第二章 液體靜力學(xué)2015

第二章液體靜力學(xué)能動(dòng)學(xué)院王燕水靜力學(xué)的任務(wù)是研究液體平衡的規(guī)律及其實(shí)際應(yīng)用。液體平衡靜止?fàn)顟B(tài)或平衡相對(duì)平衡狀態(tài)或相對(duì)靜止

靜止或平衡狀態(tài)

液體相對(duì)地球沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，液體處于靜止?fàn)顟B(tài)

相對(duì)平衡或相對(duì)靜止

液體相對(duì)于地球處于運(yùn)動(dòng)，但液體相對(duì)于運(yùn)動(dòng)著的容器之間卻是靜止的、無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的。在研究流體平衡時(shí)，通常將地球選作慣性坐標(biāo)系

靜止液體的特點(diǎn)：液體之間一定沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，液體內(nèi)部不存在內(nèi)摩擦力。流體不呈現(xiàn)粘性。因此，水靜力學(xué)中，理想液體和實(shí)際液體無(wú)區(qū)別。

液體靜力學(xué)得出的結(jié)論對(duì)理想流體和粘性流體都適用。2.1靜水壓強(qiáng)及其特性圖靜水壓強(qiáng)示意ΔAΔPT隧洞隧洞閘門ΔP為作用于微元面積上的動(dòng)水壓力;p為靜水壓強(qiáng)單位：Pa=N·m-2

或kN·m-2；

量綱：[F·L-2]2.1.1靜水壓強(qiáng)的兩個(gè)性質(zhì)

靜水壓強(qiáng)的方向與受壓面垂直并指向受壓面一塊平衡流體，將其分成兩部分Ⅰ

下塊液體的平衡ⅠⅡdPndPτdPαⅡ

下塊液體的平衡ⅠⅡdPndPτdPαⅡ液體受拉圖靜水壓力方向示意ⅠⅡdPndPτdPαdPⅡⅡ

靜止液體的表面力：只有法向應(yīng)力，沒(méi)有切向應(yīng)力。而液體無(wú)法承受拉力作用，法向應(yīng)力為內(nèi)法向應(yīng)力，即壓強(qiáng)。流體作用于固體壁面上的壓強(qiáng)，恒垂直于固體壁面。2.任一點(diǎn)靜水壓強(qiáng)大小和受壓面方向無(wú)關(guān)，各方向液體靜壓強(qiáng)相等。圖靜水壓強(qiáng)方向示意hpcpcpcccAp1=p2

＝斜面壓力

任一點(diǎn)靜水壓強(qiáng)大小與受壓面方向無(wú)關(guān)

證明?pypxpz如果能證明，任意點(diǎn)在三個(gè)方向的壓強(qiáng)相等即可

如圖所示，在靜止液體中的點(diǎn)A取一微元四面體，與坐標(biāo)軸相重合的邊長(zhǎng)分別為△x、△y、△z，三角形BCD的面積設(shè)為An，各微小平面中心點(diǎn)上的壓強(qiáng)分別為px、py、pz，單位質(zhì)量力在三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的投影分別為fx、fy、fz。由于流體靜止，則作用在該微元四面體上的力平衡，即：OxyzΔzΔxΔy從靜止液體中任取一微元四面體，考慮其受力平衡pxpnpypzΔPy＝左側(cè)面壓力

OxyzΔzΔxΔypz

ΔxΔy12pn

ΔAnpx

ΔyΔz12py

ΔxΔz12ΔPn＝斜面壓力

ΔPx＝后側(cè)面壓力

ΔPz＝底面壓力

表面力xyzOΔzΔxΔyXYZ那么總質(zhì)量力在三個(gè)坐標(biāo)上的分量為

設(shè)為單位質(zhì)量力在三個(gè)坐標(biāo)上的分量質(zhì)量力其中，

考慮四面體在三個(gè)坐標(biāo)方向的力平衡，則OxyzΔzΔxΔyn式中，:斜面法線與三個(gè)坐標(biāo)方向的夾角AxAzAy表明連續(xù)介質(zhì)的平衡液體內(nèi)，任一點(diǎn)的靜水壓強(qiáng)僅是空間坐標(biāo)的函數(shù),與受壓面方向無(wú)關(guān)，即式中，x,y,z

為液體占據(jù)的空間坐標(biāo)

研究液體處于平衡狀態(tài)時(shí)，作用于液體上的各種力及其坐標(biāo)間的微分關(guān)系.2.2.1液體平衡微分方程

2.2液體靜力學(xué)基本平衡方程

在平衡液體中，取一塊平行六面微元體（其他形狀也可，但六面體方便），正交的三條邊分別與坐標(biāo)軸相平行，其邊長(zhǎng)dx、dy、dz，中心點(diǎn)為A（x,y,z），該點(diǎn)的密度為

，靜壓強(qiáng)為p。Abcyxzdydzdxfy六面體在質(zhì)量力和表面力的作用下處于平衡xx0x0+δx0-δO泰勒展開式表面力乘以各表面面積，即得各表面所受的總壓力：質(zhì)量力xyOAdydxdzzfx各方向質(zhì)量力為

設(shè)fx,fy,fz為單位質(zhì)量力在三個(gè)坐標(biāo)上的分量fzfyxyOAdydxdzz考慮微元體的所有力，則以除上式，并化簡(jiǎn)，得到液體平衡微分方程形式1表示表面力與質(zhì)量力相平衡。歐拉平衡微分方程瑞士學(xué)者（Euler）1775年首先提出的

液體平衡微分方程形式1物理意義:靜水壓強(qiáng)沿某個(gè)方向的變化率與該方向單位體積的質(zhì)量力相等

歐拉平衡微分方程式

液體平衡微分方程形式2+)×

dx×

dy

×

dz

壓強(qiáng)差公式，表明流體靜壓強(qiáng)的增量取決于單位質(zhì)量力和坐標(biāo)增量。

壓強(qiáng)差公式由式可見(jiàn)

質(zhì)量力性質(zhì)由理論力學(xué)可知：存在一個(gè)與坐標(biāo)有關(guān)的力勢(shì)函數(shù)，使對(duì)x，y，z的偏導(dǎo)數(shù)等于單位質(zhì)量力在坐標(biāo)投影，即2.3液體的平衡方程具有上式關(guān)系的力稱為有勢(shì)力，或保守力

有勢(shì)力所做的功與路徑無(wú)關(guān)而只與起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)

重力、慣性力都屬于有勢(shì)力

作用在液體上的質(zhì)量力必須是有勢(shì)力，液體才能保持平衡表明:

比較兩式積分上式，則式中，為自由液面上的壓強(qiáng)和力勢(shì)函數(shù)結(jié)論：

平衡液體中，邊界上的壓強(qiáng)p0將等值地傳遞到液體內(nèi)的一切點(diǎn)上；即當(dāng)增大或減小時(shí)，液體內(nèi)任意點(diǎn)的壓強(qiáng)也相應(yīng)的增大或減小同樣的數(shù)值。這就是著名的帕斯卡原理。等壓面定義：液體中壓強(qiáng)相等的點(diǎn)連成的面（曲面，或平面）等壓面方程由于而等壓面性質(zhì)等壓面具有兩個(gè)性質(zhì)1等壓面和質(zhì)量力正交例

如果液體在靜止?fàn)顟B(tài)下，作用于其上的質(zhì)量力只有重力，那么就局部范圍，等壓面一定是一個(gè)水平面；就大范圍講，等壓面是一個(gè)處處與地心正交的曲面。

2在平衡液體中等壓面就是等勢(shì)面即dU=0,U=constant重力作用下等壓面重力作用下的等壓面條件：

連通、同一種流體、水平面

圖重力作用下的液體等壓面

(a)連通容器

非等壓面等壓面(b)不連通

非等壓面思考

兩種不同混合液體的交界面也是等壓面？積分常數(shù)根據(jù)自由表面上的邊界條件確定：

在重力場(chǎng)中，單位質(zhì)量力只有重力，即：

代入壓力差公式積分得：xyzz0zp0oh所以任意坐標(biāo)z處的壓強(qiáng)為：在重力作用下靜止有自由表面的不可壓縮流體中，靜壓強(qiáng)由兩部分組成：自由表面上的壓強(qiáng)p0淹沒(méi)深度為h、密度為

的流體柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)

gh帕斯卡原理：自由液面上的壓強(qiáng)將以同樣的大小傳遞到液體內(nèi)部的任意點(diǎn)上2.3重力作用下的靜水壓強(qiáng)的基本公式2.3.2重力作用下靜水壓強(qiáng)基本形式2稱為測(cè)壓管高度化簡(jiǎn)得由重力作用下靜水壓強(qiáng)的計(jì)算公式:基本形式2式中，C為常數(shù)，對(duì)于具體的問(wèn)題是一個(gè)唯一的常數(shù)。2.3.3液體靜力學(xué)基本方程式的物理意義z——單位重量液體的位置勢(shì)能p/(g)

——單位重量液體的壓強(qiáng)勢(shì)能z+p/(g)

——單位重量液體的總勢(shì)能

方程的物理意義是：在重力作用下，靜止的不可壓縮液體中單位重量液體的總勢(shì)能保持不變。xzzhpapp0hob如圖所示，玻璃管上端抽真空，對(duì)于a點(diǎn)和b點(diǎn)，其基本方程式為：即a點(diǎn)與真空的壓強(qiáng)差對(duì)單位重量液體做的功變成了單位重量液體的位置勢(shì)能。計(jì)示靜水頭線2.3.4液體靜力學(xué)基本方程式的幾何意義水頭單位重量液體的勢(shì)能具有長(zhǎng)度的單位，可以用液柱高度來(lái)表示。z——位置水頭p/(g)——壓強(qiáng)水頭z+p/(g)——靜水頭z1z2AA1p1p22p0z1z2A’A’1p1p22p0pa完全真空靜水頭線在重力作用下，靜止不可壓縮液體的靜水頭線和計(jì)示水頭線均為水平線。絕對(duì)壓強(qiáng)以完全真空為基準(zhǔn)計(jì)量的壓強(qiáng)，如p=pa+gh

中的p。計(jì)示壓強(qiáng)（相對(duì)壓強(qiáng)）以當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)為基準(zhǔn)計(jì)量的壓強(qiáng)，如pe=p-pa=gh

中的pe。真空當(dāng)流體的絕對(duì)壓強(qiáng)低于大氣壓強(qiáng)時(shí)，該區(qū)域處于真空。計(jì)示壓強(qiáng)為負(fù)值時(shí)，負(fù)計(jì)示壓強(qiáng)用真空度表示，是負(fù)壓強(qiáng)的絕對(duì)值，即：pv=-pe=pa-p真空度2.4壓強(qiáng)的度量與測(cè)量2.4.1壓強(qiáng)的兩種計(jì)算基準(zhǔn)注意：絕對(duì)壓強(qiáng)與計(jì)示壓強(qiáng)的關(guān)系絕對(duì)壓強(qiáng)計(jì)算基準(zhǔn)面相對(duì)壓強(qiáng)計(jì)算基準(zhǔn)面pNp’NpapKp’Cp’pNC幾種壓強(qiáng)的表示圖例1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓＝1.03323工程大氣壓=1（atm）

=1.01325×105(N/m2)=0.76m(Hg)

=10.336(mH2O)

1工程大氣壓＝1（ate）=0.736m(Hg)=98665(N/m2)≈10(mH2O)壓強(qiáng)的幾種表示方法及其關(guān)系液柱式測(cè)壓計(jì)測(cè)壓管是一種最簡(jiǎn)單的液柱式測(cè)壓計(jì)。為了減少毛細(xì)現(xiàn)象所造成的誤差，采用一根內(nèi)徑為10mm左右的直玻璃管。測(cè)量時(shí)，將測(cè)壓管的下端與裝有液體的容器連接，上端開口與大氣相通。測(cè)壓管hp0p

pahpap

2.4.2壓強(qiáng)的測(cè)量U形管測(cè)壓計(jì)這種測(cè)壓計(jì)是一個(gè)裝在刻度板上兩端開口的U形玻璃管。測(cè)量時(shí)，管的一端與被測(cè)容器相接，另一端與大氣相通，U形管內(nèi)裝有密度ρ2大于被測(cè)流體密度ρ1的液體工作介質(zhì)，如酒精、水、四氯化碳和水銀等。一定要注意，工作介質(zhì)不能與被測(cè)流體相互摻混。h1h2pap

112

2由于1和2點(diǎn)在同一流體的等壓面上，故：故有：其中：被測(cè)液體的壓強(qiáng)高于大氣壓強(qiáng)被測(cè)液體的壓強(qiáng)低于大氣壓強(qiáng)h1h2pap

112

2U形管壓差計(jì)hh2h1B

1

1A

212

由于1、2兩點(diǎn)在同一等壓面上，故有：A、B兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差為：

若被測(cè)流體為氣體，由于氣體的密度很小，

1gh可以忽略不計(jì)。例題1h1h2h3h4h511223344BBA

1

1

2

3已知h1=600mm，h2=250mm，h3=200mm，h4=300mm，h5=500mm，

1=1000kg/m3，2=800kg/m3，3=13598kg/m3，求A、B兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差。解：圖中1-1、2-2、3-3均為等壓面，可以逐個(gè)寫出有關(guān)點(diǎn)的靜壓強(qiáng)為：聯(lián)立求解得：A、B兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差為：F2F1hped1d2aa例題2兩圓筒用管子連接，內(nèi)充水銀。第一個(gè)圓筒直徑d1=45cm，活塞上受力F1=3197N，密封氣體的計(jì)示壓強(qiáng)pe=9810Pa；第二圓筒直徑d2=30cm，活塞上受力F2=4945.5N，開口通大氣。若不計(jì)活塞質(zhì)量，求平衡狀態(tài)時(shí)兩活塞的高度差h。（已知水銀密度

=13600kg/m3)。解：在F1、F2作用下，活塞底面產(chǎn)生的壓強(qiáng)分別為：

圖中a-a為等壓面，第一圓筒上部是計(jì)示壓強(qiáng)，第二圓筒上部的大氣壓強(qiáng)不必計(jì)入，故有：例題3

圖水塔計(jì)算示意

h2h1等壓面有一水塔，如圖。為了量出塔中水位，在地面上裝置一U形水銀測(cè)壓計(jì)，測(cè)壓計(jì)左支用軟管與水塔聯(lián)通。今測(cè)出左支水銀面高程為502m，左右兩支水銀面高程差116cm，試求此塔中水位。2.6作用于平面上的靜水總壓力1靜水總壓力圖的概念

在液體的受壓面模擬圖上，按一定比例繪制靜水壓強(qiáng)（以相對(duì)壓強(qiáng)表示）的大小和方向的圖稱為靜壓強(qiáng)分布圖。

2.6.1作用在矩形平面上的靜水總壓力圖解法

通常情況下要研究的工程設(shè)備都處于大氣環(huán)境中，壁面兩側(cè)都受到大氣壓強(qiáng)的作用，因此只需按靜止液體的計(jì)示壓強(qiáng)去計(jì)算總壓力。2靜水總壓力圖的繪制用箭頭表示靜水壓強(qiáng)方向，并與作用面垂直按一定比例，用線段長(zhǎng)度繪制靜水壓強(qiáng)的大小。1.大?。河?jì)算壓強(qiáng)分布圖的面積,再乘寬度，即得總壓力的大小3.作用點(diǎn)：總壓力線經(jīng)過(guò)壓力分布圖形心點(diǎn)的位置。3靜水總壓力的計(jì)算2.方向：指向作用面的內(nèi)法線方向靜水總壓力圖的繪制

P=γHH

計(jì)算壓強(qiáng)分布圖的面積p=γHp=γhHh圖解法不是最通用的方法，適用一些簡(jiǎn)單的二維問(wèn)題。

圖解法計(jì)算的作用力，作用點(diǎn)的位置相當(dāng)于壓強(qiáng)分布圖的形心點(diǎn)的位置。1.

靜止液體作用在平面上的總壓力液體作用在平面上的總壓力是作用于平面各點(diǎn)上的平行力系的合力。xypao

hhChDdFpdFxxCxDdACDA總壓力的大小和方向

在平面上取一微元面積dA，其中心的淹沒(méi)深度為h，到oy軸的距離為x，液體作用在該微元面積上的微元總壓力為：

在平面上積分上式，可得液體作用在平面上的總壓力：2.6.2作用在任意平面上的靜水總壓力上式中，為平面對(duì)oy軸的面積矩，xc為平面形心的x坐標(biāo)，故：

液體作用在平面上的總壓力等于以該平面為底、平面形心的淹沒(méi)深度為高的柱體內(nèi)液體的重量，并垂直指向平面。四個(gè)容器底面上的總壓力相等總壓力的作用點(diǎn)總壓力Fp對(duì)oy軸的力矩等于各微元總壓力對(duì)oy軸的力矩的代數(shù)和，即：式中，為面積A對(duì)oy軸的慣性矩，故有：

根據(jù)慣性矩平行移軸定理Iy=Icy+xc2A(Icy為面積A對(duì)通過(guò)其形心并平行于oy軸的坐標(biāo)軸的慣性矩），代入上式，得：同理可求得壓力中心的y坐標(biāo)：

若通過(guò)形心的坐標(biāo)系中有任何一軸是平面的對(duì)稱軸，則Icxy=0，yD=yc，壓力中心便在通過(guò)平面形心平行于x軸的直線上。

式中，yc為平面形心的y坐標(biāo)，Ixy、Icxy分別為平面對(duì)oxy坐標(biāo)系和通過(guò)平面形心并平行于oxy的坐標(biāo)系的慣性積。由于Icy/(xcA)恒為正值，故xD>xc,即壓力中心永遠(yuǎn)在平面形心的下方。例題一矩形閘門寬度為b，兩側(cè)均受到密度為的液體的作用，兩側(cè)液體深度分別為h1、h2