（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)14 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用必刷題（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

考點(diǎn)14導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1．（江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2019屆高三教學(xué)情況調(diào)查二）已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的圖像恒在直線上方，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)______．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像恒在直線上方，所以，恒成立，即：恒成立.當(dāng)時(shí)，若，，，不滿足恒成立.當(dāng)時(shí)，恒成立.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立等價(jià)于：，記，則，此時(shí)，在上遞減，在上遞增，在上遞減，其簡(jiǎn)圖如下：所以，所以，又，解得：.綜上所述：．2．（江蘇省蘇州市2019屆高三下學(xué)期階段測(cè)試）若函數(shù)在其定義域上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)____.【答案】【解析】當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝x+2x，單調(diào)遞增，f（﹣1）＝﹣1+2﹣1＜0，f（0）＝1＞0，由零點(diǎn)存在定理，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；則由題意可得x＞0時(shí)，f（x）＝ax﹣lnx有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即有a有且只有一個(gè)實(shí)根．令g（x），g′（x），當(dāng)x＞e時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增．即有x＝e處取得極大值，也為最大值，且為，當(dāng)x如圖g（x）的圖象，當(dāng)直線y＝a（a＞0）與g（x）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則a．故答案為：．3．（江蘇省揚(yáng)州市2018-2019學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)試）若存在正實(shí)數(shù)x，y，z滿足，且，則的最小值為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】由?，又lnln（）＝lnlneln，令，則lnelnet﹣lnt，t，f（t）＝et﹣lnt，利用函數(shù)求導(dǎo)求最值．【詳解】∵正實(shí)數(shù)x，y，z滿足3y2+3z2≤10yz，∴?，∵，∴l(xiāng)ne，lnln（）＝lnlneln，令，則lnelnet﹣lnt，t，f（t）＝et﹣lnt，f′（t）＝e0，則t，可得f（t）在（）遞減，在（）遞增，∴f（t）min＝f（）＝1﹣（﹣1）＝2，即（ln）min＝2，∴的最小值為e2，故答案為：e2．4．（江蘇省徐州市（蘇北三市（徐州、淮安、連云港))2019屆高三年級(jí)第一次質(zhì)量檢測(cè)）已知，，，且，則的最小值為_(kāi)________．【答案】【解析】令，，，，在上遞減，在上遞增，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值：所以，的最小值為故答案為：．5．（江蘇省七市(南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、宿遷、連云港)2019屆高三第三次調(diào)研考試）已知數(shù)列滿足（），（）．（1）若，證明：是等比數(shù)列；（2）若存在，使得，，成等差數(shù)列．①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②證明：．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①，②見(jiàn)解析【解析】（1）由，得，得，即，因?yàn)?，所以，所以（），所以是以為首?xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．（2）①設(shè)，由（1）知，，所以，即，所以．因?yàn)?，，成等差?shù)列，則，所以，所以，所以，即．②要證，即證，即證．設(shè)，則，且，從而只需證，當(dāng)時(shí)，．設(shè)（），則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，原不等式得證．6．（江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2019屆高三教學(xué)情況調(diào)查二）已知數(shù)列，，且對(duì)任意n恒成立．（1）求證：(n)；（2）求證：(n)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】（1）①當(dāng)時(shí)，滿足成立.②假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.即：成立下證：當(dāng)時(shí)，成立。因?yàn)榧矗寒?dāng)時(shí)，成立由①、②可知，(n)成立。（2）（?。┊?dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，成立，（ⅱ）假設(shè)時(shí)（），結(jié)論正確，即：成立下證：當(dāng)時(shí)，成立.因?yàn)橐C，只需證只需證：，只需證：即證：（）記當(dāng)時(shí)，所以在上遞增，又所以，當(dāng)時(shí)，恒成立。即：當(dāng)時(shí)，成立。即：當(dāng)時(shí)，恒成立.所以當(dāng)，恒成立.由（?。áⅲ┛傻茫簩?duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，命題得證.7．（江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2019屆高三教學(xué)情況調(diào)查二）已知函數(shù)，其中R．（1）如果曲線在x＝1處的切線斜率為1，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)的極小值不超過(guò)，求實(shí)數(shù)的最小值；（3）對(duì)任意[1，2]，總存在[4，8]，使得＝成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）2；（3）【解析】（1）由題可得：，所以又曲線在處的切線斜率為1，所以，解得：（2）因?yàn)楹瘮?shù)的極小值不超過(guò)，說(shuō)明函數(shù)有極小值則，其極小值即：記：，上述不等式可轉(zhuǎn)化成當(dāng)時(shí)，，要使得，則因?yàn)楹愠闪?，所以在上遞減，所以實(shí)數(shù)的最小值為（3）記在的值域?yàn)?，在的值域?yàn)閷?duì)任意，總存在，使得成立，則成立（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，在遞增，不滿足（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增，不滿足（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增，要使得，則即：整理得：（Ⅳ）當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增，要使得，則即：整理得：（Ⅴ）當(dāng)時(shí)，在遞減，，不滿足.綜上所述：．8．（江蘇省南通市基地學(xué)校2019屆高三3月聯(lián)考）某鮮花小鎮(zhèn)圈定一塊半徑為1百米的圓形荒地，準(zhǔn)備建成各種不同鮮花景觀帶．為了便于游客觀賞，準(zhǔn)備修建三條道路AB，BC，CA，其中A，B，C分別為圓上的三個(gè)進(jìn)出口，且A，B分別在圓心O的正東方向與正北方向上，C在圓心O南偏西某一方向上．在道路AC與BC之間修建一條直線型水渠MN種植水生觀賞植物黃鳶尾（其中點(diǎn)M，N分別在BC和CA上，且M在圓心O的正西方向上，N在圓心O的正南方向上），并在區(qū)域MNC內(nèi)種植柳葉馬鞭草．（1）求水渠MN長(zhǎng)度的最小值；（2）求種植柳葉馬鞭草區(qū)域MNC面積的最大值（水渠寬度忽略不計(jì)）．【答案】（1）百米；（2）平方米.【解析】（1）以圓心為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則圓的方程為設(shè)點(diǎn)，直線的方程為，令，得直線的方程為，令，得所以令，即，則令，得當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，所以水渠長(zhǎng)度的最小值為百米（2）由（1）可知，，，且則設(shè)，因?yàn)?，所以所以，所以?dāng)時(shí)，種植柳葉馬鞭草區(qū)域面積的最大值為平方百米另法：（2）因?yàn)?，所以由所以設(shè)，因?yàn)?，所以所以，所以?dāng)時(shí)，種植柳葉馬鞭草區(qū)域面積的最大值為平方百米．9．（江蘇省南通、揚(yáng)州、泰州、蘇北四市七市2019屆高三第一次（2月)模擬）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，若有兩個(gè)不相同的零點(diǎn)．①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①，②見(jiàn)解析【解析】（1）的定義域?yàn)?，且．?dāng)時(shí)，成立，所以在為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，（i）當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)；（ii）當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)．（2）①由（1）知，當(dāng)時(shí)，至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，的最小值為，依題意知，解得．一方面，由于，，在為增函數(shù)，且函數(shù)的圖象在上不間斷．所以在上有唯一的一個(gè)零點(diǎn)．另一方面，因?yàn)椋裕?，令，?dāng)時(shí)，，所以又，在為減函數(shù)，且函數(shù)的圖象在上不間斷．所以在有唯一的一個(gè)零點(diǎn)．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．②設(shè)．又則．下面證明．不妨設(shè)，由①知．要證，即證．因?yàn)椋谏蠟闇p函數(shù)，所以只要證．又，即證．設(shè)函數(shù)．所以，所以在為增函數(shù).所以，所以成立．從而成立.所以，即成立.10．（江蘇省徐州市（蘇北三市（徐州、淮安、連云港))2019屆高三年級(jí)第一次質(zhì)量檢測(cè)）如圖，某公園內(nèi)有兩條道路，，現(xiàn)計(jì)劃在上選擇一點(diǎn)，新建道路，并把所在的區(qū)域改造成綠化區(qū)域．已知，．（1）若綠化區(qū)域的面積為1，求道路的長(zhǎng)度；（2）若綠化區(qū)域改造成本為10萬(wàn)元/，新建道路成本為10萬(wàn)元/．設(shè)（），當(dāng)為何值時(shí)，該計(jì)劃所需總費(fèi)用最??？【答案】（1）（2）【解析】（1）因?yàn)樵谥校阎?，，所以由的面積，解得．在中，由余弦定理得：，所以．（2）由，則，．在中，，，由正弦定理得，所以，．記該計(jì)劃所需費(fèi)用為，則．令，則，由，得．所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以時(shí)，該計(jì)劃所需費(fèi)用最小．11．（江蘇省淮安市淮安區(qū)2019屆高三第一學(xué)期聯(lián)合測(cè)試）已知函數(shù)，R．（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得極值，對(duì)(0，)，恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】（1）遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）【解析】（1）在區(qū)間上，令，則.令，則.從而函數(shù)的遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以，解得.因?yàn)閷?duì)恒成立即對(duì)恒成立.令，，易得在上遞減，在上遞增所以，即．12．（江蘇省蘇北四市2019屆高三第一學(xué)期期末考試考前模擬）設(shè)區(qū)間，定義在上的函數(shù)集合若，求集合設(shè)常數(shù).①討論的單調(diào)性；②若，求證【答案】（1）（2）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)證明【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則．由可知恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以集合（2）①由得，因?yàn)?，則由，得．在上列表如下：＋0－0＋單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增（?。┊?dāng)，即時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減②（方法一）當(dāng)時(shí)，由①可知，（?。┊?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，這與恒成立矛盾，故此時(shí)實(shí)數(shù)不存在；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以．若，這與恒成立矛盾，故此時(shí)實(shí)數(shù)不存在；若，此時(shí)，又，則，．下面證明，也即證：．因?yàn)?，且，則，下證：．令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即．這與恒成立矛盾，故此時(shí)實(shí)數(shù)不存在．綜上所述，．（方法二）（?。┊?dāng)時(shí)，成立；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由題意可知恒成立，則，設(shè)，則，令，解得．因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，由題意可知恒成立，則．設(shè)，則，因?yàn)?，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以．若，則存在實(shí)數(shù)滿足，則成立，即，也即成立，則，這與矛盾，所以．13．（江蘇省南通、揚(yáng)州、泰州、蘇北四市七市2019屆高三第一次（2月)模擬）如圖1，一藝術(shù)拱門(mén)由兩部分組成，下部為矩形，的長(zhǎng)分別為和，上部是圓心為的劣弧，．（1）求圖1中拱門(mén)最高點(diǎn)到地面的距離；（2）現(xiàn)欲以B點(diǎn)為支點(diǎn)將拱門(mén)放倒，放倒過(guò)程中矩形所在的平面始終與地面垂直，如圖2、圖3、圖4所示．設(shè)與地面水平線所成的角為．記拱門(mén)上的點(diǎn)到地面的最大距離為，試用的函數(shù)表示，并求出的最大值．【答案】（1）拱門(mén)最高點(diǎn)到地面的距離為．（2），其最大值為【解析】（1）如圖，過(guò)作與地面垂直的直線交于點(diǎn)，交劣弧于點(diǎn)，的長(zhǎng)即為拱門(mén)最高點(diǎn)到地面的距離．在中，，，所以，圓的半徑．所以．答：拱門(mén)最高點(diǎn)到地面的距離為．（2）在拱門(mén)放倒過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)作與地面垂直的直線與“拱門(mén)外框上沿”相交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)在劣弧上時(shí)，拱門(mén)上的點(diǎn)到地面的最大距離等于圓的半徑長(zhǎng)與圓心到地面距離之和；當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，拱門(mén)上的點(diǎn)到地面的最大距離等于點(diǎn)到地面的距離．由（1）知，在中，．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系．當(dāng)點(diǎn)在劣弧上時(shí)，．由，，由三角函數(shù)定義，得，則．所以當(dāng)即時(shí)，取得最大值．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，．設(shè)，在中，，．由，得．所以．又當(dāng)時(shí)，．所以在上遞增．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．因?yàn)椋缘淖畲笾禐椋C上，藝術(shù)拱門(mén)在放倒的過(guò)程中，拱門(mén)上的點(diǎn)到地面距離的最大值為（）．14．（江蘇省揚(yáng)州市2018-2019學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)試）已知函數(shù)f(x)＝(3－x)ex，g(x)＝x＋a(a∈R)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e≈2.718…)．(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)若函數(shù)y＝f(x)g(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若函數(shù)h(x)＝在區(qū)間(0，＋∞)上既存在極大值又存在極小值，并且函數(shù)h(x)的極大值小于整數(shù)b，求b的最小值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）4【解析】（1），，令，解得，列表：2+0-極大值∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，無(wú)極小值（2）由，得∵，令，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增等價(jià)于對(duì)任意的，函數(shù)恒成立∴，解得．（3），令，∵在上既存在極大值又存在極小值，∴在上有兩個(gè)不等實(shí)根，即在上有兩個(gè)不等實(shí)根．∵∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減則，∴，解得，∴∵在上連續(xù)且，∴在和上各有一個(gè)實(shí)根∴函數(shù)在上既存在極大值又存在極小值時(shí)，有，并且在區(qū)間上存在極小值，在區(qū)間上存在極大值．∴，且，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減∵，∴，即，則∵的極大值小于整數(shù)，∴滿足題意的整數(shù)的最小值為4．15．（江蘇省如皋市2019屆高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)研三）在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)曲線第一象限上一點(diǎn)（其中）作切線交直線于點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，求當(dāng)面積取最大值時(shí)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)，，.因?yàn)椋?，，，所?（2）切線：，將代入得，直線：，將代入得，，因?yàn)樵趻佄锞€上且在第一象限，所以，所以，設(shè)，，，，.16．（江蘇省蘇北四市2019屆高三第一學(xué)期期末考試考前模擬）如圖，有一張半徑為1米的圓形鐵皮，工人師傅需要剪