第06講 拓展二：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式能成立（有解）問(wèn)題（解析版）

第06講拓展二：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式能成立（有解）問(wèn)題一、知識(shí)點(diǎn)歸納1、分離參數(shù)法用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問(wèn)題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來(lái)，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；步驟：①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時(shí)自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉(zhuǎn)化：，使得能成立；，使得能成立．③求最值.2、分類討論法如果無(wú)法分離參數(shù)，可以考慮對(duì)參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問(wèn)題，可以考慮二次項(xiàng)系數(shù)與判別式的方法(，或，)求解．3、等價(jià)轉(zhuǎn)化法當(dāng)遇到型的不等式有解（能成立）問(wèn)題時(shí)，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)或者“右減左”的函數(shù)，進(jìn)而只需滿足，或者，將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值的問(wèn)題.4、最值定位法解決雙參不等式問(wèn)題（1）,,使得成立（2）,,使得成立（3）,,使得成立（4）,,使得成立5、值域法解決雙參等式問(wèn)題,,使得成立①，求出的值域，記為②求出的值域，記為③則,求出參數(shù)取值范圍.二、題型精講方法一：分離變量法1．（2022下·江西·高二期末）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的極小值為，當(dāng)時(shí)，有極大值．（1）求函數(shù)；（2）存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）∵，由，得且，解得，，又，∴，∴；（2）存在，使得，等價(jià)于，∵，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上遞減，在上遞增，又，，∴在上的最大值為，∴，解得，所以的取值范圍是．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)m的最小值.【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值(2)4【詳解】（1）由，令；令，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在處取得極小值，且為，無(wú)極大值；（2）由能成立，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，令，由；由，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，則，故m的最小值為4．3．（2023上·海南·高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若存在，使不等式成立，求的取值范圍.【答案】(1)在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，由得：，存在，使得成立，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，，即，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為實(shí)常數(shù)）．若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【詳解】由得，即，因?yàn)椋?，所以，且?dāng)時(shí)，所以在恒成立，所以，即存在時(shí)，，令，，令，令，解得，令，解得，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，所以時(shí)，恒成立，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.方法二：分類討論法1．（2023下·北京海淀·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎?1)若在處取到極值，求的值；(2)若存在使得，求的范圍；(3)直接寫出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)論不要求證明.【答案】(1)1(2)(3)且有一個(gè)零點(diǎn);且有兩個(gè)零點(diǎn)【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，，所以，又時(shí)，，，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在處取到極大值.故.（2）注意到，又時(shí)，恒成立，于是在單調(diào)遞增；則存在使得；當(dāng)時(shí)，令：，得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

于是可以得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.則有極大值點(diǎn).若，可得在單調(diào)遞減，于是，則滿足題意；若，則，則此時(shí)不存在相應(yīng)的；若，可得在單調(diào)遞增，于是.則滿足題意.綜上：的范圍是；（3）且有一個(gè)零點(diǎn)；且有兩個(gè)零點(diǎn)2．（2023上·重慶沙坪壩·高二重慶南開(kāi)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上：時(shí)在上單調(diào)遞增.時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）若在區(qū)間上有解，即求當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為不成立，故不滿足題意.當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以成立，滿足題意.時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以不成立，舍去時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在單調(diào)遞增，，所以綜上的取值范圍為：3．（2022上·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；(2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，,定義域?yàn)镽，.所以，.所以曲線在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為：，即.（2）不等式可化為：，即存在，使得不等式成立.構(gòu)造函數(shù)，則.①當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，解得：，故；②當(dāng)時(shí)，令，解得：令，解得：故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故，解得：，這與相矛盾，舍去；③當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，不符合題意，應(yīng)舍去.綜上所述：m的取值范圍為：.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）若在區(qū)間，內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【詳解】解：（1）時(shí)，，，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線斜率:（1），故曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為：，所求切線方程為：；（2），①當(dāng)即時(shí)，，在，上為單調(diào)增函數(shù)，此時(shí)，（1），解得：，與矛盾，不符合題意，②當(dāng)即時(shí)，，，的變化如下：，，0遞減極小值遞增此時(shí)，，解得：，與矛盾，不符合題意，③當(dāng)即時(shí)，，在，上為單調(diào)減函數(shù)，解得：，又，，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是．方法三：等價(jià)轉(zhuǎn)化法1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若在上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍.【答案】【詳解】令，若使能成立，則對(duì)于，即可，而.當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞減，則，，而顯然成立，故；當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，則，可得；當(dāng)，即時(shí)，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，而，∴，故，即不成立；綜上：.2．（2023上·北京·高三北京五十五中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若在點(diǎn)處的切線為，求實(shí)數(shù)的值；(2)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；(3)若存在，使得成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)詳解(3)【詳解】（1），，又在點(diǎn)處的切線為，得，即，解得.（2），，，令，解得，令，解得，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，在處取得極大值，極大值為，無(wú)極小值.（3）令，，使得，等價(jià)于在上，，，，，，令，，令，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，則，解得，，，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，因?yàn)?，所以，則，即，不合題意，綜上，的取值范圍為.3．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)＝－2alnx－，g(x)＝ax－(2a＋1)lnx－，其中a∈R.(1)若x＝2是函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若存在x[，e2]（e為自然對(duì)數(shù)的底），使得不等式f(x)g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)【詳解】（1）若是函數(shù)的駐點(diǎn)，則，可得，即得．（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，令，可得或，①當(dāng)，即時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．②當(dāng)，即時(shí)，令，得或，令，得，此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.③當(dāng)，即時(shí)，令，得或；令，得，此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）由，可得，即，其中，令，，若存在，使得不等式成立，則，，，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上嚴(yán)格遞增，在上嚴(yán)格遞減，∴函數(shù)在端點(diǎn)或處取得最小值．∵，∴，∴，∴，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是4．（2022下·北京·高二北師大二附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值.(2)若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(3)設(shè)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)的極大值為，極小值為；(2)或；(3).【詳解】（1）解：由已知，得，時(shí)，．令，可得或，函數(shù)在，，上為單調(diào)增函數(shù)，在，上為單調(diào)減函數(shù)，所以函數(shù)的極大值為，極小值為.函數(shù)的極大值為，極小值為.（2）解：，令，要使在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，只需在內(nèi)，滿足或恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，因?yàn)樵趦?nèi)有，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)在單調(diào)遞減，綜上，的取值范圍為或．（3）解：，在，上是減函數(shù)，時(shí)，；時(shí)，，即，.①時(shí)，由（2）知在，遞減（1），不合題意.②時(shí)，由，，不合題意③時(shí)，由（1）知在，上是增函數(shù)，故只需，，，而（e），，，解得．故的取值范圍為，．方法四：最值定位法解決雙參不等式問(wèn)題1．（2023上·福建莆田·高三莆田一中?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)若，且對(duì)，都，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以．設(shè)，則，故在上遞減．，即，在上單調(diào)遞減，最小值為．（2）令，則在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，即在上恒成立；又，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．綜上，只需，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．2．（2023上·江蘇蘇州·高三常熟中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)對(duì)，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）解：因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)?，則令，得或，列表如下：x單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減，.（2）解：由題意可得，由（1）可知在單調(diào)遞減，∴，∴在有解，，令，，令，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以，.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，若，，使成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】【詳解】將，，使成立，等價(jià)為，由，，則，又，且，則，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．又，，則，又，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，又，則，解得，故m的取值范圍為．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，．(1)若曲線在處的切線過(guò)點(diǎn)，求的值；(2)設(shè)若對(duì)，，使得成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，∴．又，即切點(diǎn)為，∴，解得．（2）“對(duì)，，使得成立”，即“在上，”．∵，，∴在上單調(diào)遞增，∴．令，得或．①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，單調(diào)遞增，，解得；②當(dāng)時(shí)，在上恒成立，單調(diào)遞減，在上恒成立，單調(diào)遞增，或，∴或．解得：或，∴；③當(dāng)時(shí)，在上恒成立，單調(diào)遞減，，解得，∴．綜上所述：或，即的取值范圍為5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)設(shè)．當(dāng)時(shí)，若對(duì)，，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）∵，∴，令，可得兩根分別為1，，∵，∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．（2），，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴在上的最小值為．對(duì)，，使，即在上的最小值不大于在上的最小值，（*）又，∴①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與（*）矛盾；②當(dāng)時(shí)，，同樣與（*）矛盾；③當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，解不等式，可得，∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為．方法五：值域法解決雙參等式問(wèn)題1．（2023上·安徽·高三池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)（其中且）是奇函數(shù)．(1)求，的值并判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知二次函數(shù)滿足，且其最小值為．若對(duì)，都，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增(2)【詳解】（1）由條件可知函數(shù)的定義域?yàn)?，由是奇函?shù)知，即，解得，所以，又，于是對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，解得，所以，又，因在上單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)橛指鶕?jù)條件得且，所以在時(shí)單調(diào)減，時(shí)單調(diào)增；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的值域?yàn)?，因?yàn)閷?duì)，都，使得成立，所以，所以，解得，因此實(shí)數(shù)的取值范圍為．2．（2022上·浙江·高二校聯(lián)考期中）函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，對(duì)，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：由得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，故，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，故；綜合得：；（2）記，，因?yàn)閷?duì)，，使得，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，故，因?yàn)?，所以，即，又，?3．（2023上·遼寧·高一大連二十四中校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題知，，因?yàn)榈膱D象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）記函數(shù)，的值域?yàn)榧希?，的值域?yàn)榧?，則對(duì)任意的，總存在，使得成立，因?yàn)榈膱D象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)，，，得，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，因?yàn)?，所以，解得；?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，因?yàn)?，所以，解得，綜上