新教材高中數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案4-5-3函數(shù)模型的應(yīng)用

4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用[目標(biāo)]會(huì)根據(jù)所給數(shù)據(jù)選擇合適的函數(shù)模型進(jìn)行擬合．[重點(diǎn)]根據(jù)給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題．[難點(diǎn)]建立數(shù)學(xué)模型解答實(shí)際問題．知識(shí)點(diǎn)一應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題[填一填]解決應(yīng)用問題的基本步驟(1)審題：深刻理解題意，分清條件和結(jié)論，理順其中的數(shù)量關(guān)系，把握其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)．(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．(3)解模：用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決轉(zhuǎn)化出的數(shù)學(xué)問題．(4)還原：回到題目本身，檢驗(yàn)結(jié)果的實(shí)際意義，給出結(jié)論．[答一答]1．我們已學(xué)過的函數(shù)有哪些？提示：一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)．2．建立函數(shù)模型解決問題的基本過程是什么？提示：①收集數(shù)據(jù)；②根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出散點(diǎn)圖；③根據(jù)點(diǎn)的分布特征，選擇一個(gè)能刻畫散點(diǎn)圖特征的函數(shù)模型；④選擇其中的幾組數(shù)據(jù)求出函數(shù)模型；⑤將已知數(shù)據(jù)代入所求出的函數(shù)模型中進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否符合實(shí)際，若不符合實(shí)際，則重復(fù)步驟③④⑤；若符合實(shí)際，則進(jìn)入下一步；⑥用所得函數(shù)模型解釋實(shí)際問題．知識(shí)點(diǎn)二構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題[填一填](1)常見的8種函數(shù)模型①一次函數(shù)模型：f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)；②反比例函數(shù)模型：f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)；③二次函數(shù)模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)；④指數(shù)函數(shù)模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1)；⑤對數(shù)函數(shù)模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，a>0，a≠1，m≠0)；⑥冪函數(shù)模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)；⑦“對勾”函數(shù)模型：f(x)＝ax＋eq\f(b,x)(a，b為常數(shù)，且a>0，b>0)；⑧分段函數(shù)模型．(2)幾類函數(shù)模型的增長差異在區(qū)間(0，＋∞)上，函數(shù)y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函數(shù)，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xn的增長速度，而y＝logax(a>1)的增長速度則會(huì)越來越慢．因此，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就有l(wèi)ogax<xn<ax.[答一答]3．哪些實(shí)際問題可以用指數(shù)函數(shù)模型來表示？提示：人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長率問題．4．哪些實(shí)際問題可以用對數(shù)函數(shù)模型來表示？提示：地震震級的變化規(guī)律、溶液pH的變化規(guī)律、航天問題等．類型一[解析]觀察函數(shù)圖象可得函數(shù)y＝f(t)在[0，a]上是增函數(shù)，即說明隨著直線l的右移，掃過圖形的面積不斷增大．再對圖象作進(jìn)一步分析，圖象首先是向下凸的，說明此時(shí)掃過圖形的面積增加得越來越快，然后是向上凸的，說明此時(shí)掃過圖形的面積增加得越來越慢．根據(jù)這一點(diǎn)很容易判定C項(xiàng)不符合．這是因?yàn)樵贑項(xiàng)中直線l掃到矩形部分時(shí)，面積會(huì)呈直線上升．[答案]C判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象．(2)驗(yàn)證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，則根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案．[變式訓(xùn)練1]已知正方形ABCD的邊長為4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)開始沿折線BCDA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖象是(D)解析：①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離為x，則S＝eq\f(1,2)×4×x＝2x(0≤x≤4)，其函數(shù)圖象為過原點(diǎn)的一線段；②點(diǎn)P在邊CD上時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離不變，為4，則S＝eq\f(1,2)×4×4＝8(4≤x≤8)，其函數(shù)圖象是平行于x軸的一線段；③點(diǎn)P在邊DA上時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離為(12－x)，則S＝eq\f(1,2)×4×(12－x)＝24－2x(8≤x≤12)，其圖象是一線段．縱觀各選項(xiàng)，只有D選項(xiàng)圖象符合．故選D.類型二應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題[例2]某新型企業(yè)為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預(yù)計(jì)年利潤低于10%時(shí)，則該企業(yè)就考慮轉(zhuǎn)型，下表顯示的是某企業(yè)幾年來利潤y(百萬元)與年投資成本x(百萬元)變化的一組數(shù)據(jù)：年份2008200920102011…投資成本x35917…年利潤y1234…給出以下3個(gè)函數(shù)模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)．(1)選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述x，y之間的關(guān)系；(2)試判斷該企業(yè)年利潤超過6百萬元時(shí)，該企業(yè)是否要考慮轉(zhuǎn)型．[解](1)將(3,1)，(5,2)代入y＝kx＋b(k≠0)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3k＋b，,2＝5k＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,2)，,b＝－\f(1,2)，))∴y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2).當(dāng)x＝9時(shí)，y＝4，不符合題意；將(3,1)，(5,2)代入y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝ab3，,2＝ab5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(\r(2),4)，,b＝\r(2)，))∴y＝eq\f(\r(2),4)·(eq\r(2))x＝2eq\s\up15(eq\f(x－3,2)).當(dāng)x＝9時(shí)，y＝eq\f(\r(2),4)·(eq\r(2))eq\s\up15(eq\f(9－3,2))＝1，不符合題意；將(3,1)，(5,2)代入y＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝loga3＋b，,2＝loga5＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－1，))∴y＝log2(x－1)．當(dāng)x＝9時(shí)，y＝log28＝3；當(dāng)x＝17時(shí)，y＝log216＝4.故可用③來描述x，y之間的關(guān)系．(2)令log2(x－1)≥6，則x≥65.∵年利潤eq\f(6,65)<10%，∴該企業(yè)要考慮轉(zhuǎn)型．求解已給函數(shù)模型，解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn)(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該模型求解實(shí)際問題．提醒：解決實(shí)際問題時(shí)要注意自變量的取值范圍．[變式訓(xùn)練2]據(jù)報(bào)道，全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近50年內(nèi)減少了5%，如果按此速度，設(shè)2018年北冰洋冬季冰雪覆蓋面積為m，則從2018年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數(shù)關(guān)系式是(A)A．y＝0.95eq\s\up15(eq\f(x,50))·m B．y＝(1－0.05eq\s\up15(eq\f(x,50)))·mC．y＝0.9550－x·m D．y＝(1－0.0550－x)·m解析：設(shè)北冰洋每年冬季冰雪覆蓋面積為上一年的q%.由題意可知(q%)50＝0.95，所以q%＝0.9eq\s\up15(eq\f(1,50))，所以從2018年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝0.95eq\s\up15(eq\f(x,50))·m.類型三構(gòu)建指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問題[例3]某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A．2018年 B．2019年C．2020年 D．2021年[分析]寫出第n(n∈N*)年該公司全年投入的研發(fā)資金與n的關(guān)系式，解不等式即可．[解析]設(shè)2015年后的第n年該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元．由130(1＋12%)n>200，得1.12n>eq\f(20,13)，兩邊取常用對數(shù)，得n>eq\f(lg2－lg1.3,lg1.12)≈eq\f(0.30—0.11,0.05)＝eq\f(19,5)，∴n≥4，∴從2019年開始，該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，故選B.[答案]B(1)求解與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)兩類函數(shù)模型有關(guān)的實(shí)際問題時(shí)，要學(xué)會(huì)合理選擇模型，在兩類模型中，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型．(2)在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時(shí)，一般需要先通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題，必要時(shí)可借助導(dǎo)數(shù)．[變式訓(xùn)練3](1)世界人口在過去40年內(nèi)翻了一番，則每年人口平均增長率是(參考數(shù)據(jù)lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)(C)A．1.5% B．1.6%C．1.7% D．1.8%(2)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，在過濾過程中，污染物的數(shù)量p(單位：毫克/升)不斷減少，已知p與時(shí)間t(單位：小時(shí))滿足p(t)＝p02eq\s\up15(－eq\f(t,30))，其中p0為t＝0時(shí)的污染物數(shù)量．又測得當(dāng)t＝30時(shí)，污染物數(shù)量的平均變化率是－10ln2，則p(60)＝(C)A．150毫克/升 B．300毫克/升C．150ln2毫克/升 D．300ln2毫克/升解析：(1)設(shè)每年世界人口平均增長率為x，則(1＋x)40＝2，兩邊取以10為底的對數(shù)，則40lg(1＋x)＝lg2，所以lg(1＋x)＝eq\f(lg2,40)≈0.0075，所以100.0075＝1＋x，得1＋x＝1.017，所以x＝1.7%.故選C.(2)因?yàn)楫?dāng)t＝30時(shí)，污染物數(shù)量的平均變化率是－10ln2，所以－10ln2＝eq\f(\f(1,2)p0－p0,30－0)，所以p0＝600ln2.因?yàn)閜(t)＝p02eq\s\up15(－eq\f(t,30))，所以p(60)＝600ln2×2－2＝150ln2(毫克/升)．故選C.類型四構(gòu)建分段函數(shù)模型解決實(shí)際問題[例4]今年春節(jié)期間某自駕游車隊(duì)，組織車友前往某地游玩．該車隊(duì)是由31輛車身長都約為5m(以5m計(jì)算)的同一車型組成的，行程中經(jīng)過一個(gè)長為2725m的隧道(通過該隧道的車速不能超過25m/s)．勻速通過該隧道時(shí)，設(shè)車隊(duì)的速度為xm/s.根據(jù)安全和車流的需要，當(dāng)0<x≤12時(shí)，相鄰兩車之間保持20m的距離；當(dāng)12<x≤25時(shí)，相鄰兩車之間保持eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)x2＋\f(1,3)x))m的距離．自第1輛車車頭進(jìn)入隧道至第31輛車車尾離開隧道所用的時(shí)間為y(s)．(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)求該車隊(duì)通過隧道時(shí)間y的最小值及此時(shí)車隊(duì)的速度．[解]由于不同路段，保持的距離不同，因此可用分段函數(shù)表示，分段函數(shù)的有關(guān)最值問題要分段求解．(1)當(dāng)0<x≤12時(shí)，y＝eq\f(2725＋5×31＋20×31－1,x)＝eq\f(3480,x)；當(dāng)12<x≤25時(shí)，y＝eq\f(2725＋5×31＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)x2＋\f(1,3)x))×31－1,x)＝eq\f(5x2＋10x＋2880,x)＝5x＋eq\f(2880,x)＋10.所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3480,x)0<x≤12，,5x＋\f(2880,x)＋1012<x≤25.))(2)當(dāng)0<x≤12時(shí)，在x＝12(m/s)時(shí)，ymin＝eq\f(3480,12)＝290(s)；當(dāng)12<x≤25時(shí)，y＝5x＋eq\f(2880,x)＋10≥2eq\r(5x·\f(2880,x))＋10＝250(s)，當(dāng)且僅當(dāng)5x＝eq\f(2880,x)，即x＝24(m/s)時(shí)取等號．因?yàn)閤＝24∈(12,25]，所以當(dāng)x＝24(m/s)時(shí)，ymin＝250(s)．因?yàn)?90>250，所以當(dāng)x＝24(m/s)時(shí)，ymin＝250(s)．即該車隊(duì)通過隧道時(shí)間y的最小值為250s及此時(shí)該車隊(duì)的速度為24m/s.分段函數(shù)模型問題的解答方法：實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解.構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡潔，做到分段合理、不重不漏.[變式訓(xùn)練4]首屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)于2018年11月5日至10日在國家會(huì)展中心(上海)舉辦．一個(gè)更加開放和自信的中國，正用實(shí)際行動(dòng)為世界構(gòu)筑共同發(fā)展平臺(tái)，展現(xiàn)推動(dòng)全球貿(mào)易與合作的中國方案．某跨國公司帶來了高端智能家居產(chǎn)品參展，供購商洽談采購，并決定大量投放中國市場．已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本30萬美元，每生產(chǎn)一臺(tái)需另投入90美元．設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x萬臺(tái)且全部售完，每萬臺(tái)的銷售收入為G(x)萬美元，G(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(240－3x，0<x≤20，,80＋\f(3000,x＋1)－\f(6000,xx＋1)，x>20.))(1)寫出年利潤S(萬美元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬臺(tái))的函數(shù)解析式；(利潤＝銷售收入－成本)(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺(tái)時(shí)，該公司獲得的利潤最大？并求出最大利潤．解：(1)當(dāng)0<x≤20時(shí)，S＝xG(x)－(90x＋30)＝－3x2＋150x－30；當(dāng)x>20時(shí)，S＝xG(x)－(90x＋30)＝－10x＋eq\f(3000x－2,x＋1)－30.則S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x2＋150x－30，0<x≤20，,－10x＋\f(3000x－2,x＋1)－30，x>20.))(2)由(1)知，當(dāng)0<x≤20時(shí)，S＝－3x2＋150x－30＝－3(x－25)2＋1845.因?yàn)镾＝－3(x－25)2＋1845在(0,20]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝20時(shí)，Smax＝S(20)＝1770.當(dāng)x>20時(shí)，S＝－10x＋eq\f(3000x－2,x＋1)－30＝－10x－eq\f(9000,x＋1)＋2970＝－10(x＋1)－eq\f(9000,x＋1)＋2980≤－2eq\r(\f(9000,x＋1)·10x＋1)＋2980＝2380，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(9000,x＋1)＝10(x＋1)，即x＝29時(shí)等號成立．因?yàn)?380>1770，所以x＝29時(shí)，S取得最大值，最大值為2380萬美元．故當(dāng)年產(chǎn)量為29萬臺(tái)時(shí)，該公司在該產(chǎn)品中獲得的利潤最大，最大利潤為2380萬美元．1．“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝？”如圖給出了紅豆生長時(shí)間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點(diǎn)圖，那么紅豆生長時(shí)間與枝數(shù)的關(guān)系用下列哪個(gè)函數(shù)模型擬合最好(C)A．y＝t3 B．y＝log2tC．y＝2t D．y＝2t2解析：符合指數(shù)函數(shù)模型．2．某食品的保鮮時(shí)長y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))．若該食品在0℃的保鮮時(shí)長是192小時(shí)，在22℃的保鮮時(shí)長是48小時(shí)，則該食品在A．16小時(shí)B．20小時(shí)C．24小時(shí)D．28小時(shí)解析：由已知條件得，192＝eb，所以b＝ln192.又因?yàn)?8＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192(e11k)2，所以e11k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(48,192)))eq\s\up15(eq\f(1,2))＝eq\f(1,2).設(shè)該食品在33℃的保鮮時(shí)長是t小時(shí)，則t＝e33k＋ln192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝24.故選C.3．將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按10元/個(gè)銷售時(shí)，每天可賣出100個(gè)，若此商品的銷售單價(jià)漲1元，日銷售量就減少10個(gè)，為了獲取最大利潤，此商品的銷售單價(jià)應(yīng)定為14元．解析：設(shè)銷售單價(jià)應(yīng)漲x元，則實(shí)際銷售單價(jià)為(10＋x)元，此時(shí)日銷售量為(100－10x)個(gè)，每個(gè)商品的利潤為(10＋x)－8＝2＋x(元)，∴總利潤y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200＝－10(x－4)2＋360(0<x<10，且x∈N*)．∴當(dāng)x＝4時(shí)y有最大值，此時(shí)單價(jià)為14元．4．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的質(zhì)量M千克、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m千克的函數(shù)關(guān)系式是v＝2000·ln(1＋eq\f(M