《余弦定理》教學設計、導學案、同步練習

《6.4.3余弦定理、正弦定理》教學設計第一課時余弦定理【教材分析】本節(jié)課選自《普通高中課程標準數學教科書-必修第二冊》（人教A版）第六章《平面向量及其應用》，本節(jié)課主要學習余弦定理及利用余弦定理的應用。本節(jié)課在證明了余弦定理及其推論以后,教科書從余弦定理與勾股定理的比較中,提出了一個考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系,余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系,如何看這兩個定理之間的關系?”并進而指出,“從余弦定理以及余弦函數的性質可知,如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么第三邊所對的角是直角;如果小于第三邊的平方,那么第三邊所對的角是鈍角;如果大于第三邊的平方那么第三邊所對的角是銳角。由上可知,余弦定理是勾股定理的推廣”,還要啟發(fā)引導學生注意余弦定理的各種變形式并總結余弦定理的適用題型的特點，在解題時正確選用余弦定理達到求解，求證目的啟發(fā)學生在證明余弦定理時能與向量數量積的知識產生聯(lián)系，在應用向量知識的同時注意使學生體會三角函數、正弦定理、向量數量積等多處知識之間的聯(lián)系。【教學目標與核心素養(yǎng)】課程目標學科素養(yǎng)A.掌握余弦定理的證明方法，牢記公式；B.掌握余弦定理公式的變式，會靈活應用余弦定理解決兩類解三角形問題；C.掌握給出三邊判斷三角形的形狀問題；D.培養(yǎng)學生的數形結合的能力。1.數學抽象：余弦定理的推導過程；2.邏輯推理：余弦定理的證明；3.數學運算：利用余弦定理解三角形；4.直觀想象：數形結合法；【教學重點】：余弦定理的發(fā)現和證明過程及其基本應用；【教學難點】：利用向量的數量積推導余弦定理的思想方法及利用余弦定理求解三角形的思路?！窘虒W過程】教學過程教學設計意圖復習回顧，溫故知新1.向量的減法：【答案】。相同起點，尾尾相連，指向被減向量。2.向量的數量積【答案】3.證明三角形全等的方法有哪些？【答案】ASA，AAS，SAS，SSS。二、探索新知探究1.在三角形ABC中，三個角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，怎樣用a，b和C表示c？【解析】，所以。同理可證：余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即應用：已知兩邊和一個夾角，求第三邊．思考1：余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系，應用余弦定理，我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題，怎么確定呢？由余弦定理變形得應用：已知三條邊求角度。思考2：勾股定理指出了直角三角形中的三條邊之間的關系，余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中一個角之間的關系，你能說說這兩個定理之間的關系嗎？【解析】探究2：當角C為直角時，有，當角C為銳角時，這三者的關系是什么？鈍角呢？【結論】當角C為銳角時，；當角C為鈍角時，；當角C為直角時，。一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個元素求其它元素的過程叫做解三角形。例1.在中，已知b=60cm，c=34cm，，解這個三角形（角度精準到，邊長精確到1cm.）解：由余弦定理，得所以，由余弦定理的推論，得，利用計算器，可得所以，例2.在中，已知a=7，b=8，銳角C滿足，求B。（精準到)通過復習所學知識，建立知識間的聯(lián)系，提高學生概括、類比推理的能力。通過探究，由向量證明余弦定理，提高學生分析問題、概括能力。通過思考，推導余弦定理的推論，提高學生解決問題的能力。通過思考與探究，進一步推導余弦定理的變形結論，提高學生的觀察、概括能力。通過例題的講解，讓學生進一步理解余弦定理，提高學生解決與分析問題的能力。三、達標檢測1．在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，則△ABC的最小角為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,12)【答案】B【解析】由三角形邊角關系可知，角C為△ABC的最小角，則cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(72＋4\r(3)2－\r(13)2,2×7×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，所以C＝eq\f(π,6)，故選B.2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，則角A等于()A．60°B．45°C．120° D．30°【答案】C【解析】由cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，∴A＝120°.故選C。3．在△ABC中，若a＝2bcosC，則△ABC的形狀為________．【答案】等腰三角形【解析】∵a＝2bcosC＝2b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－c2,a)，∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，∴△ABC為等腰三角形．4．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B＝C,2b＝eq\r(3)a，則cosA＝________.【答案】eq\f(1,3)【解析】由B＝C,2b＝eq\r(3)a，可得b＝c＝eq\f(\r(3),2)a，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\f(3,4)a2＋\f(3,4)a2－a2,2×\f(\r(3),2)a×\f(\r(3),2)a)＝eq\f(1,3).5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三邊c的長．【解析】5x2＋7x－6＝0可化為(5x－3)·(x＋2)＝0，∴x1＝eq\f(3,5)，x2＝－2(舍去)，∴cosC＝eq\f(3,5).根據余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×eq\f(3,5)＝16，∴c＝4，即第三邊長為4.通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數學思想，增強學生的應用意識。四、小結1.余弦定理及其推論；2.利用余弦定理的解三角形。五、作業(yè)習題6.46（1）（2）題通過總結，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內容，提高概括能力,提高學生的數學運算能力和邏輯推理能力?！窘虒W反思】本課中,教師立足于所創(chuàng)設的情境,通過學生自主探索、合作交流,親身經歷了提出問題解決問題、應用反思的過程,學生成為余弦定理的“發(fā)現者”和“創(chuàng)造者”,切身感受了創(chuàng)造的苦和樂,知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實,為今后的定理教學提供了一些有用的借鑒。創(chuàng)設教學情境是“情境問題反思應用”教學的基礎環(huán)節(jié),教師必須對學生的身心特點、知識水平、教學內容、教學目標等因素進行綜合考慮,對可用的情境進行比較,選擇具有較好的教育功能的情境。《6.4.3余弦定理、正弦定理》導學案第1課時余弦定理【學習目標】1.掌握余弦定理的證明方法，牢記公式；2.掌握余弦定理公式的變式，會靈活應用余弦定理解決兩類解三角形問題；3.掌握給出三邊判斷三角形的形狀問題；4.培養(yǎng)學生的數形結合的能力?！窘虒W重點】：余弦定理的發(fā)現和證明過程及其基本應用；【教學難點】：利用向量的數量積推導余弦定理的思想方法及利用余弦定理求解三角形的思路。【知識梳理】余弦定理文字表述三角形中任何一邊的平方，等于減去這兩邊與它們的兩倍公式表達a2＝，b2＝，c2＝。變形cosA＝；cosB＝；cosC＝?！緦W習過程】一、探索新知探究1.在三角形ABC中，三個角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，怎樣用a，b和C表示c？余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即應用：已知兩邊和一個夾角，求第三邊．思考1：余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系，應用余弦定理，我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題，怎么確定呢？思考2：勾股定理指出了直角三角形中的三條邊之間的關系，余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中一個角之間的關系，你能說說這兩個定理之間的關系嗎？探究2：當角C為直角時，有，當角C為銳角時，這三者的關系是什么？鈍角呢？一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個元素求其它元素的過程叫做解三角形。例1.在中，已知b=60cm，c=34cm，，解這個三角形（角度精準到，邊長精確到1cm.）例2.在中，已知a=7，b=8，銳角C滿足，求B。（精準到)【達標檢測】1．在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，則△ABC的最小角為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,12)2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋，則角A等于()A．60°B．45°C．120° D．30°3．在△ABC中，若a＝2bcosC，則△ABC的形狀為________．4．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B＝C,2b＝eq\r(3)a，則cosA＝________.5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三邊c的長．參考答案：探究1.，所以。同理可證：余弦定理：思考1.由余弦定理變形得思考2.探究2.【結論】當角C為銳角時，；當角C為鈍角時，；當角C為直角時，。例1.解：由余弦定理，得所以，由余弦定理的推論，得，利用計算器，可得所以，例2.達標檢測1.【答案】B【解析】由三角形邊角關系可知，角C為△ABC的最小角，則cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(72＋4\r(3)2－\r(13)2,2×7×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，所以C＝eq\f(π,6)，故選B.2.【答案】C【解析】由cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，∴A＝120°.故選C。3.【答案】等腰三角形【解析】∵a＝2bcosC＝2b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－c2,a)，∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，∴△ABC為等腰三角形．4.【答案】eq\f(1,3)【解析】由B＝C,2b＝eq\r(3)a，可得b＝c＝eq\f(\r(3),2)a，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\f(3,4)a2＋\f(3,4)a2－a2,2×\f(\r(3),2)a×\f(\r(3),2)a)＝eq\f(1,3).5.【解析】5x2＋7x－6＝0可化為(5x－3)·(x＋2)＝0，∴x1＝eq\f(3,5)，x2＝－2(舍去)，∴cosC＝eq\f(3,5).根據余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×eq\f(3,5)＝16，∴c＝4，即第三邊長為4.《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步練習第一課時余弦定理一、選擇題1．在中，已知，，，則a等于（）A． B．6 C．或6 D．2．的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知，，，則（）A． B． C．2 D．33．在中，若，則最大角的余弦值是（）A． B． C． D．4．已知銳角三角形的三邊長分別為1，3，a，則a的取值范圍是（）A．8＜a<10 B．2＜a＜C．2＜a＜10 D．＜a＜85．（多選題）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則角的值為（）A． B．或 C． D．6.（多選題）設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若且b<c，則（）A.b=2B.C.D.二、填空題7．已知中，，則＝________．8．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則_____________.9．已知a，b，c為△ABC的三邊，B＝120°，則a2＋c2＋ac－b2＝________.10.設的內角的對邊分別為．若，且則A=，是_________三角形．三、解答題11．設的內角所對的邊分別為，且，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．12．在中，，，已知，是方程的兩個根，且．（1）求角的大?。唬?）求的長．《6.4.3余弦定理、正弦定理》同步練習答案解析第一課時余弦定理一、選擇題1．在中，已知，，，則a等于（）A． B．6 C．或6 D．【答案】A【解析】由余弦定理得4812－2×××()＝84，所以．故選A．2．的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知，，，則（）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】由余弦定理，得，解得（舍去）．故選D．3．在中，若，則最大角的余弦值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由余弦定理得，解得，可知角最大，則．故選C．4．已知銳角三角形的三邊長分別為1，3，a，則a的取值范圍是（）A．8＜a<10 B．2＜a＜C．2＜a＜10 D．＜a＜8【答案】B【解析】若a是最大邊，則即3＜a＜；若3是最大邊，則，即3＞＞2；當a=3時符合題意，綜上2＜a＜，故選B．5．（多選題）在中