（初中數(shù)學）與四邊形有關的壓軸題（近五年中考真題復習附答案解析版匯編）

（初中數(shù)學）與四邊形有關的壓軸題（近五年中考真題專題

復習附答案解析版35頁分項匯編）

一、單選題

1.（東營?中考真題）如圖，已知菱形ABcQ的邊長為2,對角線AC、8。相交于點。點M,

N分別是邊BC、Cz）上的動點，NSAC=ZMAN=60。，連接MN、OW.以下四個結論正確的是

①AMN是等邊三角形；②MW的最小值是G；③當MN最小時SMMN④

O

當OM_LBC時，OA2=DNAB.

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【答案】D

【分析】①依據(jù)題意，利用菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)，證出∠M4C=HW,

然后證aaiM用ADHV（ASAAAM=AN,即可證出.

②當/WV最小值時，即4M為最小值，當AM_L8C時，AM值最小，利用勾股定理求出

AM=>∣AB2-BM2=√22-l2=y∣3>即可得到MN的值.

③當MN最小時，點M、N分別為BC、CZ）中點，利用三角形中位線定理得到AC_LMN,

用勾股定理求出CE=JaV2-EM=K（爭=；，SMM”=；*；XG=￥，而菱形ABCO的面

積為：2×√3=2√3;即可得到答案.

④當OMJ_BC時，可證AOCMSABCO,利用相似三角形對應邊成比例可得=CM?SC,

根據(jù)等量代換，最后得到答案.

【詳解】解：如圖：在菱形A8C。中，AR=BC=AD=CD,AC±BD,OA=OC,

團NBAC=N腸UV=60。，

0ZACB=ZADC=60o,ABC4.?ADC為等邊三角形，

又NMAC=NAWV-NaW=60p-NavV,

ZDAN=ZDAC-ZCAN=Or-ACAN,

0ZM4C=Z￡WV,

在VC4例與，QAN中

ZCAM=ZDAN

AC=AC

NACM=NADN

團ACAM^ADAN(ASA),

IMM=AiV,

即/AMN為等邊三角形，

故①正確；

團ACJL肛

當MN最小值時，即AM為最小值，當AMLBC時，AM值最小,

團AB=2,5M=-BC=?,

2

團AM=y∣AB2-BM2=√22-12=√3

即MN=6

故②正確；

當MN最小時，點用、N分別為5C、C。中點，

⑦MN〃BD,

團ACJ_MV,

在ACW中，

團Sz?gwv=gx；Xe=V'

而菱形A/JCO的面枳為：2×√3=2√3^

12-!-×2√3=-,

84

故③正確，

當OM_L3C時，

JN8OC=NOMC=9()。

[ZoCM=NBCO

⑦AOCMsdBCO

CM

團L——oC=——

BCOC

^OC2=CMBC

^?0A2=DNAB

故④正確；

故選：D.

AD

【點睛】此題考查了菱形的性質(zhì)與面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定，勾

股定理，三角形中位線定理等相關內(nèi)容，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關鍵.

二、解答題

2.(日照?中考真題)問題背景：

如圖1,在矩形ABCQ中，AB=2√3,ZABD=30°,點E是邊AB的中點，過點E作所_LAB

交BD于點、F.

(1)在一次數(shù)學活動中，小王同學將圖1中的尸繞點B按逆時針方向旋轉90。，如圖2

所示，得到結論：①==_____:②直線AE與OF所夾銳角的度數(shù)為______.

Dr

(2)小王同學繼續(xù)將.8歷繞點8按逆時針方向旋轉,旋轉至如圖3所示位置.請問探究(1)

中的結論是否仍然成立？并說明理由.

拓展延伸：

在以上探究中，當aBEF旋轉至D、E、F三點共線時，貝ILADE的面積為.

【答案】(1)JL,30。；(2)成立，理由見解析；拓展延伸：136+病或130一回

288

【分析】(I)通過證明"BgΔEBA,可得空=空=3，ZBDF=ZBAE,即可求解；

DFBF2

(2)通過證明ΔABES?DBF,可得任?=變=3，NBDF=NBAE,即可求解；

DFBF2

拓展延伸：分兩種情況討論，先求出AE,OG的長，即可求解.

【詳解】解：(1)如圖1,ZABr)=30°,ZzMB=90°，EFIBA,

如圖2,設AB與。F交了點0,AE與DF交于點H,

D

ΔBEF繞點4按逆時針方向旋轉90。，

:.ZDBF=ZABE=90。,

.?./SEBA，

=^,NBDF=NBAE,

DFBF2

乂?，ADOB=ZAOF,

.?.ZDBA=ZAHD=30°,

，直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為30°,

故答案為：—.30p;

2

(2)結論仍然成立，

理由如下：如圖3,設AE與BD交于點。，AE與。尸交于點H,

—=—=ZBDF=ZBAE.

DFBF2

又；ZDOH=ZAOB,

:.ZAHD=ZAHD=30P,

直線AE與OF所夾銳角的度數(shù)為30°.

拓展延伸：如圖4,當點E在AB的上方時，過點。作DG，他于G,

AB=2百，NA8￡>=30。，點E是邊48的中點，ZZMB=90o,

.?.BE=√3.AD=2,￡>3=4,

.ZEBF=30P,EFiBE,

.?EF=l,

QD、E、尸三點共線，

.?.ZDEB=ZBEF=90°,

.?.DE=>JBD2-BE2=√16-3=√13，

NDE4=30。，

,1?√13

..Dxj——LnJciL-------,

22

由（2）可得：絲=些=近，

DFBF2

.AE_乖）

√H7T^T,

...AE=魚也,

2

A■cl,右訪1“一六1√39+√3√1313√3+√39

.?.ΔAOE的面積=KAExQG）XVCX■二C；

22228

如圖5,當點E在AB的下方時，過點。作。GLAE,交E4的延長線于G,

同理可求：AAD石的面積=,XAExOG=LX叵二巫=身回二叵

22228

故答案為：兇±返或陷叵.

88

【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角

形的性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)等知識，利用分類討論思想解決問題是解題的關鍵.

3.（淄博?中考真題）己知：在正方形ABCD的邊8C上任取一點F,連接A尸，一條與所垂

直的直線/（垂足為點P）沿AF方向，從點A開始向下平移，交邊AB于點E.

（2）當直線/經(jīng)過AF的中點時，與對角線80交于點Q,連接尸。，如圖2所示.求ZAFQ

的度數(shù)；

（3）直線/繼續(xù)向下平移，當點P恰好落在對角線Br）上時，交邊CQ于點G,如圖3所示.設

AB=2,BF=x,DG=y,求，與X之間的關系式.

4-2x

【答案】（1）見詳解；（2）NA尸Q=45。；（3）產(chǎn)土式

【分析】（1）由題意易得4。=48,/皿＞=/五Μ=90。，進而可得NEAB=NED4,則有

.ABF^DAE,然后問題可求證；

（2）連接AQ,過點Q作。MaA。于點例，并延長MQ,交BC于點、N,由題意易得AQ=FQ,

SADB=45°,則有QM=Mn進而可得證,然后可得NMQf=90。，則問題可

求解；

（3）過點。作力W0EG,交AB于點H,由題意易證四邊形HEGO是平行四邊形，則有

AH=BF=x,HE=DG=y,進而可得怒="=M=然后可得三口=彳，則問題

DGADPD2y2

可求解.

【詳解】（1）證明：13四邊形ABCo是正方形，

aAD=AB,ZEAD=NFBA=90°,

F^ED,

回NApE=90。，

0ZBAF+ZAEP=ZAEP+ZADE=90°,

^ZFAB=ZEDA,

團ABFqDAE(ASA),

0AE=BF;

(2)解：連接4Q,過點。作QWBA。于點M,并延長MQ,交BC于點M如圖所示:

團點尸是AF的中點，AFO?EQ,

團AQ=FQ,

回四邊形ABa)是正方形，

回AO=DC,ZADC=NC=90o,ZADB=45°,

回四邊形MNC。是矩形，SMDQ是等腰直角三角形,

RMN=CD=AD,MD=MQ,

團AM=QN,

0AMRQNF(HL),

^?ZAQM=ZQFN,

⑦/FQN+NQFN=94。,

o

⑦NFQN+ZAQM=90。,BpZAQF=90t

團一AQ尸是等腰直角三角形，

團NAFQ=45。；

(3)過點。作。加EG,交AB于點、H,如圖所示:

回四邊形HEGD是平行四邊形,

⑦DG=HE,

0A砸EG,

由（1）中結論可得AH=

EAD∕∕BF,AB∕∕CD,

0.APD^IFPB，BPESaDPG,

BFBPBEBP

AD~DP,DG~DP'

團AB=2,BF=X,DG=y,

^AD=AB=ZAH=BF=x,HE=DG=y,

^BE=2-x-y,

BEBFBPX

0-----=-----=-----=-，

DGADPD2

2-x-yX

團-------二7，

y2

回了與X之間的關系式為y=±W?

x+2

【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、函數(shù)及等腰直角三角形的

性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、函數(shù)及等腰直角三角形的

性質(zhì)與判定是解題的關鍵.

4.（棗莊?中考真題）如圖1,對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）概念理解：如圖2,在四邊形ABC。中，AB^AD,CB=C。，問四邊形ABC。是垂

美四邊形嗎？請說明理由；

（2）性質(zhì)探究：如圖L垂美四邊形ABC。的對角線AC,BD交于點O.猜想：AB2+CD2

與A。?+BC?有什么關系？并證明你的猜想.

（3）解決問題：如圖3,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG

和正方形ABDE連結CE,BG,GE.己知AC=4,AB=5,求GE的長.

【答案】（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，理由見解析；（2）AB-+CD2AD1+BC1,證

明見解析；（3）Gf=√73.

【分析】（1）連接AC,B。，先根據(jù)線段垂直平分線的判定定理可證直線AC是線段的垂

直平分線，再根據(jù)垂美四邊形的定義即可得證；

（2）先根據(jù)垂美四邊形的定義可得AC_L8D,再利用勾股定理解答即可；

（3）設CE分別交AB于點M,交BG于點N,連接BE,CG,先證明AGAB≡/XCAE,得

到NA8G=NAEC,再根據(jù)角的和差可證/BNM=90。，即CEj_BG,從而可得四邊形CGEB

是垂美四邊形，然后結合（2）的結論、利用勾股定理進行計算即可得.

【詳解】證明：（1）四邊形ABe。是垂美四邊形，理由如下：

如圖，連接ACBO,

0AB=AD，

團點A在線段8。的垂直平分線上，

SCB=CD,

回點C在線段BD的垂直平分線上，

回直線AC是線段BZ）的垂直平分線，即ACLBZ）,

回四邊形ABC。是垂美四邊形；

（2）猜想+證明如下：

回四邊形ABC。是垂美四邊形，

ACS.BD,

0ZAOD=ZAOB=ABOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得：AD2+BC2=Ofic+OD2+OB2+OC2,

2

AB-+CD=Ofic+OB-+OC2+OD?,

AB2+CD2=AD2+BC2;

（3）如圖，設CE分別交AB于點M,交BG于點、N,連接BE,CG,

13四邊形ACFG和四邊形ABZ）E都是正方形,

0ZCAG=NBAE=90°,AG=AC,AB=AE,

0ΛCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即NGAB=NeAE,

AG=AC

在AGAB和VC4E中，，NGAB=NcAE,

AB=AE

0?GAB≡?C4E（5A5）,

BZABG=ZAEC,

又團ZAEC+ZAME=90o,ZAME=NBMN,

SZABG+ZBMN=90°.

BZBNM=90°,即CEL8G,

回四邊形CG￡B是垂美四邊形，

由（2）得：CG2+BEi=CB2+GE2,

BlAB是RfACB的斜邊，且AC=4,AB=5,

^BC2=AB2-AC2=9,AG=AC=4,AE=AB=5,

在RrACG中，CG2=AC°+AG?=32,

在MΔABE中，BE2=AB2+AE2=50，

09+GE2=32+50,

解得GE=6或GE=-J萬（不符題意，舍去），

故GE的長為歷.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、

勾股定理等知識點，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題關鍵.

5.（荷澤?中考真題）在矩形ABa）中，BC=辰D,點E,F分別是邊A。、BC上的動點,

且AE=B,連接EF,將矩形ABCD沿E尸折疊，點C落在點G處，點。落在點/7處.

（1）如圖1,當團與線段BC交于點P時，求證：PE=PF;

（2）如圖2,當點尸在線段CB的延長線上時，G"交AB于點〃，求證：點M在線段E尸

的垂直平分線上；

（3）當AB=5時，在點E由點A移動到Ar）中點的過程中，計算出點G運動的路線長.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）?.

【分析】（1）分別根據(jù)平行線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)即可證得（WEF=回EFB,配JEF=ISHE凡

由此等量代換可得團"EF=團EFB,進而可得PE=PFx

（2）連接PM,ME,MF,先證R∕."?W0M.?P8Λ∕（"L）,可得田EPM=EIFPM,再證GEPMa

；.FPM（SAS）,由此即可得證；

（3）連接AC,交EFT點0,連接。G,先證明aEAQS..FCO（AAS）,由此可得。C=3AC

=5,進而根據(jù)折疊可得。G=OC=5,由此得到點G的運動軌跡為圓弧，再分別找到點G

的起始點和終點便能求得答案.

【詳解】（1）證明：團在矩形A8C。中，

BAD//BC,AB=CD-,

^EDEF=^}EFB,

13折疊，

SEDEF=SiHEF,

32HEF=I2EFB,

OPE=PF;

（2）證明：連接PM,ME,MF,

團在矩形ABC。中，

SAD=BC,0D=EL4BC=0PBA=9Oo,

又IME=C凡

SAD-AE=BC-CF,

即：DE=BF,

回折疊，

0DE=HE,EIQ=EIE"M=回尸?W=90°,

ElBF=HE,I3PR4=ElPHM=90°,

又13由（1）得：PE=PF,

?PE-HE=PF-BF,

即：PH=PB,

在RtdPHM與MaPBM中，

JPH=PB

[PM=PMf

^?Rι..PHM^Rι,PBM(HL),

的EPM=團FPM,

在AEpM與.?.∕7PΛ∕∣r,

PE=PF

<NEPM=NFPM,

PM=PM

0ΛEPΛ70ΛFPM(SAS),

^ME=MFf

回點M在線段E/的垂直平分線上；

(3)解：如圖，連接AC,交EF于點0,連接OG,

IMB=Co=5,BC=辰D,

團BC=5√3，

團在放ABC中，AC=JAB2+B.2=10,

MDI/BC,

團團￡40=團/C。，

在■EAO與?.FC。中，

AE=CF

<ZEAO=ZFCO,

ZAOE=ZCOF

0ΛEAO0ΛFCO(AAS),

回OA=OC=NC=5,

又回折疊，

回。G=OC=5,

當點E與點A重合時，如圖所示，此時點R點G均與點C重合,

CYG、F)

H

當點E與4。的中點重合時，如圖所示，此時點G與點B而合,

B(G)Fv

回。為定點，OG=5為定值，

團點G的運動路線為以點0為圓心，5為半徑的圓弧，且圓心角為I38OC,

在Rf,A8C中，tanEIBAC=——=√3,

AB

≡BAC=60o,

WA=OB=OC=OGf

團點A、B、C、G在以點。為圓心，5為半徑的圓上，

038。C=ISBAC=120°,

120O?Λ??510萬

IaBC的長為

團點G運動的路線長為亍.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、圓的相關概念及

性質(zhì)，弧長公式的應用，第(3)問能夠發(fā)現(xiàn)。G=5是解決本題的關鍵.

6.(臨沂?中考真題)如圖，已知正方形ABCD,點E是BC邊上一點，將MBE沿直線AE

折疊，點B落在B處，連接BF并延長，與SOAP的平分線相交于點H,與AE,CO分別相

交于點G,M,連接“C

(1)求證：AG=GH;

（2）若A8=3,BE=I,求點。到直線8/7的距離；

（3）當點E在BC邊上（端點除外）運動時，回BHC的大小是否變化？為什么？

【答案】（1）見解析；（2）亞；（3）不變，理由見解析

5

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到4G08R結合角平分線的定義得到團砌H=TaFM從而

推出團E4H=T（0BAF+0MD）=45°,可得AG=GH：

（2）連接￡>H,DF,交A”于點N,易得等腰直角0DH凡推出DH的長即為點。到的

距離,根據(jù)DH=FH,轉化為求FH的長,結合（1）中條件,證明0ABG0fflAEB,得到察=2=嘴,

ABBEAE

從而求出GF和GH,可得DH-.

（3）作正方形ABC。的外接圓，判斷出點H在圓上，結合圓周角定理求出SBHC即可.

【詳解】解：（1）自0A8E沿直線AE折疊，點8落在點F處，

SSBAG=^GAF=BAF,B、/關于AE對稱，

SAGSBF,

EEAGF=90°,

B4”平分回D4F,

MMH=?HMD,

^3EAH^GAF+^FAH

=^BAF+^FAD

22

??(0BAF+13MD)

=^BAD,

Ia四邊形A8C。是正方形,

EEa4D=90°,

盟1ZMQ=45°,

團團G?4=45°,

0GA=GH;

（2）連接O〃，DF,交A〃于點M

由（1）可知：AF=ΛD,^?FAH=^DAH,

0A≡1DF,FN=DN,

^DH=HF,⑦FNH=ODNH=90。,

又團團G∕M=45°,

明FHN=45°=MDH=0DHM

≡DHF=90o,

^DH的長即為點D到直線BH的距離，

222

由（1）知：在"1A3E中，AE=AB-^-BE1

0AE=√32+12=710?

≡BAE+121AEB=0BAE+[21ABG=9OO,

00AEβ=0ABG,

酮43G≡L4EB,

AGBGAB

0m—=——=——,

ABBEAE

“AB299√10

r團ηAG=-----=-T==-------,

AE√iθ10

gABBE33√10

BU=---------=—7==------,

AE√IO10

由（1）知：GF=BG,AG=GH,

,.3√∏j“9√IO

1r2a1GrFc=------,GH=-------,

1010

BDH=FH=GH-GF=_?√?ɑ=≥∕>θ,

10105

即點Q到直線8”的長為亞：

5

（3）作正方形ABCQ的外接圓，對角線80為圓的直徑,

ΞΞBHD=90°,

團，在圓周上，

aβBHC=BBDC,

團四邊形A8C。是正方形，

EBBCZ）=90°,BC=CD,

00BDC=0Z)BC=45",

EBBHC=45°,

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，

等腰三角形的判定和性質(zhì)，側重對學生能力的考查：幾何變換的能力，轉化能力以及步驟書

寫能力，具有一定藝術性.

7.（濟南?中考真題）在等腰aABC中，AC=BC,一AoE是直角三角形，EIDAE=90。，SlADF

=∣0ACB,連接BO,BE,點尸是8力的中點，連接CE

（1）當團C4B=45。時.

①如圖1,當頂點。在邊AC上時，請直接寫出SEAB與回CBA的數(shù)量關系是.線段

BE與線段C尸的數(shù)量關系是;

②如圖2,當頂點。在邊A8上時，（1）中線段BE與線段CF的數(shù)量關系是否仍然成立？

若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由；

學生經(jīng)過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：

思路一：作等腰AABC底邊上的高CM,并取BE的中點N,再利用三角形全等或相似有關

知識來解決問題；

思路二：取DE的中點G,連接4G,CG,并把.C4G繞點C逆時針旋轉90。，再利用旋轉

性質(zhì)、三角形全等或相似有關知識來解快問題.

（2）當13C43=30。時，如圖3,當頂點。在邊AC上時，寫出線段8E與線段CF的數(shù)量關

系，并說明理由.

【答案】（1）①NE4B=NABC,CF=^BE；②仍然成立，證明見解析；（2）BE=2尿F,

理由見解析.

【分析】（1）①如圖1中，連接8E,設。E交AB于T.首先證明AO=AE,8。=BE,再利

用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問題即可.②解法一：如圖2-1中，取A8的中點M,

的中點N,連接CM,MN.證明,.CMF空BMN（SAS）,可得結論.解法二：如圖2-2

中，取E）E的中點G,連接AG,CG,并把一C4G繞點C逆時針旋轉90。得到,.CRT,連接

DT,GT,BG.證明四邊形BEGT'是平行四邊形，四邊形QGBT是平行四邊形，可得結論.

（2）結論：8E=2GCF.如圖3中，取AB的中點7,連接CT,FT.證明,ZMEsq/，

可得結論.

【詳解】解：（1）①如圖1中，連接8E,設OE交48于T.

圖1

IaCA=C8,BCAB=ASQ,

00CΛB=βL4BC=45",

EEIACB=90°,

EEADE=Ta4CB=45°,UIDAE=90°,

aaADE=EIAEO=45°,

ELAD=AE,

ZDAE=90°,

.??ZEAB=ZDAT=ZABC=45°,

財丸DE,DT=ETf

財3垂直平分。￡

aBD=BE,

團團BC0=9O°,DF=FB,

EICF=T80,

0CF=?tff.

故答案為：團E48=0ABC,CF=TBE.

②結論不變.

解法一：如圖2-1中，取AB的中點M,BE的中點M連接CM,MN.

EICMHAB,CM=BM=AM,

由①得：AD=AE,

設A。=AE=AFM=x,DM=a,

.點F是8。的中點，

則DF=FB=a+x,

0ΛM=8M,

Ξy+α=α+2x,

團y=2x,即AD=2FM,

^AM=BM9EN=BN,

ME=2MN,MN^AE,

IBMN=FM,團BMN=回￡48=90°,

[≡CMF=138WN=9O°,

出一CMFqJBMN(SAS),

OCF=BN,

⑦BE=2BN,

0CF=yβE.

解法二：如圖2-2中，取。E的中點G,連接AG,CG,并把ACAG繞點C逆時針旋轉90。

得到CBT,連接。T,GT,BG.

EL4G0DE,回EAG=團DAG=45°,AG=DG=EGf

能ICAB=45°,

≡CAG=90°,

0AOL4G,

ISACWDE,

團MCB=團CBT=90°,

.?.AC//BT,

^AC^B7^DE,

ElAG=BT,

⑦DG=BT=EG,

回四邊形BEGT是平行四邊形，四邊形QGBT是平行四邊形,

回8。與GT互相平分，BE=GT,

團點/是6。的中點，

MQ與GT交于點R

0GF=FT,

由旋轉可得；CG=CT,/GCT=90。，

???JGb是等腰直角三角形，

團CF=FG=FT,

0CF=yBE.

（2）結論：BE=2√3CF.

理由：如圖3中，取AB的中點7,連接CT,FT.

D

圖3

0CA=CB,

≡CAB=0CBA=3Oo,MeB=I20°,

⑦AT=TB,

ElCTraA5,

.?.tan30。=0=3,

AT3

^AT=√3CT,

^AB=2√3CT,

RDF=FB,AT=TB,

^TF^AD,AD=IFT,

團團FTB=ISCAB=30°,

≡Cra=0DΛE=9Oo,

MCTF=EBAE=60°,

00ADE=∣0ACβ=6Oo,

Apr-

tan60°=-=>n,

AD

酎E=6AD=2退FT,

ABAECn

0-=2Λ∕3,

CTFT

0BAESQF,

BEBAc6

團==2?,

CFCT

EIBE=2√3CF.

【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平

行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),銳角三角函數(shù)的應用，解題的關健是學

會添加常用輔助線，構造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

8.（青島?中考真題）已知：如圖，在四邊形ABC。和RtZXEBF中，ABHCD,CD>AB,

點C在EB上，ZABC=ZEBF=90°,AB=BE=8cm,BC=BF=6cm,延長3c交E尸于

點點P從點A出發(fā)，沿AC方向勻速運動，速度為2cτ√s;同時，點。從點M出發(fā)，

沿MF方向勻速運動，速度為3”∕s,過點尸作GHJ.AB于點H,交C。于點G.設運動時

間為MS）（OCr<5）.

解答下列問題：

（1）當，為何值時，點M在線段CQ的垂直平分線上？

（2）連接PQ,作QNLAF于點、N,當四邊形尸QN"為矩形時，求f的值；

（3）連接QC,QH,設四邊形。CG//的面積為S（c∕√）,求S與f的函數(shù)關系式；

（4）點P在運動過程中，是否存在某一時刻f,使點尸在N47芯的平分線上？若存在，求出

r的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）t=|；（2）t=3;（3）S與t的函數(shù)關系式為S=-*+]+1;⑷存在,

7

【分析】（1）要使點M在線段CQ的垂直平分線上，只需證CM=MQ即可；

（2）由矩形性質(zhì)得PH=QN,由已知和AP=2t,MQ=t,解直角三角形推導出PH、QN,進而

得關于t的方程，解之即可；

（3）分別用t表示出梯形GHFM的面積、E）QHF的面積、IjICMQ的面積，即可得到S與t的

函數(shù)關系式；

（4）延長AC交EF與T,證得ATI3EF,要使點P在EIAFE的平分線上，只需PT=PH,分別用t

表示PT、PH,代入得關于t的方程，解之即可.

3

【詳解】（1）當/時，點M在線段CQ的垂直平分線上，理由為：

由題意,CE=2,CM0BF,

CMCECM2

0——=—r即π：——=-,

BFBE68

3

解得：CM=-,

2

要使點M在線段CQ的垂直平分線上,

3

只需QM=CM=?,

團t=3；

2

(2)如圖，?ZABC=NEBF=90°,AB=BE=8,BC=BF=6,

BC3AB4BE4

0AC=1O,EF=1O,sin0PAH=—=一,cosθPAH=—=一,Sin因EFB=——=-

AC5AC5EF5

在RtSAPH中,AP=2t,

6

團PH=APSin回PAH=Wf，

35

在RtEECM中，CE=2,CM=;,由勾股定理得：EM=p

7q515

在Rt團QNF中，QF=IOt—=——t,

22

15,4,4

0QN=QFsin0EFB=(y-r)×y=6--r,

四邊形PQN”為矩形，

團PH=QN,

(3)如圖，過Q作QN團AF于N,

,/、..’48

由(2)中知QN=6—g/,AH=AP?cos0PAH=-/,

8

≡H=GC=8--r,

5

831988

0GM=GC+CM=8——/+-=---------1,HF=HB+BF=14——t,

52255

回S=S梯形GHFM-SQHF-SCMQ

=g.(GM+HF)×6-LHF.QN-^CM.(6-QN)

」.（史一3+14-3）x6.L（14一3）.（6—3）-lΛ（6—6+3）

2255255225

。16157

0S與t的函數(shù)關系式為:S=------r2+τ+—

2552

7

（4）存在，t=-.

證明：如圖，延長AC交EF于T,

團AB=BF,BC=BF,ZABC=ZEBF=90°,

盟IABe函EBF,

≡BAC=0BEF,

≡EFB+0BEF=9O5,

幽BAC+團EFB=909,

≡ATE=909B[JPT0EF,

要使點尸在N4FE的平分線上，只需PH=PT,

,?CTBF3

在Rt0ECM中,CE=2sin0BEF=—=—=",

zCEEF5

6

CT=CEsinISBEF=-,

5

656CP6

PT=1O+y-2t=y-2r,又PH=

7

解得…5?

【點睛】本題屬于四邊形的綜合題，考查了解直角三角形、銳角三角函數(shù)、垂直平分線、角

平分線、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、多邊形的面積等知識、解答的關鍵是認真

審題，分析相關知識，利用參數(shù)構建方程解決問題，是中考?？碱}型.

9.（荷澤?中考真題）如圖1,四邊形ABCZ）的對角線AC,3。相交于點O,OA=OC,

OB=OD+CD.

（1）過點A作AE//DC交8。于點E,求證：AE=BE;

（2）如圖2,將AABO沿A5翻折得到AABD.

①求證：BD'//CD；

②若A。'//BC,求證：CD2=2ODBD.

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②見解析.

【分析】（1）連接CE,根據(jù)全等證得AE=CD,進而AECD為平行四邊形，由O8=OQ+8進

行等邊代換，即可得到AE=BE;

（2）①過A作AElECD交BD于-E,交BCTF,連接CE,AE=BE,得ZABE=NBAE,利

用翻折的性質(zhì)得到NDfiA=/區(qū)4￡，即可證明；②證t≡BEF03CDE,從而得ZBFE=NCED,

進而得I3CED=13BCD,O.ACDE=BDC,得到朋CDaaCDE,得生=孚，即可證明.

【詳解】解：（1）連接CE,

0AE//DC,

ZOAE=ZOCD1

團NOAE=NOCO,OA=OC,ZAOE=ZCODf

≡OAE00OCD,

團AE=CD,

團四邊形AECD為平行四邊形，

0AE=CD,OE=OD,

團OB=OD+CD=OE+BE,

團CD=BE,

田AE=BE;

(2)①過A作AEtKD交BD于E,交BC于F,連接CE,

由(1)得，AE=BE,

aZABE=NBAE,

由翻折的性質(zhì)得ZJOBA=ZABE,

⑦NlyBA=NBAE,

,

^BD∕∕AFf

由BD'//CD；

,

②⑦AD"∕BC,BD∕∕AF9

團四邊形AEBD為平行四邊形，

田NIy=ZAFB,BD1=AF,

aAF=BD,

OAE=BE,

0EF=DE,

回四邊形AECD是平行四邊形，

SCD=AE=BE,

RlAF團CD,

由NBEF=NCDE,

國EF=DE,CD=BE,/BEF=NCDE,

00BEF00CDE(SAS),

⑦ZBFE=NCED,

⑦NBFE=/BCD,

≡CED=0BCD,

又國回BDC=團CDE,

00BCD≡CDE,

CDDE?

0—=--BπIlCD2=BDxDE,

BDC/1

0DE=2OD,

EICD2=ZODBD.

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，考查等腰三角形

的判定與性質(zhì)綜合，熟練掌握各圖形的性質(zhì)并靈活運用是解題的關鍵.

10.(臨沂?中考真題)如圖，菱形ABCD的邊長為1,ZA8C=60。，點E是邊AB上任意一

點(端點除外)，線段CE的垂直平分線交30,CE分別于點F,G,AE,E尸的中點分別為

M,N.

(1)求證：AF=EFx

(2)求MN+NG的最小值；

(3)當點E在A8上運動時，NCEE的大小是否變化？為什么？

【答案】(1)見解析；(2)?;(3)不變，理由見解析.

【分析】(1)連接CF,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和菱形的對稱性得到CF=EF和CF=AF即可得

證；

(2)連接AC,根據(jù)菱形對稱性得到AF+CF最小值為AC,再根據(jù)中位線的性質(zhì)得到MN+NG

的最小值為AC的一半，即可求解；

(3)延長EF,交DC于H,利用外角的性質(zhì)證明13AFC=ElFCE+倒FEC+圓FAE+0FEA,再由AF=CF=EF,

得到團AEF=IaEAF,0FEC=0FCE,從而推斷出IaAFD=EIFAE+團ABF=ElFAE+SlCEF,從而可求出

0ABF=BCEF=3Oo,即可證明.

【詳解】解：(1)連接CF,

0FG垂直平分CE,

0CF=EF,

13四邊形ABCD為菱形，

回A和C關于對角線BD對稱,

ECF=AF,

0AF=EF;

(2)連接AC,

0M和N分別是AE和EF的中點，點G為CE中點,

ElMN=；AF,NG=TCF,即MN+NG=；(AF+CF),

當點F與菱形ABCD對角線交點O重合時，

AF+CF最小,即此時MN+NG最小,

El菱形ABCD邊長為1,BABC=60o,

EBABC為等邊三角形，AC=AB=L

(3)不變，理由是：

延長EF,交DCT-H,

EECFH=E1FCE+13FEC,0AFH=0FAE+0FEA,

00AFC=0FCE+I≡FEC+(3FAE+βlFEA,

團點F在菱形ABCD對角線BD上，根據(jù)菱形的對稱性可得:

13AFD=IaCFD=5EIAFC,

ElAF=CF=EF,

00AEF=(SEAF,0FEC=0FCE,

EEAFD=I2FAE+S1ABF=I3FAE+EICEF,

EBABF=E)CEF,

EEABC=60°,

EBABF=I3CEF=30°,為定值.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，最短路徑，等邊三角形的判定和性質(zhì)，中位線定理，難度

一般，題中線段較多，需要理清線段之間的關系.

11.（濟寧?中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=AC,點E、F、G分別在邊BC、CD±,

BE=CG,AF平分回EAG,點H是線段AF上一動點（與點A不重合）.

⑴求證:mAEHa3AGH；

（2）當AB=I2,BE=4時：

①求如GH周長的最小值；

②若點。是AC的中點，是否存在直線OH將BlACE分成三角形和四邊形兩部分，其中三角

形的面積與四邊形的面積比為1:3.若存在，請求出空的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）φ4√19+8:②存在，；或：

Z7

【分析】（I*FHJsiABEaaACG得至IJAE=AG,再結合角平分線，即可利用SAS證明IaAEHa3AGH；

（2）①根據(jù)題意可得點E和點G關于AF對稱，從而連接ED,與AF交于點H,連接HG,

得到團DGH周長最小時即為DE+DG,構造三角形DCM進行求解即可；

②分當OH與AE相交時，當OH與CE相交時兩種情況分別討論，結合中位線，三角形面積

進行求解即可.

【詳解】解：（1）團四邊形ABCD為菱形，

ΞAB=BC,

0AB=AC,

團團ABC是等邊三角形，

團團B=團ACB=13ACD=6O°,

0BE=CG,AB=AC,

00ABE[≡ACG,

ElAE=AG,

團AF平分團EAG,

≡2EAH二團GAH,

BAH=AH,

≡AEH≡AGH;

（2）①如圖，連接ED,與AF交于點H,連接HG,

團點H在AF上，AF平分團EAG,fiAE=AG,

團點E和點G關于AF對稱，

團此時團DGH的周長最小，

過點D作DMmBC,交BC的延長線于點M,

由（1）得：回BCD=回ACB+朋CD=I20°,

團團DCM=60°,團CDM=30°,

團CM=TCD=6,

國22

DM=y∣CD-CM=6√3，

0AB=12=BC,BE=4,

團EC=DG=8,EM=EC+CM=14,

0DE=y∣DM2+EM2=4Λ∕19=DH+EH=DH+HG,

0DH+HG+DG=4√19+8

勵DGH周長的最小值為4曬+8;

②當OH與AE相交時，如圖，AE與OH交于點N,

可知S^AON：S四邊形HNEF=I：3,

即SΔAON:S^AEC=I：4,

團。是AC中點，

團N為AE中點，此時ON回EC,

ANAOAH1

當OH與EC相交時，如圖，EC與OH交于點N,

同理S?NOC:S四邊形ONEA=I：3,

0S?NOC:SAAEC=I4

團。為AC中點，

團N為EC中點,則ON團AE,

AHEN

團---=---

AFEFf

0BE=4,AB=12,

0EC=8,EN=4,

過點G作GP團BC,交BNC延長線于點P,

釀BCD=I20°,

≡GCP=60o,團CGP=30°,

0CG=2CP,

團CG=BE=4,

0CP=2,GP=2√3,

0AE=AG,AF=AF,團EAFRIGAF,

≡AEF≡AGF,

0EF=FG,

設EF=FG=×,則FC=8-x,FP=IO-X,

在ElFGP中，（IO-X）?+（2石Y=Y,

解得：x=y,

28

0EF=y,

AHEN45

0AF^EF^28-7，

綜上：存在直線OH,等的值為T或J.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性