天津市河?xùn)|區(qū)三年（2021屆-2023屆）高考數(shù)學(xué)模擬（一模）題按題型匯編

天津市河?xùn)|區(qū)三年（2021屆-2023屆）高考數(shù)學(xué)模擬（一模）

題按題型匯編

一、單選題

1.（2023?天津河?xùn)|?一模）已知集合A={l,3,∕},B={l,α+2）,AKJB=A,則實(shí)數(shù)。的

值為（）

A.{2}B.{-l,2}C.{1.2}D.{0,2}

2.（2023?天津河?xùn)|?一模）命題“有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)”的否定是（）

A.任意一個(gè)奇數(shù)是素?cái)?shù)B.存在一個(gè)偶數(shù)不是素?cái)?shù)

C.存在一個(gè)奇數(shù)不是素?cái)?shù)D.任意一個(gè)偶數(shù)都不是素?cái)?shù)

3.（2023?天津河?xùn)|?一模）如圖中，①②③④中不屬于函數(shù)y=3',y=2",y=（g）中

C.③D.@

4.（2023?天津河?xùn)|?一模）《天津日?qǐng)?bào)》2022年11月24日?qǐng)?bào)道，我市扎實(shí)推進(jìn)實(shí)施深

入打好污染防治攻堅(jiān)戰(zhàn)力+3+8”行動(dòng)方案，生態(tài)環(huán)境質(zhì)量持續(xù)穩(wěn)定向好，特別是大氣環(huán)

境質(zhì)量改善成效顯著.記者從市生態(tài)環(huán)境局獲悉，1至10月份，全市PM2.5平均濃度

為34微克/立方米、同比改善8.1%,優(yōu)良天數(shù)222天，同比增加3天，重污染天2天，

同比減少4天，為10年來(lái)最好水平.小明所在的數(shù)學(xué)興趣小組根據(jù)2022年8月天津市

空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）趨勢(shì)圖繪制頻率分布直方圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

天津2022年08月份空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)

70

B.小明根據(jù)極差確定組距為7,共分為6組

C.當(dāng)分為6組時(shí)，小組[23,30）,[37,44）的頻數(shù)分別為5,9

當(dāng)分為6組時(shí)，小組卬。）對(duì)應(yīng)縱軸值（|頻率|）約為。.023

D.

（2023?天津河?xùn)|?一模）已知函數(shù)f（x）=cos（4x+/J,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的為（）

5.

A.最小正周期為B./（幻為偶函數(shù)

在?單調(diào)遞減π

C.D./

2O

6.（2023?天津河?xùn)|.一模）已知雙曲線?3。,…）的實(shí)軸為4,拋物線

y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)，拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為尸（4,⑼，則雙

曲線的漸近線方程為（）

y=Ay=A2

A.B.C.>,=±-xD.y=±是X

334

7.（2023?天津河?xùn)|?一模）已矢IIa=Ige,?=In0.8,c=eωt,則。，h,C的大小順序?yàn)?/p>

)

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<b<a

8.（2023?天津河?xùn)|?一模）在面積為4的扇形中,其周長(zhǎng)最小時(shí)半徑的值為（）

A.4B.2√2C.2D.1

9?（2023?天津河?xùn)|?一模）定義在R上的偶函數(shù)/⑴滿足"2+x）=f（2r）,當(dāng)χ∈[-2,0]

時(shí)，f（x）=x+2,設(shè)函數(shù)MX）=e+7（-2<X<6）（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）,則/（x）與MX）

的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（）

A.5B.6C.7D.8

10.（2022?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）已知全集U=R,A={xb≤0},B={x∣x≥2},則集合

試卷第2頁(yè)，共12頁(yè)

加（AuB）=（）

A.{x∣x>0}B.{x∣x<2）C.{xlθ≤x≤2}D.{x∣0<x<2}

11.（2022?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）"04a<1且O<1vl''是"log，>O”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不

必要條件

12.（2022?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）一個(gè)頻率分布表（樣本容量為30）不小心被損壞了一部分

（如圖），只記得樣本中數(shù)據(jù)在［20,60）上的頻率為。8,則估計(jì)樣本在［40,60）內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)

數(shù)為（）

分組［10,20）［20,30）［30,40）/

________________________________，

敏345/

A.13個(gè)B.14個(gè)

C.15個(gè)D.18個(gè)

13.（2022?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）函數(shù)y=χ2-2"xe∕?）的部分圖象可能是

B-?C,

?-?∕4?L

?JO?√*

d?人.

c

?7P?η≠Tx-7?\7*

14.（2022?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）設(shè)/（χ）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在（y,o）上單調(diào)遞

增，則（）

A.小g3j>m:B.小斗尸卜/回；）

C./［*）>/產(chǎn)卜產(chǎn)、D.f（f?r產(chǎn)）>小og］）

15.（2022?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）如圖,幾何體是由長(zhǎng)方體ABCO-A4GA中挖去四棱

錐O-EfHG和O-A。RA后所得，其中。為長(zhǎng)方體的中心，E、F、H、G分別為所在

棱的中點(diǎn)，其中A8=3C=6,AA=4,則該幾何體的體積是（）

22

16.（2022.天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）已知雙曲線C/3}=1（"°,八°）的焦點(diǎn)為

E（O,-C）、6（0,c）,拋物線G：y=；f的準(zhǔn)線與G交于M、N兩點(diǎn)，且三角形MNE

為正三角形，則雙曲線G的離心率為（）

A.√3B.C.叵D.巫

232

17.（2022?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)（兀，-1）處的切線方程為

A.x-y-π-?=0B.2x-γ-2π-l=0

C.2x+γ-2π+l=0D.x+y-π+l=0

，2

r-x÷3,x≤1,

18.（2022?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（%）=2設(shè)αeR,若關(guān)于X的

x+-9x>1.

X

不等式f（x）2∣1+α∣在R上恒成立，則a的取值范圍是

474739-r39

A.[--,2]B.C?l[-26⑵D.[-2?v∕3,?--]

16161616

19.（2021?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）己知集合U=AB={xeN∣0≤x<6},

Ac&B）={1,3,5},集合8為（）

A.{2,4}B.{2,4,6}C.{θ,2,4}D.不確定

20.（2021?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）命題p：W>3,命題4"2>y2,命題。是命題q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

21.（2021?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（x）=e*+x,g（x）=logɑ3X-xM（x）=χ3+x,

它們的零點(diǎn)。,仇。的大小順序?yàn)椋ǎ?/p>

A.b>a>cB.b>c>aC.a>h>cD.a>c>b

試卷第4頁(yè)，共12頁(yè)

22.(2021?天津河?xùn)|.統(tǒng)考一模)自新冠疫情爆發(fā)以為，中國(guó)政府勇?lián)?dāng)、善作為，以保

障人民生命安全為自己任，以世界合作共贏為原則，為世界樹(shù)立了疫情防控的標(biāo)桿，截

止2021年2月5日疫情實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)如圖1所示.反觀美國(guó)政府應(yīng)對(duì)疫情政策遲緩，圖2為

2020年6月28日隨機(jī)抽取美國(guó)8個(gè)州的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)下列說(shuō)法不正確的是()

數(shù)據(jù)更新至2021.02.05.17.00

2030755436

現(xiàn)有確診無(wú)癥狀現(xiàn)有疑似現(xiàn)有重癥

昨日T41昨日+28昨日+3昨日T3

1012284772943674831

累計(jì)確診境外輸入累計(jì)治愈累計(jì)死亡

昨日+44昨日+14昨日+183昨日+2

圖1

地區(qū)累計(jì)死亡治愈

佛羅里達(dá)州122960336633841

加利福尼亞州206623587250245

得克薩斯州142766236763812

亞利桑那州6645815356863

新澤西州1757591505729101

伊利諾伊州141344704856643

佐治亞州72995277026844

北卡羅來(lái)納州59080134729219

圖2

A.抽取數(shù)據(jù)中各州累計(jì)感染人數(shù)平均約為12.35萬(wàn)(小數(shù)點(diǎn)后保留兩位有效數(shù)字)

B.數(shù)據(jù)中死亡人數(shù)的極差為13710,中位數(shù)為3068

C.通過(guò)計(jì)算死亡人數(shù)的平均值約4920人，美國(guó)有50個(gè)州和一個(gè)特區(qū)，

4920x51=250920,依此可以斷定此時(shí)全美死亡人數(shù)為25萬(wàn)余人

D.抽取的數(shù)據(jù)中亞利桑那州治愈率最低，北卡羅來(lái)納州治愈率最高

23.(2021?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模)已知/(x)=2SinXCoSx+后CoS2x,將y=∕(x)圖象向

左平移。個(gè)單位(0<S<^)得到函數(shù)y=g(χ)的圖象，函數(shù)g(χ)的一個(gè)對(duì)稱軸為X=',

則下列說(shuō)法正確的是()

A.g(x)最小正周期為B.g(x)為奇函數(shù)

c.φ=WD.g

6

丫22

24.（2021?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）已知雙曲線的實(shí)軸為26，直線

2

y二§X與雙曲線交于A、8兩點(diǎn)，A、6兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為-9,則離心率e為（）

57D.叵

A.C.

337

25.（2021?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）已知。>0力>。,且"=。+/?+3,則。+/?的最小值為

）

A.4B.8C.7D.6

VX

26.（2021?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）已知（>0,y>0,ln2>lg-,則（）

?y

11yXVX

A.->—B.smy>sm%C.—<—D.

XyXyex>10

27.（2021?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）已知圓。上有三點(diǎn)A、B、C,43=2且ZACB=90,

_B1Q

。為BC中點(diǎn)，AQ延長(zhǎng)線與圓。交于點(diǎn)E,如圖，AE-AB=-,則AO?BC的值為（）

8.或

C.--?k-ιD.qI

二、填空題

25

28.（2023?天津河?xùn)|?一模）i是復(fù)數(shù)單位，化簡(jiǎn)百萬(wàn)的結(jié)果為.

29.（2023?天津河?xùn)|?一模）（V+3丫的展開(kāi)式中，χ9項(xiàng)的系數(shù)為.（用數(shù)字作

答）

30.（2023?天津河?xùn)|?一模）已知直線x+>+2=0與圓V+y2+2χ-2y+a=0相切，則滿

足條件的實(shí)數(shù)。的值為.

31.（2023?天津河?xùn)|?一模）如圖所示，一個(gè)由圓錐和圓柱組成的玻璃容器，中間聯(lián)通（玻

璃壁厚度忽略不計(jì)），容器中裝有一定體積的水，圓柱高為10,底面半徑為3,圓錐高

為/?,底面半徑大于圓柱，左圖中，圓柱體在下面，液面保持水平，高度為〃，右圖中

將容器倒置，水恰好充滿圓錐，則圓錐底面的半徑為.

試卷第6頁(yè)，共12頁(yè)

32.（2022?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）i是復(fù)數(shù)單位，若Z=二，則IZl=.

33.（2022?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）（l+2χ2）（l+x）3的展開(kāi)式中/的系數(shù)為.（用

數(shù)字作答）

34.（2022?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）已知圓C與圓r+V+lOx+lOy=。相切于原點(diǎn)，且過(guò)

點(diǎn)A（0,-6）,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

35.（2022.天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)"x）=sin（2x-?,若方程〃x）=；在區(qū)間

χ

（0,%）上的根為不*2（不<2）>則ta∏（x∣+x2）=.

36.（2021?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）i是復(fù)數(shù)單位,若（1+2z）z=4+3i,z的虛部為.

37.（2021.天津河?xùn)|.統(tǒng)考一模）一的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作

答）

38.（2021?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）已知拋物線V=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,拋物線上一

點(diǎn)P,PQ與準(zhǔn)線/垂直且交于點(diǎn)。，以尸。為直徑的圓被/截得的弦長(zhǎng)為2々，則尸尸的

長(zhǎng)度為.

39.（2021?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（x）=α'（α>0MHl）的圖象在（0,1）處的切線

方程為y=2x+l,若/（x）≥∕≡+x恒成立，則實(shí)數(shù)小的取值范圍為.

三、雙空題

40.（2023?天津河?xùn)|?一模）甲、乙兩名射手射中10環(huán)的概率分別為?（兩人射中

10環(huán)與否相互獨(dú)立），已知兩人各射擊1次.兩人都射中10環(huán)的概率為；兩

人命中10環(huán)的總次數(shù)為X,則隨機(jī)變量X的期望為.

41.（2023?天津河?xùn)|?一模）己知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1,射線A5、AC上分別有

一動(dòng)點(diǎn)M和N（點(diǎn)C在點(diǎn)A與N之間），當(dāng)AM=CN=；時(shí)，CM?BN的值為;

當(dāng)AM=2CN時(shí)，CMBN的最小值為.

42.（2022?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）“11分制''乒乓球比賽,每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10

平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單

打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0?5,乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果

相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，若甲先發(fā)球，兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束的概率

為;若乙先發(fā)球，兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束，則甲獲勝的概率為

43.（2022?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）在矩形A8C。中，AB=2,AD=?,P是對(duì)角線AC上

一點(diǎn)，AP=-AC,過(guò)點(diǎn)P的直線分別交OA的延長(zhǎng)線、。C于M,N,貝IJ

DP.BP=，若DM="iDA,DN=nDC{m>0,π>0）,貝∣J2%+3〃的最小值

為.

44.（2021.天津河?xùn)|.統(tǒng)考一模）天津?yàn)I海文化中心地天津?yàn)I海新區(qū)開(kāi)發(fā)區(qū)，是天津乃至

京津冀地區(qū)的標(biāo)志性文化工程.其中濱海圖書(shū)館建筑獨(dú)具特色，被稱為“濱海之眼”，如圖

所示，中心球狀建筑引起了小明的注意，為了測(cè)量球的半徑，小明設(shè)計(jì)了兩個(gè)方案，方

案甲，構(gòu)造正三棱柱側(cè)面均與球相切如圖所示，底面邊長(zhǎng)約為30米，估計(jì)此時(shí)球的完

整表面積為平方米；方案乙，測(cè)量球被地面截得的圓的周長(zhǎng)約為16乃米，地

面到球頂部高度約為16米，估計(jì)此時(shí)球的完整體積為_(kāi)________立方米，你認(rèn)為哪種

方案好呢？

12

45.（2021?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模）甲、乙兩名弓箭手射中10環(huán)的概率分別為（兩人

試卷第8頁(yè)，共12頁(yè)

射中10環(huán)與否相互獨(dú)立)，若兩人各射出1箭，共射中1次10環(huán)的概率為

若兩人各射出2箭，總命中10環(huán)數(shù)為X,則隨機(jī)變量X的期望為.

四、解答題

46.(2023?天津河?xùn)|?一模)在三角形ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,J已

知SinA=Sin23,a=4,b=6.

(1)求COSB的值;

⑵求C的值；

(3)求sin(28+C)的值.

47.(2023?天津河?xùn)|?一模)在蘇州博物館有一類典型建筑八角亭，既美觀又利于采光，

其中一角如圖所示，為多面體ABCDE-ABCIRE∣,ABYAE,AE//BC,AB//ED,

AA，底面ABa)E,四邊形AMGA是邊長(zhǎng)為2的正方形且平行于底面，AB//A^,

D1E,BIB的中點(diǎn)分別為F,G,AB=AE=2DE=2BC=4,AAt=I.

(1)證明：尸G〃平面GCO；

(2)求平面C。。與平面AA8∣B夾角的余弦值;

(3)一束光從玻璃窗面GCD上點(diǎn)G射入恰經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(假設(shè)此時(shí)光經(jīng)過(guò)玻璃為直射)，求

這束光在玻璃窗C1CO上的入射角的正切值.

48.(2023?天津河?xùn)|?一模)設(shè)｛q,｝是等差數(shù)列，也,｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，

b、=—q=%—匕2=“4—03=].

⑴求數(shù)列｛α,,｝與例｝的通項(xiàng)公式；

⑵｛叫的前”項(xiàng)和為S,,,求證：2'=如；

(^)求Zqd-i+ι.

i=?

49.(2023?天津河?xùn)|?一模)已知橢圓C:￡+g=l(“>b>0)的離心率為手，右焦點(diǎn)為

F(2,0).

(1)求橢圓方程：

(2)過(guò)點(diǎn)F的直線/與橢圓交于A,8兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與直線x=3交于點(diǎn)C,

ABC為等邊三角形，求直線/的方程.

4?/7X

50.(2023?天津河?xùn)|?一模)已知函數(shù)/(x)=0x-』，^(x)=In-.

X2

(1)求函數(shù)/(x)在點(diǎn)(IJ⑴)處的切線方程；

⑵尸(X)=g(x)-/(x),0<a<4,x>0.

4

(i)證明F(X)+尸(：)=0；

(ii)求函數(shù)尸(X)在區(qū)間(0，,)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)證明.

51.(2022?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模)已知&ΛBC的三個(gè)角A,B,C所對(duì)的邊為mb,c,若

a=3,b-c=2,且COS(A+C)=g.

⑴求AC的值；

⑵求sin(8+2C)的值.

52.(2022?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模)如圖，四棱錐S-ABCQ中，底面ABC。為矩形，SA_1平

≡ABCD,E、F分別為AL>、SC的中點(diǎn)，EF與平面ABC。所成的角為45。.

(1)證明：EFl平面SBC；

⑵若EF=^BC,求平面SCD和平面BSC的夾角的余弦值.

53.(2022.天津河?xùn)|.統(tǒng)考-模)已知數(shù)列｛%｝是公比大于1的等比數(shù)列，S“為數(shù)列｛q｝

的前〃項(xiàng)和，$3=7,且q+3,3々，陽(yáng)+4成等差數(shù)列.數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和為4,,

滿足冬一乙=(，且A=L

n+1n2

(1)求數(shù)列｛叫和色｝的通項(xiàng)公式；

試卷第10頁(yè)，共12頁(yè)

丁一為奇數(shù)f、

(2)令c,=",,?%2,求數(shù)列｛%｝的前2〃項(xiàng)和為。2.；

ql?%w為偶數(shù)

22

54.(202Z天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模)設(shè)橢圓C的方程為1+5=l(">分>0),。為坐標(biāo)原

ab

點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，B(√Σ,0)為其右焦點(diǎn)，￡>是線段AB的中點(diǎn)，且。DLAB.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為正數(shù)的直線交橢圓C于尸，Q兩點(diǎn)，分別作PELx軸，QF-i-x

軸，垂足分別為E,F,連接QE,尸尸并延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)M,N兩點(diǎn).

(i)判斷APQM的形狀；

(ii)求四邊形PMQN面積的最大值.

55.(2022.天津河?xùn)|.統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=Inx.

⑴討論函數(shù)g(x)=F(x)+旨的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)MX)=e"-In(x+1)-Ox?(a>0)在(0,+∞)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

①求證：此零點(diǎn)是MX)的極值點(diǎn)；

2i

②證明：Te——<a<e,——.

32

(本題可能用到的數(shù)據(jù)為Gal.65,ln2≈0.7,ln3≈l.l)

56.(2021?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模)己知銳角三角形A8C的三個(gè)角A3,C所對(duì)的邊為α*,c,

在

?Z>cosC+λ∕3?sinC-a+c

②2。SinA=y∕3a

③SinA(C-α)=(c-b)(SinC+sinβ)

三個(gè)條件中任選一個(gè)完成下列問(wèn)題(如果使用多個(gè)條件按第一個(gè)解法計(jì)分).

(1)求B；

(2)b=2,三角形ABC的面積為百，求“，c.

57.(2021?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模)在濱海文化中心有天津?yàn)I海科技館，其建筑有鮮明的后

工業(yè)風(fēng)格，如圖所示，截取其中一部分抽象出長(zhǎng)方體和圓臺(tái)組合，如圖所示，長(zhǎng)方體

ABCD-AAGA中，AB=4,AD=AAl=2,圓臺(tái)下底圓心。為AB的中點(diǎn)，直徑為2,

圓與直線AB交于田尸，圓臺(tái)上底的圓心01在A向上，直徑為1.

D1

(1)求AC與平面AED所成角的正弦值;

(2)求二面角E-A。-尸的余弦值;

(3)圓臺(tái)上底圓周上是否存在一點(diǎn)P使得尸PLAG,若存在，求點(diǎn)P到直線A片的距

離，若不存在則說(shuō)明理由.

y22_2

58.(2021?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模)己知橢圓C:=+Mv=l(a>6>0)的離心率為且左

ab~3

頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為5.

(1)求橢圓方程；

(2)橢圓上有兩點(diǎn)A,B,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且40,80,證明存在定點(diǎn)使得M到直

線A8的距離為定值，并求出定值.

59.(2021?天津河?xùn)|?統(tǒng)考一模)已知等差數(shù)列｛”,,｝和正項(xiàng)等比數(shù)列也｝,αl=-5,?l=2,

出既是4-%與的等差中項(xiàng)，又是其等比中項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛%｝和也,｝的通項(xiàng)公式；

(2)cn=?an?,求數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和S“；

6∕2+11

(3)證明：∑t-

,=2^-lp.+12

60.(2021.天津河?xùn)|.統(tǒng)考一模)已知函數(shù)"x)=lnx+Wp2(αwR).

(1)當(dāng)“=6時(shí)，求函數(shù)"x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)α=4時(shí)，證明：/(x)>0在(l,+∞)上恒成立；

2

(3)證明：當(dāng)x>0時(shí)，In(X+1)>」一.

試卷第12頁(yè)，共12頁(yè)

參考答案：

1.A

【分析】由題設(shè)知BqA,討論4+2=3、α+2=/求“值，結(jié)合集合的性質(zhì)確定α值即可.

【詳解】由AuB=A知：BgA,

當(dāng)a+2=3,即α=l,則,J=1,與集合中元素互異性有矛盾，不符合；

當(dāng)α+2=α2,即α=-I或α=2,

若α=T,則/=1,與集合中元素互異性有矛盾，不符合；

若a=2,則4={1,3,4},B={l,4},滿足要求.

綜上，a=2.

故選：A

2.D

【分析】根據(jù)存在量詞命題PHXeM,p(x),否定為［p:VXWM,「p(x),即可解得正確結(jié)果.

【詳解】由于存在量詞命題PHxeM,p(x),否定為?：Vx∈M,f(x).所以命題，有一個(gè)偶

數(shù)是素?cái)?shù)''的否定是“任意一個(gè)偶數(shù)都不是素?cái)?shù)

故選：D

3.B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象的特征即可得答案.

【詳解】解：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：

①是y=(g］的部分圖象；③是y=2"的部分圖象；④是＞=3”的部分圖象；

所以只有②不是指數(shù)函數(shù)的圖象.

故選：B.

4.C

【分析】選項(xiàng)A：根據(jù)極差的概念求解；

選項(xiàng)B：根據(jù)極差確認(rèn)組距，分組；

選項(xiàng)C：根據(jù)對(duì)應(yīng)區(qū)間確認(rèn)頻數(shù)；

頻率

選項(xiàng)D:根據(jù)贏f確定對(duì)應(yīng)縱軸值；

【詳解】選項(xiàng)A：根據(jù)極差=最大值-最小值，極差為64-23=41,故A對(duì)；

選項(xiàng)B：根據(jù)極差41確認(rèn)組距，分組一般為512組，組距為7,剛好分為6組，故B對(duì)；

答案第1頁(yè)，共40頁(yè)

選項(xiàng)C：根據(jù)對(duì)應(yīng)區(qū)間確認(rèn)頻數(shù)，小組[23,30),[37,44)的頻數(shù)分別為5,10,C錯(cuò)；

選項(xiàng)D：根據(jù)縱軸值頻=率篇=募53=0.023,故D對(duì)；

故選：C

5.B

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可得/(x)=cos(4x+5)=-sin4x,然后結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)

選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果；

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=8s(4x+^)=-sin4x為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

最小正周期為7=：2π=三Tr，故A正確；

42

rrITTTkTTk

令——+2kπ≤4x≤—+2kπ,?∈Z,解得——÷-π≤x≤-+—π,?∈Z,

228282

TTIcTTk

即函數(shù)/(x)的單調(diào)減區(qū)間為一丁+彳兀=+τπ,?∈z

oZoZ7

當(dāng)Z=O時(shí)，即為，?∈Z,故C正確；

OO

故選:B

6.A

【分析】求出α=2,p=4,將P(4,m)代入雙曲線和拋物線，求出蘇=8p=32,b

進(jìn)而求出漸近線方程.

【詳解】由題意得為=4,α=2,故雙曲線左頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-40),

拋物線的準(zhǔn)線為x=-4，故。=4，解得P=4,

22

點(diǎn)P(4,⑼為拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，故病=8p=32,f-∕=l,

即4一年=1,解得從=[,解得b=還,

b33

4√6

故雙曲線的漸近線方程為b??2^6.

y=±-x=±^-x=±---X

a23

故選：A

7.C

【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得c>l,由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得力從而即可得答

答案第2頁(yè)，共40頁(yè)

案.

【詳解】解：因?yàn)閏=e°8>e°=l,?=lnO.8<lnl=O,

O=IglVa=Ige<IglO=1,

所以∕?vα<c.

故選：C.

8.C

【分析】設(shè)扇形的半徑為R(R>O),圓心角為α,根據(jù)扇形的面積公式將α用H表示，再根

據(jù)扇形的弧長(zhǎng)和周長(zhǎng)公式結(jié)合基本不等式即可得解.

【詳解】設(shè)扇形的半徑為R(R>O),圓心角為α,

1Q

貝∣J]CR2=4,所以&=木，

則扇形的周長(zhǎng)為2R+αR=2R+'≥2j2R?*=8,

R?R

Q

當(dāng)且僅當(dāng)2R=g即R=2時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)a=2,

R

所以周長(zhǎng)最小時(shí)半徑的值為2.

故選：C.

9.D

【分析】根據(jù)已知條件求出〃x)的周期，利用周期性和偶函數(shù)作出"x)在區(qū)間(-2,6)的圖

象，以及〃(X)=e÷T(-2<x<6)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】因?yàn)?(x)滿足/(2+x)=∕(2-x),

所以/(x)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

因?yàn)?(x)是R上的偶函數(shù)，所以/(x)圖象關(guān)于直線X=O對(duì)稱，

所以“x)的周期為4,

〃(x)=e-Z(_2<X<6)的圖象關(guān)于直線X=2對(duì)稱，

由Xe[—2,0]時(shí)，/(x)=x+2,作出〃x)圖象如圖和MX)=e+T(—2<x<6)的圖象

答案第3頁(yè)，共40頁(yè)

由圖知/(A-)與MX)的圖象在區(qū)間(-2,6)有四個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為X∣,X2,X3,??，

8

所以％+%+?+%4=，

所以/(x)與MX)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為8,

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是得出兩個(gè)函數(shù)圖象都關(guān)于x=2對(duì)稱，兩個(gè)函數(shù)

圖象的交點(diǎn)應(yīng)關(guān)于x=2對(duì)稱，數(shù)形結(jié)合判斷出交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用對(duì)稱性求交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

10.D

【分析】根據(jù)并集和交集的定義即可的解.

【詳解】解:因?yàn)閁=R,A={x∣x≤0},B={x∣x≥2},

所以AuB={x∣xN2或x≤0},

所以0(AuB)={x∣O<x<2}.

故選：D.

11.D

【分析】根據(jù)充分性和必要性的定義及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義和單調(diào)性即可得出答案.

【詳解】當(dāng)()≤4<1且O<b<l時(shí)，log*>0不成立，因?yàn)棣?0時(shí)，bg∕>0無(wú)意義，所以

充分性不成立.

當(dāng)Iog*>。時(shí)，有可能得到4>l且b>l,所以不是必要條件.

因此"O<α<l且0<。<1”是“1嗚10”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

12.C

答案第4頁(yè)，共40頁(yè)

【解析】首先根據(jù)公式樣本容量乘以頻率=頻數(shù)，計(jì)算樣本在［40,60)內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù).

【詳解】由條件可知樣本中數(shù)據(jù)在［20,60)上的頻率為0.8,所以此區(qū)間的頻數(shù)為30x0.8=24,

那么［40,60)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)就是24-4-5=15個(gè).

故選：C

13.C

【分析】由奇偶性排除仇。，由特殊點(diǎn)排除A,從而可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(―X)=(-力-戮T=X2-2W=T(X),

所以y=∕(χ)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

可排除選項(xiàng)民。；

取X=O,則y=-l,可排除A,故選C

【點(diǎn)睛】本題通過(guò)對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近

年高考常見(jiàn)的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多，但是并不是無(wú)路可

循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)

以及x→0+,x→(Γ,xf+∞,x→-8時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，利用排除法，將不合題意的選

項(xiàng)一一排除.

14.B

32

【分析】先由題意得到函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減，再由k>g?4>l,0<2-5<2q<i,利用單調(diào)

性求解.

【詳解】解：因?yàn)閒(χ)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(y,0)上單調(diào)遞增，

所以在(O,+8)上單調(diào)遞減，

32

i5

^?log34>l,0<2^<2^<1>

所以f(2B>∕］2B>f(log34),

故選：B

答案第5頁(yè)，共40頁(yè)

15.C

【分析】求出長(zhǎng)方體的體積，減去兩個(gè)四棱錐體積即可得答案.

【詳解】

vo-EFHG=?,SEFHG'?=×BCBB↑-4××?×??=?×(24-2×3×2)×3=12,

vΛDΛ4424

O-ADDlA,=j??A?^=I×∣-=I×6××3=>

v

ΛBCD-ΛlBtClDl=6×6×4=144,

...該幾何體的體積是：144-12-24=108.

故選：C.

16.A

【分析】求得IMKI=￡,NMA4=30,由tan30=陷=:一=半可得出關(guān)于。、C的

11aIKEl24c3

齊次等式，結(jié)合e>l可求得-的值，即可得解.

【詳解】拋物線G的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=4cy,該拋物線的準(zhǔn)線方程為V=-e`,

，y=-c=+且2

聯(lián)立y2χ2可得X一一7，所以，阿娟=幺，

[a2b2Iy=-C

因?yàn)镸N心為等邊三角形，且"為MN的中點(diǎn)，則NM5耳=30且MN，耳月，

所以，tan30=--'!=-—=~~>BP?j3b2—2ac,即石c°—2ac—6/=0,

∣rlΓ2∣2ac3

所以，√3e2-2e>-√3=0,因?yàn)閑>l,解得e=√L

故選：A.

17.C

【分析】先判定點(diǎn)5,T)是否為切點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.

【詳解】當(dāng)X=4時(shí)，?=2sinπ+cosπ=-l,即點(diǎn)(π,-l)在曲線y=2sinx+cosx

上..y'=2cosx-SinX,.?.y'k"=2cos;T-Sinl=-2,則y=2sinx+cosx在點(diǎn)(兀,-1)處的切線

方程為y-(-∣)=-2(x-π),Bp2x+γ-2π+l=0.故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)工具研究曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)

算素養(yǎng).采取導(dǎo)數(shù)法，利用函數(shù)與方程思想解題.學(xué)生易在非切點(diǎn)處直接求導(dǎo)數(shù)而出錯(cuò)，首

答案第6頁(yè)，共40頁(yè)

先證明已知點(diǎn)是否為切點(diǎn)，若是切點(diǎn)，可以直接利用導(dǎo)數(shù)求解；若不是切點(diǎn)，設(shè)出切點(diǎn)，再

求導(dǎo)，然后列出切線方程.

18.A

【詳解】不等式/OR為--(x)≤3+α<∕(x)(*),

222

當(dāng)x≤1時(shí)，(*)式即為一X2+x-3≤^+a<x-x+39-x+-∣--3≤a≤x-^x+3,

又一V+]-3=-(工-；尸一#"￥(X=；時(shí)取等號(hào))，

2416164

√-∣λ+3=(λ-?+^>^∣(X=]時(shí)取等號(hào))，

2416164

g、l47/<39

1616

2Y232r2

當(dāng)x>1時(shí)，(*)式為一X----≤—÷β<x+—,-?-x-----≤a<—+—,

X2X2X2X

又-jχ-2=_《%+2)4—26(當(dāng)X=冬叵時(shí)取等號(hào))，

2X2X3

-+->2.0=2(當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào))，

2XV2X

所以-2√5≤O42,

綜上士47≤α≤2.故選A.

16

【考點(diǎn)】不等式、恒成立問(wèn)題

【名師點(diǎn)睛】首先滿足/(x)2→α轉(zhuǎn)化為-AX)V≤"≤f(x)V去解決，由于涉及

分段函數(shù)問(wèn)題要遵循分段處理原則，分別對(duì)X的兩種不同情況進(jìn)行討論，針對(duì)每

種情況根據(jù)X的范圍，利用極端原理，求出對(duì)應(yīng)的“的范圍.

19.C

【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算法則確定.

【詳解】由題意U=AB={0,l,2,3,4,5},ACGB)={1,3,5},則1,3,5e3,所以B={2,4,0}.

故選：C.

20.C

【分析】根據(jù)充分必要條件定義判斷.

【詳解】k∣>∣y∣n∣x∣2>∣W,即f少,是充分的,

￡>丫2=>正>后即國(guó)>可，是必要的.

答案第7頁(yè)，共40頁(yè)

因此。是q的充要條件.

故選：C.

21.B

【分析】把零點(diǎn)變成方程的解，現(xiàn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線y=一χ的交點(diǎn)，由圖象可得大小關(guān)

系.

【詳解】/(x)=e*+x=O=e*=-x,e"=-a,

g(x)=Iog03X-X=-Iog12x-x=O=>IogWx=-x,log?b=-b,

TTT

333

Λ(x)=x+X=O=>x=-%,c=-cf

作出函數(shù)y=e，，y=∣°g與X,y=V的圖象及直線y=τ,由圖象可得

a<0,b>0,c=0,所以α<c<6.

故選:B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，解題關(guān)鍵是把零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解，再轉(zhuǎn)化為

函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出函數(shù)圖象與直線可得結(jié)論.

22.D

【分析】利用平均數(shù)的定義可判斷A選項(xiàng)的正誤，利用極差和中位數(shù)的定義可判斷B選項(xiàng)

的正誤，利用平均數(shù)可判斷C選項(xiàng)的正誤，計(jì)算各州的治愈率，可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，抽取數(shù)據(jù)中各州累計(jì)感染人數(shù)平均數(shù)為

122960+206623+142766+66458+175759+141344+72995+59080,一?/丁、

------------------------------------------------------------------------------------------≈12.35（萬(wàn)）,

A選項(xiàng)正確;

答案第8頁(yè)，共40頁(yè)

對(duì)于B選項(xiàng)，由圖可知，數(shù)據(jù)中死亡人數(shù)的極差為15057-1347=13710,

中位數(shù)為2770；3366=?θe?,B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，過(guò)計(jì)算死亡人數(shù)的平均值約4920人，美國(guó)有50個(gè)州和一個(gè)特區(qū)，

4920×51=250920,依此可以斷定此時(shí)全美死亡人數(shù)為25萬(wàn)余人，C選項(xiàng)正確;

對(duì)于D選項(xiàng)，計(jì)算出各州的治愈率如下表所示：

少H治愈率州治愈率

佛羅里達(dá)州2.75%新澤西州16.56%

加利福尼亞州24.32%伊利諾伊州40.07%

得克薩斯州44.70%佐治亞州36.78%

亞利桑那州10.33%北卡羅來(lái)納州49.30%

所以，抽取的數(shù)據(jù)中佛羅里達(dá)州治愈率最低，北卡羅來(lái)納州治愈率最高，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：D.

23.D

【分析】由三角恒等變換求出AX),再由平移得到g(χ),根據(jù)對(duì)稱軸為X=]求出g(χ)的解

析式，由余弦型三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】/(x)=2sinXcosx+?∕icos2x=sin2x+石cos2x=2sin(2x+?),

，將N=∕(x)圖象向左平移9個(gè)單位(0</<])得到函數(shù)y=g(x)=2sin(2x+2g+f,

函數(shù)g(x)的一個(gè)對(duì)稱軸為X=],

-TC?Tc.7Γ.—,kττ5TT

2X—+29+—=kτv+~,攵wZ,rBιrp(P——-------,ZWZ

0<φ<^?,

二女=1時(shí)，φ=氣,

:.g(x)=2cos2x,

：.T=^-=π,g(-x)=g(x