2+k)—8(2+k)

X1+Xx+%

23公+4

可得《3^+4

3k(4+k)4(4+42-2公)

%%=

中2=*7Γ3爐+4

-24?

且XIy2+9X

3*4

y=x3

聯(lián)立42,可得7(2+3,χ),H(3χ+6-%,y).

y=-x-22l1

可求得此時(shí)~十—----

HN?.y-y2=-{x-x2),

3y∣+6-x∣-X2

將,代入整理得

(0,-2)2(x∣+x2)-6(yl+y2)+x,j2+x2yl-3yly2-12=0,

將(*)代入，得24k+12?2+96+48?-24k-48-48?+24k2-36k2-48=0,

顯然成立，

綜上，可得直線HN過定點(diǎn)(0,-2).

【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問題常見的方法有兩種：

①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；

②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

6.(2022?浙江卷T21)如圖，已知橢圓.+y2=ι.設(shè)4,B是橢圓上異于P(0,l)的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在

線段AB上，直線PAPB分別交直線y=—；x+3于C,。兩點(diǎn).

(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值;

（2）求IC。I的最小值.

【答案】（1）包五⑵竿

11

【解析】【小問1詳解】

設(shè)Q（2λ^cos6,sine）是橢圓上任意一點(diǎn)，P（O,D,則

6+(1-sin8)2=13-1Isin2夕一2sin9=—1《sin。+(∣+τr^'當(dāng)且僅當(dāng)

∣PQF=12COS2

Sine=-L時(shí)取等號，故IPQl的最大值是坦叵

H11

【小問2詳解】

I2

χ1聯(lián)立,可得卜+春1卜+日一5=0,設(shè)

設(shè)直線力6:y=Ax+—,直線AB方程與橢圓L+V

21212

k

xl+x2

k2-

+12

A(XX),3(w,%)，所以,

P3

XyX=-

243+工

I12

V1—1I

因?yàn)橹本€PA：y=皿—X+1與直線y=——x+3交于C,

玉2

4%4%4X24X2

則xc=,同理可得，?=則

x∣+2y-2(2Z+I)X]—1々+2%—2(2Z+1)%2—1

√54x4X

?CD?=12

2Qk+I)M—1Qk+l)x2-1

x-X玉-X

=2√5122√52

[(2?+1)XI-1][(2?+1)X2-1]Qk+I)-XlX2—(2A+1)(內(nèi)+/)+1

4Zx°+lxl

3√5√16?2+16√546√5.

2?3k+l?—5∣3?+1∣5?3k+??

當(dāng)且僅當(dāng)人=得時(shí)取等號，故IcDI的最小值為華.

1.求橢圓離心率或其范圍的方法

解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于α,b,C的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下:

(1)直接求出a,c,利用離心率公式e=5求解.

(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式6=\標(biāo)普求解.

(3)構(gòu)造α,C的齊次式.離心率e的求解中可以不求出α,C的具體值，而是得出“與C的關(guān)系，從而

求得e.

2.利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路

(1)將所求問題用橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示，利用坐標(biāo)范圍構(gòu)造函數(shù)或不等關(guān)系.

(2)將所求范圍用小b,C表示，利用α,b,C自身的范圍、關(guān)系求解.

J---------------≡A*?

］常用結(jié)論)

1.點(diǎn)P(XO，加)和橢圓的位置關(guān)系

(I)點(diǎn)P(X0,外)在橢圓內(nèi)u-y+丁<1?

arIr

(2)點(diǎn)P(X°,W)在橢圓上,+/=L

Λ?XX--**?.XX.-

(3)點(diǎn)P(XO,yo)在橢圓外U學(xué)+我〉1.

2.焦點(diǎn)三角形

如圖，橢圓上的點(diǎn)P(XO,則)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PAB叫做焦點(diǎn)三角形.設(shè)n=IPQI，,?2=∣P0∣,ZFiPF2

92

=θ,APQB的面積為5,則在橢圓/+==l(α>6>0)中:

(1)當(dāng)r∣=∕?2,即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí),J最大；

2

(2)S=6tany=c∣y0∣,當(dāng)IM=4即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為

Q）g~c<?PFi∣≤α+c.

（4）∣PFι∣=0+erβ,IPF2I=OrexQ.

（5）當(dāng)PBLx軸時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（c.士日）.,

⑹C?=閥止土附ι∣±21fEιllβ?lεβ?j9?

3.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)、中心和短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，其中。是斜邊長，3=肥士的

4.已知過焦點(diǎn)Fl的弦A8,則的周長為曲.

5.橢圓中點(diǎn)弦的斜率公式

97

若MaO，州）是橢圓￡+g=1（〃>6>0）的弦AB（AB不平行于對稱軸）的中點(diǎn)，則有

]}Zrj?

如.4“=一工'即近=一否

6.弦長公式：直線與圓錐曲線相交所得的弦長

設(shè)直線/與圓錐曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x∣,力），8（X2,竺），若直線/斜率為公則IABI=Nl+的汨一詞

=√T硒不聲后商=注+//I=、/。+既yι+y2?-4%），2].當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，∣A8∣=∣y∣

一M

y~?錯(cuò)點(diǎn)f

I.若點(diǎn)P在橢圓上，尸為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則

⑴婦OP&；(2)a-c<?PF?<a+c.

2.焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P（X0,兌）與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的^Pa3叫作焦點(diǎn)三角形，r∣=IPQI,。=|尸/囹，NFlPF2

=θ,APQB的面積為5,則在橢圓￡+*=l(a>fr>0)中;

（1）當(dāng)廠1=「2時(shí)，即點(diǎn)尸的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，。最大；

（2）S=?2tan∣=φob當(dāng)伙）|=b時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為6c.

2

3.焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦中以通徑（垂直于長軸的焦點(diǎn)弦）最短，弦長Anin2=h臂.

4.AB為橢圓5+g=l（4>6>0）的弦，4（x∣,y∣）,8（知”），弦中點(diǎn)例（戰(zhàn)，泗），則直線4B的斜率如J

一、單選題

O2

?.雙曲線E與橢圓C:土+&=1焦點(diǎn)相同且離心率是橢圓C離心率的g倍，則雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

62

A.x2-^=lB.y2-2χ2=lC.—-??lD.--y2=1

3,223

【答案】C

【解析】雙曲線E與橢圓C：￡+￡=l焦點(diǎn)相同，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為（？20）,

62

橢圓的離心率為寨=京，.?.雙曲線的離心率為KX專=及，

設(shè)雙曲線實(shí)半軸長為。，虛半軸長為〃，焦距為2c,則c=2,

E=√5nα=√5,.?"=也，.?.所求雙曲線方程為：反―￡=1.

a22

2.”是“方程上+f=1表示的曲線為雙曲線”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】C

【解析】方程』］表示的曲線為雙曲練

rg則”(2α-l)<0,解得O<a<g,

故"0<a<!”是“方程W-+E=I表示的曲線為雙曲線”的充要條件.

22a-?a

->2

3.已知楠圓C5+￡=1（6?°）上的動(dòng)點(diǎn)尸到右焦點(diǎn)距離的最小值為3-2播，則〃=（)

A.1B.√2C.√3D.√6

【答案】A

【解析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離最小值為α-c,

即α-c=3-2√2,又。=3,所以c=2&,

由c?=儲(chǔ)—所以6=1；

4.已知寫，工分別為橢圓C：E+y'l的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則|尸盟-|尸鳥|的最大值為（）

A.2B.2乖IC.4D.4√3

【答案】B

【解析】橢圓上的點(diǎn)P滿足ImHPEl4忻閭,當(dāng)點(diǎn)P為耳耳的延長線與C的交點(diǎn)時(shí),

IP用TP司達(dá)到最大值，最大值為恒閭=2√L

5.已知月,居分別為橢圓/+￡=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸為橢圓上一點(diǎn)，以巴為圓心的圓與直線P耳恰好相切

42

于點(diǎn)P,則NP片乙是()

A.45oB.30oC.60oD.75°

【答案】A

【解析】依題意α=2∕=c=√∑,設(shè)IP閭=心由橢圓定義得IPKl=4T,

由于以瑞為圓心的圓與直線PE恰好相切于點(diǎn)尸，

22

所以IPEI2+]PKF=?FiF2f,即(4τ)2+t=(2√2)=8,

整理得*-4r+4=0,得t=2,得IPKI=IPK所以NP耳，=45。.

6.已知雙曲線C:￡-1=l(a>0,b>0)滿足2=且，且與橢圓蘭+丫=1有公共焦點(diǎn)，則雙曲線C的方程為

a-b2a2123

()

【答案】A

【解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為上+廣=1，可得C?=12-3=9,即c=3,

123

因?yàn)殡p曲線C的焦點(diǎn)與橢圓^+《=1的焦點(diǎn)相同，所以雙曲線C中，半焦距c=3,

123

又因?yàn)殡p曲線C:1-1=l(a>(U>())滿足2=即6=好α,

α2b-a22

又由即/+=9,解得/=4,可得從=5,

所以雙曲線C的方程為E-￡=1.

45

7.已知橢圓C的上焦點(diǎn)為F,過原點(diǎn)。的直線/交C于點(diǎn)M,N,且忻0∣=∣M0∣,若NMNF=g則C的離

心率為()

A.√3-lB.立

3

C.—D.√2-l

3

【答案】A

【解析】設(shè)橢圓C的上焦點(diǎn)為E,顯然IFa=Ia'I，

因?yàn)檫^原點(diǎn)。的直線/交C于點(diǎn)M,N,

所以有PWa=IONI,因此四邊形MEN尸是平行四邊形，

又因?yàn)镮Fa=IM。，所以有∣Mq=∣CW∣=∣。尸∣=c,

因此三角形NMF是以NM為斜邊的直角三角形，

因?yàn)镹MNF=-,所以IM尸I=2c?sin巴=c,?NF?=2C?COS-=√3C,

666

因?yàn)镸EN尸是平行四邊形，

所以IMFl=IAKI=c,由橢圓的定義可知：IjVFl+∣NM=2an√?r+c=2a=>e=?∣=3^=g-l,

f2

8.已知橢圓。:七+二v=l(a>6>0)以耳,八為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸、Q在橢圓上，且PQ過右焦點(diǎn)K，QF^QP,

ab

若SinN耳尸。=卷，則該橢圓離心率是()

A.立B.叵C.-D.—

32652

【答案】A

【解析】根據(jù)題意可得如圖橢圓，尸產(chǎn)。是直角三角形，SinN4PQ=得，

不妨設(shè)國H=I3,忸a=5,則IPQl=I2,

因?yàn)殛朡∣+內(nèi)Ql=I耳H+∣BH=2a,所以內(nèi)。=10,1瑪H=2,

22

2?=15,∣f^F,∣=2c=y∣?QFi?+∣0Λ∣=5>∕5?所以離心率e=?∣?=^j^=^^?

二、多選題

9.已知m為3與5的等差中項(xiàng)，n為4與16的等比中項(xiàng)，則下列對曲線C:^+二=1描述正確的是（）

mn

A.曲線C可表示為焦點(diǎn)在y軸的橢圓

B.曲線C可表示為焦距是4的雙曲線

C.曲線C可表示為離心率是YZ的橢圓

2

D.曲線C可表示為漸近線方程是y=±J5x的雙曲線

【答案】ACD

【解析】由加為3與5的等差中項(xiàng)，得2w=3+5=8,即%=4,

由〃為4與16的等比中項(xiàng)，得“2=4x16=64,SPn=+8,

則曲線C:t+f=1的方程為鳥+4=1或X-S=ι.

mn4848

其中=+?=1表示焦點(diǎn)在丁軸的橢圓，此時(shí)它的離心率e=￡==1,故4正確,

48a2

C正確；

其中:一工=1表示焦點(diǎn)在X軸的雙曲線，焦距為2c=2√T壽=2"兩=46，漸近線方程為

48

y=±-x=±-Λ=±√2X,故8不正確，。正確.

a2

10.已知線段BC的長度為4,線段AB的長度為加，點(diǎn)。,G滿足AO=OC,DG-AC=Q＜且G點(diǎn)在直線

AB±,若以BC所在直線為X軸，BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則（）

A.當(dāng)機(jī)=4時(shí)，點(diǎn)G的軌跡為圓

'12^

B.當(dāng)6≤m≤8時(shí)，點(diǎn)G的軌跡為橢圓，且橢圓的離心率取值范圍為

C.當(dāng)機(jī)=2時(shí)，點(diǎn)G的軌跡為雙曲線，且該雙曲線的漸近線方程為y=±Gx

D.當(dāng)加=5時(shí)，BCG面積的最大值為3

【答案】BCD

【解析】根據(jù)題意可知：點(diǎn)A的軌跡為以8為圓心，半徑為機(jī)的圓8,點(diǎn)。為線段48的中點(diǎn)，點(diǎn)G為線

段AC的中垂線與直線AB的交點(diǎn)，則∣G4∣=∣GC∣

當(dāng)初=4時(shí)，線段AC為圓5的弦，則AC的中垂線過圓心2,點(diǎn)G即點(diǎn)8,A錯(cuò)誤;

當(dāng)6≤m≤8時(shí)，如圖1,點(diǎn)G在線段AB上，連接GC

則IGCl+1GH=IG4∣+1GBI=I明=m

；?點(diǎn)G的軌跡為以8,C為焦點(diǎn)，長軸長為機(jī)的橢圓，即α=?y,c=2

當(dāng)G為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，8CG面積的最大

若加=5時(shí)，則α=[,c=2/=Jq2-c'=∣?,最大面積為從?=3,D正確；

當(dāng)初=2時(shí)，過點(diǎn)C作圓B的切線，切點(diǎn)為M,N

若點(diǎn)A在劣弧MN（不包括端點(diǎn)M,N）上，如圖2,點(diǎn)G在BA的延長線上，連接GC

則IGBI-IGa=IGBITG4∣=∣ΛB∣=2

???點(diǎn)G的軌跡為以8,C為焦點(diǎn)，長軸長為小的雙曲線的左半支

若點(diǎn)A在優(yōu)弧MN（不包括端點(diǎn)M，N）上，如圖3,點(diǎn)G在AB的延長線上，連接GC

則IGClTGM=IGAlTGH=IM=2

點(diǎn)G的軌跡為以B,C為焦點(diǎn)，長軸長為機(jī)的雙曲線的右半支

則點(diǎn)G的軌跡為雙曲線

22

-,?a=l,c=2,b=y∣c-a=√3>漸近線方程為y=±^x=土√iv,C正確；

-）2

II.橢圓C：三+二=1的左、右焦點(diǎn)分別為巴，尸2,點(diǎn)P在橢圓C上，若方程sx+y+3，"-4=0所表示的

直線恒過定點(diǎn)M,點(diǎn)。在以點(diǎn)M為圓心，C的長軸長為直徑的圓上，則下列說法正確的是（）

A.橢圓C的離心率為：B?∣PK∣?∣PK∣的最大值為4

C.白用的面積可能為2D.IPQHP用的最小值為2石-6

【答案】ABD

c1

【解析】對于選項(xiàng)A,由橢圓C的方程知α=2,?=√3,c=l,所以離心率e=—=；,故選項(xiàng)A正確；

a2

對于選項(xiàng)B,由橢圓的定義可得|尸制+|叫|=4,所以IPKHP周≤,P制；儼用）=4,即IP制忖閭的最大

值為4,故選項(xiàng)B正確；

對于選項(xiàng)C,當(dāng)點(diǎn)尸位于橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，△「￡工的面積取得最大值gx2Xe=石＜2,故選項(xiàng)C錯(cuò)

誤；

對于選項(xiàng)D,易知M（—3,4）,則圓M:（x+3y+（y-4）2=4,所以

IPQHPBI=IPQl-（4一|P耳∣）≥∣QE∣-4≥∣ME∣-2-4=2石-6,故選項(xiàng)D正確，

12.雙曲線c：《-f=1的左，右焦點(diǎn)分別為《，鳥，點(diǎn)P在C上.若鳥是直角三角形，則APKK的

124

面積為（）

A.隨B.迪C,4D.2

33

【答案】AC

【解析】由雙曲線C:二■=1可得C=JZ萬=√12T4=4.根據(jù)雙曲線的對稱性只需考慮尸月，月工或

124

PFiIPF2.

當(dāng)尸”1.尸鳥時(shí)，將χ=-4代入［一;=1可得y=±半，所以的面積為;比曰IPKI=苧.

當(dāng)P月J.Pg時(shí)，由雙曲線的定義可知，

耳同=后,由勾股定理可得歸耳∣印閭

IIPHP2α=4F+%f=2=（2C）2=64

因?yàn)楦組*2=（1平H*丫+2閥H*=64，

所以IpGP國=8,此時(shí)APK6的面積為g∣P∕訃IP周=4

綜上所述，百心的面積為4或述.

3

三、填空題

22

13.已知橢圓工+匯=1的左焦點(diǎn)為尸，若A、B是橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且A8垂直于X軸，則,A5R周長的最大

94

值為.

【答案】12

【解析】如圖.設(shè)AgX軸相交于點(diǎn)C,橢圓在：=1右焦點(diǎn)為小

連接AGB耳,

所以/周長為瓶+BF+AB=6—A片+6—B4+AB=12—（AG+B4一AB）≤12

故二ABF的周長的最大值為12,

14.若橢圓工+上=1的焦點(diǎn)在y軸上，則實(shí)數(shù)A的取值范圍是.

k—13—k

【答案】（1,2）

【解析】因?yàn)闄E圓WT+右=1的焦點(diǎn)在），軸上，

3-k>k-↑

所以3-左>0,解得IVZV2,即實(shí)數(shù)上的取值范圍為（1,2）.

?-l>0

15.已知橢圓。與+4=1（a>6>0）的上、下頂點(diǎn)分別為A，4，點(diǎn)P是橢圓C上異于4、4的點(diǎn)，直線

ba

p?和PAz的斜率分別為七、k2,寫出一個(gè)滿足k?K=-4的橢圓C的方程是.

【答案】《+χ2=ι（答案不唯一）

4

22

【解析】由題意可知4（0，。）、A（O，—4）,設(shè)P（為,%）（為H0）,貝I］存+4=1,

ba

所以玉;=_居（E一明,

a

所以"2=X.g=?1=-(

???"

所以6=4?2.

所以橢圓。的方程可以為片+爐=1（只需滿足儲(chǔ)=4廿即可）.

4

故答案為：M+f=ι（答案不唯一）.

4

16.已知橢圓C：W+$=1（“>2）的左、右焦點(diǎn)分別為片,每，點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)，直線A鳥與橢圓C的

，，，Λ

另一個(gè)交點(diǎn)為8,若忸制=4忸閭，則α=.

【答案】√7

OQ

【解析】由忸制+怛國=2α,怛制=4忸周，可得忸周=（,忸制=?∣”,

如圖過點(diǎn)B作X軸的垂線，垂足為“，所以/。乙SBMF2,

因?yàn)閨陽=%所以爺J,所以IMBl=為AI=W,∣g∣="

A/42?555

可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為,代入橢圓方程可得絲_+3=1,

（55；25a225

有空叵刊+色=1，解得α=√7?

25a225

一、單選題

I.（2022?安徽蚌埠?三模（理））已知焦點(diǎn)在X軸上的橢圓E+21=ι離心率為交，則實(shí)數(shù)m等于（）

C.4+2√2D.2√2

【答案】B

【解析】由題意，得α=J五，b=2,則C=JIn-4,

所以橢圓的離心率e=￡=至2=也，解得〃?=8.

2.（2022?安徽省舒城中學(xué)模擬預(yù)測（理））2021年6月17日9時(shí)22分，搭載神舟十二號載人飛船的長

征二號F遙十二運(yùn)載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射.此后，神舟十二號載人飛船與火箭成功分離，

進(jìn)入預(yù)定軌道，并快速完成與“天和”核心艙的對接，聶海勝、劉伯明、湯洪波3名宇航員成為核心艙首批“入

住人員”，并在軌駐留3個(gè)月，開展艙外維修維護(hù)，設(shè)備更換，科學(xué)應(yīng)用載荷等一系列操作.已知神舟十二

號飛船的運(yùn)行軌道是以地心為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)地球半徑為R,其近地點(diǎn)與地面的距離大約是遠(yuǎn)地點(diǎn)

與地面的距離大約是則該運(yùn)行軌道（橢圓）的離心率大約是（）

【答案】A

【解析】以運(yùn)行軌道長軸所在直線為X軸，地心F為右焦點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

22

設(shè)橢圓方程為當(dāng)?+g=l（α>b>0）,其中

133117

根據(jù)題意有Q—c=R~*----R=—R,a+c=Rτ—R=—R,

32321616

所以24=曰R,2c=^-R,

3232

所以橢圓的離心率e=￡=§=上.

a2a67

3.（2021.湖南長沙.模擬預(yù)測）有兩條互相垂直的直線XX，和YT,有一條定長的線段A3,它的兩個(gè)端點(diǎn)

分別被限制于這兩條直線上.點(diǎn)尸是AB上的一個(gè)確定點(diǎn)，即點(diǎn)戶到點(diǎn)A和點(diǎn)8的距離的比值是一個(gè)定值.那

么，隨著線段AB的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)戶的運(yùn)動(dòng)軌跡及焦距長為（）

A.橢圓，焦距長為IA同B.橢圓，焦距長為2亞行叫

C.雙曲線，焦距長為∣2∣IMTP郵D.雙曲線，焦距長為麗

【答案】B

【解析】在兩條互相垂直的直線XX'和yr上建立平面直角坐標(biāo)系，

當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，設(shè)AB與X軸的夾角為，，則P的坐標(biāo)為（IP卻cos9,內(nèi)卜in。），

“22

從而可知，點(diǎn)P在橢圓工?+Jv=I上，點(diǎn)P的軌跡是四分之一個(gè)橢圓，

PB2PA2

22

當(dāng)點(diǎn)P在其它幾個(gè)象限或坐標(biāo)軸上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足方程二+二=1,

PB2PA2

所以點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)橢圓，焦距長為2惘可磯.

4.（2022?上海?華師大二附中模擬預(yù)測）己知平面直角坐標(biāo)系中的直線4：y=2x、/∕y=-2x.設(shè)到《、4距

離之和為2q的點(diǎn)的軌跡是曲線G,到乙、/2距離平方和為2Q的點(diǎn)的軌跡是曲線G,其中q,cz>θ?則G、C2

公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不可能為（）

A.0個(gè)B.4個(gè)C.8個(gè)D.12個(gè)

【答案】D

【解析】由題意，直線4與直線4相互垂直，設(shè)曲線Cl上的點(diǎn)為（x,y）,滿足色/+色望=2q,即

√5√5

∣2x-y∣+∣2x+>>∣=2√5c,,則當(dāng)2x-y>0,2x+y>0時(shí)，X=岑q；

當(dāng)2工-y>0,2n+y<0時(shí)，y=—?/?e?；

當(dāng)2x-y<0,2x+y>0時(shí)，γ=√5cl；

當(dāng)2x-y<0,2x+y<0時(shí)，X=一旦5,

2

所以曲線G是以、卜當(dāng)q,右cj、卜當(dāng)q,_6cj、（當(dāng)q,-石CJ為頂點(diǎn)的矩形，

設(shè)曲線c?上的點(diǎn)為（My）滿足（色界J'皆即4。2

所以G是橢圓XY=I，

所以二者公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)只可能是0、4、8個(gè),

5.（2022?湖南?模擬預(yù)測）中心在坐標(biāo)原點(diǎn)。的橢圓的上頂點(diǎn)為A,左頂點(diǎn)為不左焦點(diǎn)為F.已知

ZBAF=ZFAO,記該橢圓的離心率為e,則（）

C1CIlCIl1

A.0<e<—B.-<e<-C.-<e<-D.—<e<

443322

【答案】C

【解析】根據(jù)角平分線定理需=儒，&=￡，

結(jié)合Y=/+,?及離心率e=￡有4二=工,化簡得2e3—2e2—2e+l=0.

a√2-e2l—e

設(shè)/Cr)=2*—-2x+l,又嗚)=早?∣-'+l=^?>0,/(g)U-l+l=q<O

?(χ)=6X2-4X-2=2(3X?-2X-1)=2(3X+1)(X-1),

當(dāng)x∈(0,l)時(shí)，f(x)<O恒成立，故/(χ)在(0,1)上單調(diào)遞減，

所以

6.(2022?河南?模擬預(yù)測(文))對于曲線上+上-=1(M>-4且/MWO),以下說法正確的是()

m4+/W

A.曲線是橢圓B.曲線是雙曲線

C.曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±2,0)D.曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,±2)

【答案】D

22

【解析】當(dāng)Y<m<0時(shí)，曲線為雙曲線」一--=1,c2=4+m+(→n)=4,故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±2)；

4+%2-m

22

2

當(dāng)，">0時(shí)，曲線為橢圓三+工=1,c=4+m-m=4,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(。,士2).

m4+機(jī)

2

Vv2

7.(2021?浙江?模擬預(yù)測)如圖，已知橢圓上+二=1的長軸端點(diǎn)為A，A2,短軸端點(diǎn)為用，B,,焦點(diǎn)為

43

Fl,6?現(xiàn)將左邊半個(gè)橢圓沿短軸進(jìn)行翻折，則在翻折過程中(不共面)，以下說法不正確的是()

A.存在某個(gè)位置,使4層，4片

B.存在某個(gè)位置,使二面角g-A4-瑪?shù)钠矫娼菫?

C.對任意位置，都有44〃平面H

D.異面直線耳￡與用工所成角的取值范圍是(Og)

【答案】B

【解析】?∣AB,∣=∣AB2∣=√7

7+7—]21

CosZB2ABl=2a7=,〉0,所以/當(dāng)&月為銳角

則△△由B2為銳角三角形，故過當(dāng)作44的垂線，垂足H在線段上,

設(shè)與HcOA2=N,當(dāng)ANj.平面48也時(shí)，則ANJ.A2B∣,又A、NICB^H=N

所以_L平面4"鳥,且A^u平面AHB2,

所以4層，為耳，故A正確;

如圖，設(shè)E為A4的中點(diǎn)，由IOAI=I。4|=2,?A1B2?=?A1B2?=4J

則B2EJLAxA1,OE?AiA2

所以ZOEB2為二面角B2-AiA2-F2的平面角.

設(shè)Hd∣=2x,∣A目=IAq=x,(0<x<2)則IoEl=J4-f,L=J7

4-f+7-χ2-3

所以COSNoE1層

2√4-X2×√7-X2

Fi2/?6

當(dāng)OVXv2時(shí)，3<7—%2<7,所以—V----<cosNOEB、<

23~

所以O(shè)<NOEB5<g,所以不存在某個(gè)位置,使二面角與-A4-&的平面角為《，，故B錯(cuò);

6。

由石乃U