2023年高考數(shù)學十年高考數(shù)學 數(shù)列解答題

a+L”為奇數(shù),

1.(2021年新高考I卷.第17題)已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,a=n

n+1a“+2,”為偶數(shù).

⑴記寫出a，b2,并求數(shù)列也｝的通項公式;

⑵求｛4｝的前20項和.

2.(2014高考數(shù)學湖南理科?第20題)己知數(shù)列｛%｝滿足%=1,|

Ki-an\=p",n&N*,

(I)若｛%｝是遞增數(shù)列，且為,2a2,3%成等差數(shù)列，求"的值;

(11)若0=3,且｛的“-1｝是遞增數(shù)列，｛的“｝是遞減數(shù)列，求數(shù)列｛%｝的通項公式.

3.(2019?全國n?理?第19題)己知數(shù)列｛。”｝和也｝滿足q=1，仿=0，4?！?1=3?！?2+4,

他+i=3包-4-4.

(1)證明：｛%+%｝是等比數(shù)列，｛%—"｝是等差數(shù)列；

(2)求｛4｝和也｝的通項公式.

4.(2014高考數(shù)學廣東理科?第19題)設數(shù)列｛凡｝的前〃和為S“，滿足5“=2”4+1-34—4〃,”eN*,且

S3=15.

(1)求用,%,。3的值;

(2)求數(shù)列｛2｝的通項公式.

5.(2014高考數(shù)學湖北理科.第18題)己知等差數(shù)列｛4｝滿足：%=2,且%、生、為成等比數(shù)列.

(I)求數(shù)列｛%,｝的通項公式.

(11)記5"為數(shù)列｛4｝的前〃項和，是否存在正整數(shù)〃，使得邑＞60〃+800?若存在，求〃的最

小值；若不存在，說明理由.

6.(2021年高考全國乙卷理科.第19題)記5"為數(shù)列｛4｝的前幾項和，4為數(shù)列｛S'｝的前〃項積，已知

21c

---1—二2

s,bn-

(1)證明：數(shù)列｛〃｝是等差數(shù)列；

⑵求｛4｝的通項公式.

7.（2018年高考數(shù)學浙江卷?第20題）己知等比數(shù)列｛a“｝的公比q>l,且%+%+%=28,%+2是

%，%的等差中項.數(shù)列也｝滿足仇=1，數(shù)列｛（七1—2）％｝的前項和為2"+”.

⑴求q的值；

（2）求數(shù)列｛〃｝的通項公式.

題型二：等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

2

1.（2023年新課標全國I卷?第20題）設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,且d>l.令b.=———，記5“工

an

分別為數(shù)列｛%｝,也｝的前幾項和.

⑴若3a2=3/+“3，$3+4=21,求｛%｝的通項公式；

⑵若也｝為等差數(shù)列，且599—4=99,求小

2.（2015高考數(shù)學四川理科?第16題）設數(shù)列｛a“｝（"=1,2,3,，）的前〃項和S“=2a“,且

成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）記數(shù)列｛'｝的前幾項和Tn,求得|Tn-1\<-^―成立的n的最小值.

an1000

2s

3.（2022年高考全國甲卷數(shù)學（理）?第17題）記5“為數(shù)列｛%｝的前"項和.已知。+〃=2%+1.

n

⑴證明：｛%｝是等差數(shù)列；

（2）若。4,%，。9成等比數(shù)列，求S"的最小值.

4.（2021年新高考全國H卷?第17題）記S,是公差不為。的等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，若能=55，出%=54.

⑴求數(shù)列｛?！埃耐椆皆S；

（2）求使Sn>an成立的n的最小值.

題型三：等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

1.（2018年高考數(shù)學課標III卷（理）?第17題）（12分）等比數(shù)列｛4｝中，q=l,%=4%

（1）求｛4｝的通項公式；

⑵記S“為｛4｝的前〃項和，若1sm=63,求m.

2.（2016高考數(shù)學課標III卷理科?第17題）己知數(shù)列｛4｝的前n項和=1+Aan，其中％。0.

（I）證明｛與｝是等比數(shù)列，并求其通項公式；

（II）若$5=|3|1,求九

題型四：數(shù)列的求和

1.（2018年高考數(shù)學課標n卷（理）?第17題）（12分）記5,為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知％=-7,

S3=-15.

⑴求｛%｝的通項公式；

（2）求S“，并求S,的最小值.

2.（2016高考數(shù)學課標n卷理科?第17題）（本題滿分12分）5,為等差數(shù)列｛q,｝的前幾項和，且

q=l,S7=28.記Z?”=[lga,],其中國表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]=0,[lg99]=l.

（I）求3bn,%；（U）求數(shù)列也｝的前1000項和.

3.（2020年新高考全國I卷（山東）?第18題）己知公比大于1的等比數(shù)列｛4｝滿足出+。4=20嗎=8.

⑴求｛4｝的通項公式；

⑵記打為｛?！埃趨^(qū)間（0,m]（meN*）中的項的個數(shù)，求數(shù)列｛鬣｝的前100項和5100.

4.（2020年新高考全國卷H數(shù)學（海南）?第18題）已知公比大于1的等比數(shù)列｛4｝滿足%+%=20,%=8.

⑴求｛%,｝通項公式；

（2）求qa?—a2a3+...+（―1）〃1a“a”+i.

5.（2023年全國甲卷理科第17題）設S“為數(shù)列｛4｝的前〃項和，已知出=1,2S〃

(1)求｛%｝的通項公式;

⑵求數(shù)列的前n項和T".

6.(2020天津高考?第19題)已知｛%｝為等差數(shù)列，｛bn｝為等比數(shù)列，

q=々=1,%=5(%-%)25=4(%-么).

(I)求㈤｝和｛0｝的通項公式；

(11)記｛?！埃那啊椇蜑槭螅笞C：S￡+2<S：+i(〃eN*)；

(&-2泡,〃為奇數(shù),

(III)對任意的正整數(shù)〃，設%=冊冊Q求數(shù)列上｝的前2〃項和.

也，〃為偶數(shù).

7.(2014高考數(shù)學山東理科?第19題)已知等差數(shù)列｛4｝的公差為2,前〃項和為S“，且^，色,其成等比

數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(II)令4=(—1)1-----,求數(shù)列｛2｝的前幾項和一.

44+1

8.(2014高考數(shù)學江西理科?第18題)已知首項都是1的兩個數(shù)列［a」fb」(bnH0,neN*),滿足

a-b-x,-a^x-b-+2b“，b.=0-

(1)令,;b3n求數(shù)歹WcJ的通項公式；

⑵若b?=3"T,求數(shù)例J(a」的前n項和Sr

9.(2014高考數(shù)學大綱理科?第18題)等差數(shù)列｛q｝的前n項和為S“，已知q=10,%為整數(shù)，且

5"<匕

(1)求｛4｝的通項公式；

⑵設a,求數(shù)列｛么｝的前n項和

44+1

10.(2015高考數(shù)學新課標1理科.第17題)(本小題滿分12分)S“為數(shù)列｛4｝的前幾項和.已知

4>0，*+2/=4S.+3?

（I）求｛4｝的通項公式：

（II）設2=——，求數(shù)列｛么｝的前n項和

2。,4+1

11.（2015高考數(shù)學天津理科?第18題）（本小題滿分13分）已知數(shù)列｛4｝滿足

?！?2=敦“（4為實數(shù)，且qwl）,neN*,

-l,a2-2,且生+a3,a3+a4,?4+a5成等差數(shù)列.

（I）求4的值和｛4｝的通項公式；

（II）設bn=題2%",〃6N*,求數(shù)列｛a｝的前幾項和.

a2n-\

12.（2015高考數(shù)學山東理科?第18題）設數(shù)列｛4｝的前〃項和為已知2s“=3"+3.

（1）求｛4｝的通項公式；

（II）若數(shù)列也｝滿足4仇=log34,求也｝的前〃項和7；.

13.（2015高考數(shù)學湖北理科?第18題）（本小題滿分12分）設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,前〃項和為S“，等

比數(shù)列｛〃,｝的公比為心已知々=6，4=2,q=d,Sl0=100.

（I）求數(shù)列｛flj，｛么｝的通項公式；

（II）當”>1時，記g=%，求數(shù)列｛qj的前〃項和

14.（2017年高考數(shù)學天津理科.第18題）已知｛4｝為等差數(shù)列，前〃項和為S”（〃eN*）,｛6“｝是首項為2的

等比數(shù)列，且公比大于0,4+&=12,4=%一2%,S”=11,.

⑴求｛4｝和｛d｝的通項公式；

⑵求數(shù)列3也”_J的前n項和（〃eN*）.

15.（2016高考數(shù)學山東理科?第18題）（本小題滿分12分）已知數(shù)列｛里｝的前n項和S“=3n2+8n,｛b｝

是等差數(shù)列，且

（I）求數(shù)列｛〃｝的通項公式;

(4+1)用

(II)令C"=.求數(shù)列｛cj的前幾項和7；.

電+2)"

16.（2020年高考課標I卷理科?第17題）設｛4｝是公比不為1的等比數(shù)列，%為%,%的等差中項?

⑴求｛%,｝的公比;

⑵若q=1,求數(shù)列｛nan］的前n項和.

17.（2020年高考課標III卷理科?第17題）設數(shù)列｛斯｝滿足s=3,a?+1=3a?-4n.

（1）計算。2,猜想｛詼｝的通項公式并加以證明；

（2）求數(shù)列｛2"斯｝的前n項和Sn.

18.（2014高考數(shù)學浙江理科?第19題）己知數(shù)列｛g｝和也“｝滿足a。…。”=（四r（"eN*）.若｛4｝為等

比數(shù)列，且。1=2,4=6+/?2.

⑴求明與4;

⑵設c?=--—（ne^*）o記數(shù)列｛g｝的前幾項和為S”.

a“bn

⑴求S“；

（ii）求正整數(shù)左，使得對任意"GN*,均有S&2S,.

19.（2014高考數(shù)學上海理科?第23題）己知數(shù)列｛4｝滿足|a?<an+x<34,〃eN*,q=1.

⑴若。2=2,%=1，。4=9,求X的取值范圍；

⑵若｛4｝是公比為4的等比數(shù)列，sn=a,+a2++an,若;S”<S.<3S〃，“eN*,

求9的取值范圍；

⑶若生,出,?，七成等差數(shù)列，且%+%+,,+%=1000,求正整數(shù)人的最大值，以及左取最大值時相應

數(shù)列4,%,?，%的公差.

題型五：數(shù)列中的新定義問題

1.(2017年高考數(shù)學江蘇文理科?第19題)對于給定的正整數(shù)左，若數(shù)列｛G?｝滿足

an-k+an-k+\++an-l+an+l++°"+"1+a,i+k

=2ka?對任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列｛%｝是“P(k)數(shù)列”.

⑴證明:等差數(shù)列出｝是“尸(3)數(shù)列”;

⑵若數(shù)列｛%｝既是“P(2)數(shù)列”，又是“尸⑶數(shù)列"，證明:｛七｝是等差數(shù)列.

2.(2023年北京卷?第21題)已知數(shù)列｛%｝,｛4｝的項數(shù)均為根(根>2),且4也e｛1,2,.,根｝,

｛4｝,也｝的前〃項和分別為4,紇，并規(guī)定&=穌=0.對于左?｛0,1,2,.,加｝,定義

〃=max#l4W4，ie｛0,l,2,-、7〃｝｝,其中，max"表示數(shù)集M中最大的數(shù).

⑴若q=2,%=1,%=3,4=1也=3也=3,求為,不丹,4的值；

(2)若%N,且2。<弓+1+fj_i,j=1,2,,wi—1,,求乙；

(3)證明：存在p,q,sje｛0,1,2,,m｝,滿足p>q,s>/,使得&+耳=&+4.

3.(2019-上海.第21題)數(shù)列｛4｝有100項，q=。，對任意〃e[2[00],存在

an=a7.+t/,ze[l,w-l],若知與前〃項中某一項相等，則稱《具有性質(zhì)P.

⑴若q=1,求為可能的值；

⑵若｛4｝不為等差數(shù)列，求證：｛凡｝中存在滿足性質(zhì)P；

(3)若｛4｝中恰有三項具有性質(zhì)P,這三項和為C,使用a,d,c表示q+4++?wo-

4.(2019?江蘇?第20題)定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為—數(shù)列”.

⑴已知等比數(shù)列｛qj(〃eN*)滿足：%%=%，%-4%+4%=。，求證:數(shù)列｛""｝為—數(shù)列”；

122

⑵已知數(shù)列｛6〃｝滿足:4=1,—=-----------，其中S”為數(shù)列｛bn｝的前n項和.

S“bnbn+l

①求數(shù)列也J的通項公式；

②設m為正整數(shù)，若存在數(shù)列”｛%｝(〃eN*),對任意正整數(shù)左，當上Wm時，都有喙忘4<品+1成立,

求m的最大值.

5.(2019?北京理第20題)已知數(shù)列｛?！埃?從中選取第4項、第』項....第二項(立小…々；)，若

”<&<??<”，則稱新數(shù)列4,氣，…,”為｛4｝的長度為機的遞增子列.規(guī)定：數(shù)列｛4｝的任意

一項都是｛。〃｝的長度為1的遞增子列.

(I)寫出數(shù)列1,8,3,7,5,6,9的一個長度為4的遞增子列；

(II)己知數(shù)列｛凡｝的長度為p的遞增子列的末項的最小值為冊。，長度為q的遞增子列的末項的最小值為

aa

n0■若P<4，求證：%<n0；

(III)設無窮數(shù)列｛斯｝的各項均為正整數(shù)，且任意兩項均不相等.若｛可｝的長度為$的遞增子列末項的最小

值為2s-1,且長度為s末項為2s-1的遞增子列恰有2s-1個(S=1,2,…)，求數(shù)列｛2｝的通項公式.

6.(2018年高考數(shù)學江蘇卷?第26題)(本小題滿分10分)設“eN*,對1,2,…，w的一個排列"一i"，如

果當SJ時，有1則稱&,(；)是排列工4的一個逆序，排列工i”的所有逆序的總個數(shù)稱為其逆序

數(shù).例如：對1,2,3的一個排列231,只有兩個逆序(2,1),(3,1),則排列231的逆序數(shù)為2.記力(Q

為1,2,…，〃的所有排列中逆序數(shù)為七的全部排列的個數(shù).

(1)求人(2),力(2)的值；

(2)求工(2)(〃25)的表達式(用〃表示).

7.(2018年高考數(shù)學上海?第21題)體題滿分］8分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿

分8分)

給定無窮數(shù)列口｝，若無窮數(shù)列｛2｝滿足：對任意“eN*，都有上-a/Wl,則稱依｝與｛叫“接近”.

(1)設｛?！保鞘醉棡?,公比為;的等比數(shù)列，bn=an+i+l,〃eN*,判斷數(shù)列｛4｝是否與｛4｝接近，并

說明理由；

⑵設數(shù)列｛q,｝的前四項為：q=l,%=2,%=4，2=8，｛么｝是一個與｛4｝接近的數(shù)列，記集合

M=[x\x=bi,i=l,2,3,4｝,求M中元素的個數(shù)加；

(3)已知｛4｝是公差為d的等差數(shù)列,若存在數(shù)列｛4｝滿足：｛2｝與｛4｝接近,且在4-b3-b2,

b20l-b200中至少有100個為正數(shù)，求d的取值范圍.

8.(2014高考數(shù)學江蘇?第20題)設數(shù)列｛”“｝的前〃項和為S".若對任意正整數(shù)”，總存在正整數(shù)加，使

得Sn=am,則稱｛an｝是“H數(shù)列

⑴若數(shù)列■,｝的前〃項和S"=2"(〃eN*),證明：｛%｝是“H數(shù)列”；

(2)設｛%｝是等差數(shù)列，其首項為=1,公差d<0.若｛%｝是“H數(shù)列”，求d的值；

(3)證明:對任意的等差數(shù)列｛%｝，總存在兩個“打數(shù)列”也J和匕J,使得叫=2+的

成立，

9.(2014高考數(shù)學北京理科.第20題)對于數(shù)對序列尸(％,4),(生也)，…,(4也)，記4(P)=q+4，

Tk(尸)=bk+max｛〃_](尸),q+%++ak](2<k<〃)

其中max｛q_](尸),1+出++為｝表示和q+出++/兩個數(shù)中最大的數(shù)，

⑴對于數(shù)對序列尸：(2,5),(4,1),求7](P)/(P)的值

(2)記機為a、b、c、d四個數(shù)中最小的數(shù)，對于由兩個數(shù)對(a,b),(c,由組成的數(shù)對序列尸:(a,b),(c,d)

和P:(c,d),(a,b),試分別對m=a和m=d時兩種情況比較4(P)和5(P)的大小

(3)在由5個數(shù)對(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)組成的所有數(shù)對序列中，寫出一個數(shù)對序列P使

4(P)最小,并寫出式(P)的值(只需寫出結(jié)論).

10.(2016高考數(shù)學江蘇文理科?第20題)記。=｛1,2,、100｝.對數(shù)列｛a“｝(“eN*)和U的子集T,若

T=0,定義%=0；

若T=卜1，/2,?，定義Sr=4+4,++4.例如：T=｛1,3,66｝時，S?=%+%+%.

現(xiàn)設｛4｝(“eN*)是公比為3的等比數(shù)列，且當T=｛2,4｝時，?=30.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)對任意正整數(shù)左(1W左W100),若T=｛1,正…,左｝，求證：ST<ak+1；

⑶設?？?。，D=U,Sc^SD,求證：Sc+Sc2SD.

11.(2016高考數(shù)學北京理科?第20題)(本小題13分)設數(shù)列A:%的,….如果對小于

“(2<n<N)的每個正整數(shù)左都有為<an,則稱n是數(shù)列A的一個“G時刻”.記“G(A)是數(shù)列A的所有

“G時刻”組成的集合.

(1)對數(shù)列4：—2,2,—1』,3,寫出G(A)的所有元素；

(II)證明：若數(shù)列A中存在%使得4>%,則G(A)#0；

(III)證明：若數(shù)列A滿足4—_i<1(九=2,3,...,N)則G(A)的元素個數(shù)不小于許-

12.(2016高考數(shù)學上海理科?第23題)(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題

滿分6分，第3小題滿分8分.

若無窮數(shù)列｛4"｝滿足：只要％,=%(p,qeN*),必有%+]=%+],則稱｛4｝具有性質(zhì)P.

⑴若｛%｝具有性質(zhì)尸,且。1=1，4=2,%=3,%=2,4+。7+。8=21，求出；

⑵若無窮數(shù)列｛〃｝是等差數(shù)列，無窮數(shù)列｛g｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，々=。5=1，4=9=81，

an=2+判斷他“｝是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

⑶設｛d｝是無窮數(shù)列，已知%+i=〃+sin%("eN*).求證：“對任意外,｛%｝都具有性質(zhì)P”的充要條

件為“｛優(yōu)｝是常數(shù)列”.

題型六：數(shù)列中的證明問題

—6,〃為奇數(shù)

1.(2023年新課標全國II卷.第18題)已知｛4｝為等差數(shù)列，bn=<偽偶數(shù)’記％,分別為數(shù)

列｛4｝，｛%｝前〃項和，邑=32,4=16.

⑴求｛4｝的通項公式；

(2)證明：當〃>5時，Tn>Sn.

2.(2023年天津卷第19題)已知｛%｝是等差數(shù)列，出+%=16,%一%=4.

2〃-1

(1)求｛4｝的通項公式和Zai-

i=2"-'

⑵己知也｝為等比數(shù)列，對于任意左eN*，若則4<%<%],

(I)當左22時，求證：2*—1<%<2k+1；

(II)求也｝的通項公式及其前n項和.

fS]1

3.(2022新高考全國I卷?第17題)記Sn為數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和，已知4=是公差為-的等差數(shù)列.

[anJ3

⑴求｛〃/的通項公式；

111c

(2)證明：一+—++一<2.

4.(2014高考數(shù)學課標1理科第17題)已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,，％=l,a產(chǎn)0,。",用=XS“-1,其

中力為常數(shù).

⑴證明：?！?2-4=/；

(2)是否存在2，使得｛aj為等差數(shù)列?并說明理由.

5.(2020年浙江省高考數(shù)學試卷第20題)已知數(shù)列｛詼｝,｛0｝,｛金｝中,

b*

q=4=q=l,c?=an+l-3?c,(〃eN).

b

n+2

(I)若數(shù)列｛劣｝為等比數(shù)列，且公比4>0,且4+4=6&，求q與詼的通項公式；

(II)若數(shù)列仍〃｝為等差數(shù)列，且公差d〉0,證明：c1+c2++c?<l+l

a

6.（2018年高考數(shù)學天津（理）?第18題）（本小題滿分13分）設｛4｝是等比數(shù)列，公比大于0,其前幾項

和為S”(〃eN*),他,｝是等差數(shù)列.已知q=l,。3=。2+2，a4-b3+b5,a5-b4+2b6.

⑴求｛4｝和｛〃｝的通項公式;

（2）設數(shù)列｛S“｝的前"項和為7；（〃eN*）,

⑴求Z,;

?證明答*==

7.（2016高考數(shù)學天津理科?第18題）已知｛可｝是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d.對任意的“eN*,

b,是an和4+1的等比中項.

⑴設c,=%「%nGN*,求證:數(shù)列｛g｝是等差數(shù)列;

2nHI1

(II)設q=d,7；=￡(-l)%"eN*,求證2書＜力。

k=lk=\4

8.（2019?浙江?第20題）設等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為S,，%=4,a4=S3.數(shù)列電｝滿足：對任意”eN*,

Sn+bn,S?+,+b?,S,+2+勿成等比數(shù)列.

（I）求數(shù)列｛2｝的通項公式;

（II）記q=〃eN*，證明：q+。2++c<2-Jn,neN*.

V2b”

9.（2018年高考數(shù)學江蘇卷?第20題）（本小題滿分16分）設伍"是首項為q,公差為d的等差數(shù)列，｛2｝是

首項為偽，公比為q的等比數(shù)列.

⑴設4=0,4=1,〃=2,若-2|W4對“=1,2,3,4均成立，求d的取值范圍；

（2）若q=々>0,meN*,qe（l,和J,證明：存在deR,使得|%-么區(qū)々對〃=2,3,,〃?+1均成立，并求d

的取值范圍（用配九q表示）.

10.（本小題滿分14分）已知數(shù)列｛七｝滿足%=%2=1，并且上旦=幾工（X為非零參數(shù)，"=2,34…）.

XnXn-\

(1)若為，七，匕成等比數(shù)列，求參數(shù)％的值;

(II)設0<a<1,常數(shù)左eN*且左N3.證明受此+―+…+3M<jF(〃eN*).

再X?xn1-2

11.(2014高考數(shù)學重慶理科.第22題)(本小題滿分12分，(1)問4分，(2)問8分)

2

設a1=l,a“+]=yjan-2an+2+b,(neN*).

(1)若b=l,求。2，%及數(shù)列｛?！保耐椆?；

(2)若少=—/,問：是否存在實數(shù)C使得a2“<c<a2“+/對所有“eN+都成立?證明你的結(jié)論

12.(2014高考數(shù)學課標2理科?第17題)(本小題滿分12分)

已知數(shù)列｛?！埃凉M足%=1,an+l=3a“+1.

(I)證明\an是等比數(shù)列，并求｛0“｝的通項公式；

(II)證明：

a

01a2n2

13.(2014高考數(shù)學安徽理科.第21題)設實數(shù)c>0,整數(shù)p>l,〃￡N*.

(I)證明：當且XW。時，(l+x)p>l+px；

111

pp

(II)數(shù)歹U｛a〃｝滿足％〃+1=2—an+—a^.證明：an>an+1>c.

PP

14.(2016高考數(shù)學浙江理科?第20題)(本題滿分15分)設數(shù)列｛4｝滿足等及1,neN\

(1)證明：聞221(|%|—2),〃￡?4*；

(II)^|aj<(|)",neN,,證明：|與區(qū)2,“eN*.

15.(2015高考數(shù)學重慶理科?第22題)(本小題滿分12分，⑴小問4分,(2)小問8分)

在數(shù)列｛4｝中,%=3,+Aun+1+//a：=。(九N+).

(1)若；1=0,〃=—2,求數(shù)列｛4｝的通項公式；

若，)〃一證明：<a2+

(2)2=—(^0eN+%22,=1,2+-------k0+i<----7-

左o3ko+12ko+1

16.(2015高考數(shù)學浙江理科?第20題)(本題滿分15分)已知數(shù)列｛。"｝滿足q且a,M=a”N*)

(1)證明：N*)；

4+I

1C1

⑵設數(shù)列1號的前幾項和為S“，證明------<^<-------(?eN*).

i'2(“+2)n2(〃+1)

題型七：數(shù)列與其他知識的交匯

1.(2016高考數(shù)學四川理科?第19題)已知數(shù)列｛4｝的首項為1,S“為數(shù)列｛%,｝的前〃項和，

Sa+1="S“+1,其中q〉0,neN*?

⑴若時，2a2,%，g+2成等差數(shù)列，求數(shù)列｛4｝的通項公式；

254"-3〃

(2)設雙曲線X?.....v.-=1的禺心率為e“，且％=一,求q+++e”》———.

a；~33

2.(2015高考數(shù)學江蘇文理?第20題)設％,%,%，%是各項為正數(shù)且公差為[3/0)的等差數(shù)列.

(1)證明：2%2%,2%,2%依次構(gòu)成等比數(shù)歹！J；

(2)是否存在％,d,使得q,/z,/'a；依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由；

(3)是否存在4,d及正整數(shù)2左，使得域+2*,或+3"衣次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由.

3.(2014高考數(shù)學四川理科?第19題)設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,點(見々)在函數(shù)/(%)=2”的圖象上

(neN*).

(1)若4=-2,點(線,物)在函數(shù)“光)的圖象上，求數(shù)列｛4｝的前〃項和S"；

(II)若％=1,函數(shù)/(%)的圖象在點(％，4)處的切線在4軸上的截距為2-上，求數(shù)列,去，的前〃項

和卻

4.(2017年高考數(shù)學上海(文理科)?第19題)(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

根據(jù)預測，某地第〃(〃eN*)個月共享單車的投放量和損失量分別為%和么(單位：輛)，其中

j5“+15,14〃,3,〃+5,第〃個月底的共享單車的保有量是前n個月的累計投放量與累計損失

[-10n+470,n>4

量的差.

(1)求該地區(qū)第4個月底的共享單車的保有量；

⑵已知該地共享單車停放點第〃個月底的單車容納量S”=-4(〃-46)2+8800(單位:輛).設在某月底，共享

單車保有量達到最大，問該保有量是否超出了此時停放點的單車容納量？

5.（2017年高考數(shù)學山東理科?第19題）

已知｛%｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)歹山且石+%=3,%-x2=2,

（I）求數(shù)列｛x“｝的通項公式；

（II）如圖，在平面直角坐標系中，依次連接點6（和1），2（々，2）,,匕+1（七+1，〃+1）得到折線，6匕+1，求

由該折線與直線'=0,x=x;（xi｛%,｝）所圍成的區(qū)域的面積7；.

6.（2022高考北京卷?第21題）已知-，為為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)加，若對任意的

ne｛1,2,.,m｝,在Q中存在勾,。,.…。,”?,此+式/N0）,使得@+@+[+@+2++ai+j=n,則稱。為

〃?一連續(xù)可表數(shù)列.

⑴判斷Q：2,1,4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；

⑵若Q：q，4，為8-連續(xù)可表數(shù)列，求證：上的最小值為4；

（3）若…，W為20-連續(xù)可表數(shù)列，且q+出+…+/<20,求證：k>7.

7.（2021年高考浙江卷?第20題）已知數(shù)列｛%,｝前〃項和為S",q=-（，且4sx=3S"L91.

⑴求數(shù)列｛冊｝通項；

（2）設數(shù)列出｝滿足3年+（附-4）%=0,記也｝的前〃項和為7；,若TnW他對任意〃eN*恒成立，求力的

范圍.

8.（2019.天津?理?第19題）設｛4｝是等差數(shù)列，｛4｝是等比數(shù)列.已知

%=4,bx=6,b2=2a2-2,Z?3=2a3+4.

（1）求｛?！ǎ停?｝的通項公式；

（II）設數(shù)列｛%｝滿足ci=l,c,=’,'其中左eN*.

[bk,n=2,

⑴求數(shù)列I4”-1))的通項公式;

2〃

(ii)求ZqqHGN

Z=1

9.(2015高考數(shù)學上海理科?第22題)(本題滿分16分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿

分6分，第3小題滿分6分

已知數(shù)列｛%｝與｛bn｝滿足%-％=2(%N*.

(1)若a=3〃+5,且4=1,求｛〃〃｝的通項公式；

(2)設｛“〃｝的第/項是最大項，即〃的N*),求證：也｝的第％項是最大項；

⑶設q=X<0,￡=；T("eN*),求X的取值范圍，使得｛風｝有最大值M與最小值機，且絲?-2,2).

10.(2015高考數(shù)學陜西理科?第21題)(本小題滿分12分)設力(x)是等比數(shù)列，x,%2,-??,x”的各項

和，其中x>0,〃wN,n>2.

(I)證明：函數(shù)可("=力(￡)—2在內(nèi)有且僅