湖南省長沙市2023屆高三上學(xué)期新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

長沙市2023年新高考適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足Z（IT）=3+ι,IjiijIzI=（）

A.√10B.√5

C.2D.0

K答案』B

K解析，

K祥解》利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求得Z,進(jìn)而求得∣Z∣?

3+i(3+i)(l÷i)2+4i

K詳析》Z=πΓ(j)(ι+i)—丁一I+4

所以IZl=?/l2÷22=?/??

故選：B

2.設(shè)集合A={(x,y)∣y=x},B={(x,y)Iy=X?},則ACB的元素個(gè)數(shù)是()

A.1B.2

C.3D.4

K答案？c

R解析』

K祥解D聯(lián)立丫=匹丫=/求出交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到K答案N.

V=X

K詳析》聯(lián)立｛3,即X=X3,解得：X=O或±1，

y=χ

即Ad(OQ),(1,1),(-1,T)},

故AcB的元素個(gè)數(shù)為3.

故選：C

3.已知α=log2l.8,b=Iog43.6,c=g,則（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

K答案1c

K解析U

1Q2

K祥解》根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得α=IogJS?,即可得出α-∕7=iog4?Lfl<0,則。<匕；又

3.6

f

a>Iog2√2=c,即可得出〃>α>c?

2

K詳析1a=Iog21.8=Iog41.8,

1Q2

2

所以。一力=Iog41.8-Iog43.6=Iog4——<Iog41=0,所以。<力.

3.6

a=Iog21.8>Iog2Λ∕2=?=c,所以

所以有>>Q>c.

故選：C.

4.1:一211—2x)4的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為()

A.-4B.-6

C.-8D.-10

K答案2D

K解析D

K祥解H先求出(1-2x)4展開式的通項(xiàng)公式，然后求出其一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，從而可求得結(jié)果.

K詳析D(l-2x)4展開式的通項(xiàng)公式為(+∣=CK-2Xy=CK-2)Jr,

所以七-2)(1-2x)4的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為

Cjt×(-2)+(-2)×Cθ=-8-2=-10,

故選：D

5.在平行六面體45Co—AqCQ中，已知AB=4,AD=3,AA=5,NHAD=90。，

ZBAA1=ZDAAi=60°,則ACBDx的值為()

A10.5B.12.5

C.22.5D.42.5

K答案？A

K解析』

K樣解》將AB,AD,AA作為基底，然后用基底表示出AC,BD∣,再求其數(shù)量積即可.

K詳析』由題意得AC=AB+A。，BD1=BA+AD+DDl=-AB+AD+AA,,

因?yàn)锳B=4,AD=3,M=5，NE4D=90°,ΛBAAi=ΛDAAi=60°,

所以AC?3.=(AB+AD)?(-AB+AD+A41)

22

=-AB+AB?AD+ABAA1-ABAD+AD+ADAAx

22

=-AB'+AB-AA,+AD+AD-AA,

=-16+4×5cos600+9+3×5cos600

=-16+10+9+7.5

=10.5,

故選：A

5r.

K答案XA

K解析?

K祥解工由已知可得tan[a-：)=；,進(jìn)而求出tana=2.將COS22化為二次齊次式，即可求出結(jié)果.

K詳

~,Iππ1

所以tanα=tan—+0—4=2,

k441兀(兀、

I-tan—tana——

4I4J

匚匚I、1C2.2cos^6τ—sm~al-tan^a3

所以cos2a=cosα—sm-a=-------r?-=--------?-

cosa+sinal÷tana5

故選：A.

7.裴波那契數(shù)列｛￡｝,因數(shù)學(xué)家萊昂納多?裴波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，該數(shù)

列｛工｝滿足且F=F盧卡斯數(shù)列｛&｝是以數(shù)學(xué)家愛德華?盧卡斯命名,

K=K=Ln+2n+]+^j(n∈N*).

與裴波那契數(shù)列聯(lián)系緊密，即且Le="+F),則8023=()

L1=1,n+2(∕?∈N

1.1.??

A-L2022+TL2024B??乙2022+y乙2()24

?O

1.2.

C-L+-L

j$0222T$2024D---?22+-?

K答案XC

K解析X

K祥解》先利用數(shù)列｛工｝的遞推式推得3∕?23=瑪⑼+Eθ25,從而推得Jm+&024=56023,由此得解.

K詳析】因?yàn)?+2=E+∣+E,("eN

所以當(dāng)〃≥3時(shí)，工=工一1+工一2,

所以3工="T+工-2+2F“=F“_2+(耳T+工)+￠,=k+KM+K=Λ,-2+K+2，

故3與023=鳥021+用025,

因?yàn)?+∣=6+尺+2("GN

所以4022=川021+8023,^2024=8023+6025,

++,

故L2022+4024=(g021^2O23)(?2023+瑪025)=2EO23+6021+6025=^^2023

所以Kθ23=I4θ22+g^,2024?

故選：C.

8.在平面直角坐標(biāo)系xθy中,已知A(3,0),B(0,r)(∕>0),若該平面中存在點(diǎn)P,同時(shí)滿足兩個(gè)條件

|24「+2歸?！?12與歸。|=及|冏,則，的取值范圍是()

I2J

C修亭

K答案》D

K解析X

K祥解H設(shè)出點(diǎn)尸坐標(biāo),根據(jù)IPAl2+2IPa2=12,求出點(diǎn)P的軌跡方程,根據(jù)IPOl=GIPW可求出點(diǎn)P的

另一個(gè)軌跡方程,只需這兩個(gè)方程的曲線無交點(diǎn)即可,利用圓與圓的位置關(guān)系列出等式求出范圍即可.

K詳析』解:由題知,不妨設(shè)尸(χ,y),

因?yàn)閨以「+2|PO『=12,

所以(X-3)2+尸+2(/+》2)=12,

化簡可得：(x-lp+y2=2,

故點(diǎn)P在以(1,0)為圓心,、￡為半徑的圓上，

又因?yàn)镮Pol=夜歸卻，

22

所以y∕x+γ=6?JX2+(y—/)2,

化簡可得：Y+(y—2f)2=2*,

即點(diǎn)P在以(0,2r)為圓心,√2r為半徑的圓上，

故若存在點(diǎn)尸，只需圓(X—I)?+V=2與圓f+(y-2/)2=2戶有交點(diǎn)即可,

BP∣√2f-√2∣<#+Rf)?<盧+閔，

同時(shí)平方化簡可得：1—4,≤2產(chǎn)≤1+4/,

^2r2+4z-l≥0半一1≤∕≤乎+].

,解得:

2∕2-4r-l≤0

所以不存在點(diǎn)P時(shí)，/＞逅+1或0＜t＜如一1

22

故選:D

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知雙曲線的方程為匯—工=1,貝IJ()

6416

A.漸近線方程為y=±gxB.焦距為86

C.離心率為@D.焦點(diǎn)到漸近線的距離為8

2

K答案DBC

K解析X

K祥解RA選項(xiàng)，先判斷出雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，利用公式求出漸近線方程；

B選項(xiàng)，求出c=4石，得到焦距；

C選項(xiàng)，根據(jù)離心率公式求出K答案永

D選項(xiàng)，利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解.

22

K詳析』匕—工=1焦點(diǎn)在y軸上，故漸近線方程為y=±gχ=±2x,A錯(cuò)誤;

6416b

2=64+16=80，故c=4石，故焦距為8石，B正確;

離心率為￡=生5=如，C正確;

?82

焦點(diǎn)坐標(biāo)為(θ,±46),故焦點(diǎn)到漸近線y=±2x的距離為=4,D錯(cuò)誤.

√4+l

故選：BC

10.自然環(huán)境中，大氣壓受到各種因素的影響，如溫度、濕度、風(fēng)速和海拔等方面的改變，都將導(dǎo)致大氣壓

發(fā)生相應(yīng)的變化，其中以海拔的影響最為顯著.下圖是根據(jù)一組觀測數(shù)據(jù)得到海拔6千米?15千米的大氣

壓強(qiáng)散點(diǎn)圖，根據(jù)一元線性回歸模型得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為X=-4.0X+68.5,決定系數(shù)為R：=0.99；根

據(jù)非線性回歸模型得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y2=132?9e^0∣63"決定系數(shù)為=0.99,則下列說法正確的是

()

M大氣壓強(qiáng)(kPa)

60

50yl--4.0x+68.5

40

30

20

10

Ov5~6~7~8~9^^10l'l1213141516*

海拔高度(km)

A.由散點(diǎn)圖可知，大氣壓強(qiáng)與海拔高度負(fù)相關(guān)

B.由方程y=-4?0x+68.5可知，海拔每升高1千米，大氣壓強(qiáng)必定降低4.0kPa

C.由方程％=-4.0%+68.5可知，樣本點(diǎn)（11,22.6）的殘差為一1.9

D.對比兩個(gè)回歸模型，結(jié)合實(shí)際情況，方程%=132.96一°」63，的預(yù)報(bào)效果更好

K答案XACD

K解析H

K祥解》根據(jù)散點(diǎn)圖即可得出A項(xiàng)；根據(jù)回歸方程的含義可判斷B項(xiàng)；根據(jù)殘差計(jì)算公式求出殘差，可判

斷C項(xiàng)；根據(jù)實(shí)際大氣壓強(qiáng)不能為負(fù)，可判斷D項(xiàng).

K詳析』對于A項(xiàng)，由圖象知，海拔高度越高，大氣壓強(qiáng)越低，所以大氣壓強(qiáng)與海拔高度負(fù)相關(guān)，故A項(xiàng)

正確；

對于B項(xiàng)，回歸直線得到的數(shù)據(jù)為估計(jì)值，而非精確值，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于C項(xiàng)，當(dāng)x=lM,%=—4.0x11+68.5=24.5,又由散點(diǎn)圖知觀測值為22.6,所以樣本點(diǎn)（11,22.6）

的殘差為22.6—24.5=-1.9,故C項(xiàng)正確；

對于D項(xiàng)，隨著海拔高度的增加，大氣壓強(qiáng)越來越小，但不可能為負(fù)數(shù)，因此方程y2=132.9e^0?∣63χ的預(yù)

報(bào)效果更好，故D項(xiàng)正確.

故選：ACD.

X+]

11.已知函數(shù)y=——與y=e'相交于4,B兩點(diǎn)，與y=lnx相交于C,。兩點(diǎn)，若A,B,C,。四點(diǎn)的

x-?

橫坐標(biāo)分別為玉，巧，?,?,且玉＜馬，曰＜/，則（）

A.%,+x2=0B.X3X4=1

v

C.XJnX3=1D.x4e'=1

K答案?ABD

R解析】

..?.+1,Xa+11X+]

K祥解D根據(jù)e*'=y?,Inx,=——分別代入一%,一即可判斷A,B,根據(jù)y=——，y=↑nx,y=ex

x↑-1?-??X-I

關(guān)于直線y=χ的對稱，因此可知AC對稱，氏。對稱，即可根據(jù)對稱性判斷CD.

X+1x÷1T—%,÷1x.—l

xr1

K詳析D由題意可知為是方程e=——的一個(gè)根，則e*=Jr,將一%代入得e,

x-1$一1一玉一1玉+1

γ-∣-1

所以一看也是方程e"二——的一個(gè)根，所以一玉=M,故%+冗2=0,故A正確，

x-1

—+\

x+11占+11χl+1x-l5

由題意可知占是方程In尤=——的一個(gè)根，則lnx3=-?,則In-=—Ex3=一"?=-i—，所以

x-1??-?χ3?-l

X3

L也是方程InX=巴.的一個(gè)根，所以故/Z=L故B正確，

??X-I%3

設(shè)點(diǎn)〃（X。，人）在函數(shù)y=言上，則滿足%=濘■，即-%-1=O點(diǎn)尸（Xo,幾）關(guān)于直線

丁=%的對稱點(diǎn)為戶（%,無0）,將P'（%,??）代入y=+?得Xo=，即可%%-%-玉）-1=0,因

?-1%—1

此可知P'（%,%）在函數(shù)y=—上，即y=—關(guān)于直線y=x的對稱，又y=lnx,y=e'關(guān)于直線

x-1x-l

y=χ的對稱，因此可知AC對稱，民。對稱，

/=%=In?

故,和＜

=M=e*'X4=%=e*

X?v

所以e∣=X3=—,x4e'=1,故D正確，

%

由于Xl=InX3,七#±1,故C錯(cuò)誤，

故選：ABD

12.如圖，已知JWC是邊長為4的等邊三角形，D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，將VAjDE沿著3E翻折,

使點(diǎn)A到點(diǎn)P處，得到四棱錐P—BCED,貝IJ()

A.翻折過程中，該四棱錐的體積有最大值為3

B.存在某個(gè)點(diǎn)P位置，滿足平面POEj_平面PBC

C.當(dāng)PBj_PC時(shí)，直線P3與平面BCr>E所成角的正弦值為立

3

52

D.當(dāng)PB=J而時(shí)，該四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)所在球的表面積為3"π

K答案XACD

K解析W

K祥解D當(dāng)平面Pz)E，平面BCOE時(shí)，體積最大，求出底面積和高，即可求出最值，判斷A項(xiàng)；找出平

面PDE與平面PBC所成二面角，根據(jù)題意推導(dǎo)出NNPM≠90°，即可說明B項(xiàng)錯(cuò)誤；過點(diǎn)P作

PHlMN,根據(jù)題意可得NPW/即為直線PB與平面BCDE所成的角.根據(jù)余弦定理以及三角函數(shù)可推

出SmNPMN=也,進(jìn)而得出P”=偵，即可得出結(jié)果，得出C項(xiàng)；由己知可推得平面Pz)Ej_平面

33

BCZ)E.設(shè)球心為。，的外心為G,點(diǎn)M為等腰梯形BCDE的外心，可得四邊形OGMW為矩形,

進(jìn)而求出OB即半徑的長，即可得出外接球的表面積.

圖1

如圖1,設(shè)M,N分別是BC,DE的中點(diǎn).則尸NLOE,MN工DE,MN上BC,艮PN=NM=6

對于A項(xiàng)，當(dāng)平面PZ)E，平面BCDE時(shí)，四棱錐P—BCED的體積最大.APDE的高為PN=6,四

邊形BCoE為高為MN=G的梯形，梯形面積S=±電XG=3g,體積V=JXSX6=3,故A項(xiàng)

23

正確；

對于B項(xiàng)，設(shè)平面POE「平面PBC=/,則/〃BC,有IIMN,I上PM,可得I人平面PMN,即NNPM

為平面PoE與平面PBC所成的二面角，由PN=MW可知，NNPMW90°，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于C項(xiàng)，如圖1,過點(diǎn)P作尸H_LMN,垂足為".由B分析可得，BCl平面尸AW,所以平面BCDEL

平面尸MV,平面BCDEc平面PMN=MN,PHU平面PMN,所以PH_1_平面BCDE所以ZPBH即

為直線PB與平面BCDE所成的角.由題意可知，PB=PC=2血，PM=2,PN=NM=上，在PMN

中，由余弦定理可得COSNPMN=PM1±N"?二PN1=正,所以SinNPMN=如；在二PMH中，

2PM-NM33

PH=PMsinNPMN=巫,所以直線網(wǎng)?與平面BCOE所成角的正弦值為生=旦

3PB3

圖2

對于D項(xiàng)，當(dāng)PB=Ji。時(shí)，由BN=J7，可知PN?+BN?=PB?，即PN上BN,又PNLDE,且

BNIDE=N,則PNΛ平面BCDE,又PNU平面PDE，則平面PDE，平面8COE.四棱錐

P—BCED的外接球球心為0,的外心為G,則OGL平面PDE.如圖2,易知點(diǎn)M為等腰梯形

BCDE的外心，則OM，平面BCDE,

則四邊形OGNM為矩形，且OM=GN=LPN=E,從而有浦=。笈=OAiT+MB?=L,從而該

333

52

四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)所在球的表面積為一兀，故D項(xiàng)正確.

3

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知α=(l,2),6=(2,—2),c=(l,2),若cJ,(α+2A),則;I=.

K答案』2

2

K解析H

K祥解』根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零，列出方程即可求解.

R詳析』因?yàn)橐阎?(1,2),b=(2,-2),c=(l,λ),

所以α+2匕=(5,-2),

又因?yàn)閏?L(α+20),

所以5-2彳=0,解得2=2.

2

故K答案》為：?

2

14.已知函數(shù)/(X)=2sin?x+。)?>0),若函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)［2O)中心對稱,且關(guān)于直線

Tr

X=T軸對稱,則0的最小值為.

K答案？3

R解析H

K祥解H圖象關(guān)于點(diǎn)Go)中心對稱,且關(guān)于直線XJ軸對稱,即三與聿之間相差￡+子。eZ),列出

等式,根據(jù)范圍求解即可.

K詳析』解:由題知/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，

且關(guān)于直線X=1軸對稱，

IrTTTkT

則l與X之間的距離為；+號,依eZ),

即6y=3+6Z,(ZeZ),

因?yàn)?>O,

所以當(dāng)Z=O時(shí),。的最小值為3.

故K答案』為：3

15.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為拋物線丁=2px的焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸作傾斜角為60。的直線與拋物線交于A,B兩

點(diǎn)(其中點(diǎn)A在第一象限).若直線Ao與拋物線的準(zhǔn)線/交于點(diǎn)力，設(shè)AOF,4)3的面積分別為

S1

S2<則W=-

9

K答案H—##0.5625

16

K解析X

K祥解D直線AB方程為y=g(x-4].聯(lián)立直線AB方程與拋物線的方程，求出AB點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而

IZ)

得到。的坐標(biāo)，表示出S2,即可得出結(jié)果.

由題意知，直線AB方程為y=g(χ-"設(shè)/?）,8（巧,〃）.

>2=2px_3X--

聯(lián)立直線AB方程與拋物線的方程,r-(p],解得X=-2P或J6

?=√3X--J[y=√3py=--"p

、\2

因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以嗚P，百“，B-?

,√3p-0,2√3CnJ3}

直線Ao方程為y=巧一［"一亍"，。點(diǎn)坐標(biāo)為一4,—一，

5。-0'I23J

因?yàn)?gt;8=%,=-4〃，所以8D//X軸.

所以Sl=gx∣O可x∣%∣=gx^x√5p=^-,

SLNBqXl…I=?U卜匠產(chǎn)卜字，

?2

所以』■=，,

2=2

S24λ∕3p16

9

9

故K答案H為：?.

16

,.fx+l,x<O,.、、

16.已知函數(shù)/(x)=j］n(χ+l)x>0，若關(guān)于X的方程/(/(%))=。恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根X”馬，且

X1<x2,則一?7的取值范圍是_____.

X1+2

A

K答案H?！?ee^*)

In2

K解析H

K祥解』根據(jù)給定分段函數(shù)，求出函數(shù)/(7(X))的R解析R式，確定給定方程有兩個(gè)不等實(shí)根的a的取

值范圍，再將目標(biāo)函數(shù)用”表示出即可求解作答.

%+1,%<O

K詳析D函數(shù)〃χ)=?在(―g,0)上單調(diào)遞增，/(x)<l,在［0,+8)上單調(diào)遞增，/(Λ)≥0,

ln(x+l),x>0

當(dāng)/(x)<0,即χ<-l時(shí)，/(/(x))=x+2,且/(/(x))<l,

當(dāng)一l≤x<O,即OMy(X)<1時(shí),/(/(X))=In(X+2),?O≤/(/(x))<In2,

當(dāng)x≥0,即/(x)≥0時(shí)，/(/(X))=Innn(X+1)+1],且/(7(x))≥0,

x+2,x<-1

因此/(/(幻)=In(X+2),-l≤x<O,在坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=∕(∕(X))的圖象，如圖,

ln[ln(%+l)+l],x≥O

再作出直線y=α,則方程/(/(X))=。有兩個(gè)不等實(shí)根，當(dāng)且僅當(dāng)直線y=α與函數(shù)y=/(/(X))的圖象有

兩個(gè)不同交點(diǎn)，

觀察圖象知方程/(/U))=?有兩個(gè)不等實(shí)根xt,x2(xi<x2),當(dāng)且僅當(dāng)In2≤α<1,

Xe<，-1

+1e

此時(shí)x∣+2=",且In(In(X2+1)+1)=α,即西+2=4,且χ,+l=e""τ,則有二一=----，

a

x1+2

令g(x)=?≤二,ln2≤x<l,求導(dǎo)得g'(x)=e'T(XD,令力(；V)=Xe`-1,

XX

當(dāng)ln2<x<l時(shí)，(X)=(X+l),>0,即函數(shù)〃(x)在(In2,l)上單調(diào)遞增，

當(dāng)ln2<x<l時(shí)，h(x)>/?(ln2)=21n2-l=ln4-l>0,即g'(x)>O,因此函數(shù)g(x)在［In2,l)上單調(diào)

遞增，

g(ln2)=-，而g⑴=e'τ,于是當(dāng)ln2≤x<l時(shí)，一≤g(?)<ee^',有上≤?^—<ee-1.

In2In2In2a

x7÷1c.

所以一7的取值范圍是［一，e)?

%+2ln2

故R答案》為：［三，3一1

H點(diǎn)石成金JIl思路『點(diǎn)石成金J：涉及給定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問題，可以通過分離參數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化

為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，數(shù)列也｝為等比數(shù)列，滿足

17.4=2q=2,4=2%,α3+?=ll.

(1)求數(shù)列｛α,,｝,也“｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛凡也,｝的前〃項(xiàng)和S“.

K答案Il(I)an=n,hll=2"；

(2)S“=(〃一l)?2"+∣+2.

K解析』

K祥解Il(I)由等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量法求得公差和公比后可得通項(xiàng)公式;

(2)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列｛α∕,J的和.

K小問1詳析》

解：設(shè)｛%｝的公差為d，也｝的公比為9(4。0),q=l,4=2,

b,=2%2J+2<72+l=ll

聯(lián)立《2,,整理可得〈，解得《q=2

q+A=uIdd=?

n

所以q=〃，bll=2.

R小問2詳析H

解：由(1)知a“b“=n?2,n,

則5“=1x2+2x22+3x2、++(n-l)×2,,^l+n×2,,)①

2S,,=1×22+2X23+3×24++(n-l)×2,,+∕7×2n+',②

①-②，得一S“=2+22+23++2"-n×2',+'

↑-y1

2×---------n×2n+'

1-2

(I-A)X2,,+1-2.

所以S“=(〃-1)-2同+2.

sinA-sinBsinC

18.在銳角-ABC中，角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為α,b,c,已知一7=--------=--

yJ3a-c〃

(1)求角8的值;

(2)若α=2,求.ABC的周長的取值范圍.

K答案月(1)?

6

(2)(3+√3,2+2√3)

K解析》

K祥解H(1)根據(jù)正弦定理得到/+￠2一〃=Gac,再利用余弦定理求出B=F

6

(2)根據(jù)正弦定理得到A=」—,C=叵町4土您4,從而得到b+c=6+—!—+

，求

sinAsinAtanA

*得到高

出A∈,^+c∈(l+√3,2√3)從而求出周長的取值范圍.

K小問1詳析R

sinA-sin_sinCa-b_c

,由正弦定理得:

yβa-ca+bGa-ca+b

即a2+c2-b2=4iac，

由余弦定理得:

2acIfac2

因?yàn)锽e(O,兀),

所以5=2；

K小問2詳析』

JT

銳角JIBC中，4=2,B=-,

6

2_/7_c

由正弦定理得：sinAs-in「兀sinC?

6

故712sinC2sinlA+eI石SinA+cosA,

b=------,c=--------=----------------=--------------------

sinAsinAsinAsinA

+2

則力+c，_?/?sinA+cosA+l_6+c0sA_+1+Vl+tanA

sinAtanAtanA

TT

因?yàn)殇J角C中，B=B，

O

則A∈(θg),C=π-∣-A∈fθ,^

ππ

解得：A∈

3,2

故tanA∈(百,+∞),

tanA

故A>+ce(l+6,2G),a+Z?+ce(3+G,2+2G)

所以三角形周長的取值范圍是(3+6,2+26).

鹿點(diǎn)石成金崎解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍

問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，

常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出K答案去

②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，

通常采用這種方法；

③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值

19.如圖，在以A,B,C,D,E,尸為頂點(diǎn)的六面體中(其中be平面E￡>C),四邊形ABC。是正方形，EDL

平面ABCBF=FE，且平面FEB，平面￡￡犯.

(1)設(shè)〃為梭EB的中點(diǎn)，證明：AC,F,〃四點(diǎn)共面；

(2)若ED=2AB=2,求平面EEM與平面E鉆的夾角的余弦值.

K答案》(1)見K解析》(2)叵

5

K解析H

K祥解7(1)根據(jù)線面垂直以及面面垂直的性質(zhì)證明FM，平面￡03,ACL平面BOE,進(jìn)而證明

FMHAC,即可求解，

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面法向量以及向量的夾角即可求解平面夾角.

K小問1詳析』

連接AC,由于四邊形ABC。是正方形，所以AC_LO8,

又即，平面ABC。，ACU平面ABCD所以EO_LAC,

DECBD=D,DE,BDu平面BDE，所以Ae_L平面BOE，

由于M為棱E5的中點(diǎn)，BF=FE,所以EMjLE3,

又平面EEB_L平面￡D8，平面FEBC平面EDB=EB，R0u平面EEB,

所以EM工平面EDB,

因此EW//AC,所以AC,F,M四點(diǎn)共面，

K小問2詳析H

由于ED,D4,DC兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

(?\\

A(l,0,0),B(IJO),￡(0,0,2),C(0,1,0),M彳,J,1,設(shè)廠(OM,6),

122√

由⑴知或//A/故（g,g-a，l-“//（T，l，。），解得α=l,0=l,故尸（0,1,1）,

BE=(-l,-l,2),BF=(-l,0,l),AB=(0,l,0),

設(shè)平面BEF，ABE的法向量分別為，〃=（X,Xz）,〃=（x∣,X,zJ,則

BEm=O—X—y+2z=0/、

即《C,IXx=I,則〃Z=(UJ)

BFm=O-x+z=0z

BE-n=0-X1_y+2Z]=0

即＜取Z1=1,則〃=(2,0,1),

ABn=OJl=O

m?n?3__√15

設(shè)平面EEB與平面￡48的夾角為6，貝IJCoSe=CoS（肛。=

^√3×√5^5

20.，某市舉辦了黨史知識的競賽.初賽采用“兩輪制”方式進(jìn)行，要

求每個(gè)單位派出兩個(gè)小組，且每個(gè)小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的小組才具備參與決賽的資

34

格.某單位派出甲、乙兩個(gè)小組參賽，在初賽中，若甲小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是一，一，

45

32

乙小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是三，且各個(gè)小組所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.

(1)若該單位獲得決賽資格的小組個(gè)數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望；

(2)已知甲、乙兩個(gè)小組都獲得了決賽資格，決賽以搶答題形式進(jìn)行.假設(shè)這兩組在決賽中對每個(gè)問題回

答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率.若最后一道題被該單位的某小組搶到，且甲、乙兩個(gè)小組

搶到該題的可能性分別是45%,55%,該題如果被答對，計(jì)算恰好是甲小組答對的概率.

27

K答案U(1)見［解析D(2)—

49

K解析』

K祥解》(1)先算出甲乙通過兩輪制的初賽的概率，X的取值有0』,2分三種情況解決.

(2)先算出一個(gè)題被答對的概率，然后再算出被甲答對的概率，然后再根據(jù)條件概率求解.

R小問1詳析』

設(shè)甲乙通過兩輪制的初賽分別為事件4,4則

P(A)=-X-=-P(A)=-X-=-

'"455v27535

由題意可得，X的取值有0,1,2

則X的分布列為:

X012

6136

P

252525

所以E(X)=OX且+1Xy+2x~^=l

v,252525

K小問2詳析》

設(shè)甲乙兩組對每個(gè)問題回答正確的概率分別為g,B2,兩組在決賽中對每個(gè)問題回答正確的概率恰好是各自

獲得決賽資格的概率,

32O

則尸()=-一個(gè)題被甲小組搶到為事件則

P(4)=p(A)=W,4)=P(A2C,P(C)=45%=—,

P0=55%=U

設(shè)一個(gè)題答對為事件D，則P(D)=P(Cfi1UCB2)=P(CB1)+P(CB2)

9311249

—____X___1_,X___—,

=P(C?P(4)+P(C?P(B2)^205205^100

93

--X一

P(CBJ205=27

該題如果被答對，恰好是甲小組答對即為PP(C?P(4)

P(0P(D)4949

100

r2

21.設(shè)A,8是橢圓1+y2=ι上異于p(0,ι)的兩點(diǎn)，且直線AB經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，直線剛,PB分別交直線

y=-x+2于C,。兩點(diǎn).

(1)求證：直線雨，AB,P8的斜率成等差數(shù)列；

(2)求一PeD面積的最小值.

K答案X(1)證明過程見R解析H

⑵—

3

K解析H

K祥解II(I)設(shè)A(%,y),B(-x1,-γ,),表達(dá)出直線AB,直線94,直線PB的斜率，由

V-Iy+12y…

k1pA+kfpB=二1—+二1一=」1=2心5證明出結(jié)論：

?l?l??

X.X.

(2)寫出直線用的方程，與y=-x+2聯(lián)立求出％=-—!~同理求出XD=——!~求出

x∣+y-lM+X+1

Cu

?cu?=JiTiIXC-χo∣,利用三角換元,求出IeDl="sin(K^0)］的最小值’結(jié)合P()到直線＞=—%+2

的距離d,求出面積的最小值.

K小問1詳析)

2

設(shè)A(Xl,y),則B(rl,-χ),^-+√=1,

直線AB的斜率心B=」，直線的斜率為即A=」—，直線PB的斜率為ZM=IJ—=--，

x1xl-X1xl

3+L=ILZl+上=*=2仁

AR，

xlxlXj

故直線∕?,AB,P3的斜率成等差數(shù)列;

K小問2詳析》

y-I

直線心的方程為y-l1=2l—X,與y=—%+2聯(lián)立得:

玉

不

玉+yτ

y+1

同理可得：直線PB的方程為y-l1二山l一X,與y=-X+2聯(lián)立得:

x?

?l

xD~7

χ∣+X+1

故ICf)I=Jl+1?X-X?=?∕2=2√2玉

CD2

χ∣+χτX+X+1(Λ1+yl)-l

因?yàn)槿?%2=1，設(shè)力=近3Sayi=Sin。，

?∣2cosθ44

故∣CD∣=2√Σ

(V∑cose+sin6)-1卜os，+20Sinq∣3sin(6+同

甘rh5/2

具中tanφ—-^―，

44

故當(dāng)sin(e+°)=l時(shí)，|。。|取得最小值，最小值為一,

∣3sin(9+0