四川省眉山市2023屆高三第二次診斷性考試數(shù)學(xué)試題（文）（解析版）

四川省眉山市2023屆高三第二次診斷性考試數(shù)學(xué)試題（文）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1,已知集合4=kh+3)d2)≤0},B={x?x≤l}t則AB={)

A.-3≤x<2}B.{x∣-34x<l}

C,{x卜3≤x≤l}D.{鄧<x≤2}

K答案Dc

K解析UA={x∣(x+3)(x-2)≤θ}={H-3≤x≤2},8={X∣X≤1},

故AnjB={R—3≤x≤l}.故選：C.

2+i、

2.——=()

2i

A.?-iB.1——iC.—+1

222

K答案XA

2+i(2+i)i-l+2i=???一i.故選:

K解析》A.

~7λ~2i×i-22

3.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為推動鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展，優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，逐步打造高品質(zhì)的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，在某試驗區(qū)種

植了某農(nóng)作物.為了解該品種農(nóng)作物長勢,在實驗區(qū)隨機(jī)選取了100株該農(nóng)作物苗,經(jīng)測量，

其高度（單位：cm）均在區(qū)間[10,20]內(nèi),按照[10,12）,[12,14）,[14,16）,[16,18）,

[18,20]分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，記高度不低于16Cm的為“優(yōu)質(zhì)苗”.則

所選取的農(nóng)作物樣本苗中，“優(yōu)質(zhì)苗”株數(shù)為（）

A.20B.40C.60D.88

K答案』C

K解析』由頻率分布直方圖可知，“優(yōu)質(zhì)苗”的占比為(0?2+0.1)χ2=0.6,

因此，所選取的農(nóng)作物樣本苗中，“優(yōu)質(zhì)苗”株數(shù)為IoOXo.6=60.

故選：C.

4.已知αG(θ,?∣?),CoS2α+2sin2α=1,則tana=()

11

A.3B.2C.?D.-

23

K答案UB

R解析U由CoS2a+2sin2a=l可得：l-2sin?a+4sinacosa=1，

則2sina(-sina+2cosa)=0,因為a∈]θ,]J,所以Sina≠(),

所以一Sina+2COSa=O,貝IJtana=2.

故選：B.

5.過直線/：x+y-5=0上的點作圓C：(x—lf+(y+2)2=6的切線，則切線段長的

最小值為()

A.√6B.2√3C.√15D.3√2

(答案DB

K解析D設(shè)直線上任意一點為P,過P作圓的切線，切點為M,圓C圓心C為(1,-2),半

徑r=>/6>

則IMH=JlPCI2=7∣PC∣2-6，

要使IMH最小，則IPCl最小，易知IPCl最小值為圓心C到直線/的距離.

即呼號孝=3Z

2

.???MP?>λ∕(3√2)-6=2√3.

故選:B.

6.數(shù)學(xué)與音樂有著緊密的關(guān)聯(lián)，我們平時聽到的樂音一般來說并不是純音，而是由多種波

疊加而成的復(fù)合音.如圖為某段樂音的圖象，則該段樂音對應(yīng)的函數(shù)K解析Il式可以為

A.y=sin%+—sin2%+-sin3xB.y=sinx——sin2x——sin3x

■2323

ICICICIC

C.y=smx+-cos2Λ+-COS3XD.y=cosx+-cos2x+-cos3x

2323

K答案》A

K解析U對于A,函數(shù)y=/(x)=SinX+gsin2x+；sin3x,

因為/(-x)=-sinΛ-?sin2Λ-?sin3x=-/(Λ),所以函數(shù)為奇函數(shù),

又∕j二］=X2+J?+也=!+還>0,故A符合圖象；

UJ22623

對于B,函數(shù)y=/(x)=sinx--sin2x——sin3%,

因為/(-x)=-SinX+gsin2元+gsin3x=-/(x),所以函數(shù)為奇函數(shù),

π>/21^2\/211.51,,*々…與4

又了=---------------=---------<---------=0,故B不符題懸;

2263232

對于C,函數(shù)y=/(x)=sinx+-cos2x+-cos3x,

因為/(0)=3,故C不符題意；

6

對于D,當(dāng)X=O時，y=cosx+'cos2x+LCOS3x=U,

故D不符題意

236

故選：A.

7.已知函數(shù)/(x)=3χ4-8V+6χ2,則/(x)()

A.有2個極大值點B.有1個極大值點和1個極小值點

C.有2個極小值點D.有且僅有一個極值點

K答案UD

K解析Rr(X)=I2d—24f+12x=12x(x2—2x+l)=12x(x—l)2,

因為(x—1)2≥()(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號)，

則當(dāng)x<0時，∕,(x)<0,當(dāng)x>0時，∕,(x)>0,

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+"),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0),

所以函數(shù)/(x)的極小值點為0,沒有極大值點，

即函數(shù)/(x)有且僅有一個極值點.

故選：D.

8.將函數(shù)〃x)=GSinX—cos》的圖象上的所有點向右平移:個單位長度，得到的圖象

對應(yīng)的函數(shù)可以是()

A.y=2sinxB.y=2cosx

C.y=-2sinxD.y=—2cosX

R答案XD

K解析H/(x)=6SinX-COSX=2sinxπ

將函數(shù)/(χ)的圖象上的所有點向右平移W個單位長度,

/兀Tl=2sinfx--∣

得到函數(shù)y=2sin%-----2cosX.

\36

故選：D.

9.已知四棱柱ABCD-ABe2的底面是正方形，AB=2,AA1=2√2,點用在底面

ABCD的射影為BC中點H,則點C1到平面ABCD的距離為()

A.√6B.√7C.2√2D.3

K答案』B

K解析》如圖，

2

連接B?H,則BlH_L平面ABCD,且B1H=-BH=√7,

由題可知B1C1//BC,

又?.?B1C1U平面ABCD,BCU平面ABCD,

：.B1C1〃平面ABC￡>,

.?.點G到平面ABCD的距離與點B1到平面ABCD的距離BIH相等.

故選:B.

10.已知定點0(2,0),直線/：丁=%(%+2)(%>0)與拋物線丁=4%交于兩點4,B,

若ZAP3=90。，則IMl=()

A.4B.6C,8D.10

K答案》C

K解析H設(shè)A(Xl,χ),3(x2,y2)，

?工一:"+2)=攵2尤2+(4代_4卜+4%2=Q,

4—442

由題知，△>(),故X+%=---2—,%工2=4,

k

2\

則∣)公∣左S-Sk

yJ2=MXl+2)?A(%2+2=[χ]%2+2(x+w)+4]=24++4=8,

2

k7

由ZAr>8=90=>ZMDB=0=>(x1-2)(Λ2-2)+γ1y2=0,

即內(nèi)馬-2(%+x2)+γly2+4=0,

4_4

BP4-2--~^+8+4=0，解得A?=?，則N+/=-Γ?=8,

一k231

3

則IA陰=Jl+女2.忖-/∣=Jl+公Y(Xl+/Y-44工2=J+"j64T6=8.

故選：C.

11.在ABC中，AB=AC=2,BC=2√3.。為BC的中點，將.ACD繞Az)旋轉(zhuǎn)

至AP。，使得BP=G，則三棱錐P—ABD的外接球表面積為（）

?8√2π5√5π?-o

A.--——Bd.———C.45πTD.A8π

36

K答案》c

K解析》如下圖所示：

圓柱QQ的底面圓直徑為2廠，母線長為/?,則。2的中點O到圓柱底面圓上每點的距離

都相等，則。為圓柱O1O2的外接球球心.

翻折前，在中，AB=AC=2,BC=2√3,。為8C的中點，則AOSBC,

且AD=JAB2_3￡)2=J22—3=1，

翻折后，則有A￡>_/3。，ADA.PD,

又因為BDPD=D,BD、Pz)U平面出冷，所以，AD_L平面尸8￡＞，

由已知BD=PD=BP=柩,則APBD是邊長為√3的等邊三角形，

將三棱錐A-PBD置于圓柱QU上，使得的外接圓為圓。2，

所以，APBD的外接圓直徑為2r=*—=2,

所以，三棱錐尸一A6D的外接球直徑為2R=/402+(2廳=GS=G則

因此，三棱錐P—ABD的外接球表面積為4兀K?=471χ

故選：C.

?I1

12.已知函數(shù)/(x)=%.若過點P(Tm)可以作曲線y=∕(x)三條切線，則機(jī)的取值

范圍是(

?4?8

e'ee,e

K答案UA

由“X)=矍可得/，(X)=之?(x+l)_-X

K解析D設(shè)切點為

e(

所以在點(XO，若?j處的切線的斜率為左=∕'(x0)=,,

所以在點卜空)處的切線為：丁一皆=,(x—x。)，

(I

因為切線過點尸(-1,〃7),所以切-X：1=T~(-l-Xt)),

∏(?+1)2叩以人右產(chǎn)看一人木箋*目即-T

即π機(jī)=U——L,即這個方程有二個不等根即可，

e'u

切線的條數(shù)即為直線y=加與g(x)圖象交點的個數(shù)，

設(shè)g(x)=y，

則=(2X+2)-(Y+2X+1)=_/+i

“Le?'et

由g'(x)>O可得一l<x<l,由g'(x)<O可得:x<-l或x>l,

所以g(x)=絲)在(9,—1)和(1,+8)上單調(diào)遞減，在(—1,1)上單調(diào)遞增,

當(dāng)X趨近于正無窮，g(x)趨近于0,當(dāng)X趨近于負(fù)無窮，g(x)趨近于正無窮，

g(x)的圖象如下圖，且g⑴=；,

要使y=相與g(力=(可)的圖象有三個交點，則0<加<：

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知雙曲線C:工—V=ι,則C的離心率為.

9

K答案》叵

3

K解析》在雙曲線C中，α=3,b=l,c=y∕a2+b2=√32+l2=√U)-

因此，雙曲線C的離心率為e=￡=巫.

a3

故R答案H為：叵.

3

14.已知AB=(1,2),AC=(2√),∣BC∣=1,則實數(shù)/=.

K答案H2

K解析H由已知得BC=AC—=—2),

∣BC∣=1,

.?,l+(∕-2)2=1,

解得f=2.

故K答案》為：2.

15._ABC中，角A、B、C所對的邊分別為“、b、c.若(2α-c)cos3=bcosC,且

b=6)，則^ABC面積的最大值為.

K答案2巫

4

K解析X因為(2α-C)COS8=bcosC,

由正弦定理可得(2SinA-SinC)cosB=sin2?cosC,

所以，2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(3+C)=sinA,

因為A、B∈(0,π),則SinA>0,所以，cosβ=?,故3=g,

23

由余弦定理可得3=〃2=cr+c2—2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=cιc，

所以，則

αc≤3,SAzjr=^acsinB=

abc244

當(dāng)且僅當(dāng)α=c=百時，等號成立，故一A8C面積的最大值為Wl.

4

故K答案》為：KL

4

16.《定理匯編》記載了諸多重要的幾何定理，其中有一些定理是關(guān)于鞋匠刀形的，即由

在同一直線上同側(cè)的三個半圓所圍成的圖形，其被阿基米德稱為鞋匠刀形.如圖所示，三個

半圓的圓心分別為。，。1,O2,半徑分別為R,rl,r2（其中R＞（＞為），在半圓。內(nèi)

1r.

隨機(jī)取一點，此點取自圖中鞋匠刀形（陰影部分）的概率為一，則,=___________.

4r2

K答案23+2√2

K解析》陰影部分面積為：

S=濟(jì)-9-表2=卯2fj2）

由圖可知：2（+2弓=2R,所以4+G=R

則5=*4+弓）2_{_弓［=弓2勺弓=呻,

因為在半圓。內(nèi)隨機(jī)取一點，此點取自圖中鞋匠刀形（陰影部分）的概率為

4

尸不兀4弓_兀桃_2/百工1

所以∣R2f(?i+^)2H+2肌人

/?2/A

^r?rι=?;2+?;2+2λ]r),即Y+弓2一6斗與=(),則二-6—+1=0

AL

解得：一因為＞弓,

=3±2λ∕∑,6

f2

所以'=3+2Λ∕5.

r2

故R答案』為：3+2√2.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.某商店銷售某種產(chǎn)品，為了解客戶對該產(chǎn)品評價，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了200名客戶，其評

價結(jié)果為“一般”或"良好”，并得到如下列聯(lián)表:

一般良好合計

男20100120

女305080

合計50150200

（1）通過計算判斷，有沒有99%的把握認(rèn)為客戶對該產(chǎn)品的評價結(jié)果與性別有關(guān)系？

（2）利用樣本數(shù)據(jù)，在評價結(jié)果為“良好”的客戶中，按照性別用分層抽樣的方法抽取了6

名客戶.若從這6名客戶中隨機(jī)選擇2名進(jìn)行訪談，求所抽取的2名客戶中至少有1名女性

的概率.

附表及公式:

P(K2≥k°)0.150.100.050.0250.010

2.0722.7063.8415.0246.635

n(ad—be)-

其中K,n-a+b+c+d.

(α+?)(c+√)(α+c)(?+J)

200×(20×50-30×IOO)2

解：⑴K-BlLlll>6.635,

120×80×50×150

有99%的把握認(rèn)為客戶對該產(chǎn)品的評價結(jié)果與性別有關(guān)系.

（2）因為“效果較好'’的男客戶和女客戶的人數(shù)之比為IOO:50,即為2:1,

2

所以抽取的6名客戶中，男生有6χ——=4名，記為B∣,B,,&，B&,

1+2^

女生有6x15=2名，記為A，A2,

從這6人中選取2人的所有基本事件有：(A，4)，(4，瓦)，(4，4)，(AH),

(A⑷,(A2,Bl),(A,B2),(A2,B3),(A2,B4),(Bl,B2),(BpB3),(Bl,B4),

(B2,A)-(β2Λ)>(B3,B4),共15個.

其中恰好一個男生的基本事件有：(A，4)，(4,4)，(4，與)，(4，員)，

(A,Bj,(A2,Bl),(A,B2),(A2,B3),(A2,B4),共9個.

93

所以，抽取的2名學(xué)生中恰好有1名女性的概率為石=《.

18.已知數(shù)列｛《,｝是公差為2的等差數(shù)列，其前3項的和為12,｛"｝是公比大于O的等比

數(shù)列，bi=3,b3-b2=18.

(1)求數(shù)列｛%｝和｛%｝的通項公式；

4

(2)若數(shù)列｛%｝滿足c“=-------+bll,求｛%｝的前九項和7；.

anan+?

解：(1)設(shè)公差為"，公比為q,

3χ2

則由題可得數(shù)列??｝的前3項的和3卬+3-4=3《+3"=12,

因為d=2,所以4=2,所以4=2+2(〃―1)=2幾，

2

又因為4=3,&—打=t>iq-biq=18,

所以q2_g_6=0解得q=3或q=-2(舍)，

所以2=3x3"τ=3".

(2)由(I)可知，

44111

C=+Z?=+3“=——-——+3“J———+3"

"allan+l"2n?2(n+l)n?(o+l)n〃+1，

所以｛c,,｝的前〃項和刀,為：

7；=cl+c2+c3++%+q,

1I3(1-3")

H+11-3

--------1------------=---------1-------

π+l2π+l2

19.如圖，在三棱錐P-ABC中，，為JLBC的內(nèi)心，直線A”與BC交于

NPAB=NPAC，ZPCA=ZPCB.

(1)證明：平面R4M_L平面ABG

(2)若ABJ.BC,PA=AB=3,BC=4,求三棱錐M-Q4C的體積.

(1)證明：如圖，設(shè)PN人平面ABC于點M過N作NE_LAB于E,NE,AC于R

連接PE,PF.

?；PNA平面ABC,ABU平面ABC

：.PNLAB

又LAB,，AB_L平面PNE,，ABJ_PE,

同理AC_LPE

在RLP4E,RtqPA/中，/PAE=ZPAF,PA=PA

???APAE二缸PAF?AF=AE

在RtAANE,RtAANF中,AFAE，AN=AN

：.4ANE9∕?ANF,：.NE=NF,即N到A8,AC的距離相等，

同理N到BC,AC的距離相等，故N為-ABC的內(nèi)心，N與H重合,

：■尸〃，平面ABC,

又,??/￥/u平面APM,.?.平面RW，平面ABC,

(2)解：由已知可得AC=5,設(shè)一ABC的內(nèi)切圓半徑為，，

則SAABC=-×^×3=-r(3+4+5),故r=1，

因為“為JIBC的內(nèi)心，所以4,平分/B4C,所以也=絲=3,

CMAC5

53

BM+CM=4,所以CM=-，BM=-,

22

故.AMC的面積為LCM?AB="，

24

ΛΓAB

因為HELAB，ABlBC所以HE〃BC,所以——=——,得A￡=2，

HEBM

所以AH=Jr2+A^2=石,PH=NAP2-AH。=2,

故三棱錐M-PAC的體積為//c=；XSzs,c?尸

22/83、

20.已知橢圓E：二r■+萬=I(Q>〃>0)經(jīng)過A(0,l),T［一二’-WJ兩點，“，N是橢圓

E上異于T的兩動點，且NM4T=NN4T,直線AM,AN的斜率均存在.并分別記為

k∣,42.

(1)求證：々#2為常數(shù)；

(2)證明直線MN過定點.

b2—Ir2

=4

證明：(1)???橢圓過A和T,649,解得

----7------τ^=Lb=1

125/25〃

??.橢圓E的方程為：工+V=],

4-

由NM4T=NM4T知A〃與AN關(guān)于直線AT:y=x+1對稱.

在AM上任取一點^t(?,%),設(shè)外關(guān)于直線AT對稱的點為7×(m,n),

則,λ°m,解得庶(%—1,天+1),

xm

Jo+?_o+l?

.2一2

(XO+1)T=Xo

從而K=kAPu=必二=kAp.

Xo%一1No-I

于是匕&=1.

(2)設(shè)點Λ∕(x],yJ,N(x2,y2)，AM：y=klx+↑.

y=%∣χ+Lgk

由,江+,2_]得(％+1卜2+8⑦=0，二玉=一有二

彳+),=1

“K,1—%L8k,1—4抬

從而χ=3+l1=叼.同aJ理%=叼.

ft8k?6_4

由⑴有匕%2=1，故"2=一石謨，%=4+,，

I/?F—4

一必72

為方便，記勺=&,Y_4/+14+A_8-8/_k+1

x∣-?~Sk~Sk~Sk(3k2-3)~3k

4爐+14+左2

j-4?2

MN:y—y=左(WN(X_玉)，.?.y—

^TK十1

k2+l8(^2+l)l-4k2k2+?5

--3lΓx~3(4k2+?)+4k2+↑~--3PΛ^3'

由此可知，當(dāng)人變化時，直線MN過定點(0,—g).

21.已知函數(shù)/(x)=αe'-f有兩個極值點/、T2.

(1)求”的取值范圍；

(2)若ZN3x∣時，不等式菁+λx2≥2xlx2恒成立，求λ的最小值.

⑴解：因為/(x)="e'-χ2,該函數(shù)的定義域為R,S.f\x)=aex-2x,

因為函數(shù)/(x)有兩個極值點，所以，方程/'(x)=()有兩個不等的實數(shù)根，

2r

則方程α=-7有兩個不等的實根，

令N(X)=其中x∈R,則/(X)=———,令M(x)=0可得X=1,列表如下:

X(fl)1(l,+∞)

/(X)+0—

w(x)增極大值減

2

所以，函數(shù)"(χ)的極大值為Ml)=J

2χ2x

且當(dāng)XVO時，w(x)=—<0；當(dāng)x>0時，w(x)=—>0.

如下圖所示:

由圖可知，當(dāng)0<α<一時，直線y=α與函數(shù)MX）的圖象有兩個交點，且交點橫坐標(biāo)為

e

X]、x2（xl<Λ2）,

-F]>0；當(dāng)XCX時，

當(dāng)x<x∣或x>x2時，∕,（x）=e'aI

?eJ

廣⑺=斗常）<o.

此時，函數(shù)/（x）有兩個極值點，合乎題意，

因此，實數(shù)”的取值范圍是（0,|）

（2）證明：由（1）可知，函數(shù)/（X）的兩個極值點X]、巧是方程αe'-2x=0的兩個

2

根，且0<。<一，O<x<1<x,則有αe"=2玉>O,αe"=Ix>O,

el22

等式ɑe"=2x與等式ɑe*=2々相除可得e*f=上,

1則有占-x1=In>O,

x?百

X2

由X1+λx2≥2xlx2可得（々-X?）（x↑+λx2）≥2X1X2In-

、

即（9-%）（玉+川）22山迨,即（上一?L+4>21n^-,

XiX2Xi1苞八X)xI

因為々23玉，則上23,令，=±23,則（f--l)^+^>21n/,可得χ≥詈一),

x?x?

41

3--+4-21nr

令（[卜21nf—Ini+；,其中，N3,則")=，

‘）t-?tt-?(I)

令力?)=3—21nr,其中r≥3,則〃,⑺二一二」叮)<0,

所以，函數(shù)〃(。在[3,+8)上單調(diào)遞減，則

∕z(f)≤M3)=3-3+Lln3=3-21n3<0,

399

即g'(r)<O,所以,函數(shù)g(∕)在[3,+∞)上單調(diào)遞減,

?1-?11I

所以，當(dāng).≥3時，gQ=(3]==-^---=ln3--,則/I≥ln3-

SX/maxgo?∕2?33

因此，實數(shù)義的最小值為In3-』.

3

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第

一題記分.

K選修47：坐標(biāo)系與參數(shù)方程』

f-

22.在直角坐標(biāo)系Xoy中，直線/的參數(shù)方程為4"=2+O3f'α為參數(shù))以坐標(biāo)原點。

Iy=f

為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為

4p2sin2^=3(p2-l).

(1)求C的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)直線/與曲線C交于A,B