2021-2022學(xué)年福建省廈門一中高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷【答案版】

2021-2022學(xué)年福建省廈門一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題8小題，每小題5分，共40分。每小題只有一個(gè)正確答案。1．復(fù)數(shù)z＝2﹣i的虛部是（）A．22．已知空間中的直線a，平面α，則a∥α的一個(gè)充分條件是（）A．直線與平面內(nèi)的一條直線平行B．直線與平面內(nèi)的某條直線不相交D．直線與平面內(nèi)的所有直線不相交B．1C．﹣1D．﹣iC．直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行3．已知平行四邊形ABCD，O是平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，????=??，????=??，????=??，則向量????等于（）A．??+??+??4．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若2??=√3??，??=4，則cosB＝（）A．±45．如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾動(dòng)，當(dāng)這個(gè)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了3周，則該圓錐的表面積為（）A．36π6．故宮是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑群．故宮宮殿房檐設(shè)計(jì)恰好使北房在冬至前后陽光滿屋，夏至前后屋檐遮陰．已知北京地區(qū)夏至前后正午太陽高度角約為75°，冬至前后正午太陽高度角約為30°．圖1是頂部近似為正四棱錐、底部近似為正四棱柱的宮殿，圖2是其示意圖，則其出檐AB的長度（單位：米）約為（）B．27πC．18√2πD．9π√10→→→→→→→→→→B．??+?????→→→C．?????+??→→→D．????????→→→??B．±4√6C．√104D．√64A．3B．4C．6（√3?1）第1頁（共22頁）D．3（√3+1）7．已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，?????????=1，O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足????+2????+3????=→→→→→→0，則?????????的值為（）A．﹣4B．﹣1C．1D．4→→8．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若△ABC的面積為A．2二、多選題：本大題4小題，全選對(duì)得5分，選對(duì)但不全得2分，選錯(cuò)或不答得分。9．已知??，??，??為非零平面向量，則下列說法正確的有（）A．??⊥????????=0C．若?????=?????，則??=??10．關(guān)于復(fù)數(shù)z＝cosA．|z|＝1B．z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限C．z3＝1D．z2+z+1＝011．截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個(gè)頂點(diǎn)所產(chǎn)生的多面體．如圖，將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到所有棱長均為1的截角四面體，則下列說法正確的是（）A．該多面體有18條棱B．DC∥平面LJKC．直線DH與直線IJ異面D．該截角四面體的表面積為6√3第2頁（共22頁）??24，則+的最大值為（）????????B．4C．√5D．2√2→→→→→→→B．??∥??????∈??，??=????→→→→→→→→→→D．(?????)???=???(?????)→→→→→→2??3+isin2??3（i為虛數(shù)單位），下列說法正確的是（）12．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足sinB+2sinAcosC＝0．則下列結(jié)論正確的是（）A．ABC是鈍角三角形C．角B的最大值為6??B．sinB＜cosAD．角C的最大值為2??3三、填空題：本大題共4小題；每小題5分，共20分.13．i為虛數(shù)單位，則i2020+i2021+i2022＝．14．如圖，△O'A'B'是△OAB在斜二測(cè)畫法下的直觀圖，其中O'A'＝O'B'＝2，且O'A'⊥O'B'，則△OAB的面積為．15．在△ABC中，已知|2?????????|＝2，且|2????+????|＝6，則△ABC面積的最大值為．16．《綴術(shù)》是中國南北朝時(shí)期的一部算經(jīng)，匯集了祖沖之和祖暅父子的數(shù)學(xué)研究成果．《綴術(shù)》中提出的“緣冪勢(shì)既同，則積不容異”被稱為祖暅原理，其意思是：如果兩等高的幾何體在同高處被截得的兩截面面積均相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．運(yùn)用祖暅原理計(jì)算球的體積時(shí)，構(gòu)造一個(gè)底面直徑和高都與球的直徑相等的圓柱，與球放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去兩個(gè)以圓柱底面為底，高為球半徑的圓錐，得到一新幾何體，用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)截面（圓環(huán)與截面圓）面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即V球＝πR2?2R﹣2?πR2?R=3πR3．一個(gè)球被平面314→→→→截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高．現(xiàn)有一個(gè)半徑為4的球被一平面所截形成一個(gè)球缺，其高為2，則根據(jù)祖暅原理，該球缺的體積為，現(xiàn)有一個(gè)高為4正三棱錐，其底面與球缺底面重合，與其所有側(cè)棱均與該球缺相切，則該三棱錐的體積為．第3頁（共22頁）四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，把解答過程填寫在答題卡的相應(yīng)位置17．（10分）復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程x2﹣2x+4＝0的一個(gè)根，且|z?√3i|≤1．（1）求復(fù)數(shù)z；（2）將z所對(duì)應(yīng)向量繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到向量????1，記????1所對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為z1．求z1的平方根，并寫出它的代數(shù)形式．18．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊為a，b，c，已知??=（sinB+sinC，sinA），??=（sinB﹣sinA，sinB﹣sinC），??∥??．（1）求角C；（2）若acosB﹣bcosA=第4頁（共22頁）→→→→→→√33c，b=√23，求邊c．19．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥AD，PD⊥DC，PD⊥BD，且M是PA的中點(diǎn)．（1）證明：PC∥平面BDM；（2）若PD＝AD＝CD＝2，求∠BDM的大小．第5頁（共22頁）20．（12分）如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長為2的正方形，EA⊥AD，EA⊥AB，F(xiàn)D∥EA，且FD=EA＝1．（1）記線段BC的中點(diǎn)為K，在平面ABCD內(nèi)的直線過點(diǎn)K，與CD交于點(diǎn)M，且MK∥平面ECF，求12????????；（2）求多面體EABCDF體積．第6頁（共22頁）21．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a＝6，b+12cosB＝2c．（1）求A的大小；（2）M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AM的延長線交BC于點(diǎn)D，_____，求△ABC的面積．請(qǐng)從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，并解決問題．①M(fèi)為△ABC的外心，且????→=2????→；②M為△ABC的垂心，且MD＝3?√3；③M為△ABC的內(nèi)心，AD＝2√6．第7頁（共22頁）22．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=，CA＝CB＝CC1＝6，E為B1C1的中點(diǎn)，過AE的截面與棱BB1，A1C1分別交于點(diǎn)F，G．（1）若F為BB1的中點(diǎn)，①畫出平面AFEG與平面ABC的交線l，說明畫法，并求②求四棱錐C﹣AFEG的高；（2）設(shè)截面AFEG的面積為S0，△AEG面積為S1，△AEF面積為S2.當(dāng)點(diǎn)F在棱BB1上變動(dòng)時(shí)，求2??0??2??1??????的值；的取值范圍．第8頁（共22頁）??1??22021-2022學(xué)年福建省廈門一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單選題：本大題8小題，每小題5分，共40分。每小題只有一個(gè)正確答案。1．復(fù)數(shù)z＝2﹣i的虛部是（）A．2B．1C．﹣1D．﹣i解：復(fù)數(shù)z＝2﹣i的虛部是﹣1．故選：C．2．已知空間中的直線a，平面α，則a∥α的一個(gè)充分條件是（）A．直線與平面內(nèi)的一條直線平行B．直線與平面內(nèi)的某條直線不相交D．直線與平面內(nèi)的所有直線不相交C．直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行解：對(duì)于選項(xiàng)A，直線a與平面內(nèi)的一條直線平行，但直線a可能在平面內(nèi)，不能說明a∥α，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，直線a與平面內(nèi)的某條直線不相交，直線a可能在平面內(nèi)，也可能與平面斜交，不能說明a∥α，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，直線a與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，直線a可能在平面內(nèi)，不能說明a∥α，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，直線a與平面內(nèi)的所有直線不相交，則a∥α，故選項(xiàng)D正確．故選：D．3．已知平行四邊形ABCD，O是平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，????=??，????=??，????=??，則向量????等于（）A．??+??+??→→→→→→→→→→B．??+?????→→→C．?????+??→→→→→→D．????????→→→→→→解：∵O是平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，????=??，????=??，????=??，則∴????=????+????=????+????=????+?????????=??+?????，故選：C．4．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若2??=√3??，??=4，則cosB＝（）A．±4√10→→→→→→→→→→→??B．±4??√6C．√104D．√64解：因?yàn)???=√3??，??=4，第9頁（共22頁）所以由正弦定理可得2sinB=√3sinA=√3×2，可得sinB=4，又=????√3＜1，可得b＜a，可得B為銳角，2√10√2√6所以cosB=√1???????2??=故選：C．4．5．如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾動(dòng)，當(dāng)這個(gè)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身恰好滾動(dòng)了3周，則該圓錐的表面積為（）A．36πB．27πC．18√2πD．9π解：設(shè)圓錐的母線長為l，以S為圓心，SA為半徑的圓的面積為S＝πl(wèi)2，又圓錐的側(cè)面積S圓錐側(cè)＝πrl＝3πl(wèi)，因?yàn)閳A錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)到原位置時(shí)，圓錐本身滾動(dòng)了3周，所以πl(wèi)2＝3×3πl(wèi)，解得l＝9，所以圓錐的表面積??=??圓錐側(cè)+??底=3×??×9+??×32=36??，故選：A．6．故宮是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑群．故宮宮殿房檐設(shè)計(jì)恰好使北房在冬至前后陽光滿屋，夏至前后屋檐遮陰．已知北京地區(qū)夏至前后正午太陽高度角約為75°，冬至前后正午太陽高度角約為30°．圖1是頂部近似為正四棱錐、底部近似為正四棱柱的宮殿，圖2是其示意圖，則其出檐AB的長度（單位：米）約為（）A．3B．4C．6（√3?1）D．3（√3+1）解：如圖：由題意可得∠FCD＝30°，∠ADE＝75°，CD＝24，∴∠ADC＝180°﹣75°＝105°，∠CAD＝180°﹣30°﹣105°＝45°．第10頁（共22頁）△ACD中，由正弦定理可得24??????45°=??????????30°，∴AD＝12√2．直角三角形ADB中，AB＝AD×sin∠ADB＝12√2×sin（90°﹣75°）＝12√2×sin（45°﹣30°）＝12√2×（sin45°cos30°﹣cos45°sin30°）＝12√2×（∴AB的長度為6（√3?6）米，故選：C．√2√3√21×?×）＝6√3?6，22227．已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，?????????=1，O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足????+2????+3????=→→→→→→0，則?????????的值為（）B．﹣1→→→→A．﹣4C．1D．4解：∵△ABC中，AB＝2，AC＝1，?????????=1，O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足????+2????+3????=0，設(shè)AC的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N，則????+????=2????，????+????=2????∴????+2????=??，∴O為線段MN的靠近N的三等分點(diǎn)，∴?????????=（????+????）（??????????）＝（????+2141??=?1，236→→→→→→→→→→→→→→→→→→→1→23×12????）（??????????）=????2?????2??????????=→→→12→13→16→→故選：B．8．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若△ABC的面積為A．2B．4??21??2??24，則+的最大值為（）????????C．√5D．2√2解：若△ABC的面積為，則absinC=4，42第11頁（共22頁）∴2sinAsinB＝sinC，∴sinA?sinB=又+????????????????，2=??2+??2??2+?????2，cosC=，2????????2∴a2+b2＝2abcosC+c2，∴??2+??2????=2????????????+??2??????4????????=2cosC+?????????????????=2cosC+??????2????????2??????????2＝2cosC+2sinC＝2√2sin（C+4），??∴當(dāng)C等于時(shí)，+的最大值為2√2．故選：D．二、多選題：本大題4小題，全選對(duì)得5分，選對(duì)但不全得2分，選錯(cuò)或不答得分。9．已知??，??，??為非零平面向量，則下列說法正確的有（）A．??⊥????????=0C．若?????=?????，則??=??解：∵??，??，??為非零平面向量，∴AB對(duì)；∵??，??，??為非零平面向量，∴?????=?????????（?????）＝0，∴?????=0或??⊥（?????），∴C不對(duì)；∵（?????）??是與向量??共線的向量，??（?????）是與向量??共線的向量，∴D錯(cuò)．故選：AB．10．關(guān)于復(fù)數(shù)z＝cosA．|z|＝1B．z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限C．z3＝1D．z2+z+1＝0解：∵z＝cos2??32??3→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→B．??∥??????∈??，??=????D．(?????)???=???(?????)→→→→→→→→→→+isin2??3（i為虛數(shù)單位），下列說法正確的是（）+isin2??3=?12+√3??，2∴|z|=??????23+??????23=1，故A正確；??=??12√32??2??22??，z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，故B錯(cuò)誤；2??3=(??????3??+????????3??)3=??????2??+????????2??=1，故C正確；z2+z+1=(??????3+????????3)2+??????3+????????3+1=??????3+????????3+??????3+????????3+1=?2?2???2+2??+1=0，故D正確．第12頁（共22頁）2??12??2??2??4??4??2??2??1√3√3故選：ACD．11．截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個(gè)頂點(diǎn)所產(chǎn)生的多面體．如圖，將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到所有棱長均為1的截角四面體，則下列說法正確的是（）A．該多面體有18條棱B．DC∥平面LJKC．直線DH與直線IJ異面D．該截角四面體的表面積為6√3解：對(duì)于A，由題意可知截角四面體是由4個(gè)邊長為1的正三角形，4個(gè)邊長為1的正六邊形構(gòu)成，∴該截角四面體一共有8個(gè)面，18條棱，故A正確；對(duì)于B，∵BC∥KL，BD∥KL，BC∩BD＝B，KL∩KJ＝K，∴平面BDC∥平面LJK，∵DC?平面BDC，∴DC∥平面LJA，故B正確；對(duì)于C，∵平面BDC∥平面LJK，DH?平面BDC，IJ∩平面LJK＝J，∴直線DH與直線IJ異面，故C正確；對(duì)于D，邊長為1的正三角形的面積S1=12√3√31×1×1×=，224√3邊長為1的正六邊形的面積S2=6××1×1×√32=3√3，2∴該截角四面體的表面積為S＝4×4+4×2=7√3，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．12．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足sinB+2sinAcosC＝0．則下列結(jié)論正確的是（）A．ABC是鈍角三角形C．角B的最大值為6????3√3B．sinB＜cosAD．角C的最大值為??2??3解：A．由題得b+2acosC＝0，∴????????=?2??＜0，∴??＞2，所以△ABC是鈍角三角形，故該選項(xiàng)正確；B．由已知得sinAcosC+cosCsinA+2sinAcosC＝0，∴tanC＝﹣3tanA，∵cosA＞0，∴????????????????=1??????(??+??)????????=????????????????+????????????????????????1????????2＝tanAcosC+sinC=?3tanCcosC+sinC=?3????????cosC+sinC=3sinC＜1，∴sinB＜cosA，所以該選項(xiàng)正確；第13頁（共22頁）C．由題得b+2acosC＝0，∴a2+2b2＝c2，√3??2+??2???3??2+??23????3????所以????????===+≥2√?=，2????4????4??4??4??4??22因?yàn)锽∈（0，π），所以角B的最大值為，所以該選項(xiàng)正確；6??D．由已知得sinAcosC+cosCsinA+2sinAcosC＝0，∴tanC＝﹣3tanA，所以????????=???????(??+??)=?1213????????+????????2????????=，1??????????????????1+3??????2??34當(dāng)????????=時(shí)，????????=，????????=?1，∴??=??，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：ABC．三、填空題：本大題共4小題；每小題5分，共20分.13．i為虛數(shù)單位，則i2020+i2021+i2022＝i．解：∵i2020＝（i4）505＝1，∴i2020+i2021+i2022＝1+i+i2＝i．故答案為：i．14．如圖，△O'A'B'是△OAB在斜二測(cè)畫法下的直觀圖，其中O'A'＝O'B'＝2，且O'A'⊥O'B'，則△OAB的面積為4√2．解：過B'分別作y'，x'軸的平行線，且交x'，y'軸于點(diǎn)M，N，∴??′??=2√2，O'M＝2，∴在原坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)??(?2，4√2)，點(diǎn)A（2，0），∴??△??????=4√2．故答案為：4√2．第14頁（共22頁）15．在△ABC中，已知|2?????????|＝2，且|2????+????|＝6，則△ABC面積的最大值為→→→→32．解：如圖所示，延長AB到點(diǎn)D，使得AB＝BD，在△ACD的基礎(chǔ)上構(gòu)造平行四邊形ADEC，則：|2?????????|=|?????????|=|????|=2，|2????+????|=|????+????|=|????|=6，即平行四邊形ADEC的對(duì)角線為定長，設(shè)對(duì)角線AE與CD交于點(diǎn)O，則：∴??△??????=??△??????=??????????=??△??????=當(dāng)且僅當(dāng)OA⊥OD時(shí)等號(hào)成立．故答案為：．2312141113?????????????????∠??????≤??????????=×1×3=．2222→→→→→→→→→→16．《綴術(shù)》是中國南北朝時(shí)期的一部算經(jīng)，匯集了祖沖之和祖暅父子的數(shù)學(xué)研究成果．《綴術(shù)》中提出的“緣冪勢(shì)既同，則積不容異”被稱為祖暅原理，其意思是：如果兩等高的幾何體在同高處被截得的兩截面面積均相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．運(yùn)用祖暅原理計(jì)算球的體積時(shí)，構(gòu)造一個(gè)底面直徑和高都與球的直徑相等的圓柱，與球放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去兩個(gè)以圓柱底面為底，高為球半徑的圓錐，得到一新幾何體，用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)截面（圓環(huán)與截面圓）面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即V球＝πR2?2R﹣2?πR2?R=3πR3．一314個(gè)球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做球缺的高．現(xiàn)有一個(gè)半徑為4的球被一平面所截形成一個(gè)球缺，其高為2，則根據(jù)祖暅原理，該球缺的體積為40??3，現(xiàn)有一個(gè)高為4正三棱錐，其底面與球缺底面重合，與其所有側(cè)棱均與該球缺相切，則該三棱25615錐的體積為π．第15頁（共22頁）解：（1）一個(gè)半徑為4的球被一平面所截形成一個(gè)球缺，其高為2，由祖暅原理，該球缺的體積為V＝π?42?2?π?42?4+π?22?2=131340??．3（2）作出圖形如圖所示，H是高為4正三棱錐頂點(diǎn)在底面的投影，O為球心由已知易得MO＝4，NO＝6，NM＝2√5，△AHN∽△NMO，所以????????=????????，∴????4=，所以AH=5，2√548√5故該三棱錐的體積為×π（故答案為：40??313256158√52256）×4=15π．5；π．四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，把解答過程填寫在答題卡的相應(yīng)位置17．（10分）復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程x2﹣2x+4＝0的一個(gè)根，且|z?√3i|≤1．（1）求復(fù)數(shù)z；（2）將z所對(duì)應(yīng)向量繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到向量????1，記????1所對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為z1．求z1的平方根，并寫出它的代數(shù)形式．解：（1）設(shè)z＝a+bi，其中a，b∈R，由z2﹣2z+4＝0得a2﹣b2+2abi﹣2a﹣2bi+4＝0，即a2﹣b2﹣2a+4+2b（a﹣1）i＝0，??=1??=1??2???2?2??+4=0所以{，解得{或者{，2??(???1)=0??=√3??=?√3由|z?√3i|≤1得√??2+(???√3)2≤1，??=1??=1經(jīng)檢驗(yàn){不滿足，所以{，??=?√3??=√3所以z＝1+√3i．第16頁（共22頁）→→（2）z所對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)為（1，√3），繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到????1=（0，2），則z1＝2i，所以z12＝（2i）2＝﹣4．18．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊為a，b，c，已知??=（sinB+sinC，sinA），??=（sinB﹣sinA，sinB﹣sinC），??∥??．（1）求角C；（2）若acosB﹣bcosA=√3→→→→→3c，b=√23，求邊c．→→解：（1）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊為a，b，c，已知??=(????????+????????，????????)，??=(?????????????????，?????????????????)，??∥??，所以（sinB+sinC）（sinB﹣sinC）﹣sinA（sinB﹣sinA）＝0，整理得sin2B﹣sin2C﹣sinAsinB+sin2A＝0，利用正弦定理得：b2﹣c2﹣ab+a2＝0，??2+?????21??即????????==，由于0＜C＜π，故C=．2????232→→（2）由于acosB﹣bcosA=3??，利用正弦定理sinAcosB﹣sinBcosA＝sin（A﹣B）=故sin（A﹣B）=3×2=2，由于0＜??＜則?2??2??，0＜??＜，33√3√3√3√33????????，12??2??＜?????＜33??所以A﹣B=6，由于A+B=3，所以B=4．23√3??????????3×2利用正弦定理??===．????????3????????4√√2????19．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥AD，PD⊥DC，PD⊥BD，且M是PA的中點(diǎn)．（1）證明：PC∥平面BDM；（2）若PD＝AD＝CD＝2，求∠BDM的大小．第17頁（共22頁）解：（1）證明：連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OM，則O為AC中點(diǎn)，又M是PA的中點(diǎn)，∴OM是△PAC的中位線，則OM∥PC，又OM?平面BDM，PC?平面BDM，∴PC∥平面BDM；（2）∵四邊形ABCD是正方形，且AD＝CD＝2，∴????=√22+22=2√2，又PD⊥AD，且PD＝AD＝2，∴????=√2，又PD⊥AD，PD⊥CD，AD∩CD＝D，AD?平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，又AB?平面ABCD，∴PD⊥AB，又AB⊥AD，PD∩AD＝D，PD?平面PAD，AD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PA?平面PAD，∴AB⊥PA，∴????=√????2+????2=√2+22=√6，????2+????2?????22+8?61在△BDM中，由余弦定理有，??????∠??????===，2?????????2×√2×2√22又∠BDM∈（0，π），則∠??????=．20．（12分）如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長為2的正方形，EA⊥AD，EA⊥AB，F(xiàn)D∥EA，且FD=2EA＝1．（1）記線段BC的中點(diǎn)為K，在平面ABCD內(nèi)的直線過點(diǎn)K，與CD交于點(diǎn)M，且MK∥平面ECF，求1??3第18頁（共22頁）????????；（2）求多面體EABCDF體積．解：（1）令DM＝m，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則K（2，1，0），M（m，2，0），∴????=(???2，1，0)，E（0，0，2），C（2，2，0），F(xiàn)（0，2，1）．設(shè)平面ECF的法向量為??=(??，??，??)，???????=???(2，2，?2)=2??+2???2??=0則：{→→，→???????=???(?2，0，1)=?2??+??=0據(jù)此可得：??=(1，1，2)．由平行關(guān)系可得???????=0，即：m﹣2+1＝0，∴m＝1．即CM＝MD＝1，∴????????→→→→→→→→=1．（2）VEABCDF＝VE﹣ABCD+VE﹣CDF=3×(2×2)×2+3×(2×1×2)×2=3．21．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a＝6，b+12cosB＝2c．（1）求A的大??；第19頁（共22頁）11110（2）M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AM的延長線交BC于點(diǎn)D，_____，求△ABC的面積．請(qǐng)從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，并解決問題．①M(fèi)為△ABC的外心，且????=2????；②M為△ABC的垂心，且MD＝3?√3；③M為△ABC的內(nèi)心，AD＝2√6．??2+??2???解：（1）在△ABC中，由余弦定理得cosB=，又因?yàn)閍＝6，b+12cosB＝2c，2??????2+??2???所以b+12×=2c，整理得b2+c2﹣36＝bc，2????22→→在△ABC中，由余弦定理得b2+c2﹣36＝2bccosA，所以bc＝2bccosA，即cosA=2，又因?yàn)锳∈（0，π），所以A=3；（2）選①，設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則在△ABC中，由正弦定理得2R=因?yàn)镸為外心，所以AM＝BM＝CM＝2√3，設(shè)DM＝m，則22+??2?124??????6=√3=4√3，即R＝2√3，????????21??+42+??2?128??=0，解得m＝2，∴AD＝2+4√3，∴∠BDM＝120°，∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD=選②，√3√311×2×（2+2√3）×+×4×（2+2√3）×=9+3√3；2222因?yàn)镸為△ABC的垂心，所以∠BMD=2?∠MBD=2?（?∠ACB）＝∠ACB，2??????又MD＝3?√3，所以在△MBD中，BD＝MD?tan∠BMD＝（3?√3）tan∠ACB，同理可得CD＝（3?√3）tan∠ACB，又因?yàn)锽D+CD＝6，所以（3?√3）tan∠ABC+（3?√3）tan∠ACB＝6，即tan∠ABC+tan∠ACB＝3+√3，又因?yàn)樵凇鰽BC中，tan（∠ABC+∠ACB）＝?tan∠BAC＝?√3，所以??????∠??????+??????∠??????1???????∠???????∠??????=?√3，因此tan∠ABCtan∠ACB=√3+2，即tan∠ABC=√3+2，tan∠ACB＝1或tan∠ABC＝1，tan∠ACB=√3+2，BD＝MD?tan∠BMD＝（3?√3）（√3+2）＝3