吉林省長春市2021年高一下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試卷與參考答案

吉林省長春市2021年高一下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試卷與參考答案一、單項(xiàng)選擇題本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示，D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則＝（）A．﹣ B．﹣ C．+ D．+答案：C．2．復(fù)數(shù)，則z的虛部是（）A．i B．1 C．﹣2 D．﹣1答案：B．3．△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a2＝b2﹣c2+ac，則角B的大小是（）A．45° B．60 C．90° D．135°答案：A．4．已知圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（）A．2π B．3π C．4π D．5π答案：A．5．如圖，已知等腰三角形△O'A'B'，O'A'＝A'B'是一個(gè)平面圖形的直觀圖，斜邊O'B'＝2，則這個(gè)平面圖形的面積是（）A． B．1 C． D．答案：D．6．已知向量，，則△ABC的面積為（）A．5 B．10 C．25 D．50答案：A．7．如圖所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝AC，AC1⊥A1B，M，N分別是A1B1，AB的中點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1∥平面CNB1，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：D．8．正方體的棱長為a，且正方體各面的中心是一個(gè)幾何體的頂點(diǎn)，這個(gè)幾何體的棱長為（）A． B． C． D．答案：A．二、多項(xiàng)選擇題本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分。9．在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，下列結(jié)論不正確的是（）A．＝， B． C． D．答案：BD．10．一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，下列結(jié)論正確的是（）A．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等 B．圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為π C．圓柱的表面積為4πR2 D．圓柱的體積等球與圓錐的體積之和答案：AD．11．已知角A，B，C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論一定成立的有（）A．sin（B+C）＝sinA B．cos（A+B）＝cosC C．若A＞B，則sinA＞sinB D．若sin2A＝sin2B，則△ABC是等腰三角形答案：AC．12．下列四個(gè)正方體圖形中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形是（）A． B． C． D．答案：AD．三、填空題本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡相應(yīng)的橫線上。13．已知向量＝（1，cosθ），且，則＝．答案為：．14．已知復(fù)數(shù)z1＝1+2i，z2＝3﹣4i，復(fù)數(shù)z滿足，則|z|＝．答案為：．15．已知△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c．若a＝1，∠B＝45°，△ABC的面積S＝2，那么△ABC的外接圓的直徑等于5．答案為516．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面四邊形ABCD為正方形，四條側(cè)棱PA＝PB＝PC＝PD，點(diǎn)E和F分別為棱BC和PD的中點(diǎn)．若過A、E、F三點(diǎn)的平面與側(cè)面PCD的交線線段長為，且異面直線AB與PD的成角余弦值為，則該四棱錐的外接球的表面積為48π．故答案為：48π．四、解答題本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（18分）若復(fù)數(shù)z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣m﹣2）i，當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)（1）z是實(shí)數(shù)；（2）z是純虛數(shù)；（3）z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限．解得：﹣3＜m＜﹣1．18．已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，A（1，3），B（2，1），C（4，m）．（1）若，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若A，B，C三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)m的值．解得實(shí)數(shù)m＝；（2）＝（1，﹣2），＝（3，m﹣3），∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴∥，∴，解得實(shí)數(shù)m＝﹣3．19．要測(cè)量對(duì)岸兩點(diǎn)A，B之間的距離，選取相距200m的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)得∠ADC＝105°，∠BDC＝15°，∠BCD＝120°，∠ACD＝30°，求A、B兩點(diǎn)之間的距離．答案：在△ACD中，CD＝200，∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，∠DAC＝45°，∴根據(jù)正弦定理得：，解得，在△BCD中，CD＝200，∠BCD＝120°，∠BDC＝15°，∠DBC＝45°，∴根據(jù)正弦定理得：，解得，∵∠ADC＝105°，∠BDC＝15°，∴∠ADB＝90°，∴＝．20．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△4BC的面積為，求△ABC的周長．答案：（1）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．所以2cosC（sinAcosB+sinBcosA）＝sinC．整理得：2cosCsin（A+B）＝2cosCsinC＝sinC，故：cosC＝．由于0＜C＜π，故C＝．（2）由于，解得ab＝6，由于c2＝a2+b2﹣2abcosC，所以7＝（b+a）2﹣2ab﹣ab，整理得：a+b＝5．則：．21．（18分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC．（1）證明：CD⊥平面PAC；（2）若E為PA的中點(diǎn)，求證：BE∥平面PCD；（3）若直線PC與平面ABCD成角為45°，求三棱錐A﹣PCD的體積．答案：（1）證明：PA⊥平面ABCD，則PA⊥CD，又由CD⊥PC，而PA∩PC＝A，則CD⊥平面PAC；（2）取PD的中點(diǎn)F，連接EF，E是PA的中點(diǎn)，F(xiàn)是PD的中點(diǎn)，則EF∥AD且EF＝AD，又由AB⊥BC，AB＝BC，則∠BAC＝45°，則有∠CAD＝45°，又由CD⊥平面PAC，則CD⊥AC，則△ACD為等腰直角三角形，又由AB＝BC＝1，則AC＝，AD＝AC＝2，必有EF＝AD＝1，而AD∥BC且BC＝1，則EF∥BC且EF＝BC，故四邊形