高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1測(cè)評(píng)第二章習(xí)題課橢圓的綜合問題及應(yīng)用

第二章圓錐曲線與方程習(xí)題課——橢圓的綜合問題及應(yīng)用課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.已知F1,F2是橢圓x216+y29=1的兩焦點(diǎn),過點(diǎn)F2的直線交橢圓于點(diǎn)A,B,若|AB|=5,則|AF1|+|BFA.9 B.10 C.11 D.12解析根據(jù)橢圓定義,|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8,所以△ABF1的周長(zhǎng)為|AF1|+|BF1|+|AB|=16,所以|AF1|+|BF1|=16|AB|=11.答案C2.直線l:2xy+2=0過橢圓左焦點(diǎn)F1和一個(gè)頂點(diǎn)B,則該橢圓的離心率為()A.15 B.C.25 D.解析∵直線l:2xy+2=0中,令x=0,得y=2;令y=0,得x=1,直線l:2xy+2=0過橢圓左焦點(diǎn)F1和一個(gè)頂點(diǎn)B,∴橢圓左焦點(diǎn)F1(1,0),頂點(diǎn)B(0,2),∴c=1,b=2,a=1+4=∴該橢圓的離心率為e=ca=15答案B3.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為4,焦距為22.過橢圓C的上頂點(diǎn)B作圓x2+y2=2的兩條切線,與橢圓C分別交于另外兩點(diǎn)M,N,A.6 B.14425 C.125 D解析因?yàn)闄E圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為4,焦距為22,所以b=所以橢圓方程為x26+如圖所示,設(shè)直線BN的方程為y=kx+2,則原點(diǎn)到直線BN的距離為d=21+k2,又因?yàn)橹本€BN與圓x2+y2=所以21+k2=2則直線BN的方程為y=x+2,由y=-x+2,x26+y同理求得M125,25,所以△BNM的面積為S=12MN·BD=12×245×2+25=144答案B4.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓x29+y28=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任一點(diǎn),A.214 B.6 C.8 D.解析∵點(diǎn)P為橢圓x29+y設(shè)P(x,y)(3≤x≤3,22≤y≤22),依題意得左焦點(diǎn)F(1,0),∴OP=(x,y),FP=(x+1,y),∴OP·FP=x(x+1)+y2=x2+x+72-8x29=19x+9∴94≤x+∴6≤19x+922+234≤12,即答案B5.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1,F2,P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果延長(zhǎng)F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是()A.圓 B.橢圓 C.射線 D.直線解析因?yàn)閨PQ|=|PF2|且|PF1|+|PF2|=2a,所以|PQ|+|PF1|=2a.又因?yàn)镕1,P,Q三點(diǎn)共線,所以|PF1|+|PQ|=|F1Q|.故|F1Q|=2a,即Q在以F1為圓心,以2a為半徑的圓上.答案A6.已知斜率為2的直線l被橢圓x23+y22=1截得的弦長(zhǎng)為307解析設(shè)直線l的方程為y=2x+m,與橢圓交于A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),由x消去y并整理得14x2+12mx+3(m22)=0,所以x1+x2=67m,x1x2=314(m22).由弦長(zhǎng)公式得=5·解得m=±13,此時(shí)滿足Δ>0,所以直線l的方程為y=2x±13.答案y=2x±137.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,上頂點(diǎn)為A,射線AF2交橢圓于B.若△AF1B的面積為403,內(nèi)角A解析由題意可得△AF1F2為等邊三角形,即有2a+2c3=2c,2c=a,可得橢圓方程為3x2+4y2=12c2,設(shè)直線AB的方程為x=33y+c代入橢圓方程,可得313y2+c2233cy+4y2=12c2,化為5y223cy9c2=0,解得y=3c或y=33即有△AF1B的面積為12·2c·|yAyB|=c·835c=403,可得c=5,答案108.已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,且焦距為4,P為橢圓上一點(diǎn),且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中項(xiàng).(1)求橢圓的方程;(2)若△PF1F2的面積為23,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解(1)由題意知,2c=4,c=2,且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,所以a=4.所以b2=a2c2=164=12.又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以橢圓的方程為x216+(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),依題意知,12|F1F2|·|y0|=23所以|y0|=3,y0=±3,代入橢圓方程x0216+y0212=1,得x0=±23,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(23,3)或(23,3)或(29.已知圓A:(x+3)2+y2=100,圓A內(nèi)一定點(diǎn)B(3,0),圓P過B且與圓A內(nèi)切,求圓心P的軌跡方程.解設(shè)圓P的半徑為r,又圓P過點(diǎn)B,所以|PB|=r.又因?yàn)閳AP與圓A內(nèi)切,圓A的半徑為10.所以兩圓的圓心距|PA|=10r,即|PA|+|PB|=10(大于|AB|),所以點(diǎn)P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓.所以2a=10,2c=|AB|=6.所以a=5,c=3.所以b2=a2c2=259=16.即點(diǎn)P的軌跡方程為x225+10.已知橢圓E的方程為x2a2+y2=1,點(diǎn)A為長(zhǎng)軸的右端點(diǎn).B,C為橢圓E上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn).直線AB與直線AC的斜率kAB和kAC滿足:kAB·kAC(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l:y=kx+t與圓x2+y2=23相切,且與橢圓E相交于M,N兩點(diǎn),求證:以線段MN為直徑的圓恒過原點(diǎn)解(1)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0,y0),由x02a2+y02=由kAB·kAC=12即y0x0-a·所以a2-x02a2即橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22+y2=(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x2,y2),由x22+y2=1,y=kx+t得(1+2k2)x1+x2=-4kt1+2k2,x1y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2(2t2又直線l與圓C相切,所以63=|t|1+k2,即23=t21+=3t2所以O(shè)M⊥ON,即∠MON=90所以,以線段MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn).能力提升1.橢圓的離心率為22,F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),若橢圓上存在一點(diǎn)與F關(guān)于直線y=x+4對(duì)稱,則橢圓的方程為()A.x218B.x29C.x218+y29D.x28+y24解析由題意知ca=22,得a2=2b2=2c2,不妨設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),橢圓上任取一點(diǎn)P(x0,y0),取焦點(diǎn)F(c,0),則PF中點(diǎn)Mx0-c2,y02,根據(jù)條件可得y02=x0-c2+4,kPF=y0x0+c答案C2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知△ABC的頂點(diǎn)A(0,2)和C(0,2),頂點(diǎn)B在橢圓y212+x28=1上,A.3 B.2 C.23 D.4解析由橢圓定義得|BA|+|BC|=43,所以sinA答案A3.點(diǎn)A為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn)(不與A重合),若PO·PA=0(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),A.12,1 B.22,1 C.32,1 D.以上說法都不對(duì)解析∵設(shè)P(x0,y0)(x0≠a),∵PO·PA=0(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),則點(diǎn)P在以O(shè)A∴(x0-a2)

2+y02=a?(c2x0ab2)(x0a)=0?x0=a,或x0=ab∵x0≠a,故x0=ab∴0<ab2∴b2<c2,即a2c2<c2,∴ca∴ca的取值范圍是22,1,故選B.答案B4.已知點(diǎn)A-12,0,B是圓F:x-122+y2=4(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn),線段AB的垂直平分線交解如圖所示,由題意知,|PA|=|PB|,|PF|+|BP|=2,所以|PA|+|PF|=2,且|PA|+|PF|>|AF|.所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A,F為焦點(diǎn)的橢圓.因此a=1,c=12,b2=3故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2345.已知橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(1,0),F2(1,0),點(diǎn)C1,32在橢圓(1)求橢圓E的方程;(2)若點(diǎn)P在橢圓E上,且t=PF1·PF解(1)依題意,設(shè)橢圓E的方程為x2a2+由已知c=1,所以a2b2=1.①因?yàn)辄c(diǎn)C1,32在橢圓E上,所以1a2由①②得,a2=4,b2=3.故橢圓E的方程為x24+(2)設(shè)P(x0,y0),由PF1得(1x0,y0)·(1x0,y0)=t,即x02+y0因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓E上,所以x024+y由③得y02=t+1x02,代入④,并整理得x02=由④知,0≤x02≤4,結(jié)合⑤⑥,解得2≤t≤3.故實(shí)數(shù)t的取值范圍為[2,3].6.(選做題)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若橢圓C的左焦點(diǎn)為F1,過點(diǎn)F1的直線l與橢圓C交于D,E兩點(diǎn),則在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M使得直線MD,ME的斜率互為相反數(shù)?若存在,求出定點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.解(1)據(jù)題意,得2解得a2=4,b2=3,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+(2)據(jù)題設(shè)知點(diǎn)F1(1,0),當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x+1).由y=k(x+1),x24+y23=1得(4k2+3)設(shè)E(x1,y1),D(x2,y2),則x1+x2=-8k24k2+3,設(shè)M(m,0),則直線MD,ME的斜率分別滿足kMD=y2x2-m,又因?yàn)橹本€MD,ME的斜率互為相反數(shù),所以kME+kMD=y1x所以x2y1+x1y2m(y1+y2)=0,所以x2k(x1+1)+