《專題07 冪函數(shù)、函數(shù)應用》重難點突破與專題訓練

《專題07冪函數(shù)、函數(shù)應用》重難點突破一、知識結(jié)構(gòu)思維導圖二、學法指導與考點梳理重難點一冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).(2)常見的5種冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當α>0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當α<0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.三、重難點題型突破重難點1求冪函數(shù)的解析式冪函數(shù)的解析式是一個冪的形式，且需滿足：(1)指數(shù)為常數(shù)；(2)底數(shù)為自變量；(3)系數(shù)為1.例1．已知冪函數(shù)的圖象過點，則的值為（）A． B．C． D．例2.冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實數(shù)的值為（）A．0 B．1 C．1或2 D．2例3.若函數(shù)是冪函數(shù)且在是遞減的，則（）A．-1 B．2 C．-1或2 D．3【變式訓練1】.冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過點(3，eq\r(3))，則f(x)是()A．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)【變式訓練2】.已知冪函數(shù)f(x)＝xα，當x>1時，恒有f(x)<x，則α的取值范圍是()A．(0，1) B．(－∞，1)C．(0，＋∞) D．(－∞，0)重難點2冪函數(shù)的圖像及其性質(zhì)的應用(二)冪函數(shù)的圖像及其性質(zhì)的應用1．冪函數(shù)y=xα的圖象與性質(zhì)，由于α值的不同而比較復雜，一般從兩個方面考查：①α的正負：當α>0時，圖象過原點，在第一象限的圖象上升；當α<0時，圖象不過原點，在第一象限的圖象下降，反之也成立．②冪函數(shù)的指數(shù)與圖象特征的關(guān)系當α≠0，1時，冪函數(shù)y=xα在第一象限的圖象特征如下：αα>10<α<1α<0圖象特殊點過(0，0)，(1，1)過(0，0)，(1，1)過(1，1)凹凸性下凸上凸下凸單調(diào)性遞增遞增遞減舉例y=x2、2．利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較冪值大小的技巧：結(jié)合冪值的特點利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)化成同指數(shù)冪，選擇適當?shù)膬绾瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較.例4.冪函數(shù)y＝x(m∈Z)的圖象如圖所示，則m的值為()A．－1 B．0C．1 D．2例5．有四個冪函數(shù)：①；②；③；④.某同學研究了其中的一個函數(shù)，他給出這個函數(shù)的三個性質(zhì)：（1）偶函數(shù)；（2）值域是，且；（3）在上是增函數(shù).如果他給出的三個性質(zhì)中，有兩個正確，一個錯誤，則他研究的函數(shù)是（）A．① B．②C．③ D．④【變式訓練1】．已知點在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．重難點3復合函數(shù)例6．已知函數(shù)f(x)＝a＋bx(b＞0，b≠1)的圖像過點(1,4)和點(2,16)．(1)求f(x)的表達式．(2)解不等式(3)當x∈(－3,4]時，求函數(shù)g(x)＝log2f(x)＋x2－6的值域．例7．已知函數(shù)f(x)=x2?x＋k，且log2f(a)=2，f(log2a)=k，a＞0，且a≠1.（1）求a，k的值；（2）當x為何值時，f(logax)有最小值？求出該最小值．【變式訓練1】．若函數(shù)滿足.（1）求的值及的解析式；（2）試判斷是否存在正數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍為區(qū)間?若存在，求出正數(shù)的值；若不存在，請說明理由.課堂定時訓練（45分鐘）1．若幕函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則該函數(shù)的圖像（）A．關(guān)于x軸對稱B．關(guān)于y軸對稱C．關(guān)于原點對稱D．關(guān)于直線對稱2．冪函數(shù)圖象過點，則（）A． B． C． D．3．冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則是（）A．偶函數(shù)，且在上是增函數(shù) B．偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)C．奇函數(shù)，且在上是減函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)4．已知函數(shù)是冪函數(shù)且是上的增函數(shù)，則的值為()A．2 B．－1 C．－1或2 D．05．滿足的實數(shù)m的取值范圍是（）.A． B． C． D．6．若冪函數(shù)的圖像過點，則不等式的解集為（）A． B．C． D．7．冪函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為______.8．函數(shù)在區(qū)間上的值域為__________．9．冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則_______.10．函數(shù)既是冪函數(shù)又是二次函數(shù)，則_________；函數(shù)既是冪函數(shù)又是反比例函數(shù)，則_________．11．已知冪函數(shù)，求此冪函數(shù)的解析式，并指出其定義域.《專題07冪函數(shù)、函數(shù)應用》重難點突破答案解析一、知識結(jié)構(gòu)思維導圖二、學法指導與考點梳理重難點一冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).(2)常見的5種冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當α>0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當α<0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.三、重難點題型突破重難點1求冪函數(shù)的解析式冪函數(shù)的解析式是一個冪的形式，且需滿足：(1)指數(shù)為常數(shù)；(2)底數(shù)為自變量；(3)系數(shù)為1.例1．已知冪函數(shù)的圖象過點，則的值為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)冪函數(shù)的表達式為，則，解得，所以，則.故答案為B.【點睛】本題考查了冪函數(shù)，以及對數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．例2.冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實數(shù)的值為（）A．0 B．1 C．1或2 D．2【答案】D【解析】由題意為冪函數(shù)，所以，解得或.因為在上為增函數(shù)，所以，即，所以.故選D.例3.若函數(shù)是冪函數(shù)且在是遞減的，則（）A．-1 B．2 C．-1或2 D．3【答案】A【解析】函數(shù)是冪函數(shù)且在是遞減的，則，解得．故選：A．【變式訓練1】.冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過點(3，eq\r(3))，則f(x)是()A．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)【答案】D【解析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為y＝xα，將(3，eq\r(3))代入解析式得3α＝eq\r(3)，解得α＝eq\f(1,2)，∴y＝xeq\s\up6(\f(1,2))，其是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)．故選D．【變式訓練2】.已知冪函數(shù)f(x)＝xα，當x>1時，恒有f(x)<x，則α的取值范圍是()A．(0，1) B．(－∞，1)C．(0，＋∞) D．(－∞，0)【答案】B【解析】當x>1時，恒有f(x)<x，即當x>1時，函數(shù)f(x)＝xα的圖象在y＝x的圖象的下方，作出冪函數(shù)f(x)＝xα在第一象限的圖象，由圖象可知(圖略)α<1時滿足題意．故選B重難點2冪函數(shù)的圖像及其性質(zhì)的應用(二)冪函數(shù)的圖像及其性質(zhì)的應用1．冪函數(shù)y=xα的圖象與性質(zhì)，由于α值的不同而比較復雜，一般從兩個方面考查：①α的正負：當α>0時，圖象過原點，在第一象限的圖象上升；當α<0時，圖象不過原點，在第一象限的圖象下降，反之也成立．②冪函數(shù)的指數(shù)與圖象特征的關(guān)系當α≠0，1時，冪函數(shù)y=xα在第一象限的圖象特征如下：αα>10<α<1α<0圖象特殊點過(0，0)，(1，1)過(0，0)，(1，1)過(1，1)凹凸性下凸上凸下凸單調(diào)性遞增遞增遞減舉例y=x2、2．利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較冪值大小的技巧：結(jié)合冪值的特點利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)化成同指數(shù)冪，選擇適當?shù)膬绾瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較.例4.冪函數(shù)y＝x(m∈Z)的圖象如圖所示，則m的值為()A．－1 B．0C．1 D．2【答案】C【解析】從圖象上看，由于圖象不過原點，且在第一象限下降，故m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3；又從圖象看，函數(shù)是偶函數(shù)，故m2－2m－3為負偶數(shù)，將m＝0,1,2分別代入，可知當m＝1時，m2－2m－3＝－4，滿足要求．例5．有四個冪函數(shù)：①；②；③；④.某同學研究了其中的一個函數(shù)，他給出這個函數(shù)的三個性質(zhì)：（1）偶函數(shù)；（2）值域是，且；（3）在上是增函數(shù).如果他給出的三個性質(zhì)中，有兩個正確，一個錯誤，則他研究的函數(shù)是（）A．① B．②C．③ D．④【答案】B【解析】①只滿足值域是，且；③只滿足在上是增函數(shù)；④只滿足在上是增函數(shù)；②是偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，但其值域是.故選：B.【點睛】本小題主要考查冪函數(shù)的單調(diào)性、值域和奇偶性，考查分析與推理的能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式訓練1】．已知點在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由已知得：，解得：，所以，因為，，，又，所以由在上遞增，可得：，所以.【點睛】本題在比較、、三個數(shù)的大小時，引入中間變量1，這是比較大小的常用方法.重難點3復合函數(shù)例6．已知函數(shù)f(x)＝a＋bx(b＞0，b≠1)的圖像過點(1,4)和點(2,16)．(1)求f(x)的表達式．(2)解不等式(3)當x∈(－3,4]時，求函數(shù)g(x)＝log2f(x)＋x2－6的值域．【答案】（1）f(x)＝4x.（2）(－1,3)．(3)[－7,18]．【解析】解：(1)由題知所以或(舍去)．所以f(x)＝4x.(2)因為4x＞3－x2，所以22x＞2x2－3.所以2x＞x2－3.所以x2－2x－3＜0.所以－1＜x＜3.所以不等式的解集為(－1,3)．(3)g(x)＝log24x＋x2－6＝log222x＋x2－6＝2x＋x2－6＝(x＋1)2－7.因為－1∈(－3,4]，所以g(x)min＝－7，當x＝4時，g(x)max＝18.所以值域為[－7,18]．例7．已知函數(shù)f(x)=x2?x＋k，且log2f(a)=2，f(log2a)=k，a＞0，且a≠1.（1）求a，k的值；（2）當x為何值時，f(logax)有最小值？求出該最小值．【答案】（1）；（2）時，f(logax)有最小值.【解析】（1）因為，所以，又a＞0，且a≠1，所以.（2）f(logax)=f(log2x)=(log2x)2?log2x＋2=(log2x?)2＋.所以當log2x=，即時，f(logax)有最小值.【變式訓練1】．若函數(shù)滿足.（1）求的值及的解析式；（2）試判斷是否存在正數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍為區(qū)間?若存在，求出正數(shù)的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）或，；（2）存在.【解析】(1)∵，∴．故，解得.又∵，∴或.當或時，，∴.(2)存在，求解如下：假設(shè)存在滿足題設(shè)，由(1)知，，∵，∴兩個最值點只能在和處取得，，，而，∴，即，此時，故符合題意．課堂定時訓練（45分鐘）1．若幕函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則該函數(shù)的圖像（）A．關(guān)于x軸對稱B．關(guān)于y軸對稱C．關(guān)于原點對稱D．關(guān)于直線對稱【答案】B【解析】設(shè)，依題意可得，解得，所以，因為，所以為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱.故選：B.2．冪函數(shù)圖象過點，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，因為冪函數(shù)圖象過點，所以有，解得，所以，因為，所以.故選：A3．冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則是（）A．偶函數(shù)，且在上是增函數(shù) B．偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)C．奇函數(shù)，且在上是減函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)【答案】D【解析】設(shè)冪函數(shù)，因為圖象經(jīng)過點，所以，.故，因為，所以為非奇非偶函數(shù)，且在上是增函數(shù).故選：D4．已知函數(shù)是冪函數(shù)且是上的增函數(shù)，則的值為()A．2 B．－1 C．－1或2 D．0【答案】B【解析】由題意得，故選：B.5．滿足的實數(shù)m的取值范圍是（）.A． B．C． D．【答案】D【解析】冪函數(shù)在為減函數(shù)，且函數(shù)值為正，在為減函數(shù)，且函數(shù)值為負，等價于，或或，解得或或，所以不等式的解集為.故選：D.6．若冪函數(shù)的圖像過點，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，∵冪函數(shù)的圖象過點，∴，∴，∴，∴的定義域為，且單調(diào)遞增，∵等價于，解得，∴的解集為.故選：D.7．冪函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為______.【答案】【解析】因為冪函數(shù)在是減函數(shù)，又因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)在是增函數(shù).故答案為：8．函數(shù)在區(qū)間上的值域為__________．【答案】【解析】因為冪函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，所以當時，函數(shù)取得最大值，又當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為.故答案為：.9．冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則_______.【答案】【解析】設(shè)冪函數(shù)，圖像經(jīng)過點，，，，.故答案為：310．函數(shù)既是冪函數(shù)又是二次函數(shù)，則_________；函數(shù)既是冪函數(shù)又是反比例函數(shù)，則_________．【答案】【解析】因為是冪函數(shù)，所以設(shè)（為常數(shù)），又因為又是二次函數(shù)，所以，即因為是冪函數(shù)，所以設(shè)（為常數(shù)），又因為又是反比例函數(shù)，所以，即故答案為：；11．已知冪函數(shù)，求此冪函數(shù)的解析式，并指出其定義域.【答案】或，.【解析】為函數(shù)，，解得或.當時，，則，且有；當時，，則，且有.故所求冪函數(shù)的解析式為或，它們的定義域都是.《專題07冪函數(shù)、函數(shù)應用》專題訓練【基礎(chǔ)鞏固】1．已知冪函數(shù)的圖象過點P(2,4)，則（）A． B．1 C．2 D．32.在函數(shù)y＝eq\f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，冪函數(shù)的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．33.函數(shù)y＝xeq\s\up5(\f(1,2))－1的圖象關(guān)于x軸對稱的圖象大致是()ABCD4．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且與軸、軸均無交點，則的值為（）A． B．0 C．1 D．25．已知冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示．若則與曲線，，，對應的的值依次為（）A． B．C． D．6．已知函數(shù)是冪函數(shù)，對任意的且，滿足，若，則的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷7．下面是有關(guān)冪函數(shù)的四種說法，其中錯誤的敘述是（）A．的定義域和值域相等 B．的圖象關(guān)于原點中心對稱C．在定義域上是減函數(shù) D．是奇函數(shù)8．下列函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)的是（）A． B． C． D．【能力提升】9．已知函數(shù)對任意兩個不相等的實數(shù)，都有不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．10．函數(shù)的最小值為_______．11．已知函數(shù)f(x)＝.(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)判斷并用定義證明函數(shù)f(x)在其定義域上的單調(diào)性．(3)若對任意的t1，不等式f()＋f()<0恒成立，求k的取值范圍．12．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且對任意的x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）當時，，f（1）=1（1）求f（0），f（3）的值；（2）判斷f（x）的單調(diào)性并證明；（3）若f（4x-a）+f（6+2x+1）＞2對任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．13．已知函數(shù)定義在上且滿足下列兩個條件：①對任意都有；②當時，有．（1）求，并證明函數(shù)在上是奇函數(shù)；（2）驗證函數(shù)是否滿足這些條件；（3）若，試求函數(shù)的零點．14．已知冪函數(shù)為偶函數(shù).（1）求的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.15．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.（1）求的值并寫出的解析式；（2）試判斷是否存在，使得函數(shù)在上的值域為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.16．已知是奇函數(shù)，當時，，則的值是．17．已知且，若在上恒成立，則（）A． B． C． D．18．若，，則（）A．B．C．D．19．已知，，，則（）A．B．C．D．20．若，，則（）A．B．C．D．21．已知，若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，則=_____．《專題07冪函數(shù)、函數(shù)應用》專題訓練答案解析【基礎(chǔ)鞏固】1．已知冪函數(shù)的圖象過點P(2,4)，則（）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由題意，冪函數(shù)的圖象過點P(2,4)，可得，解答.故選：C.2.在函數(shù)y＝eq\f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，冪函數(shù)的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】∵y＝eq\f(1,x2)＝x－2，∴是冪函數(shù)；y＝2x2由于出現(xiàn)系數(shù)2，因此不是冪函數(shù)；y＝x2＋x是兩項和的形式，不是冪函數(shù)；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函數(shù)y＝1的圖象比冪函數(shù)y＝x0的圖象多了一個點(0,1)，所以常函數(shù)y＝1不是冪函數(shù)．3.函數(shù)y＝xeq\s\up5(\f(1,2))－1的圖象關(guān)于x軸對稱的圖象大致是()ABCD【答案】B【解析】y＝xeq\s\up5(\f(1,2))的圖象位于第一象限且為增函數(shù)，所以函數(shù)圖象是上升的，函數(shù)y＝xeq\s\up5(\f(1,2))－1的圖象可看作由y＝xeq\s\up5(\f(1,2))的圖象向下平移一個單位得到的(如選項A中的圖所示)，將y＝xeq\s\up5(\f(1,2))－1的圖象關(guān)于x軸對稱后即為選項B.4．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且與軸、軸均無交點，則的值為（）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】由題意可得：且為偶數(shù)，，解得，且為偶數(shù)，，∴．故選：C．5．已知冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示．若則與曲線，，，對應的的值依次為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，在的右側(cè)部分的圖象，圖象由下至上，冪指數(shù)依次增大，曲線，，，對應的的值依次為：故選：C.6．已知函數(shù)是冪函數(shù)，對任意的且，滿足，若，則的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷【答案】B【解析】由題可知：函數(shù)是冪函數(shù)則或又對任意的且，滿足所以函數(shù)為的增函數(shù)，故所以，又，所以為單調(diào)遞增的奇函數(shù)由，則，所以則故選：B7．下面是有關(guān)冪函數(shù)的四種說法，其中錯誤的敘述是（）A．的定義域和值域相等 B．的圖象關(guān)于原點中心對稱C．在定義域上是減函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】C【解析】，函數(shù)的定義域和值域均為，A正確；，，函數(shù)為奇函數(shù)，故BD正確；在和是減函數(shù)，但在不是減函數(shù)，C錯誤.故選：C.8．下列函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在定義域上是非奇非偶函數(shù)，在區(qū)間上無定義；所以A錯；在定義域上是奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)；所以B對；在定義域上是偶函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；所以C錯；在定義域上是偶函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)；所以D錯；故選：B【能力提升】9．已知函數(shù)對任意兩個不相等的實數(shù)，都有不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為函數(shù)對任意兩個不相等的實數(shù)，都有不等式成立，所以函數(shù)在上第增，時不合題意，只需，解得，即實數(shù)的取值范圍是，故選D.10．函數(shù)的最小值為_______．【答案】【解析】函數(shù)有意義，則：，則據(jù)此可得函數(shù)的定義域為：，由于函數(shù)都在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為，而，據(jù)此可得函數(shù)的最小值為.11．已知函數(shù)f(x)＝.(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)判斷并用定義證明函數(shù)f(x)在其定義域上的單調(diào)性．(3)若對任意的t1，不等式f()＋f()<0恒成立，求k的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.（3）函數(shù)在定義域上為增函數(shù)．證明如下：設(shè)，且，則，∵y＝2x在上是增函數(shù)，且，∴，∴，∴，∴函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)．（3）∵，∴．∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴．又函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，∴對任意1恒成立，∴對任意t1恒成立．令,，則，∵函數(shù)在上是增函數(shù)，∴，∴，∴實數(shù)的取值范圍為．

12．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且對任意的x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）當時，，f（1）=1（1）求f（0），f（3）的值；（2）判斷f（x）的單調(diào)性并證明；（3）若f（4x-a）+f（6+2x+1）＞2對任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0．由f（1）=1，得f（2）=f（1）+f（1）=1+1=2，f（3）=f（2）+f（1）=2+1=3．（2）f（x）在R上是增函數(shù)，證明如下：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，則x2-x1＞0，且f（x2-x1）＞0，所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）=f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）=f（x2-x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上是增函數(shù)．（3）由f（4x-a）+f（6+2x+1）＞2對任意

x∈R恒成立，得f（4x-a+6+2x+1）＞f（2）恒成立．因為f（x）在R上是增函數(shù)，所以4x-a+6+2x+1＞2恒成立，即4x+2?2x+4＞a恒成立令g（x）=4x+2?2x+4=（2x+1）2+3，因為2x＞0，所以g（x）＞4故a≤4

13．已知函數(shù)定義在上且滿足下列兩個條件：①對任意都有；②當時，有．（1）求，并證明函數(shù)在上是奇函數(shù)；（2）驗證函數(shù)是否滿足這些條件；（3）若，試求函數(shù)的零點．【答案】（1）奇函數(shù)（2）見解析（3）．【解析】（1）令x=y=0，則∴．令，則∴，所以函數(shù)在（－1，1）上是奇函數(shù).（2）由得，所以函數(shù)的定義域為（-1，1）．①．②時，，∴，∴．故函數(shù)是滿足這些條件.（3）設(shè)，則∵,∴,,由條件②知，∴，∴,故在(-1,0)上為減函數(shù)．由奇函數(shù)性質(zhì)可知,在（0，1）上仍是單調(diào)減函數(shù).∴在(-1,1)上單調(diào)遞