《5.1.2弧度制》教案、導(dǎo)學(xué)案與同步練習(xí)

《第五章三角函數(shù)》《5.1.2弧度制》教案【教材分析】前一節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的概念，而本節(jié)課主要依托圓心角這個(gè)情境學(xué)習(xí)一種用長度度量角的方法—弧度制，從而將角與實(shí)數(shù)建立一一對應(yīng)關(guān)系，為學(xué)習(xí)本章的核心內(nèi)容三角函數(shù)掃平障礙，打下基礎(chǔ).【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)1.了解弧度制,明確1弧度的含義.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧長公式和面積公式.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：理解弧度制的概念；2.邏輯推理：用弧度制表示角的集合；3.直觀想象：區(qū)域角的表示；4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用已知條件處理扇形有關(guān)問題.【教學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：弧度制的概念與弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化；難點(diǎn)：弧度制概念的理解．【教學(xué)方法】：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練?！窘虒W(xué)過程】一、情景導(dǎo)入度量單位可以用米、英尺、碼等不同的單位制，度量質(zhì)量可以用千克、磅等不同的單位制，不同的單位制能給解決問題帶來方便.角的度量是否也可以用不同的單位制呢？能否像度量長度那樣，用十進(jìn)制的實(shí)數(shù)來度量角的大小呢？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本172-174頁，思考并完成以下問題1．1弧度的含義是？2．角度值與弧度制如何互化？3．扇形的弧長公式與面積公式是？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1．度量角的兩種單位制(1)角度制①定義：用度作為單位來度量角的單位制．②1度的角：周角的1360(2)弧度制①定義：以弧度作為單位來度量角的單位制．②1弧度的角：長度等于半徑長的弧所對的圓心角．2．弧度數(shù)的計(jì)算零負(fù)數(shù)正數(shù)零負(fù)數(shù)正數(shù)3.角度制與弧度制的轉(zhuǎn)算4．一些特殊角與弧度數(shù)的對應(yīng)關(guān)系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0ππeq\f(π,3)eq\f(π,2)2π3π5ππeq\f(3π,2)2π5．扇形的弧長和面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α(0＜α＜2π)為其圓心角，則：(1)弧長公式：l＝αr(2)扇形面積公式：S＝12lr＝四、典例分析、舉一反三題型一角度制與弧度制的互化例1把下列弧度化成角度或角度化成弧度：(1)－450°；(2)eq\f(π,10)；(3)－eq\f(4π,3)；(4)112°30′.【答案】（1）－eq\f(5π,2)rad；(2)18°；(3)－240°；(4)eq\f(5π,8)rad.【解析】(1)－450°＝－450×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(5π,2)rad；(2)eq\f(π,10)rad＝eq\f(π,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝18°；(3)－eq\f(4π,3)rad＝－eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×eq\f(π,180)rad＝eq\f(5π,8)rad.解題技巧：（角度制與弧度制轉(zhuǎn)化的要點(diǎn)）跟蹤訓(xùn)練一1．將下列角度與弧度進(jìn)行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)eq\f(7π,12)；(4)－eq\f(11π,5).【答案】（1）eq\f(π,9)rad；（2）－eq\f(π,12)rad；（3）105°；（4）－396°.【解析】(1)20°＝eq\f(20π,180)rad＝eq\f(π,9)rad.(2)－15°＝－eq\f(15π,180)rad＝－eq\f(π,12)rad.(3)eq\f(7π,12)rad＝eq\f(7,12)×180°＝105°.(4)－eq\f(11π,5)rad＝－eq\f(11,5)×180°＝－396°.題型二用弧度制表示角的集合例2用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界，如圖所示)．【答案】（1）eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋2kπ<θ<\f(5,12)π＋2kπ，k∈Z))))；（2）eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)＋2kπ<θ<\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z))))；（3）eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋kπ<θ<\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).【解析】用弧度制先寫出邊界角，再按逆時(shí)針順序?qū)懗鰠^(qū)域角，(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋2kπ<θ<\f(5,12)π＋2kπ，k∈Z)))).(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)＋2kπ<θ<\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z)))).(3)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋kπ<θ<\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).解題技巧：(表示角的集合注意事項(xiàng))1．弧度制下與角α終邊相同的角的表示．在弧度制下，與角α的終邊相同的角可以表示為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即與角α終邊相同的角可以表示成α加上2π的整數(shù)倍．2．根據(jù)已知圖形寫出區(qū)域角的集合的步驟．(1)仔細(xì)觀察圖形．(2)寫出區(qū)域邊界作為終邊時(shí)角的表示．(3)用不等式表示區(qū)域范圍內(nèi)的角．提醒：角度制與弧度制不能混用.跟蹤訓(xùn)練二1．如圖，用弧度表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界)．①②【答案】(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)＋2kπ＜α＜\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))).(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＜α＜\f(π,3)))＋2kπ或eq\f(2π,3)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z)).【解析】(1)如題圖①，以O(shè)A為終邊的角為eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為－eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，所以陰影部分內(nèi)的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)＋2kπ＜α＜\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))).(2)如題圖②，以O(shè)A為終邊的角為eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)．不妨設(shè)右邊陰影部分所表示的集合為M1，左邊陰影部分所表示的集合為M2，則M1＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＜α＜\f(π,3)＋2kπ，))k∈Z))，M2＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z)).所以陰影部分內(nèi)的角的集合為M1∪M2＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＜α＜\f(π,3)))＋2kπ或eq\f(2π,3)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z)).題型三扇形的弧長與面積問題例3一個(gè)扇形的周長為20，則扇形的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇形面積最大？【答案】當(dāng)扇形半徑r＝5，圓心角為2rad時(shí)，扇形面積最大．【解析】設(shè)扇形的圓心角為α，半徑為r，弧長為l，則l＝αr，依題意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝eq\f(20－2r,r).由l＝20－2r>0及r>0得0<r<10，∴S扇形＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)·eq\f(20－2r,r)·r2＝(10－r)r＝－(r－5)2＋25(0<r<10)．∴當(dāng)r＝5時(shí)，扇形面積最大為S＝25.此時(shí)l＝10，α＝2，故當(dāng)扇形半徑r＝5，圓心角為2rad時(shí)，扇形面積最大．解題技巧：（弧度制下解決扇形相關(guān)問題的步驟）(1)明確弧長公式和扇形的面積公式：l＝|α|r，S＝eq\f(1,2)|α|r2和S＝eq\f(1,2)lr.(這里α必須是弧度制下的角)(2)分析題目的已知量和待求量，靈活選擇公式．(3)根據(jù)條件列方程(組)或建立目標(biāo)函數(shù)求解．跟蹤訓(xùn)練三1、已知某扇形的圓心角為80°,半徑為6cm,則該圓心角對應(yīng)的弧長為()A.480cm B.240cm C.【答案】C【解析】:80°=π180×80=4又r=6cm,故弧長l=αr=4π9×6=82、如圖,已知扇形AOB的圓心角為120°,半徑長為6,求弓形ACB的面積.【答案】12π-93【解析】S扇形AOB=12×120π180S△AOB=12×6×6×sin60°=93故S弓形ACB=S扇形AOB-S△AOB=12π-93.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識及解題技巧六、板書設(shè)計(jì)5.1.25.1.2弧度制1.弧度制例1例2例32.弧度制與角度制轉(zhuǎn)化3.扇形弧長與面積公式七、作業(yè)課本175頁練習(xí)及175頁習(xí)題5.1.【教學(xué)反思】本節(jié)課主要采用講練結(jié)合與分組探究的教學(xué)方法，讓學(xué)生通過角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化將角與實(shí)數(shù)建立一一對應(yīng)關(guān)系，切記：角度和弧度不可同時(shí)出現(xiàn).《5.1.2弧度制》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】知識目標(biāo)1.了解弧度制,明確1弧度的含義.2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧長公式和面積公式.核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：理解弧度制的概念；2.邏輯推理：用弧度制表示角的集合；3.直觀想象：區(qū)域角的表示；4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用已知條件處理扇形有關(guān)問題.【重點(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：弧度制的概念與弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化；難點(diǎn)：弧度制概念的理解．【學(xué)習(xí)過程】一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入閱讀課本172-174頁，填寫。1．度量角的兩種單位制(1)角度制①定義：用_________作為單位來度量角的單位制．②1度的角：周角的_________．(2)弧度制①定義：以_________作為單位來度量角的單位制．②1弧度的角：長度等于_________的弧所對的圓心角．2．弧度數(shù)的計(jì)算3.角度制與弧度制的轉(zhuǎn)算4．一些特殊角與弧度數(shù)的對應(yīng)關(guān)系度0°30°45°________120°135°150°________360°弧度0________eq\f(π,3)eq\f(π,2)____________πeq\f(3π,2)____5．扇形的弧長和面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α(0＜α＜2π)為其圓心角，則：(1)弧長公式：l＝________．(2)扇形面積公式：S＝________＝________．【小試牛刀】1．下列說法中錯(cuò)誤的是()A．1弧度的角是周角的eq\f(1,360)B．弧度制是十進(jìn)制，而角度制是六十進(jìn)制C．1弧度的角大于1度的角D．根據(jù)弧度的定義，180°一定等于π弧度2．(1)eq\f(7π,5)化為角度是________．(2)105°的弧度數(shù)是________．3．半徑為2，圓心角為eq\f(π,6)的扇形的面積是________．4．－eq\f(27,4)π是第________象限的角．【自主探究】題型一角度制與弧度制的互化例1把下列弧度化成角度或角度化成弧度：(1)－450°；(2)eq\f(π,10)；(3)－eq\f(4π,3)；(4)112°30′.跟蹤訓(xùn)練一1．將下列角度與弧度進(jìn)行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)eq\f(7π,12)；(4)－eq\f(11π,5).題型二用弧度制表示角的集合例2用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界，如圖所示)．跟蹤訓(xùn)練二1．如圖，用弧度表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界)．①②題型三扇形的弧長與面積問題例3一個(gè)扇形的周長為20，則扇形的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇形面積最大？跟蹤訓(xùn)練三1、已知某扇形的圓心角為80°,半徑為6cm,則該圓心角對應(yīng)的弧長為()A.480cm B.240cm C.2、如圖,已知扇形AOB的圓心角為120°,半徑長為6,求弓形ACB的面積.【課堂檢測】1．下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A.“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B.的角是周角的，的角是周角的C.的角比的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)2．化為弧度是（）A． B． C． D．3．下列各角中，終邊相同的角是()A.和 B.和 C.和 D.和4．半徑為，面積為的扇形中，弧所對的圓心角為（）A．2 B． C． D．105．與30角終邊相同的角的集合是（）A．B．C．D．6．弧長為，圓心角為的扇形，其面積為____.7．如圖所示，用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分的角的集合.答案小試牛刀1．A2．(1)252°；(2)eq\f(7π,12).3．eq\f(π,3)4.三自主探究例1【答案】（1）－eq\f(5π,2)rad；(2)18°；(3)－240°；(4)eq\f(5π,8)rad.【解析】(1)－450°＝－450×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(5π,2)rad；(2)eq\f(π,10)rad＝eq\f(π,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝18°；(3)－eq\f(4π,3)rad＝－eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×eq\f(π,180)rad＝eq\f(5π,8)rad.跟蹤訓(xùn)練一1．【答案】（1）eq\f(π,9)rad；（2）－eq\f(π,12)rad；（3）105°；（4）－396°.【解析】(1)20°＝eq\f(20π,180)rad＝eq\f(π,9)rad.(2)－15°＝－eq\f(15π,180)rad＝－eq\f(π,12)rad.(3)eq\f(7π,12)rad＝eq\f(7,12)×180°＝105°.(4)－eq\f(11π,5)rad＝－eq\f(11,5)×180°＝－396°.例2【答案】（1）eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋2kπ<θ<\f(5,12)π＋2kπ，k∈Z))))；（2）eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)＋2kπ<θ<\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z))))；（3）eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋kπ<θ<\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).【解析】用弧度制先寫出邊界角，再按逆時(shí)針順序?qū)懗鰠^(qū)域角，(1)(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)＋2kπ<θ<\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z)))).(3)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋kπ<θ<\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).跟蹤訓(xùn)練二1．【答案】(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)＋2kπ＜α＜\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))).(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＜α＜\f(π,3)))＋2kπ或eq\f(2π,3)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z)).【解析】(1)如題圖①，以O(shè)A為終邊的角為eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為－eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，所以陰影部分內(nèi)的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)＋2kπ＜α＜\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))).(2)如題圖②，以O(shè)A為終邊的角為eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)；以O(shè)B為終邊的角為eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)．不妨設(shè)右邊陰影部分所表示的集合為M1，左邊陰影部分所表示的集合為M2，則M1＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＜α＜\f(π,3)＋2kπ，))k∈Z))，M2＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z)).所以陰影部分內(nèi)的角的集合為M1∪M2＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＜α＜\f(π,3)))＋2kπ或eq\f(2π,3)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z)).例3【答案】當(dāng)扇形半徑r＝5，圓心角為2rad時(shí)，扇形面積最大．【解析】設(shè)扇形的圓心角為α，半徑為r，弧長為l，則l＝αr，依題意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝eq\f(20－2r,r).由l＝20－2r>0及r>0得0<r<10，∴S扇形＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)·eq\f(20－2r,r)·r2＝(10－r)r＝－(r－5)2＋25(0<r<10)．∴當(dāng)r＝5時(shí)，扇形面積最大為S＝25.此時(shí)l＝10，α＝2，故當(dāng)扇形半徑r＝5，圓心角為2rad時(shí)，扇形面積最大．跟蹤訓(xùn)練三1、【答案】C【解析】:80°=π180×80=4又r=6cm,故弧長l=αr=4π9×6=82、【答案】12π-93【解析】S扇形AOB=12×120π180×6S△AOB=12×6×6×sin60°=93故S弓形ACB=S扇形AOB-S△AOB=12π-93.當(dāng)堂檢測 1-5．DBCAD6.67．【答案】(1){α|3π4＋2kπ<α<4π3＋2kπ，k∈Z}；(2){α|－π6＋2kπ<α≤5π12＋2kπ，k∈Z}；(3){α|kπ≤α≤π2＋kπ，k∈Z}；(4){α|2π3＋kπ<α【解析】(1)將陰影部分看成是由OA逆時(shí)針轉(zhuǎn)到OB所形成，故滿足條件的角的集合為{α|3π4＋2kπ<α<4π3＋2kπ，(2)若將終邊為OA的一個(gè)角改寫為－π6，此時(shí)陰影部分可以看成是OA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OB所形成，故滿足條件的角的集合為{α|－π6＋2kπ<α≤5π12＋2kπ，(3)將圖中x軸下方的陰影部分看成是由x軸上方的陰影部分旋轉(zhuǎn)πrad而得到，所以滿足條件的角的集合為{α|kπ≤α≤π2＋kπ，k∈Z(4)與第(3)小題的解法類似，將第二象限陰影部分旋轉(zhuǎn)πrad后可得到第四象限的陰影部分．所以滿足條件的角的集合為{α|2π3＋kπ<α<5π6＋kπ，《§5.1.2弧度制》同步練習(xí)一．選擇題1．給出下列3個(gè)結(jié)論，其中正確的個(gè)數(shù)是（）①是第三象限角；②是第二象限角；③.A．3 B．2C．1 D．02．下列各式中正確的是（）A． B．C． D．3．一個(gè)半徑是的扇形，其周長為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A．1 B．3C． D．4．將300°化為弧度是（）A． B．C． D．5．下列角中，與角終邊相同的角是（）A． B．C． D．6．下列兩組角的終邊不相同的是（）A．與 B．與C．與 D．與7．終邊落在直線上的角的集合為（）A． B．C． D．8．把－π表示成θ