數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

初中數(shù)學(xué)九上知識(shí)點(diǎn)總結(jié)二次函數(shù)y=ax2(a≠0)與y=ax2+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二次函數(shù)的概念

1.二次函數(shù)的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c為常數(shù)）的函數(shù)是二次函數(shù).若b=0，則y=ax2+c；若c=0，則y=ax2+bx；若b=c=0，則y=ax2.以上三種形式都是二次函數(shù)的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函數(shù)的一般式.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①（a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.要點(diǎn)詮釋：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這里，當(dāng)a=0時(shí)就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時(shí)都為零．a(chǎn)的絕對(duì)值越大，拋物線的開(kāi)口越小.2.二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式：（，，為常數(shù)，）；2.頂點(diǎn)式：（，，為常數(shù)，）；3.兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）（或稱交點(diǎn)式）.要點(diǎn)詮釋：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.二次函數(shù)y=a（x-h)2+k(a≠0)的圖象與性質(zhì)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、函數(shù)與函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.函數(shù)的圖象與性質(zhì)的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上x(chóng)=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值．向下x=h時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．2.函數(shù)的圖象與性質(zhì)的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上x(chóng)=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值．向下x=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．要點(diǎn)詮釋：二次函數(shù)的圖象常與直線、三角形、面積問(wèn)題結(jié)合在一起，借助它的圖象與性質(zhì)．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程思想解決問(wèn)題．要點(diǎn)二、二次函數(shù)的平移1.平移步驟：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；⑵保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：2.平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．要點(diǎn)詮釋：⑴沿軸平移:向上（下）平移個(gè)單位，變成（或）⑵沿x軸平移：向左（右）平移個(gè)單位，變成（或）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二次函數(shù)與之間的相互關(guān)系1.頂點(diǎn)式化成一般式

從函數(shù)解析式我們可以直接得到拋物線的頂點(diǎn)(h，k)，所以我們稱為頂點(diǎn)式，將頂點(diǎn)式去括號(hào)，合并同類項(xiàng)就可化成一般式．2.一般式化成頂點(diǎn)式．對(duì)照，可知，．∴拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．要點(diǎn)詮釋：1．拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，可以當(dāng)作公式加以記憶和運(yùn)用．2．求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用．

要點(diǎn)二、二次函數(shù)的圖象的畫法1.一般方法：列表、描點(diǎn)、連線；2.簡(jiǎn)易畫法：五點(diǎn)定形法.其步驟為：(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，在直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫出對(duì)稱軸．(2)求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A、B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)D，將A、B、C、D及M這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來(lái)．要點(diǎn)詮釋：當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無(wú)交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對(duì)稱點(diǎn)D，由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A、B，然后順次用平滑曲線連結(jié)五點(diǎn)，畫出二次函數(shù)的圖象，要點(diǎn)三、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開(kāi)口方向向上向下對(duì)稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．簡(jiǎn)記：左減右增在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。?jiǎn)記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，2.二次函數(shù)圖象的特征與a、b、c及b2-4ac的符號(hào)之間的關(guān)系項(xiàng)目字母字母的符號(hào)圖象的特征aa＞0開(kāi)口向上a＜0開(kāi)口向下bab＞0(a，b同號(hào))對(duì)稱軸在y軸左側(cè)ab＜0(a，b異號(hào))對(duì)稱軸在y軸右側(cè)cc=0圖象過(guò)原點(diǎn)c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負(fù)半軸相交b2-4acb2-4ac=0與x軸有唯一交點(diǎn)b2-4ac＞0與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)b2-4ac＜0與x軸沒(méi)有交點(diǎn)要點(diǎn)四、求二次函數(shù)的最大（?。┲档姆椒ㄈ绻宰兞康娜≈捣秶侨w實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大（或最小）值，即當(dāng)時(shí)，．要點(diǎn)詮釋：如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，，若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x＝x2時(shí)，；當(dāng)x＝x1時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x＝x1時(shí)，；當(dāng)x＝x2時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，時(shí)y值的情況．待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式1.二次函數(shù)解析式常見(jiàn)有以下幾種形式：(1)一般式：(a，b，c為常數(shù)，a≠0)；(2)頂點(diǎn)式：(a，h，k為常數(shù)，a≠0)；(3)交點(diǎn)式：(，為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a≠0)．2.確定二次函數(shù)解析式常用待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的步驟如下第一步，設(shè)：先設(shè)出二次函數(shù)的解析式，如或，或，其中a≠0；第二步，代：根據(jù)題中所給條件，代入二次函數(shù)的解析式中，得到關(guān)于解析式中待定系數(shù)的方程(組)；第三步，解：解此方程或方程組，求待定系數(shù)；第四步，還原：將求出的待定系數(shù)還原到解析式中．要點(diǎn)詮釋：在設(shè)函數(shù)的解析式時(shí)，一定要根據(jù)題中所給條件選擇合適的形式：①當(dāng)已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)函數(shù)的解析式為；②當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最大值、最小值時(shí)．可設(shè)函數(shù)的解析式為；③當(dāng)已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)時(shí)，可設(shè)函數(shù)的解析式為．用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1.二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況

求二次函數(shù)(a≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是令y＝0，求中x的值的問(wèn)題．此時(shí)二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個(gè)數(shù)決定了拋物線與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，它們的關(guān)系如下表：判別式二次函數(shù)一元二次方程圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)根的情況△＞0拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，且，此時(shí)稱拋物線與x軸相交一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根△＝0拋物線與x軸交切于這一點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相切一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根△＜0拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相離一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解（或稱無(wú)實(shí)數(shù)根）要點(diǎn)詮釋：

二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)由的值來(lái)確定的.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，，方程沒(méi)有實(shí)根.

2.拋物線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題實(shí)質(zhì)就是拋物線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題．我們把它延伸到求拋物線(a≠0)與y軸交點(diǎn)和二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題．拋物線(a≠0)與y軸的交點(diǎn)是(0，c)．拋物線(a≠0)與一次函數(shù)(k≠0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由方程組的解的個(gè)數(shù)決定．當(dāng)方程組有兩組不同的解時(shí)兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)方程組有兩組相同的解時(shí)兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)方程組無(wú)解時(shí)兩函數(shù)圖象沒(méi)有交點(diǎn)．總之，探究直線與拋物線的交點(diǎn)的問(wèn)題，最終是討論方程(組)的解的問(wèn)題．要點(diǎn)詮釋：求兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的問(wèn)題主要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，即將函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程組解的問(wèn)題或者將求方程組的解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求拋物線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題．要點(diǎn)二、利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解

用圖象法解一元二次方程的步驟：

1.作二次函數(shù)的圖象，由圖象確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程解的個(gè)數(shù)；

2.確定一元二次方程的根的取值范圍．即確定拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大致范圍；

3.在(2)確定的范圍內(nèi)，用計(jì)算器進(jìn)行探索.即在(2)確定的范圍內(nèi)，從大到小或從小到大依次取值，用表格的形式求出相應(yīng)的y值．

4.確定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所對(duì)應(yīng)的x值即是一元二次方的近似根．

要點(diǎn)詮釋：

求一元二次方程的近似解的方法（圖象法）：

(1)直接作出函數(shù)的圖象，則圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根；

(2)先將方程變?yōu)樵僭谕蛔鴺?biāo)系中畫出拋物線和直線圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根；

(3)將方程化為，移項(xiàng)后得，設(shè)和，在同一坐標(biāo)系中畫出拋物線和直線的圖象，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根.要點(diǎn)三、拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離公式當(dāng)△＞0時(shí)，設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(，0)，B(，0)，則、是一元二次方程的兩個(gè)根．由根與系數(shù)的關(guān)系得，．∴即（△＞0）要點(diǎn)四、拋物線與不等式的關(guān)系二次函數(shù)(a≠0)與一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之間的關(guān)系如下：判別式拋物線與x軸的交點(diǎn)不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）無(wú)解△＜0全體實(shí)數(shù)無(wú)解注：a＜0的情況請(qǐng)同學(xué)們自己完成．要點(diǎn)詮釋：拋物線在x軸上方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正，所對(duì)應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集；在x軸下方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為負(fù)，所對(duì)應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果帶有等號(hào)，其解集也相應(yīng)帶有等號(hào)．實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、列二次函數(shù)解應(yīng)用題

列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個(gè)變量的等式．對(duì)于應(yīng)用題要注意以下步驟：(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個(gè)，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系)．(2)設(shè)出兩個(gè)變量，注意分清自變量和因變量，同時(shí)還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確．(3)列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含有等量關(guān)系的語(yǔ)句，將此語(yǔ)句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)．(4)按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問(wèn)題。(5)檢驗(yàn)所得解是否符合實(shí)際：即是否為所提問(wèn)題的答案．(6)寫出答案．要點(diǎn)詮釋：常見(jiàn)的問(wèn)題：求最大(小)值(如求最大利潤(rùn)、最大面積、最小周長(zhǎng)等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問(wèn)題等.解決這些實(shí)際問(wèn)題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.

要點(diǎn)二、建立二次函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題一般步驟：(1)恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；(4)代入已知條件或點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；(5)利用關(guān)系式求解問(wèn)題．要點(diǎn)詮釋：(1)利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問(wèn)題.在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.(2)對(duì)于本節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)由低到高處理好如下三個(gè)方面的問(wèn)題：

①首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；

②學(xué)會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中建立二次函數(shù)的模型；

③借助二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.反比例函數(shù)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、反比例函數(shù)的定義如果兩個(gè)變量的每一組對(duì)應(yīng)值的乘積是一個(gè)不等于零的常數(shù)，那么就說(shuō)這兩個(gè)變量成反比例.即，或表示為，其中是不等于零的常數(shù).一般地，形如(為常數(shù)，)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù).要點(diǎn)詮釋：（1）在中，自變量是分式的分母，當(dāng)時(shí)，分式無(wú)意義，所以自變量的取值范圍是，函數(shù)的取值范圍是.故函數(shù)圖象與軸、軸無(wú)交點(diǎn).（2）()可以寫成()的形式，自變量的指數(shù)是－1，在解決有關(guān)自變量指數(shù)問(wèn)題時(shí)應(yīng)特別注意系數(shù)這一條件.（3）()也可以寫成的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)的比例系數(shù)，從而得到反比例函數(shù)的解析式.要點(diǎn)二、確定反比例函數(shù)的關(guān)系式確定反比例函數(shù)關(guān)系式的方法仍是待定系數(shù)法，由于反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要知道一對(duì)的對(duì)應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的值，從而確定其解析式.用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)關(guān)系式的一般步驟是：（1）設(shè)所求的反比例函數(shù)為：()；（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值）代入關(guān)系式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程；（3）解方程求出待定系數(shù)的值；（4）把求得的值代回所設(shè)的函數(shù)關(guān)系式中.要點(diǎn)三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1、反比例函數(shù)的圖象特征：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，永遠(yuǎn)不會(huì)與軸、軸相交，只是無(wú)限靠近兩坐標(biāo)軸.要點(diǎn)詮釋：（1）若點(diǎn)()在反比例函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)()也在此圖象上，所以反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2）在反比例函數(shù)(為常數(shù)，)中，由于，所以兩個(gè)分支都無(wú)限接近但永遠(yuǎn)不能達(dá)到軸和軸．2、畫反比例函數(shù)的圖象的基本步驟：（1）列表：自變量的取值應(yīng)以O(shè)為中心，在0的兩側(cè)取三對(duì)（或三對(duì)以上）互為相反數(shù)的值，填寫值時(shí)，只需計(jì)算右側(cè)的函數(shù)值，相應(yīng)左側(cè)的函數(shù)值是與之對(duì)應(yīng)的相反數(shù)；（2）描點(diǎn)：描出一側(cè)的點(diǎn)后，另一側(cè)可根據(jù)中心對(duì)稱去描點(diǎn)；（3）連線：按照從左到右的順序連接各點(diǎn)并延伸，連線時(shí)要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線.注意雙曲線的兩個(gè)分支是斷開(kāi)的，延伸部分有逐漸靠近坐標(biāo)軸的趨勢(shì)，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交；（4）反比例函數(shù)圖象的分布是由的符號(hào)決定的：當(dāng)時(shí)，兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)，當(dāng)時(shí)，兩支曲線分別位于第二、四象限內(nèi)．3、反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，值隨值的增大而減??；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，值隨值的增大而增大；要點(diǎn)詮釋：反比例函數(shù)的增減性不是連續(xù)的，它的增減性都是在各自的象限內(nèi)的增減情況，反比例函數(shù)的增減性都是由反比例系數(shù)的符號(hào)決定的；反過(guò)來(lái)，由雙曲線所在的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出的符號(hào).要點(diǎn)四：反比例函數(shù)()中的比例系數(shù)的幾何意義過(guò)雙曲線()上任意一點(diǎn)作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.過(guò)雙曲線()上任意一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點(diǎn)和原點(diǎn)，所得三角形的面積為.要點(diǎn)詮釋：只要函數(shù)式已經(jīng)確定，不論圖象上點(diǎn)的位置如何變化，這一點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸的垂線和兩坐標(biāo)軸圍成的面積始終是不變的.實(shí)際問(wèn)題與反比例函數(shù)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題基本思路：建立函數(shù)模型，即在實(shí)際問(wèn)題中求得函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)解決問(wèn)題.一般步驟如下：（1）審清題意，根據(jù)常量、變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示.（2）由題目中的已知條件，列出方程，求出待定系數(shù).（3）寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍.（4）利用函數(shù)解析式、函數(shù)的圖象和性質(zhì)等去解決問(wèn)題.要點(diǎn)二、反比例函數(shù)在其他學(xué)科中的應(yīng)用當(dāng)圓柱體的體積一定時(shí)，圓柱的底面積是高的反比例函數(shù)；當(dāng)工程總量一定時(shí)，做工時(shí)間是做工速度的反比例函數(shù)；在使用杠桿時(shí)，如果阻力和阻力臂不變，則動(dòng)力是動(dòng)力臂的反比例函數(shù)；電壓一定，輸出功率是電路中電阻的反比例函數(shù).比例線段【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似形1.相似的圖形在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的兩個(gè)圖形說(shuō)成是相似的圖形.要點(diǎn)詮釋：

(1)相似的圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩個(gè)圖形是全等形.2.相似多邊形一般地，兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比相等，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比叫做相似比或相似系數(shù).要點(diǎn)詮釋：相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)．要點(diǎn)二、比例線段1.兩條線段的比：用同一個(gè)長(zhǎng)度單位去度量?jī)蓷l線段a，b，得到它們的長(zhǎng)度，我們把這兩條線段長(zhǎng)度的比叫做這兩條線段的比.記作或a:b.2．成比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段a，b的比等于另外兩條線段c，d的比，即，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．這時(shí)，線段叫做組成比例的項(xiàng)，線段叫做比例外項(xiàng)，線段叫做比例內(nèi)項(xiàng).如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的兩條線段是相等的，即之間有，那么線段b叫做線段的比例中項(xiàng).3．比例的性質(zhì)：（1）基本性質(zhì)如果，那么（≠0）.反之也成立，即如果，那么（≠0）.（2）合比性質(zhì)如果（≠0）（3）等比性質(zhì)如果，≠0，那么.要點(diǎn)詮釋：（1）兩條線段的長(zhǎng)度必須用同一長(zhǎng)度單位表示，若單位長(zhǎng)度不同，先化成同一單位，再求它們的比；（2）兩條線段的比，沒(méi)有長(zhǎng)度單位，它與所采用的長(zhǎng)度單位無(wú)關(guān)；（3）兩條線段的長(zhǎng)度都是正數(shù)，所以兩條線段的比值總是正數(shù)．要點(diǎn)三、黃金分割1.定義：把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)這樣的線段分割叫做黃金分割，分割點(diǎn)叫做這條線段的黃金分割點(diǎn)，比值叫做黃金數(shù).要點(diǎn)詮釋：≈0.618.2.作一條線段的黃金分割點(diǎn)：圖4－7如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=AB.（2）連接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).平行線分三角形兩邊成比例【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)、平行線分線段成比例1.基本事實(shí)兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.2.推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.要點(diǎn)詮釋：(1)主要的基本圖形：分A型和X型；A型X型（2）常用的比例式：.相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似三角形的性質(zhì)1．相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.2.相似三角形中的重要線段的比等于相似比.相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.要點(diǎn)詮釋：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.3.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比∽，則由比例性質(zhì)可得：4.相似三角形面積的比等于相似比的平方∽，則分別作出與的高和，則要點(diǎn)詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過(guò)比例線段的性質(zhì)推證出來(lái)的.要點(diǎn)二、相似三角形的應(yīng)用1.測(cè)量高度測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常使用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比例相等”的原理解決.要點(diǎn)詮釋：測(cè)量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測(cè)量法影子測(cè)量法手臂測(cè)量法標(biāo)桿測(cè)量法2.測(cè)量距離測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。

1．如甲圖所示，通?？上葴y(cè)量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長(zhǎng)度），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出AB的長(zhǎng).2．如乙圖所示，可先測(cè)AC、DC及DE的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算AB的長(zhǎng).

要點(diǎn)詮釋：1．比例尺：表示圖上距離比實(shí)地距離縮小的程度，比例尺=圖上距離/實(shí)際距離;

2．太陽(yáng)離我們非常遙遠(yuǎn)，因此可以把太陽(yáng)光近似看成平行光線．在同一時(shí)刻，兩物體影子之比等于其對(duì)應(yīng)高的比;

3．視點(diǎn)：觀察事物的著眼點(diǎn)（一般指觀察者眼睛的位置）;4.仰（俯）角：觀察者向上（下）看時(shí)，視線與水平方向的夾角．

相似三角形的判定【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似三角形我們把形狀相同的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.如圖，與相似，記作“∽”.其中“∽”讀作“相似于”.對(duì)于∽，根據(jù)相似形的定義，應(yīng)該有我們把k叫做與的相似比，要點(diǎn)詮釋：

(1)書寫兩個(gè)三角形相似時(shí)，要注意對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置要一致，即∽，則說(shuō)明點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是C′；(2)對(duì)于相似比，要注意順序和對(duì)應(yīng)的問(wèn)題，如果兩個(gè)三角形相似，那么第一個(gè)三角形的一邊和第二個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做第一個(gè)三角形和第二個(gè)三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時(shí)，兩個(gè)三角形全等.要點(diǎn)二、相似三角形的判定1.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，截得的三角形和原三角形相似.2．定理1如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似（可以簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）.3．定理2如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.（可以簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似）.要點(diǎn)詮釋：

此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來(lái)判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.4．定理3如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似.（可以簡(jiǎn)單說(shuō)成：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似）.5.如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似.要點(diǎn)三、相似三角形的常見(jiàn)圖形及其變換：圖形的位似【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、位似多邊形1.位似多邊形定義:如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)O，且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)O點(diǎn)的距離之比都等于一個(gè)定值k，例如，如下圖，OA′=k·OA（k≠0），那么這樣的兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形，點(diǎn)O叫做位似中心.要點(diǎn)詮釋：位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.

2.位似圖形的性質(zhì):（1）位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)相交于同一點(diǎn)，此點(diǎn)就是位似中心；

（2)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；

（3）位似圖形中不經(jīng)過(guò)位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.3.平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)和位似四種變換的異同：圖形經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱的變換后，雖然對(duì)應(yīng)位置改變了，但大小和形狀沒(méi)有改變，即兩個(gè)圖形是全等的；而位似變換之后圖形是放大或縮小的，是相似的．4.作位似圖形的步驟

第一步：在原圖上找若干個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心；

第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線；

第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例；

第四步：順次連接各對(duì)應(yīng)點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：位似中心可以取在多邊形外、多邊形內(nèi)，或多邊形的一邊上、或頂點(diǎn)，下面是位似中心不同的畫法.要點(diǎn)二、坐標(biāo)系中的位似圖形在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)多邊形每個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘同一個(gè)數(shù)k(k≠0)，所對(duì)應(yīng)的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，它們的相似比為|k|.要點(diǎn)詮釋：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)等于原來(lái)點(diǎn)的坐標(biāo)乘以（或除以）k或-k.銳角三角函數(shù)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對(duì)的邊BC記為a，叫做∠A的對(duì)邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對(duì)的邊AC記為b，叫做∠B的對(duì)邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對(duì)的邊AB記為c，叫做斜邊．

銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即.同理；；．從正弦、余弦、正切的定義看到，任意給定一個(gè)銳角A，都有唯一的比值sinA（或cosA、tanA）與它對(duì)應(yīng)，因此我們把銳角的正弦、余弦、正切統(tǒng)稱為銳角三角函數(shù).

要點(diǎn)詮釋：

(1)正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段的比值．角的度數(shù)確定時(shí)，其比值不變，角的度數(shù)變化時(shí)，比值也隨之變化．(2)sinA，cosA，tanA分別是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)符號(hào)，是一個(gè)整體，不能寫成，，

，不能理解成sin與∠A，cos與∠A，tan與∠A的乘積．書寫時(shí)習(xí)慣上省略∠A的角的記號(hào)“∠”，但對(duì)三個(gè)大寫字母表示成的角(如∠AEF)，其正切應(yīng)寫成“tan∠AEF”，不能寫成“tanAEF”；另外，、、常寫成、、．

(3)任何一個(gè)銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值，不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在．

(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：當(dāng)角度在0°<∠A<90°間變化時(shí)，，，tanA＞0．要點(diǎn)二、特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：銳角30°45°160°要點(diǎn)詮釋：

(1)通過(guò)該表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，它的另一個(gè)應(yīng)用就是：如果知道了一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù)，例如：若，則銳角．

(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會(huì)發(fā)現(xiàn)：、、的值依次為、、，而、、的值的順序正好相反，、、的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)；②余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大)．（3）在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

要點(diǎn)三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°則存在以下關(guān)系：

(1)互余關(guān)系：，；

(2)平方關(guān)系：；

(3)倒數(shù)關(guān)系：或；

(4)商數(shù)關(guān)系：．

要點(diǎn)詮釋：

銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計(jì)算中，計(jì)算時(shí)巧用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡(jiǎn)便．

解直角三角形及其應(yīng)用【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、解直角三角形

設(shè)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則有：

①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).

②銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.

③邊角之間的關(guān)系：，，，

，，.

④，h為斜邊上的高.在直角三角形中，除直角外的5個(gè)元素（3條邊和2個(gè)銳角），只要知道其中的2個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），利用上述關(guān)系式，就可以求出其余的3個(gè)未知元素，這叫作解直角三角形.

要點(diǎn)詮釋：

(1)直角三角形中有一個(gè)元素為定值(直角為90°)，是已知值.

(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒(méi)有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).

(3)對(duì)這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可