6.2.2向量的數量積-高一數學下學期《一隅三反》（人教A版2019）

6.2.2向量的數量積考法一平面向量的數量積【例11】（2023·江蘇南京）已知等邊三角形邊長為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由向量的數量積的運算，可得.故選：A.【例12】（2024·云南）已知向量與的夾角為，且，，則.【答案】13【答案】∵向量與的夾角為，且，，∴.故答案為：13.【一隅三反】1．（2023·江西）中，，，，為斜邊的中點，則（）A．1 B．1 C．2 D．2【答案】B【解析】由題意是等邊三角形，，所以．故選：B．2.（2024江西）已知向量、滿足，與的夾角為，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，與的夾角為，所以，故選：C3．（2023·四川成都）已知中，，則．【答案】/0.6【答案】由圖可得，因，則，則，因，則，，代入上式有：，.則.故答案為：考法二平面向量的模長【例21】（2024·浙江寧波）已知，，且，的夾角為，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【答案】由題意得，所以，故，故選：D【例22】（2023·四川甘孜）已知平面向量，且與的夾角為，則（

）A． B．4 C．2 D．0【答案】C【答案】因為，所以，故選：C.【一隅三反】1.（2024·全國·模擬預測）已知向量，滿足，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【答案】因為，所以①．又因為，所以②．由①－②×4，得，所以．故選：A．2．（2023上·山西大同）設向量，滿足，，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【答案】因為，，以上兩式相減，可得，即，所以.故選：B3（2024·河北保定）已知向量滿足，，，則（

）A． B． C．5 D．20【答案】B【答案】因為，所以，所以，所以.故選：B.考法三平面向量的夾角【例31】（2023·江蘇南通）已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【答案】因為，所以，設與的夾角為，所以，所以.故選：D【例32】（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知非零向量與滿足，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【答案】因為，所以，所以，而，所以，所以.故選：B【例33】（2023·青海西寧）已知向量，，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【答案】由可得，所以，同理由和可得所以，故，故選：D【一隅三反】1．（2024上·廣東深圳）已知為單位向量，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【答案】由題意可得，將兩邊平方可得；可得，可得；設與的夾角為，則，所以.故選：C2．（2024上·云南）已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【答案】由得，設又，所以，由于，所以與的夾角為.故選：C.3．（2024·全國·模擬預測）若都為非零向量，且，，則向量的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【答案】因為，，所以，即，化簡得，所以．所以．因為，所以．故選：D．考法四平面向量的投影（向量）【例41】．（2023·上海嘉定）已知平面上兩單位向量，，，則在上的數量投影為.【答案】/【答案】根據題意：，為兩單位向量，且，所以在上的數量投影為.故答案為：.【例42】（2023下·湖北省直轄縣級單位·高一湖北省仙桃中學?？茧A段練習）已知為單位向量，，向量，的夾角為，則在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【答案】由已知，向量，的夾角為，得，又已知為單位向量，則在上的投影向量是.故選：D.【一隅三反】1．（2023上·內蒙古赤峰）已知向量、滿足，則在方向上的投影數量為（

）A． B． C． D．【答案】D【答案】因為，則，，則，可得，所以，在方向上的投影.故選：D.2．（2024上·天津）已知，，m為實數，若，則向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【答案】根據題意可知，由可得，解得，所以；所以向量在上的投影向量為.故選：D3．（2023·上海楊浦）已知平面向量，滿足，且向量，的夾角為，則在方向上的數量投影為.【答案】【答案】因為，且向量，的夾角為，所以，所以在方向上的數量投影為.故答案為：.4．（2023下·廣東惠州·高一?？茧A段練習）已知，，，則在方向上的投影向量是.【答案】【解析】設與方向相同的單位向量為，則，則在方向上的投影向量為.故答案為：.考法五平面向量的綜合運用【例51】（2023下·山東青島·高一統(tǒng)考期中）已知點是邊長為2的正的內部（不包括邊界）的一個點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示：因為點是邊長為2的正的內部（不包括邊界）的一個點，由圖象知：，所以，故選；C【例52】（2023上·湖北荊門）如圖，是邊長2的正方形，為半圓弧上的動點（含端點）則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，由投影的定義知，結合圖形得，當過P的直線與半圓弧相切于P點且平行于BC時，最大為，此時；當P在C或B點重合時，最小為，此時∴故選：C【例53】（2023下·廣東揭陽·高一校聯(lián)考期中）已知向量，若與的夾角為；若與的夾角為鈍角，則取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】與的夾角為鈍角，，又與的夾角為，所以，即，解得，又與不共線，所以，所以取值范圍為.故選：D【一隅三反】1．（2023下·湖北宜昌·高一校聯(lián)考期中）已知是單位向量，且的夾角為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因為，所以，又，所以．故選：B．2．（2024上·重慶·高三統(tǒng)考期末）若向量，滿足，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍是．【答案】【解析】由與的夾角為銳角，得，而，，因此，所以的取值范圍是.故答案為：3．（2023·江蘇揚州）已知在中，，，，為線段上任意一點，則的取值范圍是．【答案】【解析】設，，則，故，因為，所以，故，.故答案為：4．（2023上·浙江金華·高一浙江金華第一中學?？茧A段練習）已知向量滿足，則的最大值是，最大值是．【答案】3【解析】設向量的夾角為，，因為，所以，故的最大值是3；同理，所以，則，因為，所以，故.因為，所以，故最大值是.故答案為：3；.單選題1．（2024·黑龍江大慶）已知向量，的夾角為，，且向量與垂直，則實數（

）A．2 B． C． D．2【答案】D【解析】由，則，即，解得.故選：D.2（2024·云南楚雄）已知向量，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】結合題意：，，，，．故選：A.3．（2024上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學校考期末）已知，且滿足，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，所以在上的投影向量為.故選：D4．（2023下·遼寧大連·高一大連八中?？茧A段練習）在等腰梯形ABCD中，AB=CD=2，，則在上的投影的數量為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】過點作，且，所以四邊形是平行四邊形，則，且，，所以是等邊三角形，所以與所成角為，所以在上的投影的數量為.故選：B5．（2024上·內蒙古呼和浩特）我國古代數學家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱為“趙爽弦圖”.他用數形結合的方法給出了勾股定理的證明，極富創(chuàng)新意識.“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.如圖，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則（

）A．9 B．12 C．15 D．16【答案】B【解析】因為大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，所以,設，則，在中，，即，解得或（舍去），所以，易知在正方形中，，，，所以.故選：B.6（2023下·廣東茂名）已知是互相垂直的單位向量，若與的夾角為120°，則（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】根據題意可知，且,可得，，又與的夾角為120°，所以，解得.故選：D7（2023·江考）已知向量，的夾角為60°，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由可得：，可得：，，對于A，，故A不正確；對于B，，故B不正確；對于C，，，,故，故C正確；對于D，，,，故D不正確.故選：C.8．（2024·全國·模擬預測）已知非零且不垂直的平面向量滿足，若在方向上的投影與在方向上的投影之和等于，則夾角的余弦值的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，當且僅當時，取等號，設的夾角為，由題意得，因為向量非零且不垂直，所以且，所以，所以夾角的余弦值的最小值為.故選：A.多選題9．（2024上·廣東深圳）已知是夾角為的單位向量，，，下列結論正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量為【答案】ACD【解析】對于選項A，是夾角為的單位向量，則，故，故選項A正確；對于選項B，，故選項B錯誤；對于選項C，，所以，又，所以，故選項C正確；對于選項D，在上的投影向量為，故選項D正確.故選：ACD10．（2023·全國·模擬預測）已知是兩個不共線的向量，且，則下列結論正確的是（

）A．的取值范圍是 B．C．在方向上的投影向量不可能為 D．與的夾角的最大值為【答案】BD【解析】選項A：由以及不共線可知，，故A錯誤；選項B：由于不共線，所以，又，因此，故B正確；選項C：當時，在方向上的投影向量為，故C錯誤；選項D：設與的夾角為，則，由于，所以，，因為，所以，即與的夾角的最大值為，故D正確．故選：BD.11．（2023·廣東）下列說法錯誤的是（

）A．在等腰直角三角形ABC中，若A為直角，則的夾角為45°.B．由可得或.C．向量在向量上的投影向量是一個向量，而向量在向量上的投影是一個數量.D．對于非零向量，，“”是“與的夾角為銳角”的充分不必要條件．【答案】ABD【解析】A選項，角B為45°，的夾角為B的補角，為135°，故A錯誤；B選項，當時，，故B錯誤；C選項，“投影向量”是向量，“投影”是數量，故C正確；D選項，當向量同向時，，與的夾角為銳角不成立；當與的夾角為銳角時，.所以“”是“與的夾角為銳角”的必要不充分條件，故D錯誤；故選：ABD.12．（2023上·福建莆田）已知是單位向量，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若不共線，則C．若，則夾角的最小值是D．若的夾角是，則【答案】BCD【解析】A：因為，所以，故錯誤；B：因為不共線且，所以，故正確；C：因為，所以，所以，又因為，所以，所以的最小值為，故正確；D：，故正確；故選：BCD.填空題13（2024上·河北張家口）已知向量，的夾角為，，，則．【答案】【解析】由題意，向量，的夾角為，，，，故答案為：.14．（2024·廣西）若向量，，且，則．【答案】【解析】因為，則，兩邊平方得，即，整理得，可得，所以.故答案為：.15．（2023上·四川廣安）已知向量，，且在方向上的投影數量為，則向量與的夾角為．【答案】【解析】∵在方向上的投影數量為，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴向量與的夾角為，故答案為：.16．（2023上·天津北辰）在平行四邊形ABCD中，，，向量在向量上的投影向量為，則【答案】/【解析】如圖，作于點，由題意是中點，即，在直角中，，，故答案為：．解答題17．（2024·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學?？计谀﹩挝幌蛄?，滿足.(1)求與夾角的余弦值：(2)若與的夾角為銳角，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）因為，，所以，即，則，則，即與夾角的余弦值.（2）因為與的夾角為銳角，所以且與不共線，當與共線時，有，即，由（1）知與不共線，所以，解得，所以當與不共線時，，由，得，即，解得，所以且，即實數的取值范圍為.18．（2023上·天津河西）如圖，中，是的中點，與交于點.(1)用表示；(2)設，求的值；(3)若，求的最大值.【答案】(1)(2)(3).【解析】（1）.（2）因為三點共線，所以，解得.（3），由（1）可知，所以，得，則，所以所以的最大值為.19．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一校聯(lián)考階段練習）已知在中，N是邊AB的中點，且，設AM與CN交于點P.記，.(1)用，表示向量，；(2)若，，求的余弦值.【答案】(1)，；(2)【解析】（1），；（2）因為，所以，因為，，所以，把代入式，得，.20（2023下·全國·高一期末）如圖，在中，已知P為線段上的一點，，，且與的夾角為60°．(1)若，求；(2)若，且，求實數k的值；(3)若，且，求的值．【答案】(1)(2)k不存在(3)【解析】（1）由已知，，且與的夾角為60°，可得因為，故；又，所以可得；（2）因為，且，所以化簡