《復(fù)數(shù)的加、減法運算及其幾何意義》教案、導(dǎo)學(xué)案、課后作業(yè)

《7.2.1復(fù)數(shù)的加、減法運算及其幾何意義》教案【教材分析】復(fù)數(shù)四則運算是本章的重點，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法的運算法則是一種規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法運算法則是通過轉(zhuǎn)化為加法運算而得出的.滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想的素材.【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)：1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算法則；2.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.邏輯推理：根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系推導(dǎo)其幾何意義;2.數(shù)學(xué)運算：復(fù)數(shù)加、減運算及有其幾何意義求相關(guān)問題;3.數(shù)學(xué)建模：結(jié)合復(fù)數(shù)加、減運算的幾何意義和平面圖形，數(shù)形結(jié)合，綜合應(yīng)用.【教學(xué)重點和難點】重點：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加、減運算及其幾何意義．難點：加、減運算及其幾何意義.【教學(xué)過程】一、情景導(dǎo)入提問：1、試判斷下列復(fù)數(shù)在復(fù)平面中落在哪象限？并畫出其對應(yīng)的向量。2、同時用坐標(biāo)和幾何形式表示復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量，并計算。3、向量的加減運算滿足何種法則？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本75-76頁，思考并完成以下問題1、復(fù)數(shù)的加法、減法如何進(jìn)行？復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義如何？2、復(fù)數(shù)的加、減法與向量間的加減運算是否相同？要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1．復(fù)數(shù)加法與減法的運算法則(1)設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個復(fù)數(shù)，則①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.(2)對任意z1，z2，z3∈C，有①z1＋z2＝z2＋z1；②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2．復(fù)數(shù)加減法的幾何意義圖3-2-1如圖3-2-1所示，設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)向量分別為eq\o(OZ,\s\up12(→))1，eq\o(OZ,\s\up12(→))2，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，向量eq\o(OZ,\s\up12(→))與復(fù)數(shù)z1＋z2對應(yīng)，向量eq\o(Z2Z1,\s\up12(→))與復(fù)數(shù)z1－z2對應(yīng)．思考：類比絕對值|x－x0|的幾何意義，|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是什么？提示|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)點Z到點Z0的距離．四、典例分析、舉一反三題型一復(fù)數(shù)的加減運算例1計算：(1)(－3＋2i)－(4－5i)；(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)；(3)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i(a，b∈R)．【答案】(1)－7＋7i.(2)－10i.(3)3a＋(4－2b)i.【解析】(1)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)＝[5＋(－2)－3]＋[(－6)＋(－2)－2]i＝－10i.(3)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i＝(a＋2a)＋(b－3b＋4)i＝3a＋(4－2b)i.解題技巧（復(fù)數(shù)加減運算技巧）(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減法運算實質(zhì)就是將實部與實部相加減，虛部與虛部相加減之后分別作為結(jié)果的實部與虛部，因此要準(zhǔn)確地提取復(fù)數(shù)的實部與虛部．(2)復(fù)數(shù)的運算可以類比多項式的運算(類似于合并同類項)：若有括號，括號優(yōu)先；若無括號，可以從左到右依次進(jìn)行計算．跟蹤訓(xùn)練一1．計算：(1)2i－[3＋2i＋3(－1＋3i)]；(2)(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)．【答案】(1)－9i.(2)－2a＋(6b－5)i.【解析】(1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i.(2)原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.題型二復(fù)數(shù)加減運算的幾何意義例2根據(jù)復(fù)數(shù)及其運算的幾何意義，求復(fù)平面內(nèi)的兩點Z1x1【答案】Z1【解析】因為復(fù)平面內(nèi)的點Z1x1,y所以Z1,==解題技巧：(運用復(fù)數(shù)加、減法運算幾何意義注意事項)向量加法、減法運算的平行四邊形法則和三角形法則是復(fù)數(shù)加法、減法幾何意義的依據(jù)．利用加法“首尾相接”和減法“指向被減數(shù)”的特點，在三角形內(nèi)可求得第三個向量及其對應(yīng)的復(fù)數(shù)．注意向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是zB－zA(終點對應(yīng)的復(fù)數(shù)減去起點對應(yīng)的復(fù)數(shù))．跟蹤訓(xùn)練二1、已知四邊形ABCD是復(fù)平面上的平行四邊形，頂點A，B，C分別對應(yīng)于復(fù)數(shù)－5－2i，－4＋5i,2，求點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)及對角線AC，BD的長．【答案】D對應(yīng)的復(fù)數(shù)是1－7i，AC與BD的長分別是eq\r(53)和13.【解析】如圖，因為AC與BD的交點M是各自的中點，所以有zM＝eq\f(zA＋zC,2)＝eq\f(zB＋zD,2)，所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，因為eq\o(AC,\s\up17(→))：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，所以|eq\o(AC,\s\up17(→))|＝|7＋2i|＝eq\r(72＋22)＝eq\r(53)，因為eq\o(BD,\s\up17(→))：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，所以|eq\o(BD,\s\up17(→))|＝|5－12i|＝eq\r(52＋122)＝13.故點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)是1－7i，AC與BD的長分別是eq\r(53)和13.題型三復(fù)數(shù)加、減運算幾何意義的應(yīng)用例3已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值與最小值．【答案】|z|max＝6，|z|min＝4.【解析】由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z與復(fù)數(shù)－3＋4i對應(yīng)的點C之間的距離等于1，故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的軌跡是以C(－3,4)為圓心，半徑等于1的圓．而|z|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z到原點O的距離，又|OC|＝5，所以點Z到原點O的最大距離為5＋1＝6，最小距離為5－1＝4.即|z|max＝6，|z|min＝4.解題技巧（復(fù)數(shù)的加、減法運算幾何意義的解題技巧）(1)|z－z0|表示復(fù)數(shù)z，z0的對應(yīng)點之間的距離，在應(yīng)用時，要把絕對值號內(nèi)變?yōu)閮蓮?fù)數(shù)差的形式．(2)|z－z0|＝r表示以z0對應(yīng)的點為圓心，r為半徑的圓．(3)涉及復(fù)數(shù)模的最值問題以及點的軌跡問題，均可從兩點間距離公式的復(fù)數(shù)表達(dá)形式入手進(jìn)行分析判斷，然后通過幾何方法進(jìn)行求解．跟蹤訓(xùn)練三1．設(shè)z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq\r(2)，求|z1－z2|.【答案】|z1－z2|＝eq\r(2).【解析】設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由題設(shè)知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，可得2ac＋2bd＝0.∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝eq\r(2).五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識及解題技巧六、板書設(shè)計7.27.2.1復(fù)數(shù)的加、減法運算及其幾何意義1.復(fù)數(shù)的加、減法運算例1例2例32.復(fù)數(shù)的加、減法運算的幾何意義七、作業(yè)課本77頁練習(xí)，80頁習(xí)題7.2的1、2題.【教學(xué)反思】本節(jié)課主要是在學(xué)生了解復(fù)數(shù)的概念及其幾何意義的基礎(chǔ)上，類比實數(shù)的加減運算法則探討得出復(fù)數(shù)的加減運算法則，類比平面向量的加減運算法則探討得出復(fù)數(shù)加減的幾何意義，使學(xué)生對知識更加融會貫通.《7.2.1復(fù)數(shù)的加、減法運算及其幾何意義》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知識目標(biāo)1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算法則；2.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義.核心素養(yǎng)1.邏輯推理：根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系推導(dǎo)其幾何意義;2.數(shù)學(xué)運算：復(fù)數(shù)加、減運算及有其幾何意義求相關(guān)問題;3.數(shù)學(xué)建模：結(jié)合復(fù)數(shù)加、減運算的幾何意義和平面圖形，數(shù)形結(jié)合，綜合應(yīng)用.【學(xué)習(xí)重點】：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加、減運算及其幾何意義．【學(xué)習(xí)點】：加、減運算及其幾何意義.【學(xué)習(xí)過程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本75-76頁，填寫。1．復(fù)數(shù)加法與減法的運算法則(1)設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個復(fù)數(shù)，則①z1＋z2＝__________________________；②z1－z2＝__________________________.(2)對任意z1，z2，z3∈C，有①z1＋z2＝___________；②(z1＋z2)＋z3＝___________．2．復(fù)數(shù)加減法的幾何意義圖3-2-1如圖3-2-1所示，設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)向量分別為eq\o(OZ,\s\up12(→))1，eq\o(OZ,\s\up12(→))2，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，向量eq\o(OZ,\s\up12(→))與復(fù)數(shù)___________對應(yīng)，向量eq\o(Z2Z1,\s\up12(→))與復(fù)數(shù)___________對應(yīng)．思考：類比絕對值|x－x0|的幾何意義，|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是什么？提示|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)點Z到點Z0的距離．小試牛刀1．判斷下列命題是否正確(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)復(fù)數(shù)與向量一一對應(yīng)． ()(2)復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)相加減后結(jié)果只能是實數(shù)． ()(3)因為虛數(shù)不能比較大小，所以虛數(shù)的模也不能比較大?。?)2．已知復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝3－4i，則z1＋z2等于 ()A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1＋i與1＋3i分別對應(yīng)向量eq\o(OA,\s\up17(→))和eq\o(OB,\s\up17(→))，其中O為坐標(biāo)原點，則|eq\o(AB,\s\up17(→))|等于()A．eq\r(2)B．2C．eq\r(10) D．44．(5－i)－(3－i)－5i＝________.【自主探究】題型一復(fù)數(shù)的加減運算例1計算：(1)(－3＋2i)－(4－5i)；(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)；(3)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i(a，b∈R)．跟蹤訓(xùn)練一1．計算：(1)2i－[3＋2i＋3(－1＋3i)]；(2)(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)．題型二復(fù)數(shù)加減運算的幾何意義例2根據(jù)復(fù)數(shù)及其運算的幾何意義，求復(fù)平面內(nèi)的兩點Z1跟蹤訓(xùn)練二1、已知四邊形ABCD是復(fù)平面上的平行四邊形，頂點A，B，C分別對應(yīng)于復(fù)數(shù)－5－2i，－4＋5i,2，求點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)及對角線AC，BD的長．題型三復(fù)數(shù)加、減運算幾何意義的應(yīng)用例3已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值與最小值．跟蹤訓(xùn)練三1．設(shè)z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq\r(2)，求|z1－z2|.【達(dá)標(biāo)檢測】1.a，b為實數(shù)，設(shè)z1＝2＋bi，z2＝a＋i，當(dāng)z1＋z2＝0時，復(fù)數(shù)a＋bi為()A．1＋i B．2＋iC．3 D．－2－i2．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，則復(fù)數(shù)z＝z2－z1對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．計算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.4．已知復(fù)數(shù)z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2為純虛數(shù)，則a＝________.5．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)－3－i與5＋i對應(yīng)的向量分別是eq\o(OA,\s\up12(→))與eq\o(OB,\s\up12(→))，其中O是原點，求向量eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))，eq\o(BA,\s\up12(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)及A，B兩點間的距離．答案小試牛刀1.(1)×(2)×(3)×2．B.3．B.4.2－5i.自主探究例1【答案】(1)－7＋7i.(2)－10i.(3)3a＋(4－2b)i.【解析】(1)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)＝[5＋(－2)－3]＋[(－6)＋(－2)－2]i＝－10i.(3)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i＝(a＋2a)＋(b－3b＋4)i＝3a＋(4－2b)i.跟蹤訓(xùn)練一1．【答案】(1)－9i.(2)－2a＋(6b－5)i.【解析】(1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i.(2)原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.例2【答案】Z1【解析】因為復(fù)平面內(nèi)的點Z1x1所以Z1,==跟蹤訓(xùn)練二1、【答案】D對應(yīng)的復(fù)數(shù)是1－7i，AC與BD的長分別是eq\r(53)和13.【解析】如圖，因為AC與BD的交點M是各自的中點，所以有zM＝eq\f(zA＋zC,2)＝eq\f(zB＋zD,2)，所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，因為eq\o(AC,\s\up17(→))：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，所以|eq\o(AC,\s\up17(→))|＝|7＋2i|＝eq\r(72＋22)＝eq\r(53)，因為eq\o(BD,\s\up17(→))：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，所以|eq\o(BD,\s\up17(→))|＝|5－12i|＝eq\r(52＋122)＝13.故點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)是1－7i，AC與BD的長分別是eq\r(53)和13.例3【答案】|z|max＝6，|z|min＝4.【解析】由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z與復(fù)數(shù)－3＋4i對應(yīng)的點C之間的距離等于1，故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的軌跡是以C(－3,4)為圓心，半徑等于1的圓．而|z|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z到原點O的距離，又|OC|＝5，所以點Z到原點O的最大距離為5＋1＝6，最小距離為5－1＝4.即|z|max＝6，|z|min＝4.跟蹤訓(xùn)練三1．【答案】|z1－z2|＝eq\r(2).【解析】設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由題設(shè)知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，可得2ac＋2bd＝0.∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝eq\r(2).當(dāng)堂檢測 1-2.DB3.54.-15.【答案】向量eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2.向量eq\o(BA,\s\up12(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－8－2i.A，B兩點間的距離為2eq\r(17).【解析】向量eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))，∴向量eq\o(BA,\s\up12(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.∴A，B兩點間的距離為|－8－2i|＝2eq\r(17).《7.2.1復(fù)數(shù)的加、減法運算及其幾何意義》課后作業(yè)基礎(chǔ)鞏固1．計算的結(jié)果為（）A． B． C．1 D．2．若，則復(fù)數(shù)z的值為（）A． B． C． D．3．，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,若向量,對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3+i,-1+3i,則對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．2+4i B．-2+4iC．-4+2i D．4-2i5．已知i為虛數(shù)單位，實數(shù)x，y滿足，，且，則的值是（）A．1 B．2 C． D．6．復(fù)平面內(nèi)兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的兩點之間的距離為_______．7．復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則表示向量的復(fù)數(shù)為_________.8．已知i為虛數(shù)單位，計算：（1）；（2）；（3）.能力提升9．設(shè)f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,則f(z1-z2)=()A． B．5C． D．510．已知復(fù)數(shù)，，且復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則的取值范圍是________．11．如圖所示，平行四邊形OABC，頂點O，A，C分別表示0,3＋2i，－2＋4i，試求：(1)所表示的復(fù)數(shù)；(2)對角線所表示的復(fù)數(shù)；(3)B點對應(yīng)的復(fù)數(shù)．素養(yǎng)達(dá)成12．已知平行四邊形的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.（1）求點B所對應(yīng)的復(fù)數(shù)；（2）若，求復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點的軌跡.《7.2.1復(fù)數(shù)的加、減法運算及其幾何意義》課后作業(yè)答案解析基礎(chǔ)鞏固1．計算的結(jié)果為（）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】由題得=3+i-2-i=1.故選C2．若，則復(fù)數(shù)z的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，故選：A3．，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】，，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第三象限.故選：C.4．在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,若向量,對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3+i,-1+3i,則對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．2+4i B．-2+4iC．-4+2i D．4-2i【答案】D【解析】由題意