（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第四篇 三 求準(zhǔn)提速秒殺填空題試題 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

求準(zhǔn)提速，秒殺填空題填空題具有小巧靈活、結(jié)構(gòu)簡單、運(yùn)算量不大等特點(diǎn).在高考中，填空題的題量較大，共同特點(diǎn)是不管過程，只要結(jié)果.因此解答這類題目除直接法外，還要掌握一些解題的基本策略，避免“小題大做”.解題基本解答策略是：充分利用題目提供的信息作出判斷.先定性后定量，先特殊后推理，先間接后直接，提高解題速度.方法一直接法直接從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識，結(jié)合有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論，有意識地采取靈活、簡捷的解法解決問題.1.已知x∈R，集合A＝{0,1,2,4,5}，集合B＝{x－2，x，x＋2}，若A∩B＝{0,2}，則x＝________.答案0解析因?yàn)锳＝{0,1,2,4,5}，B＝{x－2，x，x＋2}，且A∩B＝{0,2}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝0，,x＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,x＋2＝2，))當(dāng)x＝2時，B＝{0,2,4}，A∩B＝{0,2,4}，不符合題意，舍去；當(dāng)x＝0時，B＝{－2,0,2}，A∩B＝{0,2}，符合題意.所以x＝0.2.已知α滿足sinα＝eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝________.答案eq\f(7,18)解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(\r(2),2)(cosα－sinα)·eq\f(\r(2),2)(cosα＋sinα)＝eq\f(1,2)(cos2α－sin2α)＝eq\f(1,2)(1－2sin2α)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2×\f(1,9)))＝eq\f(7,18).3.已知a，b均為正實(shí)數(shù)，且a＋b＝3，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為________.答案eq\f(4,3)解析因?yàn)閍，b均為正實(shí)數(shù)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))·(a＋b)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\f(2,3)≥eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)＝eq\f(4,3)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立)，即eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為eq\f(4,3).4.若拋物線y2＝4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離是________.答案9解析設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x0，準(zhǔn)線方程為x＝－1，∵點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，根據(jù)拋物線定義得x0＋1＝10，∴x0＝9，因此點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9.5.已知拋物線C1：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且PF＝3，雙曲線C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線恰好過P點(diǎn)，則雙曲線C2的離心率為________.答案eq\r(3)解析設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，由拋物線定義得x0－(－1)＝3，所以x0＝2.又因?yàn)閥eq\o\al(2,0)＝4x0，得y0＝±2eq\r(2)，即P(2，±2eq\r(2)).又因?yàn)殡p曲線C2的漸近線過P點(diǎn)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(2\r(2),2)＝eq\r(2)，故e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3).方法二特值、特例法當(dāng)題目已知條件中含有某些不確定的量，可將題中變化的不定量選取符合條件的恰當(dāng)特殊情形特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、特殊位置、特殊點(diǎn)、特殊方程、特殊模型等進(jìn)行處理，從而得出探求的結(jié)論.為保證答案的正確性，在利用此方法時，可以多取幾個特例.6.cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)的值為________.答案eq\f(3,2)解析令α＝0°，則原式＝cos20°＋cos2120°＋cos2240°＝eq\f(3,2).7.如圖所示，在△ABC中，AO是BC邊上的中線，K為AO上一點(diǎn)，且eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(AK,\s\up6(→))，過點(diǎn)K的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，則m＋n＝________.答案4解析可取特殊位置來解，當(dāng)過點(diǎn)K的直線與BC平行時，MN就是△ABC的一條中位線，這時由于eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AN,\s\up6(→))，因此m＝n＝2，故m＋n＝4.8.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱A1A和B1B上各有一動點(diǎn)P，Q滿足A1P＝BQ，過P，Q，C三點(diǎn)的截面把棱柱分成兩部分，則其體積之比為________.答案2∶1解析將P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此時仍滿足條件A1P＝BQ，則有VP－ABC＝＝.剩余部分的體積為，所以截后兩部分的體積比為2∶1.9.設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線y2＝2x，過焦點(diǎn)的直線l交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝________.答案－eq\f(3,4)解析本題隱含條件是eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的值為定值，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的值與直線l的傾斜角無關(guān)，所以取直線l：x＝eq\f(1,2)，不妨令A(yù)點(diǎn)在x軸上方.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y2＝2x，))可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，于是eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)－1＝－eq\f(3,4).方法三數(shù)形結(jié)合法有些題目條件中的式子或關(guān)系具有明顯的幾何意義，我們可以作出函數(shù)的圖象或幾何圖形，借助于圖象或圖形的性質(zhì)、特征，得出結(jié)論.10.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－[x]，x≥0，,fx＋1，x<0，))其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等.若方程f(x)＝k(x＋1)(k>0)恰有三個不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))解析直線y＝kx＋k(k>0)恒過定點(diǎn)(－1,0)，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝f(x)的圖象和直線y＝kx＋k(k>0)的圖象，如圖所示，因?yàn)閮蓚€函數(shù)圖象恰好有三個不同的交點(diǎn)，所以eq\f(1,4)≤k<eq\f(1,3).11.設(shè)s，t是不相等的兩個正數(shù)，且s＋slnt＝t＋tlns，則s＋t－st的取值范圍為________.答案(1，＋∞)解析由已知s＋slnt＝t＋tlns，可得eq\f(1＋lnt,t)＝eq\f(1＋lns,s).設(shè)f(x)＝eq\f(1＋lnx,x)(x>0)，則f′(x)＝eq\f(－lnx,x2).當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)為減函數(shù).如圖，作出函數(shù)f(x)的圖象，由題意知f(s)＝f(t)，所以s，t為方程f(x)＝m的兩個不同的解.不妨設(shè)s>t，則0<t<1<s，故s＋t－st－1＝(s－1)(1－t)>0，所以s＋t－st>1.12.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log2x|，x>0，,－x2－2x，x≤0，))關(guān)于x的方程f(x)＝m(m∈R)有四個不同的實(shí)數(shù)解x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4的取值范圍為_____________.答案(0,1)解析函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log2x|，x>0，,－x2－2x，x≤0))的圖象如圖所示，關(guān)于x的方程f(x)＝m恰有四個互不相等的實(shí)根x1，x2，x3，x4，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝m有四個不同的交點(diǎn)，則0<m<1，不妨設(shè)從左向右的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，x4.當(dāng)x>0時，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，log2x3＝－log2x4，x3x4＝1，當(dāng)x<0時，由y＝－x2－2x的對稱性知，x1＋x2＝－2，又x1<x2<0，則－x1>－x2>0，(－x1)＋(－x2)＝2，所以0<x1x2＝(－x1)·(－x2)<eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－x1＋－x2,2)))2＝1，所以0<x1x2x3x4<1.13.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log2x|，x>0，,x2＋2x＋2，x≤0，))方程f(x)－a＝0有四個不同的根，記最大的根的所有取值為集合D，若函數(shù)F(x)＝f(x)－kx(x∈D)有零點(diǎn)，則k的取值范圍是________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,eln2)))解析作出函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log2x|，x>0，,x2＋2x＋2，x≤0))的圖象如圖，由圖可知D＝{x|2<x≤4}，函數(shù)F(x)＝f(x)－kx(x∈D)有零點(diǎn)，即方程f(x)＝kx有根，即y＝kx的圖象與y＝f(x)的圖象在(2，4]上有交點(diǎn)，則k的最小值為eq\f(1,2)，設(shè)過原點(diǎn)的直線與y＝log2x的切點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，log2x0))，由y′＝eq\f(1,xln2)，得k＝eq\f(1,x0ln2)，則切線方程為y－log2x0＝eq\f(1,x0ln2)(x－x0)，把(0,0)代入，可得－log2x0＝－eq\f(1,ln2)，即x0＝e，∴切線斜率為eq\f(1,eln2)，即為k的最大值，∴k的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,eln2))).方法四構(gòu)造模型法構(gòu)造模型法是由題目的條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出幾何體、函數(shù)、向量等數(shù)學(xué)模型，然后在模型中進(jìn)行推導(dǎo)與運(yùn)算，達(dá)到快速解題的目的.構(gòu)造模型法是建立在觀察聯(lián)想、分析綜合的基礎(chǔ)之上的，細(xì)致觀察題目中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、形式上的特點(diǎn)，通過分析、聯(lián)想、類比接觸過的數(shù)學(xué)模型，尋找靈感構(gòu)造具體的數(shù)學(xué)模型.14.點(diǎn)A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD兩兩垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，則該球的表面積為______________.答案14π解析三棱錐A－BCD的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，所以可把它補(bǔ)為長方體，而長方體的體對角線長為其外接球的直徑.長方體的體對角線長是eq\r(12＋22＋32)＝eq\r(14)，所以它的外接球半徑是eq\f(\r(14),2)，外接球的表面積是4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(14),2)))2＝14π.15.中國古代數(shù)學(xué)名著《張丘建算經(jīng)》中記載：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半，疾七日，行七百里”.其意思是：現(xiàn)有一匹馬行走的速度逐漸變慢，每天走的里數(shù)是前一天的一半，連續(xù)行走7天，共走了700里.若該匹馬按此規(guī)律繼續(xù)行走7天，則它這14天內(nèi)所走的總路程為___里.答案eq\f(22575,32)解析由題意，該匹馬每日所行路程構(gòu)成等比數(shù)列{an}，其中首項為a1，公比q＝eq\f(1,2)，S7＝700,則700＝eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))7)),1－\f(1,2))，解得a1＝eq\f(350×128,127)，那么S14＝eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))14)),1－\f(1,2))＝eq\f(22575,32).16.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若2f(x)－f′(x)<2，f(0)＝2018，則不等式f(x)>2017e2x＋1(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為________.答案(0，＋∞)解析構(gòu)造函數(shù)F(x)＝eq\f(fx－1,e2x)，則F′(x)＝eq\f(f′xe2x－[fx－1]·2e2x,e2x2)＝eq\f(f′x－2fx＋2,e2x)>0，故函數(shù)F(x)＝eq\f(fx－1,e2x)在R上為增函數(shù)，又因?yàn)镕(0)＝eq\f(f0－1,e0)＝2018－1＝2017，因此不等式F(x)>2017的解集為(0，＋∞).17.如圖，已知球O的球面上有四點(diǎn)A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r(2)，則球O的體積為________.答案eq\r(6)π解析如圖，以DA，AB，BC為棱長構(gòu)造正方體，設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑.∴CD＝eq\r(\r(2)2＋\r(2)2＋\r(2)2)＝2R，∴R＝eq\f(\r(6),2)，故球O的體積V＝eq\f(4πR3,3)＝eq\r(6)π.1.原命題p：“設(shè)a，b，c∈R，若a>b，則ac2>bc2”以及它的逆命題，否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為________.答案2解析由當(dāng)c＝0時，ac2＝bc2＝0，得原命題為假命題，則其逆否命題為假命題，原命題的逆命題為“設(shè)a，b，c∈R，若ac2>bc2，則a>b”，為真命題，則原命題的否命題為真命題.2.設(shè)a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45則a，b，c的大小關(guān)系為________.(用“<”連接)答案b<a<c解析因?yàn)閍＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，顯然a<1，b<1，c>1，所以c的值最大.又因?yàn)?<log53<log54<1，所以log54>(log53)2，即a>b.綜上b<a<c.3.某流程圖如圖所示，若輸出的S＝57，則判斷框內(nèi)應(yīng)填________.答案k>4解析程序在運(yùn)行過程中各變量值變化如下：kS是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11/第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557否故退出循環(huán)的條件應(yīng)為k>4.4.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lg－x|，x<0，,x2－6x＋4，x≥0，))若關(guān)于x的函數(shù)y＝[f(x)]2－bf(x)＋1有8個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(17,4)))解析∵函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lg－x|，x<0，,x2－6x＋4，x≥0，))作出f(x)的簡圖，如圖所示，由圖象可得當(dāng)f(x)在(0,4]上任意取一個值時，都有四個不同的x與f(x)的值對應(yīng).再結(jié)合題中函數(shù)y＝[f(x)]2－bf(x)＋1有8個不同的零點(diǎn)，可得關(guān)于k的方程k2－bk＋1＝0有兩個不同的實(shí)數(shù)根k1，k2，且0<k1≤4,0<k2≤4.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4>0，,0<\f(b,2)<4，,0－b×0＋1>0，,16－4b＋1≥0，))解得2<b≤eq\f(17,4).5.已知函數(shù)f(x)＝－eq\r(9－x2)與函數(shù)g(x)＝k(x－3)＋4的圖象上存在兩對關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,24)，\f(2,3)))解析由題意知方程f(x)＋g(x)＝－eq\r(9－x2)＋k(x－3)＋4＝0，即方程eq\r(9－x2)＝k(x－3)＋4有兩個不同的解，等價于y1＝eq\r(9－x2)，y2＝k(x－3)＋4的圖象有兩個交點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)y2＝k(x－3)＋4過點(diǎn)(－3,0)時，k有最大值，此時k＝eq\f(4－0,3－－3)＝eq\f(2,3).當(dāng)直線y2＝k(x－3)＋4與曲線y1＝eq\r(9－x2)相切時，恰有一個交點(diǎn)，此時滿足eq\f(|4－3k|,\r(k2＋1))＝3，所以k＝eq\f(7,24).綜上，k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,24)，\f(2,3))).6.在四面體ABCD中，若AB＝CD＝eq\r(3)，AC＝BD＝2，AD＝BC＝eq\r(5)，則四面體ABCD的外接球的表面積為________.答案6π解析如圖所示，該四面體的四個頂點(diǎn)為長方體的四個頂點(diǎn)，設(shè)長、寬、高分別為a，b，c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝5，,a2＋c2＝4，,b2＋c2＝3，))三式相加得a2＋b2＋c2＝6，因?yàn)樵撍拿骟w的外接球直徑為長方體的體對角線長，所以4R2＝a2＋b2＋c2＝6，所以外接球表面積S＝4πR2＝6π.7.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.答案18解析把平行四邊形ABCD看成正方形，則點(diǎn)P為對角線的交點(diǎn)，AC＝6，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝18.8.若銳角α，β，γ滿足cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，那么tanα·tanβ·tanγ的最小值為________.答案2eq\r(2)解析如圖，構(gòu)造長方體ABCD—A1B1C1D1，設(shè)AB＝a，AD＝b，AA1＝c，∠C1AB＝α，∠C1AD＝β，∠C1AA1＝γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.從而有tanαtanβtanγ＝eq\f(\r(b2＋c2),a)·eq\f(\r(a2＋c2),b)·eq\f(\r(a2＋b2),c)≥eq\f(\r(2bc)\r(2ac)\r(2ab),abc)＝2eq\r(2).當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，tanαtanβtanγ取最小值2eq\r(2).9.eq\f(e4,16)，eq\f(e5,25)，eq\f(e6,36)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的大小關(guān)系是________.答案eq\f(e4,16)<eq\f(e5,25)<eq\f(e6,36)解析由于eq\f(e4,16)＝eq\f(e4,42)，eq\f(e5,25)＝eq\f(e5,52)，eq\f(e6,36)＝eq\f(e6,62)，故可構(gòu)造函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x2)，于是f(4)＝eq\f(e4,16)，f(5)＝eq\f(e5,25)，f(6)＝eq\f(e6,36).上單調(diào)遞增，所以f(4)<f(5)<f(6)，即eq\f(e4,16)<eq\f(e5,25)<eq\f(e6,36).10.在數(shù)列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an＋1，則數(shù)列{an