【數(shù)學(xué) 】立體幾何初步（經(jīng)典基礎(chǔ)題） 2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)同步單元練習(xí)（人教A版）

試卷第=page66頁，共=sectionpages66頁試卷第=page11頁，共=sectionpages66頁05立體幾何初步（經(jīng)典基礎(chǔ)題）-2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)同步單元練習(xí)（人教A版，2019新版）一、單選題1．（2023下·福建福州·高一福建省福州高級中學(xué)校考期末）圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為h的水，若放入兩個直徑為2cm的鐵球（球的半徑與圓柱底面半徑相等）后，水恰好淹沒最上面的鐵球一半（如圖所示），則h=（

）．

A．0.5cm B．1cm C．2cm D．2.5cm2．（2023下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）“抽陀螺”是中國傳統(tǒng)民俗體育游戲，陀螺上大下尖，將尖頭著地，以繩繞之，然后抽打，使其旋轉(zhuǎn)．如圖所示的陀螺近似看作由一個圓錐與一個圓柱組成的組合體，其中圓柱的底面直徑為2，圓錐與圓柱的高都為1，則該幾何體的表面積為（

）

A． B． C． D．3．（2023下·福建福州·高一福建省福州高級中學(xué)校考期末）已知直線m，n和平面α，β，γ，下列條件中能推出的是（

）A．，， B．，C．，，， D．，4．（2023下·福建福州·高一福州日升中學(xué)校考期末）已知表示不同的直線，表示不同的平面，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．（2023下·福建福州·高一福州三中校考期末）若m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則6．（2023下·福建福州·高一福建省福州屏東中學(xué)?？计谀┤鐖D，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點P處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個圓錐的體積為（）.

A． B． C． D．7．（2023下·福建廈門·高一統(tǒng)考期末）將一個底面半徑為2，高為3的圓柱體鐵塊磨制成一個球體零件，則可能制作的最大零件的體積為（

）A． B． C． D．8．（2022下·福建莆田·高一莆田一中?？计谀┤鐖D，正方體的棱長為2，、、分別是棱、和的中點，過點、、作正方體的截面，則以該截面為底面，為頂點的幾何體體積為（

）A．2 B．3 C．4 D．69．（2022下·福建莆田·高一莆田一中?？计谀﹫A錐的底面半徑為，高為，在此圓錐內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，則此正方體的棱長為（

）A． B． C． D．10．（2022下·福建福州·高一校聯(lián)考期末）在正方體中，，，分別是，，的中點，平面平面，則直線與的夾角大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°11．（2022下·福建莆田·高一統(tǒng)考期末）設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則二、多選題12．（2023下·福建福州·高一福建省福州屏東中學(xué)校考期末）已知，是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，則下列說法正確的有（）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則13．（2023下·福建漳州·高一統(tǒng)考期末）正方體中，為底面的中心，則（

）A．直線與所成的角等于B．直線與所成的角等于C．直線與是異面直線D．直線與所成的角等于14．（2023下·福建·高一校聯(lián)考期末）已知兩個不同的平面、和兩條不重合的直線m、n，有下列命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，，則15．（2022下·福建福州·高一福建省福州高級中學(xué)校考期末）已知不同直線l、m、n與不同平面、，下列推論正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則或16．（2022下·福建三明·高一統(tǒng)考期末）對于給定的異面直線m，n，以下判斷正確的是（

）A．總存在四個頂點分別在m，n上的正三棱錐B．總存在直線l，使得l同時與m，n垂直且相交C．總存在平面α，β，使得，，且D．對于任意點A，總存在過A且與m，n都相交的直線三、填空題17．（2023下·福建福州·高一福建省福州屏東中學(xué)校考期末）已知正三棱錐的頂點都在球O的球面上，其側(cè)棱與底面所成角為，且，則球O的表面積為18．（2023下·福建福州·高一福州三中?？计谀┫聢D1中的機械設(shè)備叫做“轉(zhuǎn)子發(fā)動機”，其核心零部件之一的轉(zhuǎn)子形狀是“曲側(cè)面三棱柱”，圖2是一個曲側(cè)面三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面，底面是“萊洛三角形”，萊洛三角形是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的，如圖3，若曲側(cè)面三棱柱的高為10，底面任意兩頂點之間的距離為20，則其側(cè)面積為.

19．（2023下·福建莆田·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)面是正三角形，平面平面，則二面角的大小是．

20．（2023下·福建·高一校聯(lián)考期末）已知ABCD—A1B1C1D1是棱長為2的正方體，E為AA1的中點，點F在CC1上（不與C、C1重合），三棱錐A-D1EF的體積為，當(dāng)F為CC1的中點，幾何體AED1FCD的體積為.21．（2023下·福建·高一校聯(lián)考期末）在四面體中，E、F分別是的中點.若所成的角為45°，且，則的長為.22．（2022下·福建福州·高一?？计谀┤鐖D，過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，所得截面圓的半徑為，則球的體積是．23．（2022下·福建福州·高一?？计谀┤鐖D是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中，與所成角的大小為.四、解答題24．（2023下·福建福州·高一福州三中?？计谀┤鐖D，三棱錐中，O，E，F(xiàn)分別是，，的中點，G是的中點，，

(1)求證：；(2)求證：//平面.25．（2022下·福建莆田·高一莆田一中?？计谀┤鐖D，四邊形為矩形，且，，平面，，為的中點．(1)求證：；(2)若點為上的中點，證明平面．答案第=page1414頁，共=sectionpages1515頁答案第=page1515頁，共=sectionpages1515頁參考答案：1．B【分析】根據(jù)體積公式即可求解.【詳解】由題意可知一個球加半個球以及水的體積等于高為3的圓柱的體積，球的半徑和圓柱的底面圓半徑均為1，所以，故選：B2．B【分析】根據(jù)題意，分別求出圓柱的上底面面積、側(cè)面積以及圓錐的側(cè)面積，相加即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，該組合體由一個圓錐與一個圓柱組成，其中圓柱的底面直徑為2，圓錐與圓柱的高都為1，圓柱的上底面面積圓柱的側(cè)面積圓錐的母線長，則圓錐的側(cè)面積故該幾何體的表面積．故選：B．3．D【分析】根據(jù)空間中直線與平面，平面與平面的關(guān)系，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】由直線和，若，，，則與相交或平行，故A不正確；若，，則與相交或平行，故B不正確，若，，，，由于不一定相交，所以與相交或平行，故C不正確；若，，則垂直于同一條直線的兩個平面互相平行，即，故D正確；故選：D．4．C【分析】根據(jù)空間中線、面位置關(guān)系逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：若，由線面垂直的性質(zhì)可知，故A正確；對于選項B：若，由面面平行的性質(zhì)可知，故B正確；對于選項C：若，由線線位置關(guān)系可知可能相交、平行或異面，故C錯誤；對于選項C：若，由平行線的傳遞性可知，故D正確；故選：C.5．D【分析】由平面的基本性質(zhì)，結(jié)合線面、面面位置關(guān)系判斷各項的正誤.【詳解】A：若，，，則或異面，錯誤；B：若，，則或，錯誤；C：若，，，則或或相交，錯誤；D：由，，則或，若，，如下圖，內(nèi)存在一條直線，則，即，

若，，由面面垂直的判定知：，故正確.故選：D6．C【分析】作出該圓錐的側(cè)面展開圖，該小蟲爬行的最短路程為，由余弦定理求出．求出底面圓的半徑r，從而求出這個圓錐的高，由此能求出這個圓錐的體積．【詳解】作出該圓錐的側(cè)面展開圖，如圖所示：

該小蟲爬行的最短路程為，由余弦定理可得，．設(shè)底面圓的半徑為r，則有，解得．∴這個圓錐的高為，這個圓錐的體積為．故選：C．7．B【分析】根據(jù)圓柱底面直徑與高的關(guān)系可知球體最大直徑，然后可得.【詳解】由題可知，圓柱的底面直徑為4，高為3，因為，所以該圓柱體鐵塊能磨制的最大球體直徑為3，半徑為，所以該球體的最大體積為.故選：B8．B【分析】根據(jù)正方體的幾何結(jié)構(gòu)得到構(gòu)成的空間幾何體為正棱錐，分別求得正棱錐的底面正六邊形的邊長和高，利用錐體體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，過點、、作正方體的截面為正六邊形以為頂點，過點、、作正方體的截面，構(gòu)成的空間幾何體為正棱錐，因為正方體的棱長為，可得正六邊形的底面邊長為，所以正六邊形的面積為，連接，在正方形中，可得，且，平面，所以平面，即平面，且，所以正棱錐的體積為.故選：B.9．C【分析】設(shè)棱長為，利用三角形相似列比例式解出．【詳解】解：如圖沿著正方體的一條面對角線和圓錐的高作軸截面如下所示：則，，設(shè)正方體棱長為，則，由，可得，解得．故選：C．10．C【分析】如圖，取中點，中點，中點，得正六邊形，直線即為，或其補角是異面直線與所成的角，由此可得結(jié)論．【詳解】如圖，取中點，中點，中點，順次連接得六邊形，連接，易得，，所以，所以平面，同理可得平面，即六邊形是平面六邊形，由正方體性質(zhì)知六邊形是正六邊形，直線即為，又，所以或其補角是異面直線與所成的角，，所以異面直線與所成的角是．故選：C．11．C【分析】舉出的反例可判斷A；舉出異面的反例可判斷B；根據(jù)兩條平行線其中一條垂直平面，那么另外一條也垂直平面可判斷C；舉出平行的反例可判斷D.【詳解】對于A，如圖，此時，A錯誤；對于B，如圖，此時異面，B錯誤；對于C，由性質(zhì)定理：“如果在兩條平行線中，有一條垂直于平面，那么另一條也垂直于這個平面.”可知，C正確；對于D，此時，D錯誤.故選：C.12．BC【分析】由空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系判斷即可．【詳解】對于A，若，，l和m可以相交可以異面，故錯誤；對于B，若，，，則有，正確；對于C，若，，則或，又，則正確；對于D，若，，，可能，故不一定成立．故選：BC．13．BD【分析】根據(jù)異面所成角的定義與計算方法，結(jié)合正方體的幾何結(jié)構(gòu)特征，逐項判定、求解，即可求解.【詳解】對于A中，在正方體中，，所以異面直線與所成的角，即為直線與所成的角，在等腰直角，可得，即異面直線與所成的角為，所以A不正確；，對于B中，在正方體中，可得，所以異面直線與所成的角，即為直線與所成的角，在等邊，可得，即異面直線與所成的角為，所以B正確；，對于C中，在正方體中，由為底面的中心，可得平面，且平面，所以直線與不是異面直線，所以C錯誤；對于D中，在正方體中，因為為正方形，可得，又由平面，平面，所以，因為且平面，所以平面，又因為平面，所以，所以D正確.故選：BD.

14．AD【分析】根據(jù)空間中線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可【詳解】對于A：若，，則，故A正確；對于B：若，則或，故B錯誤；對于C：若，，則或與異面，故C錯誤；對于D：若，，則，又，所以，故D正確；故選：AD15．ABD【分析】利用平行的傳遞性、面面垂直的概念、判定與性質(zhì)定理、線面垂直的概念與定理進行判斷.【詳解】對于A，根據(jù)直線平行的傳遞性可知，A正確；對于B，根據(jù)平面與平面垂直的判斷定理可知，B正確；對于C，若，，與也可能相交，故C錯誤；對于D，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理以及直線與平面垂直的概念可知，D正確.故選：ABD.16．BC【分析】A選項，根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)得到只有兩異面直線垂直時，才總存在四個頂點分別在m，n上的正三棱錐；B選項，異面直線有且只有一條公垂線，畫出圖形，證明出此結(jié)論；C選項，利用線面平行的判定定理及平行的推論得到結(jié)論；D選項，找到反例即可【詳解】正三棱錐，取CD的中點G，連接AG，BG，則由三線合一得：，因為，所以平面ABG，因為平面ABG，所以CD⊥AB取直線為m，直線AB為n，所以只有兩異面直線垂直時，才總存在四個頂點分別在m，n上的正三棱錐，故A錯誤；已知為異面直線，平移直線到直線，使得直線，則相交直線確定平面，則為平面外一直線，且，故可作出平面，使得且，C正確；由上面分析可知存在平面，使得，且，作直線在平面的投影直線，直線與相交于點A，過點A作直線d，使得平面，因為，則，且與相交于點B，則為異面直線的公垂線，B正確；如下圖正方體，取直線為直線，直線為直線，則過點A要想與直線相交，則此直線為平面上過點A的除AD外的所有直線均可，這些直線和直線均無交點，故此時不存在過A且與m，n都相交的直線，D錯誤.故選：BC17．【分析】作出圖形判斷外接球球心的位置，先求出相關(guān)線段的長度，然后利用勾股定理求出外接球半徑，代入球的表面積公式即可求解．【詳解】如圖，正三棱錐中，設(shè)點Q為的中心，則PQ⊥平面ABC，

∴，∴，PQ＝3．球心O在直線PQ上，連接AO，設(shè)球O的半徑為r，則，，在中，，即，解得，∴球O的表面積為．故答案為：.18．【分析】根據(jù)萊洛三角形是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到，求得其周長，再根據(jù)曲側(cè)面三棱柱的高為10求解.【詳解】解：由題意得：底面是由三段以20為半徑，圓心角為的圓弧構(gòu)成，所以底面周長為，又曲側(cè)面三棱柱的高為10，所以曲側(cè)面三棱柱的側(cè)面積為，故答案為：19．【分析】由定義作出二面角的平面角，然后解三角形即可.【詳解】

過作，垂足為，過作，垂足為，連接.平面平面，平面平面，又，平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得，平面，又平面，故，又，，平面，故平面，由平面，故，于是二面角的平面角為，根據(jù)題目數(shù)據(jù)，在中，，，則，則.故答案為：20．【分析】根據(jù)給定條件，利用等體積法求解三棱錐的體積．根據(jù)割補法，將幾何體分解為三棱柱和三棱錐，即可由體積公式求解.【詳解】在正方體中，棱長為2，為的中點，則，為上一點，而平面，平面，則點到平面的距離為長，所以三棱錐的體積．取的中點為，連接,由于均為棱的中點，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知為直三棱柱，故幾何體可以分割為三棱柱和三棱錐，故幾何體體積為,故答案為：，

21．【分析】作出輔助線，找到或，分兩種情況，結(jié)合余弦定理求出答案.【詳解】取的中點，連接，因為E、F分別是的中點，所以，因為所成的角為，所以或，