山東省高三開(kāi)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

山東省2021屆高三開(kāi)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)一?選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別解出集合A,集合B以及集合B的補(bǔ)集，然后對(duì)集合A和集合B的補(bǔ)集取并集即可.【詳解】集合，或，，則故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集補(bǔ)集運(yùn)算，考查對(duì)數(shù)不等式和一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出，直接由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù).詳解】.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題目.3.馬林·梅森(MarinMersenne，15881648)是17世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家和修道士，也是當(dāng)時(shí)歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物.梅森在歐幾里得?費(fèi)馬等人研究的基礎(chǔ)上對(duì)作了大量的計(jì)算?驗(yàn)證工作，人們?yōu)榧o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn)，將形如(其中是素?cái)?shù))的素?cái)?shù)，稱為梅森素?cái)?shù).在不超過(guò)40的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，至少有一個(gè)為梅森素?cái)?shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】可知不超過(guò)40的素?cái)?shù)有12個(gè)，梅森素?cái)?shù)有3個(gè)，求出隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)的種數(shù)，求出至少有一個(gè)為梅森素?cái)?shù)的種數(shù)，即可得出概率.【詳解】可知不超過(guò)40的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37共12個(gè)，其中梅森素?cái)?shù)有3，7，37共3個(gè)，則在不超過(guò)40的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)共有種，其中至少有一個(gè)為梅森素?cái)?shù)有種，所以至少有一個(gè)為梅森素?cái)?shù)的概率是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的求解，屬于基礎(chǔ)題.4.已知參加2020年某省夏季高考的53萬(wàn)名考生的成績(jī)近似地服從正態(tài)分布，估計(jì)這些考生成績(jī)落在的人數(shù)約為（）(附：，則，)A.36014 B.72027 C.108041 D.168222【答案】B【解析】【分析】由題可求出，，即可由此求出，進(jìn)而求出成績(jī)落在的人數(shù).【詳解】，，，，，這些考生成績(jī)落在的人數(shù)約為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的相關(guān)概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.5.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年，英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲.1874年英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于問(wèn)余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”.此定理講的是關(guān)于整除的問(wèn)題，現(xiàn)將1到1009這1009個(gè)數(shù)中，能被2除余1且被5除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則該數(shù)列共有（）A.100項(xiàng) B.101項(xiàng) C.102項(xiàng) D.103項(xiàng)【答案】B【解析】【分析】先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)通項(xiàng)公式進(jìn)行求解項(xiàng)數(shù).【詳解】因?yàn)槟鼙?除余1且被5除余1的數(shù)就能被10整除余1，所以按從小到大的順序排成一列可得，由，得，故此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為101.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，熟記公式是求解的關(guān)鍵，屬于容易題，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).6.已知中，，，，動(dòng)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)沿線段運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止，動(dòng)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)沿線段運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止，且動(dòng)點(diǎn)的速度是動(dòng)點(diǎn)的2倍.若二者同時(shí)出發(fā)，且一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止，則該過(guò)程中的最大值是（）A. B.4 C. D.23【答案】C【解析】【分析】由題意，，故，展開(kāi)可得關(guān)于的一元二次函數(shù)，配方，即可求得的最大值.【詳解】中，，，，.由題意，,當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.7.已知直線恒在函數(shù)的圖象的上方，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意構(gòu)造新函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的最值討論計(jì)算即可確定的取值范圍.【詳解】很明顯，否則時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，且時(shí)，而當(dāng)時(shí)，不合題意，時(shí)函數(shù)為常函數(shù)，而當(dāng)時(shí)，不合題意，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，由題意可知恒成立，注意到：，據(jù)此可得，函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則：，故，，構(gòu)造函數(shù)，則，還是在處取得極值，結(jié)合題意可知：，即的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.8.已知，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，且此兩條直線垂直，因此點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，設(shè)∠ABP＝θ，則，θ∈[0，]，代入中利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)直線即過(guò)定點(diǎn)，且此兩條直線垂直．∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，，設(shè)∠ABP＝θ，則，θ∈[0，]，∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴sin（θ+）∈[，1]，∴∈[，2]，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查直線過(guò)定點(diǎn)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．二?選擇題：在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.若，，且，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)均值不等式及不等式的性質(zhì)分析即可求解.【詳解】A選項(xiàng)由知，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；D選項(xiàng)，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以正確，故選：CD【點(diǎn)睛】本題主要考查了均值不等式，重要不等式的應(yīng)用，考查了不等式等號(hào)成立的條件，屬于中檔題.10.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.為奇函數(shù)B.C.當(dāng)時(shí)，在上有4個(gè)極值點(diǎn)D.若在上單調(diào)遞增，則的最大值為5【答案】BCD【解析】【分析】利用題目已知條件，求出，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】∵∴，且，∴，即為奇數(shù)，∴為偶函數(shù)，故A錯(cuò).由上得：為奇數(shù)，∴，故B對(duì).由上得，當(dāng)時(shí)，，,由圖像可知在上有4個(gè)極值點(diǎn),故C對(duì)，∵在上單調(diào)，所以,解得：，又∵，∴的最大值為5，故D對(duì)故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的平移變換，奇偶性，極值點(diǎn)，單調(diào)區(qū)間,屬于難題.11.已知雙曲線，過(guò)其右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)、，則（）A.若、同在雙曲線的右支，則的斜率大于B.若在雙曲線的右支，則最短長(zhǎng)度為C.的最短長(zhǎng)度為D.滿足的直線有4條【答案】BD【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】易知雙曲線的右焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，聯(lián)立，消去并整理得.則，解得.對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線軸，則、兩點(diǎn)都在雙曲線的右支上，此時(shí)直線的斜率不存在，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)直線與軸重合時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)直線與軸重合時(shí)，；當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，由韋達(dá)定理得，，由弦長(zhǎng)公式可得，解得或.故滿足的直線有條，D選項(xiàng)正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的綜合問(wèn)題，考查了直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查了韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.12.如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.平面B.四面體的體積是定值C.異面直線與所成角的正切值為D.二面角的余弦值為【答案】ACD【解析】【分析】說(shuō)明四邊形是矩形，然后證明∥∥，推出平面，判斷A；設(shè)，然后求解四面體的體積可判斷B；說(shuō)明異面直線與所成角為，然后求解三角形，判斷C；利用空間向量求解二面角的余弦值【詳解】解：對(duì)于A，在直三棱柱中，四邊形是矩形，因?yàn)?，所以∥∥，所以平面，所以A正確；對(duì)于B，設(shè)，因?yàn)椋?，，所以，因?yàn)椤?，所以，所以，所以，所以，四面體的體積為，所以四面體的體積不是定值，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椤危援惷嬷本€與所成角為，在中，，所以，所以C正確；對(duì)于D，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，同理可求得平面的一個(gè)法向量為，所以二面角的余弦值為，所以D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中的關(guān)每次和計(jì)算，二面角的平面角的求法，異面直線所成角的求法，屬于中檔題三?填空題：13.高三一班周一上午有四節(jié)課，分別安排語(yǔ)文?數(shù)學(xué)?英語(yǔ)和體育.其中語(yǔ)文不安排在第一節(jié)，數(shù)學(xué)不安排在第二節(jié)，英語(yǔ)不安排在第三節(jié)，體育不安排在第四節(jié)，則不同的課表安排方法共有______種.【答案】9【解析】【分析】分三類考慮，語(yǔ)文安排在第二節(jié),語(yǔ)文安排在第三節(jié)，語(yǔ)文安排在第四節(jié)，分別求出各類的安排方法，相加即可.【詳解】第一類：語(yǔ)文安排在第二節(jié),

若數(shù)學(xué)安排在第一節(jié),則英語(yǔ)安排在第四節(jié),體育安排在第三節(jié);

若數(shù)學(xué)安排在第三節(jié)，則英語(yǔ)安排在第四節(jié),體育安排在第一節(jié);

若數(shù)學(xué)安排在第四節(jié),則英語(yǔ)安排在第一節(jié),體育安排在第三節(jié);

第二類：語(yǔ)文安排在第三節(jié)，

若英語(yǔ)安排在第一節(jié),則數(shù)學(xué)安排在第四節(jié),體育安排在第二節(jié);

若英語(yǔ)安排在第二節(jié)，則數(shù)學(xué)安排在第四節(jié)，體育安排在第一節(jié);

若英語(yǔ)安排在第四節(jié),則數(shù)學(xué)安排在第一節(jié),體育安排在第二節(jié);

第三類：語(yǔ)文安排在第四節(jié)，

若體育安排在第一節(jié),則英語(yǔ)安排在第二節(jié),數(shù)學(xué)安排在第三節(jié);

若體育安排在第二節(jié)，則英語(yǔ)安排在第一節(jié)，數(shù)學(xué)安排在第三節(jié);

若體育安排在第三節(jié)，則英語(yǔ)安排在第二節(jié)，數(shù)學(xué)安排在第一節(jié);

所以共有9種方案.

故答案為：9.【點(diǎn)睛】本題考查有限制的元素排列問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.14.已知四面體中，，，，則其外接球的體積為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】由題意可采用割補(bǔ)法，構(gòu)造長(zhǎng)寬高分別x，y，z的長(zhǎng)方體，其面對(duì)角線分別為解出x，y，z,求長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即可.【詳解】如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體，其面對(duì)角線長(zhǎng)分別為，則四面體的外接球即為此長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別x，y，z，外接球半徑為R則，所以,則，解得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的內(nèi)接四面體的性質(zhì)，考查了構(gòu)造法求球的半徑，球的體積公式，屬于中檔題.15.已知數(shù)列滿足，的前項(xiàng)的和記為，則______.【答案】【解析】【分析】利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)得出，可求得，進(jìn)而可計(jì)算得出的值.【詳解】，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查裂項(xiàng)相消法求和，同時(shí)也考查了利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)求值，考查計(jì)算能力，屬于中等題.16.某中學(xué)開(kāi)設(shè)了剪紙藝術(shù)社團(tuán)，該社團(tuán)學(xué)生在慶中秋剪紙活動(dòng)中剪出了三個(gè)互相外切的圓，其半徑分別為，，(單位：)，則三個(gè)圓之間空隙部分的面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】由已知可得,,,得到，，求出，中的小扇形的面積，中的小扇形的面積，中的小扇形的面積，然后用三角形的面積減去三個(gè)扇形的面積即可得到答案.【詳解】如圖，的半徑為cm,的半徑為cm,的半徑為cm,,,,,又,可得,，中的小扇形的面積為，中的小扇形的面積為，中的小扇形的面積為，則三個(gè)圓之間空隙部分的面積為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓相切的性質(zhì)，考查扇形面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.四?解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列，表示不超過(guò)最大整數(shù)，求的前1000項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用可求出；（2）根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用分組求和法求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，將代入上式驗(yàn)證顯然適合，所以.（2）因?yàn)?，，，，所以，所?【點(diǎn)睛】本題考查和的關(guān)系，考查分組求和法，屬于基礎(chǔ)題.18.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，若______.（1）求角；（2）若，求周長(zhǎng)的最小值，并求出此時(shí)的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分別選三個(gè)條件，都可用正弦定理解出；（2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周長(zhǎng)最小值，再利用面積公式求出面積.【詳解】（1）選①，由正弦定理得，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴.選②，∵，，由正弦定理可得，∵，∴，∵，∴.選③，∵，由已知結(jié)合正弦定理可得，∴，∴，∵，∴.（2）∵，即，∴，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，周長(zhǎng)的最小值為6，此時(shí)的面積.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理的應(yīng)用，考查基本不等式求最值，考查三角形面積公式，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在幾何體中，底面，，，，，，，，，設(shè)點(diǎn)在棱上，已知平面.（1）求線段的長(zhǎng)度；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知得，利用可求得線段的長(zhǎng)度.（2）分別求平面和平面的法向量，利用二面角的向量公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，，，，，易知.則，，，，，，（1）設(shè)，因?yàn)槠矫妫?，，，，解得，所以線段的長(zhǎng)度為1.（2）設(shè)是平面的一個(gè)法向量，，，則，可取，同理，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，可取.則，顯然二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量求線段長(zhǎng)以及二面角的平面角，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20.年月底，為嚴(yán)防新型冠狀病毒疫情擴(kuò)散，有效切斷病毒傳播途徑，堅(jiān)決遏制疫情蔓延勢(shì)頭，確保人民群眾生命安全和身體健康，多地相繼做出了封城決定.某地在月日至日累計(jì)確診人數(shù)如下表：日期（月）日日日日日日日人數(shù)（人）由上述表格得到如散點(diǎn)圖（月日為封城第一天）.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與（，均為大于的常數(shù)）哪一個(gè)適宜作為累計(jì)確診人數(shù)與封城后的天數(shù)的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；并根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)求出回歸方程；（2）隨著更多的醫(yī)護(hù)人員投入疫情的研究，月日武漢影像科醫(yī)生提出存在大量核酸檢測(cè)呈陰性（陽(yáng)性則確診），但觀其肺片具有明顯病變，這一提議引起了廣泛的關(guān)注，月日武漢疾控中心接收了份血液樣本，假設(shè)每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是相互獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性樣本的概率為，核酸試劑能把陽(yáng)性樣本檢測(cè)出陽(yáng)性結(jié)果的概率是（核酸檢測(cè)存在陽(yáng)性樣本檢測(cè)不出來(lái)的情況，但不會(huì)把陰性檢測(cè)呈陽(yáng)性），求這份樣本中檢測(cè)呈陽(yáng)性的份數(shù)的期望.參考數(shù)據(jù)：其中，，參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【答案】（1）選擇，關(guān)于的回歸方程為；（2）期望為人.【解析】【分析】（1）利用散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布可知選擇模型較為合適，在等式兩邊取對(duì)數(shù)得，令，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)以及最小二乘法公式求得和的值，進(jìn)而可得出回歸模型的解析式；（2）計(jì)算得出，再利用二項(xiàng)分布的期望公式可求得的值.【詳解】（1）由散點(diǎn)圖可知選擇，由兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得，設(shè)，.計(jì)算，，，，把樣本中心點(diǎn)代入得.，關(guān)于的回歸方程為；（2）這份樣本中檢測(cè)呈陽(yáng)性的份數(shù)為，則每份檢測(cè)出陽(yáng)性的概率，由題意可知，（人），故這份樣本中檢測(cè)呈陽(yáng)性份數(shù)的期望為人.【點(diǎn)睛】本題考查非線性回歸方程的求解，同時(shí)也考查了利用二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，考查計(jì)算能力，屬于中等題.21.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且該橢圓一個(gè)短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)，為等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓相交于，兩點(diǎn).若直線與直線的斜率之積為1，證明：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.