第06講 圓的方程-【寒假自學(xué)課】2023年高二數(shù)學(xué)寒假精品課（滬教版2020選修第一冊(cè)）（解析版）

第06講圓的方程【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.用待定系數(shù)法求圓的方程2.根據(jù)條件靈活的選擇設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或圓的一般方程【基礎(chǔ)知識(shí)】一．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．圓的定義：平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）叫做圓．定點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)就是半徑．2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圓心C（a，b），半徑為r．特別地，當(dāng)圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，半徑為r的圓的方程為：x2+y2＝r2．其中，圓心（a，b）是圓的定位條件，半徑r是圓的定形條件．【解題思路點(diǎn)撥】已知圓心坐標(biāo)和半徑，可以直接帶入方程寫出，在所給條件不是特別直接的情況下，關(guān)鍵是求出a，b，r的值再代入．一般求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要使用待定系數(shù)法．步驟如下：（1）根據(jù)題意設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a，b，r的方程組；（3）求出a，b，r的值，代入所設(shè)方程中即可．另外，通過對(duì)圓的一般方程進(jìn)行配方，也可以化為標(biāo)準(zhǔn)方程．【命題方向】可以是以單獨(dú)考點(diǎn)進(jìn)行考查，一般以選擇、填空題形式出現(xiàn)，a，b，r值的求解可能和直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線、對(duì)稱等內(nèi)容相結(jié)合，以增加解題難度．在解答題中，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作為基礎(chǔ)考點(diǎn)往往出現(xiàn)在關(guān)于圓的綜合問題的第一問中，難度不大，關(guān)鍵是讀懂題目，找出a，b，r的值或解得圓的一般方程再進(jìn)行轉(zhuǎn)化．例1：圓心為（3，﹣2），且經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣3）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x﹣3）2+（y+2）2＝5分析：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出半徑，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解答：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，由圓M經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣3）得R2＝5，從而所求方程為（x﹣3）2+（y+2）2＝5，故答案為（x﹣3）2+（y+2）2＝5點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用了待定系數(shù)法，關(guān)鍵是確定圓的半徑．例2：若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x﹣3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1分析：要求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，半徑已知，只需找出圓心坐標(biāo)，設(shè)出圓心坐標(biāo)為（a，b），由已知圓與直線4x﹣3y＝0相切，可得圓心到直線的距離等于圓的半徑，可列出關(guān)于a與b的關(guān)系式，又圓與x軸相切，可知圓心縱坐標(biāo)的絕對(duì)值等于圓的半徑即|b|等于半徑1，由圓心在第一象限可知b等于圓的半徑，確定出b的值，把b的值代入求出的a與b的關(guān)系式中，求出a的值，從而確定出圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓心坐標(biāo)和圓的半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．解答：設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，b）（a＞0，b＞0），由圓與直線4x﹣3y＝0相切，可得圓心到直線的距離d＝＝r＝1，化簡(jiǎn)得：|4a﹣3b|＝5①，又圓與x軸相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣（舍去），∴圓心坐標(biāo)為（2，1），則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．故選：A點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，若直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離d等于圓的半徑r，要求學(xué)生靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，以及會(huì)根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．例3：圓x2+y2+2y＝1的半徑為（）A．1B．C．2D．4分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即可求出圓的半徑．解答：圓x2+y2+2y＝1化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+（y+1）2＝2，故半徑等于，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式及各量的幾何意義，把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，是解題的關(guān)鍵．二．圓的一般方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．圓的定義：平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）叫做圓．定點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)就是半徑．2．圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）其中圓心坐標(biāo)為（﹣，﹣），半徑r＝．3．圓的一般方程的特點(diǎn)：（1）x2和y2系數(shù)相同，且不等于0；（2）沒有xy這樣的二次項(xiàng)．以上兩點(diǎn)是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圓的必要非充分條件．三．圓的切線方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】圓的切線方程一般是指與圓相切的直線方程，特點(diǎn)是與圓只有一個(gè)交點(diǎn)，且過圓心與切點(diǎn)的直線垂直切線．圓的切線方程的類型：（1）過圓上一點(diǎn)的切線方程：對(duì)于這種情況我們可以通過圓心與切點(diǎn)的連線垂直切線求出切線的斜率，繼而求出直線方程（2）過圓外一點(diǎn)的切線方程．這種情況可以先設(shè)直線的方程，然后聯(lián)立方程求出他們只有一個(gè)解（交點(diǎn)）時(shí)斜率的值，進(jìn)而求出直線方程．【實(shí)例解析】例1：已知圓：（x﹣1）2+y2＝2，則過點(diǎn)（2，1）作該圓的切線方程為．解：圓：（x﹣1）2+y2＝2，的圓心為C（1，0），半徑r＝．①當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)P（2，1）與x軸垂直時(shí)，方程為x＝2，∵圓心到直線x＝2的距離等于1，∴直線l與圓不相切，即x＝2不符合題意；②當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)P（2，1）與x軸不垂直時(shí)，設(shè)方程為y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0．∵直線l與圓：（x﹣1）2+y2＝2相切，∴圓心到直線l的距離等于半徑，即d＝＝，解之得k＝﹣1，因此直線l的方程為y﹣1＝﹣（x﹣2），化簡(jiǎn)得x+y﹣3＝0．綜上所述，可得所求切線方程為x+y﹣3＝0．這里討論第一種情況是因?yàn)閗不一定存在，所以單獨(dú)討論，用的解題思想就是我上面所說，大家可以對(duì)照著看就是．例2：從點(diǎn)P（4，5）向圓（x﹣2）2+y2＝4引切線，則圓的切線方程為．解：由圓（x﹣2）2+y2＝4，得到圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑r＝2，當(dāng)過P的切線斜率不存在時(shí)，直線x＝4滿足題意；當(dāng)過P的切線斜率存在時(shí)，設(shè)為k，由P坐標(biāo)為（4，5），可得切線方程為y﹣5＝k（x﹣4），即kx﹣y+5﹣4k＝0，∴圓心到切線的距離d＝r，即＝2，解得：k＝，此時(shí)切線的方程為y﹣5＝（x﹣4），即21x﹣20y+16＝0，綜上，圓的切線方程為x＝4或21x﹣20y+16＝0．這個(gè)例題用的方法也是前面所說，但告訴我們一個(gè)基本性質(zhì)，即圓外的點(diǎn)是可以做兩條切線的，所以以后解題只求出一條的時(shí)候就要想是不是少寫了一種．【考點(diǎn)分析】本考點(diǎn)也是比較重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，但解題方法很死板，希望大家都能準(zhǔn)確的掌握，確保不丟分．【考點(diǎn)剖析】一．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（共6小題）1．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）不論k為何值，直線kx﹣y+1﹣3k＝0都與圓相交，則該圓的方程可以是（）A．（x+1）2+（y+2）2＝25 B．（x﹣2）2+（y+1）2＝25 C．（x﹣3）2+（y+4）2＝25 D．（x+1）2+（y+3）2＝25【分析】由題意，利用點(diǎn)到直線的距離公式，判斷直線和圓的位置關(guān)系，從而得出結(jié)論．【解答】解：直線kx﹣y+1﹣3k＝0，即k（x﹣3）﹣（y﹣1）＝0，它經(jīng)過定點(diǎn)M（3，1）．而點(diǎn)M到點(diǎn)A（﹣1，﹣2）的距離MA＝5，故點(diǎn)A在圓（x﹣1）2+（y+2）2＝25上，故直線kx﹣y+1﹣3k＝0和圓（x+1）2+（y+2）2＝25相交或相切．而點(diǎn)M到點(diǎn)B（2，﹣1）的距離MB＝＜5，故點(diǎn)B在圓（x﹣1）2+（y+2）2＝25內(nèi)，故直線kx﹣y+1﹣3k＝0和圓（x+1）2+（y+2）2＝25相交．而點(diǎn)M到點(diǎn)C（3，﹣4）的距離為MC＝5，故點(diǎn)A在圓（x﹣3）2+（y+4）2＝25上，故直線kx﹣y+1﹣3k＝0和圓（x﹣3）2+（y+4）2＝25相交或相切．而點(diǎn)M到點(diǎn)D（﹣1，﹣3）的距離為MD＝4＞5，故點(diǎn)A在圓（x+1）2+（y+3）2＝25外，故直線kx﹣y+1﹣3k＝0和圓（x﹣3）2+（y+4）2＝25相交、相切、或相離．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，直線和圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．2．（2022秋?寶山區(qū)校級(jí)期中）圓心為（1，2）且與直線3x﹣4y﹣3＝0相切的圓的方程為．【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出半徑，從而可求出圓的方程．【解答】由題意可得圓的半徑為，所以圓的方程為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的方程的求法，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（2022秋?寶山區(qū)月考）以（﹣2，1）為圓心，且經(jīng)過原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）2+（y﹣1）2＝5．【分析】先求圓的半徑，然后求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．【解答】解：由題意可知所求圓的半徑為則以（﹣2，1）為圓心，且經(jīng)過原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）2+（y﹣1）2＝5，故答案為：（x+2）2+（y﹣1）2＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，屬基礎(chǔ)題．4．（2021秋?崇明區(qū)期末）以點(diǎn)（1，2）為圓心且與直線3x+4y﹣1＝0相切的圓的方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．【分析】根據(jù)題意，求出點(diǎn)（1，2）到直線3x+4y﹣1＝0的距離，即可得圓的半徑，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，要求圓的半徑為點(diǎn)（1，2）到直線3x+4y﹣1＝0的距離，即r＝d＝＝2，故要求圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，故答案為：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及直線與圓相切的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．（2022春?崇明區(qū)校級(jí)期中）圓心為（﹣1，﹣3），半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+（y+3）2＝9．【分析】由已知直接代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得答案．【解答】解：圓的圓心為（﹣1，﹣3），半徑為3，即a＝﹣1，b＝﹣3，r＝3，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+（y+3）2＝9．故答案為：（x+1）2+（y+3）2＝9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是基礎(chǔ)題．6．（2022春?金山區(qū)期中）過直線x+y＝2與直線x﹣y＝0的交點(diǎn)，圓心為C（﹣1，1）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x+1）2+（y﹣1）2＝4．【分析】先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，可得圓的半徑，從而得到圓的方程．【解答】解：由，求得，可得直線x+y＝2與直線x﹣y＝0的交點(diǎn)為M（1，1），故半徑為MC＝2，故要求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x+1）2+（y﹣1）2＝4，故答案為：（x+1）2+（y﹣1）2＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是求出半徑，屬于基礎(chǔ)題．二．圓的一般方程（共6小題）7．（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）圓x2+y2﹣2x﹣3＝0的半徑為2．【分析】由圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓的半徑的值．【解答】解：圓x2+y2﹣2x﹣3＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+y2＝4，可得圓的半徑為2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的半徑的求法，屬于基礎(chǔ)題．8．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知2a2x2+（a+1）y2+2x+1＝0表示圓，則實(shí)數(shù)a的值是．【分析】直接利用圓的方程的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：2a2x2+（a+1）y2+2x+1＝0表示圓，故2a2＝a+1，解得a＝1或﹣，當(dāng)a＝1時(shí)，圓的方程為，由于，故不滿足圓的方程的條件，故舍去；當(dāng)a＝﹣時(shí)，滿足圓的方程構(gòu)成的條件，故a＝﹣．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：圓的方程，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2021秋?虹口區(qū)期末）圓x2+y2+4sinθ?x+4cosθ?y+1＝0的半徑等于．【分析】把一般方程配成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解．【解答】解：由x2+y2+4sinθ?x+4cosθ?y+1＝0得（x+2sinθ）2+（y+2cosθ）2＝3，所以圓的半徑為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由圓的一般方程求解圓的半徑，屬于基礎(chǔ)題．10．（2022春?金山區(qū)期中）過圓x2+y2﹣4x＝0的圓心且與直線2x+y＝0垂直的直線方程為x﹣2y﹣2＝0．【分析】先求出已知圓的圓心，所求直線的斜率，再用點(diǎn)斜式求出直線的方程．【解答】解：∵圓x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝4，故它的圓心為（2，0），由于所求直線與直線2x+y＝0垂直，故所求直線的斜率為，故要求直線的直線方程為y﹣0＝（x﹣2），即x﹣2y﹣2＝0，故答案為：x﹣2y﹣2＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用點(diǎn)斜式求出直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．11．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）圓x2+y2﹣2x+4y＝0的圓心到直線3x+4y﹣5＝0的距離等于2．【分析】根據(jù)題意，由圓的方程求出圓的圓心，由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓x2+y2﹣2x+4y＝0的圓心為（1，﹣2），則點(diǎn)（1，﹣2）到直線3x+4y﹣5＝0的距離d＝＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的一般方程和點(diǎn)到直線距離的計(jì)算，注意求出圓的圓心坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題．12．（2022秋?靜安區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60＝0及其上一點(diǎn)A（2，4）．（1）設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點(diǎn)，且BC＝OA，求直線l的方程；（3）設(shè)點(diǎn)T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得+＝，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【分析】（1）設(shè)N（6，n），則圓N為：（x﹣6）2+（y﹣n）2＝n2，n＞0，從而得到|7﹣n|＝|n|+5，由此能求出圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）由題意得OA＝2，kOA＝2，設(shè)l：y＝2x+b，則圓心M到直線l的距離：d＝，由此能求出直線l的方程．（3）法一：＝，即||＝，又||≤10，得t∈[2﹣2，2+2]，對(duì)于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，只需要作直線TA的平行線，使圓心到直線的距離為，由此能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．法二：＝，從而可以表示任何長(zhǎng)度不超過圓M的直徑的向量，進(jìn)而問題等價(jià)于點(diǎn)T（t，0）在圓A：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝100的圓內(nèi)部（包含邊界），由此能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．【解答】解：（1）∵N在直線x＝6上，∴設(shè)N（6，n），∵圓N與x軸相切，∴圓N為：（x﹣6）2+（y﹣n）2＝n2，n＞0，又圓N與圓M外切，圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60＝0，即圓M：（x﹣6）2+（y﹣7）2＝25，∴|7﹣n|＝|n|+5，解得n＝1，∴圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣6）2+（y﹣1）2＝1．（2）由題意得OA＝2，kOA＝2，設(shè)l：y＝2x+b，則圓心M到直線l的距離：d＝＝，則|BC|＝2＝2，BC＝2，即2＝2，解得b＝5或b＝﹣15，∴直線l的方程為：y＝2x+5或y＝2x﹣15．（3）解法一：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），∵A（2，4），T（t，0），，∴，①∵點(diǎn)Q在圓M上，∴（x2﹣6）2+（y2﹣7）2＝25，②將①代入②，得（x1﹣t﹣4）2+（y1﹣3）2＝25，∴點(diǎn)P（x1，y1）既在圓M上，又在圓[x﹣（t+4）]2+（y﹣3）2＝25上，從而圓（x﹣6）2+（y﹣7）2＝25與圓[x﹣（t+4）]2+（y﹣3）2＝25有公共點(diǎn)，∴5﹣5≤≤5+5．解得2﹣2≤t，∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是[2﹣2，2+2]．解法二：由題意，＝，而P，Q可以在圓M上任取，∴可以表示任何長(zhǎng)度不超過圓M的直徑的向量，∴問題等價(jià)于點(diǎn)T（t，0）在圓A：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝100的圓內(nèi)部（包含邊界），即（t﹣2）2+（y﹣4）2≤100，解得2﹣2≤t≤2+2，∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是[2﹣2，2+2]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2022·上海金山·高二期中）設(shè)A為圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓的切線且，則P點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】圓可化為，由題意可得圓心，半徑是1，又因?yàn)槭菆A的切線且，可得，從而得出P點(diǎn)的軌跡方程．【詳解】圓可化為，由題意可得圓心到P點(diǎn)的距離為，所以點(diǎn)P在以為圓心，為半徑的圓上，所以點(diǎn)P的軌跡方程是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及圓的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．（2022·上海理工大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）若方程表示一個(gè)圓,則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次方程表示圓的充要條件列出不等式，通過解不等式求出k的范圍．【詳解】方程x2+y2+x+y+k=0表示一個(gè)圓，需滿足1+1﹣4k＞0∴故選D．【點(diǎn)睛】二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件為：D2+E2﹣4F＞0二、填空題3．（2022·上海·復(fù)旦附中高二期中）圓的半徑為_________.【答案】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，可得出圓的半徑.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故該圓的半徑為.故答案為：.4．（2022·上海市崇明中學(xué)高二期中）圓心為，半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________.【答案】【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義，即可求解.【詳解】由題可先設(shè)出圓的方程：，再圓心為點(diǎn)，r=3代入圓的方程可求出則圓的方程為：故答案為：5．（2022·上海市寶山中學(xué)高二期中）圓心為且與直線相切的圓的方程為_________.【答案】.【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出半徑，從而可求出圓的方程.【詳解】由題意可得圓的半徑為，所以圓的方程為.故答案為：.6．（2022·上海金山·高二期中）過圓的圓心且與直線垂直的直線方程為___________【答案】【分析】根據(jù)圓的方程求出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)兩直線垂直斜率乘積為求出所求直線的斜率，再由點(diǎn)斜式即可得所求直線的方程.【詳解】由可得，所以圓心為，由可得，所以直線的斜率為，所以與直線垂直的直線的斜率為，所以所求直線的方程為：，即，故答案為：.7．（2022·上海市寶山中學(xué)高二期中）方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】或【分析】根據(jù)圓方程的判斷方法：形如的方程表示圓的條件為，列出不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緢A，則，解得：或，故答案為：或.8．（2022·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高二階段練習(xí)）圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為______．【答案】【分析】求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，從而求出對(duì)稱圓的方程.【詳解】圓心為，半徑為1，設(shè)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得：，故對(duì)稱點(diǎn)為，故圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為.故答案為：9．（2022·上海市青浦高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）幾何學(xué)史上有一個(gè)著名的米勒問題：“設(shè)點(diǎn)M、N是銳角的一邊QA上的兩點(diǎn)，試在邊QB上找一點(diǎn)P，使得最大”，如圖，其結(jié)論是：點(diǎn)P為過M、N兩點(diǎn)且射線QB相切的圓的切點(diǎn)，根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給定兩點(diǎn)、，點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________【答案】【分析】設(shè)的外接圓的圓心為，根據(jù)題設(shè)中給出的結(jié)論可構(gòu)建關(guān)于的方程組，解方程組后可得的坐標(biāo).【詳解】延長(zhǎng)交軸于，則為銳角，由題設(shè)，當(dāng)在射線上時(shí)，若取最大值，則有的外接圓與軸相切且切點(diǎn)為，設(shè)為軸上的動(dòng)點(diǎn)且在的左側(cè)，則，由為最大值角可得，故當(dāng)為軸上的動(dòng)點(diǎn)且取最大值時(shí)，在射線上且的外接圓與軸相切且切點(diǎn)為.設(shè)該圓的圓心為，則且圓的半徑為，故，整理得到，解得或，又直線的方程為，故，故舍去，故的外接圓的圓心為，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題為即時(shí)應(yīng)用類問題，注意根據(jù)給出的背景或結(jié)論來構(gòu)建所設(shè)變量的方程組，另外對(duì)不適合題設(shè)給出的背景的另一類問題的討論.10．（2022·上?！とA師大二附中高二階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為20米，圓O的半徑為1米，圓心足正方形的中心，點(diǎn)P、Q分別在線段AD、CB上，若線段PQ與圓O有公共點(diǎn)，則稱點(diǎn)Q在點(diǎn)P的“盲區(qū)”中.已知點(diǎn)P以1.5米/秒的速度從A出發(fā)向D移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q以1米/秒的速度從C出發(fā)向B移動(dòng)，則點(diǎn)P從A移動(dòng)到D的過程中，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的育區(qū)中的時(shí)長(zhǎng)約為________秒（精確到0.1）【答案】4.4【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求得的坐標(biāo)和直線的方程,圓方程,運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式,以及直線和圓相交的條件,解不等式即可得到所求時(shí)長(zhǎng).【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：由題意可設(shè)，所以直線的方程為：，圓方程為：，因?yàn)橹本€與圓有交點(diǎn)，所以，化為，解得，所以點(diǎn)在點(diǎn)的盲區(qū)中的時(shí)長(zhǎng)約為秒.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系,坐標(biāo)法和二次不等式的解法,屬于中檔題.11．（2022·上海市洋涇中學(xué)高二階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，定義為點(diǎn)、之間的極距，已知點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則、兩點(diǎn)之間的距離最小時(shí)，其極距為_____________.【答案】##0.8【分析】首先利用極距定義，以及點(diǎn)線距離公式，將問題轉(zhuǎn)化為求，即可求解.【詳解】如上圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，、，作出直角三角形，則由極距的定義可知，就是直角三角形中較小的直角邊的大小.因?yàn)辄c(diǎn)是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，要使得最小，則，最小，此時(shí)，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，因?yàn)橹本€的斜率為，則.如下圖所示，過點(diǎn)作平行于軸，過點(diǎn)作平行于軸，則，所以，在直角三角形中，，兩點(diǎn)之間的極距即為.設(shè)，則，所以，解得，即，兩點(diǎn)之間最小的極距為.故答案為：12．（2022·上海市洋涇中學(xué)高二階段練習(xí)）已知表示圓，則實(shí)數(shù)a的值是_______．【答案】##【分析】把方程化為，根據(jù)題意可得，解之即可得解.【詳解】解：把方程化為，因?yàn)榇饲€表示圓，所以，解得.故答案為：.三、解答題13．（2022·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高二階段練習(xí)）疫情期間，作為街道工作人員的王阿姨和李叔叔需要上門排查外來人員信息，王阿姨和李叔叔分別需走訪離家不超過200米、k米的區(qū)域，如圖，、分別是經(jīng)過王阿姨家（點(diǎn)）的東西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的東偏北方向，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，、為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知健康檢查點(diǎn)（即點(diǎn)）和平安檢查點(diǎn)（即點(diǎn)）是李叔叔負(fù)責(zé)區(qū)域中最遠(yuǎn)的兩個(gè)檢查點(diǎn).（1）求出k，并寫出王阿姨和李叔叔負(fù)責(zé)區(qū)域邊界的曲線方程；（2）王阿姨和李叔叔為交流疫情信息，需在姑山路（直線）上碰頭見面，你認(rèn)為在何處最為便捷、省時(shí)間（兩人所走的路程之和最短）？并給出理由.【答案】（1），，；（2）【解析】（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可設(shè)出圓心，利用圓上兩點(diǎn)距離到圓心相等，可算得圓心和半徑.（2）可先求圓心O關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)P,找到直線PC與l的交點(diǎn)，即為所求.【詳解】（1）易知，