第03講等比數(shù)列（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)方法練創(chuàng)新練成果練）

第03講等比數(shù)列（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)+方法練+創(chuàng)新練+成果練）【目錄】【新知講解】知識(shí)點(diǎn)1.等比數(shù)列的概念知識(shí)點(diǎn)2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知識(shí)點(diǎn)3.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)4.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用【方法練】【創(chuàng)新練】【成果練】【知識(shí)導(dǎo)圖】【新知講解】知識(shí)點(diǎn)1.等比數(shù)列的概念等比數(shù)列的概念1．定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．遞推公式形式的定義：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n>1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(an＋1,an)＝q，n∈N*)).等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，此時(shí)，G2＝ab.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則an＝a1qn－1(n∈N*)．等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣和變形等比數(shù)列{an}的公比為q，則an＝a1qn－1①＝amqn－m②＝eq\f(a1,q)·qn.③其中當(dāng)②中m＝1時(shí)，即化為①.當(dāng)③中q>0且q≠1時(shí)，y＝eq\f(a1,q)·qx為指數(shù)型函數(shù)．等比數(shù)列的常用性質(zhì)設(shè)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則：(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an.(2)若m，p，n成等差數(shù)列，則am，ap，an成等比數(shù)列．(3)在等比數(shù)列{an}中，連續(xù)取相鄰k項(xiàng)的和(或積)構(gòu)成公比為qk(或)的等比數(shù)列．(4)若{an}是等比數(shù)列，公比為q，則數(shù)列{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}都是等比數(shù)列，且公比分別是q，eq\f(1,q)，q2.(5)若{an}，{bn}是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，公比分別是p和q，那么{anbn}與eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也都是等比數(shù)列，公比分別為pq和eq\f(p,q).例一、單選題1．（2022上·福建泉州·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則數(shù)列的公比為（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列通項(xiàng)列式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，而，解得，所以數(shù)列的公比為.故選：B例二、多選題2．（2020上·海南?？凇じ呷？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列C．D．【答案】BD【分析】A．根據(jù)遞推公式求解出的值；B．將遞推公式變形為結(jié)合的值進(jìn)行判斷；C．根據(jù)以及的值計(jì)算出結(jié)果；D．先求解出的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)求解出的通項(xiàng)公式.【詳解】A．因?yàn)?，，所以，所以，故錯(cuò)誤；B．因?yàn)?，所以，所以，所以，且，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故正確；C．因?yàn)?，，所以，故錯(cuò)誤；D．因?yàn)?，所以，所以，故正確；故選：BD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明數(shù)列為等比數(shù)列的常用方法：（1）定義法：證明為非零常數(shù)；（2）等比中項(xiàng)法：證明或；（3）通項(xiàng)公式法或前項(xiàng)和公式法：根據(jù)公式的形式進(jìn)行判斷.例三、填空題3．（2021上·廣西桂林·高二?？计谥校┮阎?和4的等差中項(xiàng)，正數(shù)是和的等比中項(xiàng)，則等于.【答案】12【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)以及等比中項(xiàng)的概念求得，即可得答案.【詳解】因?yàn)槭?和4的等差中項(xiàng)，故，正數(shù)是和的等比中項(xiàng)，故，所以，故答案為：12例三、解答題4．（2023上·湖北·高二期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)證明：數(shù)列中的任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等差數(shù)列．【分析】（1）根據(jù)已知有，由等比數(shù)列定義判斷即可；（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為，假設(shè)，，為數(shù)列中的任意三項(xiàng)能構(gòu)成等差數(shù)列，應(yīng)用等差中項(xiàng)列方程，根據(jù)兩側(cè)奇偶性得到矛盾，即可證.【詳解】（1）由，得，可得，由可得，故，故，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為，則，設(shè)，，為數(shù)列中的任意三項(xiàng)，易得，若這三項(xiàng)若能構(gòu)成等差數(shù)列，只能是，所以，此式的左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，所以數(shù)列中的任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等差數(shù)列．5．（2024上·上?！じ叨？计谀┮阎獢?shù)列中，，其前項(xiàng)和為，且.(1)若是等比數(shù)列，，求通項(xiàng)公式；(2)若，求；(3)若是等差數(shù)列，對(duì)任意的且.都有，求其公差的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由題意求出公比和，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由條件可得，再由等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合分組求和法，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（3）由題意可得對(duì)任意的且成立，即對(duì)任意的且成立，分分別求解，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，，，所以數(shù)列的公比，所以，即，解得，，所以.（2）因?yàn)椋瑒t，兩式相減可得，又，則，，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，則（3）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以公差，則，所以，對(duì)任意的且成立，即對(duì)任意的且成立，所以對(duì)任意的且成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，又因?yàn)?，所以，綜上所述，.知識(shí)點(diǎn)2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)、公比與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公比與末項(xiàng)求和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)q≠1，,na1q＝1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1－anq,1－q)q≠1，,na1q＝1))例一、單選題1．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由公式求出??的值，由等比數(shù)列的定義分析可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則，，，則有，解得，故選：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，涉及等比數(shù)列的定義，屬于基礎(chǔ)題.例二、多選題2．（2023下·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在一次《數(shù)列》的公開(kāi)課時(shí)，有位教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照此方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.下面我們將數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列；第2次得到數(shù)列；第次得到數(shù)列記，數(shù)列的前項(xiàng)為，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，尋找規(guī)律，再進(jìn)行推理運(yùn)算即可.【詳解】由題意可知，第1次得到數(shù)列1,3,2，此時(shí)第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2，此時(shí)第3次得到數(shù)列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此時(shí)第4次得到數(shù)列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此時(shí)第次得到數(shù)列1，，2此時(shí)，故A項(xiàng)正確；結(jié)合A項(xiàng)中列出的數(shù)列可得：用等比數(shù)列求和可得則又所以，則，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；由B項(xiàng)分析可知，故C項(xiàng)正確.，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.例三、填空題3．在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記作，再令.則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】，【分析】記這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列為，則由，，可得到，將化簡(jiǎn)后代入即可得出答案.【詳解】記由個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列為，則，，則，即所以，即故答案為：，.例四、解答題4．（2023上·甘肅白銀·高三?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算即可;（2）利用錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】（1））設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，則，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）所以，則，兩式相減，得則.5．（2023上·黑龍江牡丹江·高二校考期末）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，若，，是的前項(xiàng)和，求.【答案】【分析】首先利用公式，化簡(jiǎn)等式，得到，再得到，兩式相減后，可判斷數(shù)列是等差數(shù)列，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】因?yàn)椋偎?，，②①②相減得，所以，③所以，④④③得，，所以所以，所以為等差數(shù)列，因?yàn)椋?，又，所以?shù)列的公差，所以，，所以.知識(shí)點(diǎn)3.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和及其應(yīng)用1．?dāng)?shù)列{an}為公比不為－1的等比數(shù)列(或公比為－1，且n不是偶數(shù))，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構(gòu)成等比數(shù)列．2．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．3．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和，則：①在其前2n項(xiàng)中，eq\f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1項(xiàng)中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)．例一、單選題1．（2023上·湖南永州·高二統(tǒng)考期末）如圖，瑞典數(shù)學(xué)家科赫在年通過(guò)構(gòu)造圖形描述雪花形狀．其作法是：從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊．反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，就得到一條“雪花”狀的曲線．設(shè)原正三角形（圖①）的邊長(zhǎng)為，則圖④中圖形的面積為（

）A． B． C． D．答案：1．A【分析】設(shè)圖①、②、③、④中正三角形的邊長(zhǎng)分別為、、、，圖形面積依次記為、、、，圖形分別記為、、、，圖形的邊數(shù)分別記為、、、，易得，，，利用累加法可求得的值.【詳解】設(shè)圖①、②、③、④中正三角形的邊長(zhǎng)分別為、、、，圖形面積依次記為、、、，圖形分別記為、、、，圖形的邊數(shù)分別記為、、、，觀察圖形可知，且，，且，由題意可知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，，由圖可知，圖形是在圖形的每條邊上生成一個(gè)小三角形（去掉底邊），共增加了個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形，所以，，由累加法可得.故選：A.例二、多選題2．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）將個(gè)數(shù)排成n行n列的一個(gè)數(shù)陣，如圖：該數(shù)陣第一列的n個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列，每一行的n個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列（其中）．已知，，記這個(gè)數(shù)的和為S，則（

）A． B．C． D．答案：ACD【分析】根據(jù)等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算判斷AB,分別按行、列由等差等比數(shù)列計(jì)算可判斷C,采用分組求和的方法計(jì)算可判斷D.【詳解】由，，得，所以或（舍去），故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；故D正確．故選：ACD．例三、填空題3．（2022下·上海虹口·高一上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)校考期末）已知等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為，前項(xiàng)和為；則．答案：【分析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式直接計(jì)算即可.【詳解】由已知得，故答案為：.4．（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則，.答案：【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)得到，結(jié)合真數(shù)大于0，求出和.【詳解】，故，由真數(shù)大于0可得，，即，又，故，所以，又，所以，即.故答案為：，例四、解答題5．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)i＋2i2＋3i3＋…＋100i100.答案：50－50i.【分析】利用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列求和公式以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)S＝i＋2i2＋3i3＋…＋100i100，①所以iS＝i2＋2i3＋…＋99i100＋100i101，②由①－②得（1－i）S＝i＋i2＋i3＋…＋i100－100i101＝＝0－100i＝－100i.所以S＝.所以i＋2i2＋3i3＋…＋100i100＝50－50i.知識(shí)點(diǎn)4.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和在幾何中的應(yīng)用及等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用1．解應(yīng)用問(wèn)題的核心是建立數(shù)學(xué)模型．2．一般步驟：審題、抓住數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型．3．注意問(wèn)題是求什么(n，an，Sn)．注意：(1)解答數(shù)列應(yīng)用題要注意步驟的規(guī)范性：設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答．(2)在歸納或求通項(xiàng)公式時(shí)，一定要將項(xiàng)數(shù)n計(jì)算準(zhǔn)確．(3)在數(shù)列類型不易分辨時(shí)，要注意歸納遞推關(guān)系．(4)在近似計(jì)算時(shí)，要注意應(yīng)用對(duì)數(shù)方法，且要看清題中對(duì)近似程度的要求．例一、單選題1．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，成等差數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)的和，則（）A．1008 B．2016 C．2032 D．4032【答案】B【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合基本量的方法可得，再根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)的和公式求解即可【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列所以，故，因?yàn)?，解?所以，故選：B例二、多選題2．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論不正確的是（

）A．若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列B．等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為的二次函數(shù)．C．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則、、仍成等比數(shù)列D．如果數(shù)列的前項(xiàng)和為，則對(duì)，都有【答案】BC【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義可判斷A選項(xiàng)的正誤；取可判斷B選項(xiàng)的正誤；取，為偶數(shù)可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用與的關(guān)系可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)任意，，則數(shù)列為等差數(shù)列，且該數(shù)列的前項(xiàng)和，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，若等比數(shù)列的公比，且當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，則，所以，，此時(shí)，、、不成等比數(shù)列，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)任意的，，可得，D選項(xiàng)正確.故選：BC.例三、填空題3．（2022上·高二單元測(cè)試）已知數(shù)列滿足，設(shè)，為數(shù)列前n項(xiàng)和，若（為常數(shù)），則最小值為.【答案】【分析】由前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系可求得，再利用錯(cuò)位相減法即可求得.【詳解】時(shí)，，因?yàn)棰偎寓诘茫?，即（），不符合，所以，，所以③④得?化簡(jiǎn)得：，因?yàn)?，所以的最小值?故答案為：.4．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”則該人第一天走的路程為里，后三天一共走里．【答案】19242【分析】題意為這六天中每天走的路程是公比為的等比數(shù)列，共6項(xiàng)，項(xiàng)的和為378，求數(shù)列的首項(xiàng)和后3項(xiàng)的和．【詳解】由題可知這六天中每天走的路程是公比為的等比數(shù)列，設(shè)第一天走里，則，解得，即該人第一天走的路程是192里；后三天共走了（里）．故答案為：192；42．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)文化、等比數(shù)列的概念及其求和．理解題意，并掌握等比數(shù)列求和公式是解題關(guān)鍵．例四、解答題5．（2024·四川自貢·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前頂和為.且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在數(shù)列中，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用求通項(xiàng)公式；（2）轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列，分組求和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，可得：；當(dāng)時(shí)，，，兩式相減，得：，即，所以：.（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，所以：，時(shí)，，上式也成立.所以：，【方法練】一、單選題1．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，且第項(xiàng)至第項(xiàng)的和為112，則的值為（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式建立方程，解之可得答案.【詳解】解：由已知，得，即，則，解得，所以，故選：B．2．（2023·山西·統(tǒng)考二模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，則（

）A．16 B．32 C．81 D．243【答案】A【分析】根據(jù)，作差得到等比數(shù)列的公比為，再求出，最后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得.【詳解】等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，∴，∴，∴，故等比數(shù)列的公比為．在中，令，可得，∴，則．故選：A．二、多選題3．（2023·福建·統(tǒng)考一模）記正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列數(shù)列為等比數(shù)列的有（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義和前n項(xiàng)公式和逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可得：等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，即，對(duì)A：，且，即為等比數(shù)列，A正確；對(duì)B：，且，即為等比數(shù)列，B正確；∵，則有：對(duì)C：，均不為定值，即不是等比數(shù)列，C錯(cuò)誤；對(duì)D：，均不為定值，即不是等比數(shù)列，D錯(cuò)誤；故選：AB.4．（2021上·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，若，且存在兩項(xiàng)，，使得，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】先由求出公比，再由，求出和的關(guān)系式，然后結(jié)合等比數(shù)列的定義和求和公式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，且因?yàn)?，即化?jiǎn)得：解得：或（舍去）對(duì)A，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，故B正確；對(duì)C，因?yàn)?，即，化?jiǎn)得：，又解得，當(dāng)，時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由C知，，故D正確.故選：BD.三、填空題5．（2022上·湖南郴州·高二統(tǒng)考期末）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，則.【答案】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，即可得到答案.【詳解】由題意各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列得：，故答案為：6．（2022上·廣西柳州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足，．若不等式對(duì)一切正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)題意，求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到該等比數(shù)列的前項(xiàng)和，把不等式整理成，根據(jù)，分離參數(shù)，可得對(duì)一切正整數(shù)成立，然后研究的最小值，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，，設(shè)等比數(shù)列公比為，可得，所以．不等式化為，所以對(duì)一切正整數(shù)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以．故答案為：四、解答題7．（2023上·河北滄州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，.(2)【分析】（1）根據(jù)等差、等比數(shù)列公式法求出通項(xiàng)；（2）利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式以及裂項(xiàng)相消法求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則解得所以，.（2），則.8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列，，的前n項(xiàng)和，在學(xué)習(xí)完“錯(cuò)位相減法”后，善于觀察的小周同學(xué)發(fā)現(xiàn)對(duì)于此類“等差×等比數(shù)列”，也可以使用“裂項(xiàng)相消法”求解，以下是她的思考過(guò)程：①為什么可以裂項(xiàng)相消？是因?yàn)榇藬?shù)列的第n，n＋1項(xiàng)有一定關(guān)系，即第n項(xiàng)的后一部分與第n＋1項(xiàng)的前一部分和為零②不妨將，也轉(zhuǎn)化成第n，n＋1項(xiàng)有一定關(guān)系的數(shù)列，因?yàn)橄禂?shù)不確定，所以運(yùn)用待定系數(shù)法可得，通過(guò)化簡(jiǎn)左側(cè)并與右側(cè)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等即可確定系數(shù)③將數(shù)列，表示成形式，然后運(yùn)用“裂項(xiàng)相消法”即可！聰明的小周將這一方法告訴了老師，老師贊揚(yáng)了她的創(chuàng)新意識(shí)，但也同時(shí)強(qiáng)調(diào)一定要將基礎(chǔ)的“錯(cuò)位相減法”掌握．(1)（鞏固基礎(chǔ)）請(qǐng)你幫助小周同學(xué)，用“錯(cuò)位相減法”求的前n項(xiàng)和；(2)（創(chuàng)新意識(shí)）請(qǐng)你參考小周同學(xué)的思考過(guò)程，運(yùn)用“裂項(xiàng)相消法”求的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根據(jù)錯(cuò)位相減法的解題步驟求解求的前n項(xiàng)和即可；（2）根據(jù)裂項(xiàng)法，設(shè)，結(jié)合已知比較系數(shù)求得，再代入，即可求得.【詳解】（1）因?yàn)樗寓賱t②所以①②得：所以；（2）因?yàn)?，設(shè)，比較系數(shù)得：，得，所以，所以【創(chuàng)新練】一、單選題1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（

）A． B． C．15 D．40【答案】C【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的方程,計(jì)算出,即可求出.【詳解】由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.2．（2020上·江蘇徐州·高二徐州市第一中學(xué)?？计谥校┮阎缺葦?shù)列的項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由與的關(guān)系可求得，進(jìn)而可判斷出數(shù)列也為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列的求和公式可求得所化簡(jiǎn)所求代數(shù)式.【詳解】已知等比數(shù)列的項(xiàng)和.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.由于數(shù)列為等比數(shù)列，則滿足，所以，，解得，，則，，且，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列通項(xiàng)公式常用的七種方法：（1）公式法：根據(jù)等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式或進(jìn)行求解；（2）前項(xiàng)和法：根據(jù)進(jìn)行求解；（3）與的關(guān)系式法：由與的關(guān)系式，類比出與的關(guān)系式，然后兩式作差，最后檢驗(yàn)出是否滿足用上面的方法求出的通項(xiàng)；（4）累加法：當(dāng)數(shù)列中有，即第項(xiàng)與第項(xiàng)的差是個(gè)有規(guī)律的數(shù)列，就可以利用這種方法；（5）累乘法：當(dāng)數(shù)列中有，即第項(xiàng)與第項(xiàng)的商是個(gè)有規(guī)律的數(shù)列，就可以利用這種方法；（6）構(gòu)造法：①一次函數(shù)法：在數(shù)列中，（、均為常數(shù)，且，）.一般化方法：設(shè)，得到，，可得出數(shù)列是以的等比數(shù)列，可求出；②取倒數(shù)法：這種方法適用于（、、為常數(shù)，），兩邊取倒數(shù)后，得到一個(gè)新的特殊（等差或等比）數(shù)列或類似于的式子；⑦（、為常數(shù)且不為零，）型的數(shù)列求通項(xiàng)，方法是在等式的兩邊同時(shí)除以，得到一個(gè)型的數(shù)列，再利用⑥中的方法求解即可.二、多選題3．（2023上·江蘇南通·高二海安高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，則以下命題正確的有（

）．A．若數(shù)列為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列B．若數(shù)列為等差數(shù)列，恒成立，則是嚴(yán)格增數(shù)列C．若數(shù)列為等比數(shù)列，則恒成立D．若數(shù)列為等差數(shù)列，，，則的最大值在n為8或9時(shí)取到【答案】ACD【分析】用定義法判斷數(shù)列為等比數(shù)列，利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)解題.【詳解】選項(xiàng)A：若為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則為常數(shù)，則為等比數(shù)列；選項(xiàng)B：若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，首項(xiàng)為，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，數(shù)列為常數(shù)列，則不是嚴(yán)格增數(shù)列；選項(xiàng)C：若數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，時(shí)，為常數(shù)列，，所以，，時(shí)，，所以若數(shù)列為等比數(shù)列，則恒成立；選項(xiàng)D：若數(shù)列為等差數(shù)列，，，可得，又等差數(shù)列性質(zhì)有，，由可知，所以的最大值在n為8或9時(shí)取到.故選：ACD4．（2023·遼寧大連·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若正整數(shù)m，n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互素，歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)k，且與k互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：，，，．下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，則【答案】ACD【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)的定義可判斷ABC，求出可判斷D.【詳解】與互素的正整數(shù)有，所以，故A正確；因?yàn)椋詳?shù)列不為遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；與互素的正整數(shù)有，共有個(gè)，所以，因?yàn)?，所以，所以，兩式相減得，所以，故D正確，故選：ACD三、填空題5．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考二模）定義是與實(shí)數(shù)的距離最近的整數(shù)（當(dāng)為兩相鄰整數(shù)的算術(shù)平均值時(shí)，取較大整數(shù)），如，令函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則；.【答案】3【分析】根據(jù)數(shù)列新定義可知，數(shù)列重新分組可得，，且滿足第組有個(gè)數(shù)，且每組中所有數(shù)之和為，即可求解.【詳解】因?yàn)樗?；根?jù)，當(dāng)時(shí)，，則，，當(dāng)時(shí)，，則，，當(dāng)時(shí)，，則，，當(dāng)時(shí)，，則，，以此類推，將重新分組如下，，第組有個(gè)數(shù)，且每組中所有數(shù)之和為，設(shè)在第組中，則，可得解得，所以，故答案為：3;.6．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則．【答案】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，顯然，根據(jù)題意求出，的值，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，顯然，因?yàn)?，，所以，即，解?所以．故答案為：四、解答題7．（2024上·黑龍江哈爾濱·高二黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學(xué)校聯(lián)考期末）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，，，成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列可得，再由等比數(shù)列的基本公式計(jì)算可得公比的值，從而得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法直接求數(shù)列的前項(xiàng)和即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公差為，則，由，，成等差數(shù)列可得，即，又，所以，即，解得或（舍），所以；（2）由（1）可得，所以，所以.8．在數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，且．(1)求；(2)設(shè)，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使成立的最小正整數(shù)的值．【答案】(1)；(2)【分析】(1)由題意結(jié)合通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和之間的關(guān)系可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，再利用有(2)結(jié)合(1)中的結(jié)論有：，據(jù)此分組求和結(jié)合裂項(xiàng)求和可得,據(jù)此可得關(guān)于的不等式，求解不等式可得滿足題意的最小正整數(shù)n的值為2015.【詳解】（1）解：由，得，∴，由，得，兩式作差得，即，故，∴，故，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列．∴，（2）解：，∴，即，∴，∴，∴，即，解得，∴使成立的最小正整數(shù)的值為.【成果練】一、單選題1．（2022下·北京·高二北京八中?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和（是不為0的實(shí)數(shù)），那么（

）A．一定是等差數(shù)列 B．一定是等比數(shù)列C．或者是等差數(shù)列，或者是等比數(shù)列 D．以上均不正確【答案】C【分析】根據(jù)得到，再分和兩種情況討論，即可得解；【詳解】解：因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，②，①②得，即因?yàn)?，?dāng)時(shí)為等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，表示以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；故選：C2．設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比，且，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，設(shè)，，，則A，B，C成等比數(shù)列，然后利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得答案【詳解】設(shè)，，，則A，B，C成等比數(shù)列，公比為，且,由條件得，所以，所以，所以.故選：B3．（2022下·四川成都·高一統(tǒng)考期末）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（

）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)即可求解.【詳解】解：根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，可得，，故選：A.二、多選題4．（2023上·江蘇宿遷·高二?？计谥校┰O(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件，，，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．若，則最大為4048．C．是數(shù)列中的最大值 D．【答案】AD【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組和，可得，所以從到的每一項(xiàng)都大于，從開(kāi)始后面所有的項(xiàng)的值都小于且大于.再分析每一個(gè)選項(xiàng)即可求解.【詳解】因?yàn)槭枪葹榈牡缺葦?shù)列，由，得，所以，由，，且，顯然不成立，得，從而，，同時(shí)數(shù)列是一個(gè)遞減的正項(xiàng)等比數(shù)列，即在等比數(shù)列中，從到的每一項(xiàng)都大于，從開(kāi)始后面所有的項(xiàng)的值都小于且大于.對(duì)于A：因?yàn)閿?shù)列是一個(gè)遞減的正項(xiàng)等比數(shù)列，成立等價(jià)于，故A正確；對(duì)于B：在等比數(shù)列中，從到的每一項(xiàng)都大于，從開(kāi)始后面所有的項(xiàng)的值都小于且大于.，且，若，則最大時(shí)，故B不正確；對(duì)于C：接上面，，是數(shù)列中的最大值，故C不正確；對(duì)于D，接上面，，故D正確.故選：AD.三、填空題5．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，五個(gè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由題意易得，由成等比數(shù)列得，且和的符號(hào)相同，解得，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6．（2022上·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則的公比為.【答案】3【分析】由題設(shè)知等比數(shù)列公比，根據(jù)已知條件及等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程求公比即可.【詳解】由題設(shè)，等比數(shù)列公比，且，所以，可得或（舍），故的公比為3.故答案為：37．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）設(shè)是等比數(shù)列，且，則．【答案】4【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再代入中即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，.故答案為：4.四