（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列練習(xí) 文 蘇教版-蘇教版高三數(shù)學(xué)試題

第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列1．(2019·南京模擬)在等比數(shù)列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，則eq\f(a20,a10)＝________．[解析]法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a2a6＝16得aeq\o\al(2,1)q6＝16，所以a1q3＝±4．由a4＋a8＝8，得a1q3(1＋q4)＝8，即1＋q4＝±2，所以q2＝1．于是eq\f(a20,a10)＝q10＝1．法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得aeq\o\al(2,4)＝a2a6＝16，所以a4＝±4，又a4＋a8＝8，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a8＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝－4，,a8＝12．))因?yàn)閍eq\o\al(2,6)＝a4a8>0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a8＝4，))則公比q滿足q4＝1，q2＝1，所以eq\f(a20,a10)＝q10＝1．[答案]12．(2019·宿遷模擬)若等差數(shù)列{an}滿足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，則a4＋S7的值是________．[解析]由S3＝3a2，得a2＝1，由S5＝5a3，得a3＝2，則a4＝3，S7＝7a4，則a4＋S7＝8a4＝24．[答案]243．(2019·江蘇名校高三入學(xué)摸底)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(2n＋1an,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2)))an＋2n)，bn＝eq\f(2n,an)(n∈N*)，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式是________．[解析]由已知得eq\f(an＋1,2n＋1)＝eq\f(an,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2)))an＋2n)(n∈N*)，則eq\f(2n＋1,an＋1)＝eq\f(2n,an)＋n＋eq\f(1,2)(n∈N*)，即bn＋1－bn＝n＋eq\f(1,2)(n∈N*)，所以b2－b1＝1＋eq\f(1,2)，b3－b2＝2＋eq\f(1,2)，…，bn－bn－1＝(n－1)＋eq\f(1,2)，累加得bn－b1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋eq\f(n－1,2)＝eq\f(（n－1）n,2)＋eq\f(n－1,2)＝eq\f(n2－1,2)，又b1＝eq\f(2,a1)＝1，所以bn＝eq\f(n2－1,2)＋1＝eq\f(n2＋1,2)．[答案]bn＝eq\f(n2＋1,2)4．已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的公比q＝________．[解析]因?yàn)?(an＋an＋2)＝5an＋1，所以2an(1＋q2)＝5anq，所以2(1＋q2)＝5q，解得q＝2或q＝eq\f(1,2)．因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，且a1>0，所以q>1，所以q＝2．[答案]25．(2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)調(diào)研(一))中國古代著作《張丘建算經(jīng)》中有這樣一個問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里．那么這匹馬最后一天行走的里程數(shù)為______．[解析]由題意可知，這匹馬每天行走的里程數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)為{an}，易知公比q＝eq\f(1,2)，則S7＝eq\f(a1（1－q7）,1－q)＝2a1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,128)))＝eq\f(127,64)a1＝700，所以a1＝700×eq\f(64,127)，所以a7＝a1q6＝700×eq\f(64,127)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(6)＝eq\f(700,127)，所以這匹馬最后一天行走的里程數(shù)為eq\f(700,127)．[答案]eq\f(700,127)6．(2019·蘇州市第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研)設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若eq\f(S5,S10)＝eq\f(1,3)，則eq\f(S5,S20＋S10)＝______．[解析]法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，若公比q為1，則eq\f(S5,S10)＝eq\f(1,2)，與已知條件不符，所以公比q≠1，所以Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)，因?yàn)閑q\f(S5,S10)＝eq\f(1,3)，所以eq\f(1－q5,1－q10)＝eq\f(1,3)，所以q5＝2，所以eq\f(S5,S20＋S10)＝eq\f(1－q5,1－q20＋1－q10)＝eq\f(1－2,1－24＋1－22)＝eq\f(1,18)．法二：因?yàn)閑q\f(S5,S10)＝eq\f(1,3)，所以不妨設(shè)S5＝a，S10＝3a，a≠0，易知S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15成等比數(shù)列，由S5＝a，S10－S5＝2a，得S15－S10＝4a，S20－S15＝8a，從而S20＝15a，所以eq\f(S5,S20＋S10)＝eq\f(a,15a＋3a)＝eq\f(1,18)．[答案]eq\f(1,18)7．設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么an＋bn組成的數(shù)列的第37項(xiàng)的值為________．[解析]{an}，{bn}都是等差數(shù)列，則{an＋bn}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1＋b1＝100，d＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－100＝0，所以{an＋bn}為常數(shù)數(shù)列，第37項(xiàng)為100．[答案]1008．(2019·南京市四校第一學(xué)期聯(lián)考)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比列{an}中，a2＝3，a4＝27，S2n為該數(shù)列的前2n項(xiàng)和，Tn為數(shù)列{anan＋1}的前n項(xiàng)和，若S2n＝kTn，則實(shí)數(shù)k的值為______．[解析]因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2＝3，a4＝27，所以a1＝1，公比q＝3，所以S2n＝eq\f(1×（1－32n）,1－3)＝eq\f(32n－1,2)，an＝3n－1．令bn＝anan＋1＝3n－1·3n＝32n－1，所以b1＝3，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比q′＝9，所以Tn＝eq\f(3×（1－9n）,1－9)＝eq\f(3（32n－1）,8)．因?yàn)镾2n＝kTn，所以eq\f(32n－1,2)＝k·eq\f(3（32n－1）,8)，解得k＝eq\f(4,3)．[答案]eq\f(4,3)9．(2019·泰州市高三模擬)已知公差為2的等差數(shù)列{an}及公比為2的等比數(shù)列{bn}滿足a1＋b1>0，a2＋b2<0，則a3＋b3的取值范圍是________．[解析]法一：由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋b1>0,a1＋2b1<－2))，該不等式組在平面直角坐標(biāo)系a1Ob1中表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則當(dāng)a3＋b3＝a1＋4＋4b1經(jīng)過點(diǎn)(2，－2)時取得最大值－2，則a3＋b3<－2．法二：由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋b1>0,a1＋2b1<－2))，則a3＋b3＝a1＋4＋4b1＝－2(a1＋b1)＋3(a1＋2b1)＋4<－2，故a3＋b3的取值范圍是(－∞，－2)．[答案](－∞，－2)10．在數(shù)列{an}中，n∈N*，若eq\f(an＋2－an＋1,an＋1－an)＝k(k為常數(shù))，則稱{an}為“等差比數(shù)列”，下列是對“等差比數(shù)列”的判斷：①k不可能為0；②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；④“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項(xiàng)為0．其中所有正確判斷的序號是________．[解析]由等差比數(shù)列的定義可知，k不為0，所以①正確，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以②錯誤；當(dāng){an}是等比數(shù)列，且公比q＝1時，{an}不是等差比數(shù)列，所以③錯誤；數(shù)列0，1，0，1，…是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無數(shù)多個0，所以④正確．[答案]①④11．(2019·寶雞模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．(1)求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．[解](1)證明：因?yàn)閍n＋1＝an＋6an－1(n≥2)，所以an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．又a1＝5，a2＝5，所以a2＋2a1＝15，所以an＋2an－1≠0(n≥2)，所以eq\f(an＋1＋2an,an＋2an－1)＝3(n≥2)，所以數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，則an＋1＝－2an＋5×3n，所以an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．又因?yàn)閍1－3＝2，所以an－3n≠0，所以{an－3n}是以2為首項(xiàng)，－2為公比的等比數(shù)列．所以an－3n＝2×(－2)n－1，即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．12．(2019·蘇州市高三模擬)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝eq\f(1,2)，an＋1－an＝p·3n－1－nq，n∈N*，p，q∈R．(1)若q＝0，且數(shù)列{an}為等比數(shù)列，求p的值；(2)若p＝1，且a4為數(shù)列{an}的最小項(xiàng)，求q的取值范圍．[解](1)因?yàn)閝＝0，an＋1－an＝p·3n－1，所以a2＝a1＋p＝eq\f(1,2)＋p，a3＝a2＋3p＝eq\f(1,2)＋4p．由數(shù)列{an}為等比數(shù)列，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋p))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋4p))，解得p＝0或p＝1．當(dāng)p＝0時，an＋1＝an，所以an＝eq\f(1,2)，符合題意；當(dāng)p＝1時，an＋1－an＝3n－1，所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝eq\f(1,2)＋(1＋3＋…＋3n－2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1－3n－1,1－3)＝eq\f(1,2)·3n－1，所以eq\f(an＋1,an)＝3．符合題意．所以p的值為0或1．(2)因?yàn)閜＝1，所以an＋1－an＝3n－1－nq，又a4為數(shù)列{an}的最小項(xiàng)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4－a3≤0,a5－a4≥0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9－3q≤0,27－4q≥0))，所以3≤q≤eq\f(27,4)．此時a2－a1＝1－q<0，a3－a2＝3－2q<0，所以a1>a2>a3≥a4．當(dāng)n≥4時，令bn＝an＋1－an，bn＋1－bn＝2·3n－1－q≥2·34－1－eq\f(27,4)>0，所以bn＋1>bn，所以0≤b4<b5<b6<…，即a4≤a5<a6<a7<…．綜上所述，當(dāng)3≤q≤eq\f(27,4)時，a4為數(shù)列{an}的最小項(xiàng)，即所求q的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3，\f(27,4)))．13．已知數(shù)列{an}，對于任意n≥2，在an－1與an之間插入n個數(shù)，構(gòu)成的新數(shù)列{bn}成等差數(shù)列，并記在an－1與an之間插入的這n個數(shù)的均值為Cn－1．(1)若an＝eq\f(n2＋3n－8,2)，求C1，C2，C3；(2)在(1)的條件下是否存在常數(shù)λ，使{Cn＋1－λCn}是等差數(shù)列？如果存在，求出滿足條件的λ，如果不存在，請說明理由．[解](1)由題意a1＝－2，a2＝1，a3＝5，a4＝10，所以在a1與a2之間插入－1，0，C1＝－eq\f(1,2)．在a2與a3之間插入2，3，4，C2＝3．在a3與a4之間插入6，7，8，9，C3＝eq\f(15,2)．(2)在an－1與an之間插入n個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，d＝eq\f(an－an－1,n＋1)＝1，所以Cn－1＝eq\f(\f(n（an－1＋an）,2),n)＝eq\f(an－1＋an,2)＝eq\f(n2＋2n－9,2)．假設(shè)存在λ使得{Cn＋1－λCn}是等差數(shù)列．所以(Cn＋1－λCn)－(Cn－λCn－1)＝Cn＋1－Cn－λ(Cn－Cn－1)＝eq\f(2n＋5,2)－λ·eq\f(2n＋3,2)＝(1－λ)n＋eq\f(5,2)－eq\f(3,2)λ＝常數(shù)，所以λ＝1．即λ＝1時，{Cn＋1－λCn}是等差數(shù)列．14．(2019·無錫期中檢測)在等差數(shù)列{an}中，a1＝3，其前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b1＝1，其前n項(xiàng)和為Tn，且b2＋