第02講：一元二次函數(shù)、方程和不等式 解析版

第02講：一元二次函數(shù)、方程和不等式【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：不等式的性質(zhì)應(yīng)用 考點(diǎn)二：基本不等式求積的最大值考點(diǎn)三：基本不等式求和的最小值 考點(diǎn)四：二次或者二次商式的最值問(wèn)題考點(diǎn)五：基本不等式“1”的妙用 考點(diǎn)六：條件等式求最值考點(diǎn)七：基本不等式的恒成立求參數(shù)問(wèn)題 考點(diǎn)八：含參數(shù)的一元二次不等式的解法考點(diǎn)九：由一元二次不等式來(lái)確定參數(shù)的范圍 考點(diǎn)十：一元二次不等式在實(shí)數(shù)上恒成立問(wèn)題考點(diǎn)十一：一元二次不等式在某區(qū)間恒成立問(wèn)題 考點(diǎn)十二：一元二次不等式在某區(qū)間有解立問(wèn)題考點(diǎn)十三：一元二次不等式恒成立和分類(lèi)討論綜合問(wèn)題【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一等式的基本性質(zhì)(1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc.(5)如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).知識(shí)點(diǎn)二不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對(duì)稱(chēng)性a>b?b<a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bcc的符號(hào)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd同向7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正知識(shí)點(diǎn)三．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)1.基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．知識(shí)點(diǎn)四：．幾個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號(hào))．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號(hào)成立的條件均為a＝b.知識(shí)點(diǎn)五：．利用基本不等式求最值問(wèn)題已知x>0，y>0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2eq\r(p).(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值eq\f(p2,4).(簡(jiǎn)記：和定積最大)知識(shí)點(diǎn)六一元二次不等式的概念定義只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)知識(shí)點(diǎn)七二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??【題型歸納】題型一：不等式的性質(zhì)應(yīng)用1．（2024上·上海楊浦·高一校考期末）設(shè)，則下列不等式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)A，，則，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，則，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，則，故D正確.故選：D2．（2023上·全國(guó)·高一期末）已知，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】D【分析】利用特值法判斷ABC；根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷D.【詳解】若，取，得，故A錯(cuò)誤；若，取，得，故B錯(cuò)誤；若，，取，得，，故C錯(cuò)誤；若，即，則，即，故D正確.故選：D.3．（2023上·浙江杭州·高一?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】D【分析】舉反例判斷AB；利用不等式的性質(zhì)可判斷C；做差可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，則，所以，所以，故D正確.故選：D.題型二：基本不等式求積的最大值4．（2024上·云南昆明·高一昆明一中?？计谀┮阎?，為正實(shí)數(shù)，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式中“和定積最大”的方法即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：D5．（2023上·西藏林芝·高一校考期中）下列命題中正確的是（

）A．若，且，則B．若，則C．若，則D．對(duì)任意，均成立.【答案】A【分析】根據(jù)基本不等式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，不成立，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A6．（2023上·湖北·高一洪湖市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)利用基本不等式結(jié)合一元二次不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，即，且，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，解得或（舍去），所以，即的取值范圍是.故選：C.題型三：基本不等式求和的最小值7．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則的最小值為2 B．若，則的最小值為2C．若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為2 D．若，則的最小值為4【答案】C【分析】A：根據(jù)分類(lèi)討論，利用基本不等式進(jìn)行分析；B：利用配湊法結(jié)合基本不等式求解出最小值；C：利用“”的變換結(jié)合基本不等式求解出最小值；D：利用基本不等式求解最小值，注意分析取等條件.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由上可知，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以最小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以最小值為，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，顯然不成立，故等號(hào)取不到，故D錯(cuò)誤；故選：C.8．（2024上·湖北孝感·高一校考期末）下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，的最小值是2C．當(dāng)時(shí)，的最小值是5D．設(shè)，，且，則的最小值是【答案】D【分析】利用基本不等式與“1”的妙用逐一檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可得解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，顯然等號(hào)不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，顯然等號(hào)不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：D．9．（2023上·重慶·高一西南大學(xué)附中?？计谥校┮阎?，且，則的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】由題意，直接利用基本不等式求解最小值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，又，所?所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是2.故選：A題型四：二次或者二次商式的最值問(wèn)題10．（2021下·江西吉安·高一永豐縣永豐中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)（）的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將函數(shù)化簡(jiǎn)變形為，然后利用基本不等式求解即可【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)（）的最小值為，故選：B11．（2022上·遼寧大連·高一育明高中?？计谀啊笔恰瓣P(guān)于的不等式（）有解”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用基本不等式求得當(dāng)時(shí)，的最小值為，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意知，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，當(dāng)時(shí)，可得關(guān)于的不等式有解成立，即充分性成立，反之：關(guān)于的不等式有解時(shí)，不一定成立，即必要性不成立，所以“”是“關(guān)于的不等式有解”的充分不必要條件.故選：A.12．（2022上·江西南昌·高一統(tǒng)考期末）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為．【答案】【分析】將函數(shù)解析式變形為，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.故答案為：.題型五：基本不等式“1”的妙用13．（2023上·四川成都·高一校聯(lián)考期末）已知，且，則的最小值為.【答案】【分析】利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式求解.【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故答案為：14．（2023上·河北保定·高一保定一中校聯(lián)考期中）已知，且，則的最小值是.【答案】9【分析】變換，展開(kāi)利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值是9.故答案為：15．（2023上·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期中）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】1【分析】由題意可得，再根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可得解.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.題型六：條件等式求最值16．（2023上·江蘇南京·高一期末）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意通過(guò)配方，結(jié)合不等式以及解一元二次不等式即可得解，注意取等條件.【詳解】由得，，因?yàn)?，所以，即，所以，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值為.故選：A.17．（2023上·黑龍江·高一校聯(lián)考期中）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】A【分析】將化為，結(jié)合，判斷，將化為，利用基本不等式，即可求得答案.【詳解】由，，，得，故，故；所以，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)等號(hào)成立．即的最小值為2，故選：A18．（2023上·遼寧·高一校聯(lián)考期中）若，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合條件等式，利用基本不等式求和的最小值.【詳解】若，且滿足，則有，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.故選：D題型七：基本不等式的恒成立求參數(shù)問(wèn)題19．（2023上·安徽六安·高一校考期中）對(duì)滿足的任意正實(shí)數(shù)、，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可算出，再將最小值代入，即可求解【詳解】不等式恒成立，，且當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即解得故實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：C20．（2023上·四川內(nèi)江·高一威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥校┤魞蓚€(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．或C． D．或【答案】A【分析】不等式恒成立，只要即可，根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換求出的最小值，再結(jié)合一元二次不等式的解法即可得解.【詳解】由題意知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，又不等式恒成立，則不等式，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：A.21．（2023上·河南信陽(yáng)·高一信陽(yáng)高中?？计谀┤絷P(guān)于x的不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是（

）A．； B．； C．； D．．【答案】C【分析】，其中，據(jù)此可得答案.【詳解】關(guān)于x的不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立，則，其中.又，則由基本不等式有：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).則.故選：C題型八：含參數(shù)的一元二次不等式的解法22．（2023上·河南南陽(yáng)·高一社旗縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）若關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得且，將化為求解即可.【詳解】由于關(guān)于的不等式的解集是，所以則有且，所以等價(jià)于，解得，即不等式的解集為．故選：D.23．（2023上·安徽阜陽(yáng)·高一安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知不等式的解集為且，則不等式的解集為（

）A． B．或C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)不等式解集的端點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系求出之間的關(guān)系，進(jìn)而化簡(jiǎn)不等式，從而求出它的解集．【詳解】根據(jù)題意:，方程的兩個(gè)根分別為，且，則，，，可得:.即不等式的解集為.故選：C.24．（2024上·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問(wèn)題，令解出即可；（2）由判別式確定a的范圍，分類(lèi)再解不等式即可.【詳解】（1）由題意，可得，；（2）①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，原不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為；③時(shí)，即或時(shí)，，解得或，原不等式的解集為.題型九：由一元二次不等式來(lái)確定參數(shù)的范圍25．（2024上·云南大理·高一統(tǒng)考期末）不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】判別式小于等于零解出a的范圍即可.【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以判別式，解得，故選：A.26．（2023上·云南曲靖·高一?？计谥校┮阎辉尾坏仁降慕饧癁椋瑒t的最大值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集求得的關(guān)系式，根據(jù)基本不等式求得正確答案.【詳解】由于一元二次不等式的解集為，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以的最大值為.故選：B27．（2023上·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）若關(guān)于的不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】含參解一元二次不等式，分類(lèi)討論的范圍確定整數(shù)解即可.【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，不符合題意舍去；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，此時(shí)若有3個(gè)整數(shù)解，則需；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，此時(shí)若有3個(gè)整數(shù)解，則需綜上：所以或，故選：A．題型十：一元二次不等式在實(shí)數(shù)上恒成立問(wèn)題28．（2023上·遼寧葫蘆島·高一校聯(lián)考期中）若關(guān)于的不等式的解集是，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】對(duì)分類(lèi)討論,利用一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系即可得出.【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，則符合題意；當(dāng)時(shí)，由題意可得，解得綜上，的取值范圍是.故選：B29．（2023上·遼寧鞍山·高一期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分、、三種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，得，即定義域?yàn)?，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)镽，符合題意；當(dāng)時(shí)，由題意得關(guān)于x的不等式恒成立，故，解得或.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D30．（2023上·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┮阎坏仁降慕饧癁?，且不等式對(duì)于任意的恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】由一元二次不等式的解集求出，利用不等式恒成立得出關(guān)于的不等式，求出的范圍．【詳解】由題意得：一元二次方程的兩根分別為1，2，由根與系數(shù)的關(guān)系，可得，，則不等式，即對(duì)于任意的恒成立，等價(jià)于，或，解得：或．則實(shí)數(shù)的取值范圍為或．故選：A題型十一：一元二次不等式在某區(qū)間恒成立問(wèn)題31．（2023上·全國(guó)·高一期末）已知，，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，再根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.【詳解】因?yàn)椋?，則，所以，又，可得，令，則原題意等價(jià)于，，即，，當(dāng)時(shí)，取到最大值，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．故選：C32．（2023上·四川涼山·高一校聯(lián)考期中）若不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)不等式變形轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立，再利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求出右邊的最大值即可得到答案.【詳解】由已知轉(zhuǎn)化得不等式對(duì)任意的恒成立，則根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，設(shè)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，則，則，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.33．（2024上·上海·高一上海市向明中學(xué)?？计谀┤魧?duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意分析可得原題意等價(jià)于對(duì)任意的，不等式恒成立，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，且，整理得，所以原題意等價(jià)于對(duì)任意的，不等式恒成立，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以.故選：A.題型十二：一元二次不等式在某區(qū)間有解立問(wèn)題34．（2023上·福建·高一福建省羅源第一中學(xué)校聯(lián)考期中）若至少存在一個(gè)，使得關(guān)于的不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡(jiǎn)不等式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象、含有絕對(duì)值函數(shù)的圖象進(jìn)行分析，從而求得的取值范圍.【詳解】依題意，至少存在一個(gè)，使得關(guān)于的不等式成立，即至少存在一個(gè)，使得關(guān)于的不等式成立，畫(huà)出以及的圖象如下圖所示，其中.當(dāng)與相切時(shí)，由消去并化簡(jiǎn)得，.當(dāng)與相切時(shí)，由消去并化簡(jiǎn)得①，由解得，代入①得，解得，不符合題意.當(dāng)過(guò)時(shí)，.結(jié)合圖象可知的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】對(duì)于含有參數(shù)的不等式問(wèn)題的求解，可考慮直接研究法，也可以考慮分離參數(shù)，也可以合理轉(zhuǎn)化法.如本題中的不等式，可以將其轉(zhuǎn)化為一邊是含有絕對(duì)值的式子，另一邊是二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)以及含有絕對(duì)值的函數(shù)的圖象來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析和求解.35．（2023上·浙江·高一校聯(lián)考期中）若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】不等式在區(qū)間內(nèi)有解，轉(zhuǎn)化為，求出的最大值可得答案.【詳解】因?yàn)椋杂刹坏仁降?，不等式在區(qū)間內(nèi)有解，只需，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以的最大值為，可得，解得.故選：D.36．（2023上·福建·高一校聯(lián)考期中）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用均值不等式求出最小值，根據(jù)題意列不等式求解即可.【詳解】，要使得不等式有解，只需有解即可，解得或者，故選：D題型十三：一元二次不等式恒成立和分類(lèi)討論綜合問(wèn)題37．（2024上·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)，，求a的取值范圍；(2)若，，，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）分和進(jìn)行討論，然后列出滿足條件的不等式求解即得；（2）由，，，得，分和進(jìn)行討論，然后設(shè)，，分別求出和的最值，結(jié)合恒成立條件即得.【詳解】（1）（1）由，即，當(dāng)時(shí)，得，不滿足條件.當(dāng)時(shí)，需滿足，解得.（2）（2）由，即.因?yàn)?，所以即?dāng)時(shí)，，顯然成立.當(dāng)時(shí)，設(shè)，的對(duì)稱(chēng)軸為，故，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.要使，成立，則需滿足即，解得綜上：滿足條件的a的取值范圍為38．（2024上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，分、兩種情況討論，當(dāng)時(shí)則，即可求出參數(shù)的取值范圍；（2）首先求出在上的值域，令，，依題意可得在上的值域?yàn)樵谏系闹涤虻淖蛹?，再分、、三種情況討論，分別求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)都成立，即對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，當(dāng)時(shí)顯然恒成立，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以在上的值域?yàn)椋?，，因?yàn)閷?duì)任意的，總存在，使成立，所以在上的值域?yàn)樵谏系闹涤虻淖蛹?dāng)時(shí)為常數(shù)函數(shù)，顯然不符合題意；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，所以在上的值域?yàn)椋?，解得；?dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，所以在上的值域?yàn)?，所以，解得；綜上可得.39．（2023上·河北石家莊·高一?？计谥校┰O(shè)．(1)若不等式對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)詳解【分析】（1）討論的范圍，當(dāng)時(shí)，列出條件，解出即可；（2）化簡(jiǎn)不等式，根據(jù)根的大小進(jìn)行分類(lèi)討論，即可解出.【詳解】（1）因?yàn)?，所以不等式可化為，若?duì)于任意，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式化為，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，則必有且,解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（2）不等式化為，即，，因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，解得或，不等式的解集為或;當(dāng)，即時(shí)，不等式恒成立，解集為；當(dāng)，即時(shí)，解得或，不等式的解集為或.【強(qiáng)化精練】一、單選題40．（2024上·黑龍江·高一校聯(lián)考期末）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】作差后，即可判斷不等式，再根據(jù)充分，必要條件的定義，即可判斷選項(xiàng).【詳解】，所以“”是“”的充要條件.故選：C41．（2023上·四川成都·高一石室中學(xué)校考期中）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】D【分析】舉反例可判斷選項(xiàng)A、B、C，由不等式的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，若，則，與矛盾，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，若，則，與矛盾，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)，，滿足，，但，這與矛盾，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，，所以由不等式性質(zhì)可得：，即.因?yàn)椋?，由不等式性質(zhì)可得：，故選項(xiàng)D正確.故選：D.42．（2024上·河南·高一南陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考期末）“”是“不等式對(duì)任意的恒成立”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】先根據(jù)不等式恒成立得出.比較，即可得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立；當(dāng)時(shí)，要使不等式對(duì)任意的恒成立，則應(yīng)有，解得.綜上所述，的取值范圍為.顯然“”包含的范圍包含于“”包含的范圍，所以，“”是“不等式對(duì)任意的恒成立”的充分不必要條件.故選：A.43．（2023上·江西新余·高一?？计谥校┎坏仁降慕饧牵瑒t的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由一元二次不等式解集求參數(shù)，代入目標(biāo)不等式，應(yīng)用一元二次不等式的解法求解集.【詳解】由題設(shè)是的兩個(gè)根，則，所以，即，故不等式解集為.故選：B44．（2024上·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)，則的（

）A．最小值為1 B．最大值為1 C．最小值為 D．最大值為【答案】D【分析】由基本不等式得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)；故最大值為，故選：D.45．（2023上·浙江·高一臺(tái)州市黃巖中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，且，則的最小值為（

）A．1 B． C．9 D．【答案】C【分析】根據(jù)已知等式，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可．【詳解】因?yàn)椋?，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故選：C．46．（2024上·上海青浦·高一統(tǒng)考期末）已知.且，則下列結(jié)論正確的是（

）①；②的最小值為；③的最小值為；④的最小值為.A．①②④ B．①②③ C．①② D．②③④【答案】A【分析】由可得，判斷①，利用基本不等式中消元、配湊、“”的代換的方法即可判斷②③④.【詳解】由可得，所以，①正確；，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，②正確；，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，③錯(cuò)誤；由可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，④正確.故選：A二、多選題47．（2024上·云南昆明·高一云南師大附中?？计谀?duì)于實(shí)數(shù)，，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，【答案】ABC【分析】AB選項(xiàng)，可利用不等式性質(zhì)進(jìn)行判斷；CD選項(xiàng)，利用作差法比較出大小.【詳解】A選項(xiàng)，若，則，不等式兩邊同除以得，A正確；B選項(xiàng)，若，則，故，不等式兩邊同除以得，B正確；C選項(xiàng)，，因?yàn)?，，所以，故，所以，C正確；D選項(xiàng)，，因?yàn)?，所以，，，但的正?fù)不確定，故無(wú)法判斷的正負(fù)，從而無(wú)法判斷與的大小關(guān)系，D錯(cuò)誤.故選：ABC.48．（2023上·廣東深圳·高一?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的是（

）A．命題“，都有”的否定是“，使得”B．當(dāng)時(shí)，的最小值為C．若不等式的解集為，則D．“”是“”的充分不必要條件【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，全稱(chēng)量詞命題的否定是特稱(chēng)量詞命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定；B選項(xiàng)，變形后利用基本不等式求出最小值；C選項(xiàng)，根據(jù)不等式的解集得到，求出，得到答案；D選項(xiàng)，由，但得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，“，都有”的否定是“，使得”，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，的最小值為，B正確；C選項(xiàng)，由題意得為的兩個(gè)根，，解得，則，C正確；D選項(xiàng)，，但，比如滿足，但不滿足，故“”是“”的充分不必要條件，D正確.故選：BCD49．（2023上·陜西咸陽(yáng)·高一統(tǒng)考期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．若方程沒(méi)有根，則不等式的解集為B．若不等式的解集是，則C．若關(guān)于的不等式的解集為，則D．不等式的解集為【答案】BCD【分析】由方程和不等式之間的關(guān)系能判斷A、B、C，由分式不等式能確定選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：若方程沒(méi)有根，則，故當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，故不符合題意；A錯(cuò)誤.選項(xiàng)B：不等式的解集是，則、為方程的根，則代入得；故B正確；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)?，則解集不是R，不符合題意；當(dāng)時(shí)，不等式得解集為R，則，即；綜上，，故C正確；選項(xiàng)D：不等式，即，解得，故D正確.故選：BCD50．（2023上·安徽安慶·高一安慶市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則下列正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．最大值為8 D．的最大值為6【答案】BC【分析】根據(jù)基本不等式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，，A選項(xiàng)，，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，整理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，，由D選項(xiàng)的分析可知：，所以C選項(xiàng)正確.故選：BC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：“一正，二定，三相等”.（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方，注意多次運(yùn)用不等式，等號(hào)成立條件是否一致.三、填空題51．（2023上·全國(guó)·高一期末）已知，，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，由相等關(guān)系列方程組求出，再利用不等式的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)，則，所以，解得，于是.又，，所以，即.故答案為：.52．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ邢蛎髦袑W(xué)?？计谀┤絷P(guān)于的不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【分析】分和兩種情況，結(jié)合二次