高考數(shù)學一輪復習講義：橢圓、雙曲線及拋物線（無答案）

橢圓、雙曲線及拋物線

學問點一、橢圓

1、橢圓的定義

平面內與兩個定點F∣,F,的距離的和等于常數(shù)(大于IKBI)的點的就跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦

點間的距離叫做橢圓的焦距.

集合？={加附尸］|+附尸2|=2",|尸尸2|=2。，其中AO,OO,且α,C為常數(shù)：

⑴當2α>∣BBI時,尸點的軌跡是橢圓；

(2)當2“=IQBI時,P點的軌跡是線段；

(3)當2αV∣尸1尸2∣時,一點不存在.

2、橢圓的標準方程和幾何性質

Ag=I(o>b>O)方+'=I(QQO)

標準方程

?

圖形

范圍-b<y<b-a<v<a—q≤r≤4Z,~b≤x<b,

對稱性對稱軸：坐標軸,對稱中心：(0.0)

A?(-a,O),A2(a,0),4(0,一⑶,42(0,4),

頂點

B∣(0,一6),S?(0,b)Bd~bfO)tB?(b,0)

性質

軸長軸ZlZ2的長為2α,短軸61色的長為2〃

Wsi一尸2∣=2C

離心率C=5e∈{OJ)

a,b,C的關系c2=fl2~Z?2

小題速通

22

1.(2019?浙江高考)橢圓］+寧=1的離心率是()

2.在平面直角坐標系附中，ZUBC上的點N,C的坐標分別為(-4,0),(4,0),若點8在橢圓會+］=1上，則SinZ+sinC

sinA+C

=()

4545

?-?B-3C5D-4

X2V2

3.已知橢圓χ+嬴=l(m>0)的焦距為8,則〃7的值為()

A.3或√?TB.3C.√41D.±3或±√?T

4.若焦點在X軸上的橢圓，+}?=1的離心率為:，則機=.

清易錯

,χ2?p?

1>求橢圓的標準方程時易忽視推斷焦點的位置，而干脆設方程為余+R=?(a>b>O).

2、留意橢圓的范圍，在設橢圓a+E=I(QQO)上點的坐標為P(x,歷時，[x?<a,陽這往往在求與點尸有關的最值問

題中特別有用，也是簡潔被忽視而導致求最值錯誤的緣由.

變式訓練

γ-V24

1.已知橢圓q?+±=ι的離心率為不則發(fā)的值為()

1919

A.-21B.21C.一行或21D.χ或一21

2.已知橢圓C:]+[=l的左、右焦點分別為Q,F1,橢圓C上的點/滿足若點尸是橢圓C上的動點，則

百F?瓦？的最大值為()

A.坐B.歲C.∣D.y

學問點二、雙曲線

1、雙曲線的定義

平面內與兩個定點F∣,F,的距離的差的確定值等于非零常數(shù)(小于IFIBl)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做現(xiàn)

曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.

集合尸={Λf∣∣∣WII-IMF2∣∣=2α},IFlBI=2c,其中α,C為常數(shù)且tf>0,c>0.

(1)當2α<∣Q尸2∣時,P點的軌跡是雙曲線；

⑵當24=IQBI時.尸點的軌跡是兩條射線；

(3)當20>∣尸1尸2∣時,P點不存在.

2、標準方程

(1)中心在坐標原點，焦點在X軸上的雙曲線的標準方程為"一京=l(t7>0,?>0);

(2)中心在坐標原點，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為力一次=l(4>0,b>0).

3、雙曲線的性質

X2)>2

標準方程/一方=l(α>0,?>0)/一條=l(α>0,Λ>0)

圖形

范圍x≥α或x≤-",yGR底一α或yN。，x≡R

對稱性對稱軸：坐標軸,對稱中心：原點

頂點4(-aθ),Aι(a.0)A?(0i-a)tA2(Oia)

性質

ba

漸近線y=±-x=±x

'ayb

離心率e=~,e∈(l,+∞)

a,b,c的關系c2=a2+b2

線段小/2叫做雙曲線的實軸，它的長∣4"2∣=2”;

實虛軸線段囪&叫做雙曲線的虛軸，它的長|8i&|=2b；

“叫做雙曲線的實半軸長，6叫做雙曲線的虛半軸長

小題速通

1.（2019?天津高考）已知雙曲線點一g=l（a>O,b>0）的左焦點為廣，離心率為√Σ若經過F和P（0,4）兩點的直線平行于雙曲

線的一條漸近線，則雙曲線的方程為（）

2.已知雙曲線過點（2,3）,其中一條漸近線方程為y=√5x,則雙曲線的標準方程是（）

3.（2019?張掖一診）如圖，F(xiàn)ι,B分別是雙曲線六一右=1（。>0,b>0）的左、右焦點，過FI的直線/與雙曲線的左、右兩

支分別交于點5,4若ZUBB為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）

ASb-4裾

C辛D,√3TTV

4.已知尸為雙曲線C:一W=I的左焦點，P,。為C上的點.若P0的長等于虛軸長的2倍，點/（5,0）在線段P0上，

則APQF的周長為.

清易錯

1、留意區(qū)分雙曲線中的α,b,c大小關系與橢圓中的a,b,c關系，在橢圓中層=〃+c2,而在雙曲線中￠2=*+〃

2、易忽視漸近線的斜率與雙曲線的焦點位置關系.當焦點在X軸上，漸近線斜率為當焦點在y軸上，漸近線斜率為±*

變式訓練

1.雙曲線5?Ξ一親=I（O<m<3）的焦距為（）

A.6B.12C.36D.2√36-2m2

2.已知直線/:4x+3廠20=0經過雙曲線C:J-p=l的一個焦點，且與雙曲線C的一條漸近線平行，則雙曲線C的

實軸長為（）

A.3B.4C.6D.8

學問點三、拋物線

1、拋物線的定義

平面內與一個定點F和一條定直線/（/不經過點尸）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線

I叫做拋物線的準線.

2、拋物線的標準方程與幾何性質

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py[p>0)X2=~2py[p>0)

標準方程

P的幾何意義：焦點F到準線/的距離

圖形

頂點0(0,0)

對稱軸y=0X=O

哈-電，《

焦點ο)K2'θ90,-f

離心率e=l

準線方程X=2「2

-——2—2y≡→

范圍x≥0,y∈Rx<0,y∈Ry≥0,XeRy<0,x∈R

開口方向向右向左向上向下

焦半徑（其中P（X0,次））?PF?=~y0+^

∣PF∣=XO÷2∣PF∣=-x0÷2∣PF∣=^O÷2

小題速通

、χ2v2

1.已知拋物線頂點在原點，焦點為雙曲線石一γj=l的右焦點，則此拋物線的方程為（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=IOxD.y2=20x

2.若拋物線y=4f上的一點M到焦點的距離為1,則點歷的縱坐標是（）

A.T7B.77CAD.0

16168

3.若點尸為拋物線y=2x2上的動點，b為拋物線的焦點，則IPA的最小值為（）

A.2B.zC.τD.,∣

Z4O

4.已知拋物線V=6x上的一點到焦點的距離是到y(tǒng)軸距離的2倍，則該點的橫坐標為.

清易錯

1、拋物線的定義中易忽視”定點不在定直線上”這一條件，當定點在定直線上時，動點的軌跡是過定點且與直線垂直的直

線.

2、拋物線標準方程中的參數(shù)p,易忽視只有p>0才能證明其幾何意義是焦點戶到準線/的距離，否則無幾何意義.

變式訓練

1、動圓過點（1,0）,且與直線x=-l相切，則動圓的圓心的軌跡方程為

2、拋物線8./+^=0的焦點坐標為.

學問點四、直線與圓錐曲線的位置關系

1、直線與圓錐曲線的位置關系

推斷直線/與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線/的方程Zx+8y+C=0（4,B不同時為0）代入圓錐曲線C的方

程F（x,y）=0,消去式也可以消去x）得到一個關于變量x（或變量力的一元方程.

7[Ax+By+C=Q,

北尸X,y=0,消去y,得“x2+?x+c?=0.

⑴當a≠0時，設一元二次方程αχ2+?r+c=0的判別式為/,則/>00直線與圓錐曲線C相交;

/=Oo直線與圓錐曲線C相切;

∕<0o直線與圓錐曲線C相離.

(2)當a=0,厚O時，即得到一個一次方程，則直線/與圓錐曲線C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙曲線,

則直線/與雙曲線的漸近線的位置關系是ifr;若C為拋物線，則直線/與拋物線的對稱軸的位置關系是平行或重合.

2、圓錐曲線的弦長

設斜率為代的直線/與圓錐曲線相交于兩點、則

t≠0)Cn,B,A(x?,yl),B(X2,y2),

P4β∣=√l+Z-∣x∣-X2∣

--?∣1+k2??∣X∣÷X22-4X∣X2

=?yi+?lyι-?2∣=ΛJ1+∕?J八+"2-4yιj?

小題速通

1.直線y=Aχ-%+l與橢圓/+5=1的位置關系為()

A.相交B.相切C.相離D.不確定

2.過拋物線χ2=8y的焦點尸作直線/交拋物線于4,B兩點、,若線段ZB中點”的縱坐標為4,則∣J8∣=.

3.已知雙曲線C?.?-p=l(a>0,6>0)的漸近線與圓(x—2/+y2=1相交，則雙曲線C的離心率的取值范圍是.

清易錯

1、直線與雙曲線交于一點時，易誤認為直線與雙曲線相切，事實上不愿定相切，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線

與雙曲線相交于一點.

2、直線與拋物線交于一點時，除直線與拋物線相切外易忽視直線與拋物線的對稱軸平行時也相交于一點.

變式訓練

hX2p2

1.直線尸7+3與雙曲線,一臺=1的交點個數(shù)是()

A.1B.2C.1或2D.0

2.過點((M)作直線，使它與拋物線爐=4x僅有一個公共點，這樣的直線有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

過關檢測練習

一、選擇題

1.拋物線頂點在原點，焦點在y軸上，若其上一點P(m,l)到焦點的距離為5,則拋物線的標準方程為()

A.y=8χ2B.y=l6x2

C.x2=SyD.x2=16y

2

χ2p

2.橢圓正+大=1的焦距為2巾，則〃7的值為()

A.9B.23

C.9或23D.16一由或16+S

3.過拋物線y2=4x的焦點的直線/交拋物線于尸(Xy?),0(x2,/)兩點，假如X∣+X2=6,則『。|=()

A.9B.8

C.7D.6

若雙曲線ζ2的左、右焦點分別為為雙曲線上一點，滿足而［示的點尸依次記為

4.C:J-y=lF∣,F2,PC=0P1,P2,

尸3,尸4,則四邊彩尸|尸223尸4的面積為()

A^B.2√5

Cr^-D.2√6

v2χ2

5.若雙曲線上一F=Im>0,b>0)的離心率為限,則其漸近線方程為()

A.y=±3xB.尸土乎

C.γ=±2xD.>=±；X

6.已知橢圓C:/+∣=l(α>8>0)的左、右焦點為Q,F2,離心率為坐，過B的直線/交C于4B兩點、,若AARB的

周長為4小，則橢圓C的方程為()

A.y+^=1B.y+j,?2=1

2222

D+1

c??+^8=1??4=

7.已知雙曲線卷一3=1的右焦點為凡若過點尸的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線斜率的取值范圍是

()

A(一坐,唱B?(-√3-√3)

C--坐,陰D.[-√3,√3]

8.已知Q,尸2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且NQP尸2=；,則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最

小值為()

C.1D.√2

二、填空題

v2

9.(2019?北京高考)若雙曲線x2-j=l的離心率為S，則實數(shù)加=.

X2y23

10.(2019?全國卷□)雙曲線靛一W=l(α>O)的一條漸近線方程為J=尹，則Q=.

11.與橢圓§+彳=1有相同的焦點，且離心率為V的橢圓的標準方程為.

2

12.(2019?西安中學模擬)如圖，過拋物線y=%的焦點廠的直線/與拋物線和圓i)2=ι交于4&c,。四點，

則方>~DC-.

三、解答題

13.已知橢圓C:a+a=l(0>6>0)的短軸長為2,且函數(shù)y=x2—緇的圖象與橢圓C僅有兩個公共點，過原點的直線/

與橢圓C交于Λ/,N兩點、.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若點尸為線段MN的中垂線與橢圓C的一個公共點，求APMN面積的最小值，并求此時直線/的方程.

14.已知點F為拋物線E-.爐=2川仍>0)的焦點，點/(2,⑼在拋物線E上，且MF=3.

(1)求拋物線E的方程；

(2)已知點G(—1,0),延長4尸交拋物線E于點8,證明：以點F為圓心且與直線G月相切的圓必與直線GS相切.

高考探討課一、橢圓命題3角度——求方程、研性質、用關系

全國卷5年命題分析

考點考查頻度考查角度

橢圓的標準方程5年2考求橢圓的標準方程

橢圓的幾何性質5年3考求離心率，求參數(shù)

直線與橢圓的位置關系5年6考弦長問題、面積最值、斜率范BI

題型一、橢圓的定義及標準方程

例、(1)若橢圓C:卷+m=1的焦點為Q,尸2,點尸在橢圓C上，且IPQl=4,則NEPF2=()

?πe兀

A-6B§

C?_5π

DT

(2)(2019?大慶模擬)如圖，已知橢圓C:?+p=l(a>?>0),其中左焦點為F(一2小，0),P為C上一點，滿足QPl=I。尸

且IPFI=4,則橢圓C的方程為()

1

A??+^5=1It

c??+w=1Dm?=1J

方法技巧

(1)求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后再依據條

件建立關于。，b的方程組.假如焦點位置不確定，可把橢圓方程設為蛆2+〃產=1(機>o,n>o,加制)的形式.

(2)橢圓上的一點與兩焦點所構成的三角形稱為焦點三角形.解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義和正弦定理、余弦

定理.

即時演練

?p?χ2

1.在平面直角坐標系XQy中，P是橢圓號+1=1上的一個動點，點4(1』)，B(0,-1),則IRiI+∣P5∣的最大值為()

A.2B.3

C.4D.5

2.已知K,B是橢圓C：a+本=I(Ab>0)的兩個焦點，尸為橢圓C上的一點，且尸F(xiàn)lj,尸尸2.若△尸E尸2的面積為9,則6

題型二、橢圓的幾何性質

χ2v2b

例、(1)(2019?江蘇高考)如圖，在平面直角坐標系XQy中，F(xiàn)是橢圓滔+訂=l(α>b>O)的右焦點，直線產］與橢圓交于8,

C兩點，且乙SFC=90°,則該橢圓的離心率是.

?2

(2)如圖，橢圓5+1=l(α>b>0)的左、右焦點分別為Q,F2,過B的直線交橢圓于P,0兩點，PQA-PFi.

①若FFII=2+也，∣PF2∣=2-√2,求橢圓的標準方程；

②若∣P0∣=4PB且為<*求橢圓離心率e的取值范圍.

方法技巧

橢圓幾何性質的應用技巧

(1)與橢圓幾何性質有關的問題要結合圖森進行分析，即使畫不出圖再，思索時也要聯(lián)想到一個圖彩.

(2)橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式.例如，-a<x<a,-h<y<h,O<e<?,在求橢圓相關量的范圍時，要留

意應用這些不等關系.

即時演練

1.已知橢圓E的左、右焦點分別為Q,F2,過Fl且斜率為2的直線交橢圓E于P,。兩點，若ABPB為直角三角形，

則橢圓E的離心率為.

2.已知橢圓C:S+g=l(a>b>O)的左、右焦點分別為F∣,尸2,點P為橢圓C與y軸的交點，若以Q,F2,P三點為頂

點的等腰三角形確定不行能為鈍角三角形，則橢圓。的離心率的取值范圍是.

題型三、直線與橢圓的位置關系

例、(2019?天津高考)設橢圓宗+==l(4>6>0)的左焦點為F,右頂點為A,離心率為行已知/是拋物線產=2/?仍>0)的焦點，

F到拋物線的準線/的距離為;.

(1)求橢圓的方程和拋物線的方程；

(2)設/上兩點P,0關于X軸對稱，直線NP與橢圓相交于點3(8異于點X),直線80與X軸相交于點D若A∕PO的

面積為半，求直線/尸的方程.

方法技巧

(1)解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與

系數(shù)的關系建立方程，解決相關問題.涉及弦中點的問題常常用"點差法”解決往往會更簡潔.

(2)設直線與橢圓的交點坐標為4(xι,y?),5(X2,次)，則.用=，(l+K)[(χ∣+χ2)2-4XM

=N(I+55+及)2—4yιg](%為直線斜率).

[提示]利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的狀況下進行的，不要忽視判別式.

即時演練

1.設橢圓會+g=l(a>fr>0)的兩焦點為Q,F2,斜率為左的直線過右焦點與橢圓交于B,與y軸交于C,B為CFi

的中點，若冏罵則橢圓離心率e的取值范圍為.

2.(2019?江蘇高考)如圖，在平面直角坐標系XOy中，橢圓E：a+*=l(α>6>0)的左、右焦點分別為E,尸2,離心率為:，

兩準線之間的距離為8.點尸在橢圓E上，且位于第一象限，過點Q作直線PQ的垂線∕ι,過點尸2作直線尸尸2的垂線A

(1)求橢圓E的標準方程；(2)若直線A,/2的交點。在橢圓E上，求點P的坐標.

高考真題演練

1.(2019?全國卷□)已知橢圓C:S+∕=l(α>6>0)的左、右頂點分別為小，A2,且以線段44為直徑的圓與直線瓜一砂

+2時=0相切，則C的離心率為()

A坐B坐C坐D.∣

2.(2019?全國卷□)設4,8是橢圓C:全+]=1長軸的兩個端點.若C上存在點M滿足N4WB=120。，則m的取值范圍

是()

A.(0,l]U[9,+∞)B.(0,√3]U[9,+∞)C.(0,l]U[4,+∞)D.(0,√3]U[4,+∞)

3.(2019?全國卷口)直線/經過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到/的距離為其短軸長的;，則該橢圓的離心率為

()

A.gB.；C.∣?Dt

4.(2019?全國卷□)已知《是橢圓E:"+5=1的左頂點，斜率為％(4>0)的直線交E于4,"兩點，點N在E上，MAl.

NA.

(1)當|4M=MNI時，求WN的面積；(2)當20M=M川時，證明：√3<Λ<2.

5.(2019?全國卷□)已知橢圓C:9x2+^2=w2(m>0),直線/不過原點。且不平行于坐標軸，/與C有兩個交點4,B,線段

/8的中點為M.

(1)證明：直線。河的斜率與/的斜率的乘積為定值；

(2)若/過點(藍，"，，延長線段OM與C交于點P,四邊形。/尸8能否為平行四邊形？若能，求此時/的斜率；若不

能，說明理由.

高考達標檢測

一、選擇題

1.假如/+02=2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)上的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(O,+∞)

?2

2.已知直線2Ax—y+l=O與橢圓，+棄=1恒有公共點，則實數(shù)的取值范圍為()

A.(1,9]B.[1,+∞)

C.[1,9)U(9,+∞)D.(9,+oo)

3.橢圓a+g=l(a>z>°)的中心在原點，F(xiàn)i，B分別為左、右焦點，A,8分別是橢圓的上頂點和右頂點，P是橢圓上一

點，且尸尸i_Lx軸，PF2//AB,則此橢圓的離心率為()

??

O

4.如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點Q,F2,它們在第一象限的交點為4,且“尸IL4B,ZJF∣F2=30,則橢圓與雙曲線

的離心率之積為()

A.2B.√3

C.∣D坐

2________

5.已知P(X0,M))是橢圓C:亍+產=1上的一點，F(xiàn)i,凡是C的左、右焦點，若麗?游<0,則Xo的取值范圍為()

明

AG坐噌B?T

3,3JDT用

6.中心為原點，一個焦點為尸(0,5g)的橢圓，截直線y=3χ-2所得弦中點的橫坐標為;，則該橢圓方程為()

A?+?=1B?+?=1

C?+?=1D?+?=1

二、填空題

7.若尸B分別是橢圓E：χ2+f=i((χb<i)的左、右焦點，過點Fl的直線交橢圓E于4B兩點、.若MQI=3/因，AF2

J_x軸，則橢圓E的方程為.

8.已知過點M(?,一1)的直線/與橢圓于+[=1相交于A,B兩點，若點M是AB的中點，則直線/的方程為

72

9.橢圓市+5=1的左、右焦點分別為a,Fi,過橢圓的右焦點同作一條直線/交橢圓于P,。兩點，則M1P。內切圓面

積的最大值是.

三、解答題

10.已知尸1,尸2是橢圓a+g=l(α>b>0)的左、右焦點，點P(-l,e)在橢圓上，e為橢圓的離心率，且點M為橢圓短半

軸的上頂點，AWQ尸2為等腰直角三角形.

(1)求橢圓的方程；

(2)過點B作不與坐標軸垂直的直線/,設/與圓χ2+/=4+廿相交于4,S兩點，與橢圓相交于C,。兩點，當天才?百N

=2且∕∈[∣,l]時，求ABCQ的面積S的取值范圍.

11.已知尸1,尸2分別是長軸長為2碑的橢圓C:a+g=l(a>Q0)的左、右焦點，Ai,小是橢圓C的左、右頂點，P為

橢圓上異于4,出的一個動點，O為坐標原點，點M為線段Rh的中點，且直線叫2與OM的斜率之積恒為一".

(1)求橢圓C的方程；

(2)設過點Q且不與坐標軸垂直的直線/交橢圓于4,B兩點、,線段N8的垂直平分線與X軸交于點N,點N的橫坐標

的取值范圍是(一(，0),求線段月B長的取值范圍.

12.已知橢圓C:a+W=I(QQO)的離心率為坐焦距為2啦，過點。(1,0)且不過點E(2,l)的直線/與橢圓C交于4

B兩,點,直線NE與直線x=3交于點

(1)求橢圓C的方程：

(2)若48垂直于X軸，求直線"5的斜率：

(3)試推斷直線BM與直線DE的位置關系，并說明理由.

實力提高訓練題

已知橢圓M:1(Ab>0)的右焦點尸的坐標為(1,0),P,0為橢圓上位于y軸右側的兩個動點，使PF_LQF,C為

P0中點，線段P。的垂直平分線交X軸，y軸于點Z,8(線毀尸0不垂直X軸)，當0運動到橢圓的右頂點時，IPFl=坐.

(1)求橢圓M的方程；(2)若SMBO:SABCF=3:5,求直線P。的方程.

高考探討課二、雙曲線命題3角度——用定義、求方程、研性質

全國卷5年命題分析

考點考查頻度考查角度

雙曲線的定義及標準方程5年1考求雙曲線的標準方程

雙曲線的幾何性質-5年7考-由離心率求漸近線、求離心率、求實軸長范圍問題

直線與雙曲線的位置關系未獨立考?

題型一、雙曲線的定義及標準方程

例、(1)設尸1,B是雙曲線工2—石=1的兩個焦點，戶是雙曲線上的一點，且IPFlI=尸2∣,則APB∕72的面積等于()

A.4√2B.8√3C.24D.48

(2)已知雙曲線C:J-p=l(a>O,b>0)的離心率為2,且右焦點到一條漸近線的距離為小，則雙曲線的方程為()

A］一(=1B.x2—^=1C.?2-y=1D.x2~^^-1

方法技巧

解雙曲線定義及標準方程有關問題的2個留意點

(1)應用雙曲線的定義需留意的問題：

在雙曲線的定義中要留意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件，即“到兩定點(焦點)的距離之差的確定值為一非零常

數(shù)，且該常數(shù)必需小于兩定點的距離若定義中的“確定值''去掉，點的軌跡是雙曲線的一支.同時留意定義的轉化應用.

(2)求雙曲線方程時一是標準形式推斷；二是留意α,dc的關系易錯易混.

即時演練

1.若雙曲線寧一］|=1的左焦點為尸，點P是雙曲線右支上的動點，/4(1,4),則IPFI+1以I的最小值是()

A.8B.9

C.10D.12

2.已知雙曲線宏一*=l(α>0)的一條漸近線方程為y=2x,則該雙曲線的焦距為.

題型二、雙曲線的幾何性質(漸近線與離心率問題)

雙曲線的漸近線與離心率問題是高考命題的熱點.

常見的命題角度有：

(1)已知離心率求漸近線方程；

(2)由離心率或漸近線求雙曲線方程；

(3)利用漸近線與已知直線位置關系求離心率.

角度一：已知離心率求漸近線方程

1.已知雙曲線C:a一點=l(α>0,Qo)的離心率為殺則C的漸近線方程為()

A.y=?B.y=±gxC.尸土5D.y=±x

角度二：由離心率或漸近線求雙曲線方程

2.(2019?全國卷口)已知雙曲線C:點一方=l(α>0,b>0)的一條漸近線方根為y=坐x,且與橢圓為+餐=1有公共焦點，則

。的方程為()

Aq_且=1B--^=1c--?^=lD^--^=I

A-8101B451c541LL431

角度三：利用漸近線與已知直線位置關系求離心率

3.雙曲線^∣-p=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為尸F(xiàn)2,直線x=α與雙曲線Λ/的漸近線交于點P,若sin/PFR

=；,則該雙曲線的離心率為.

方法技巧

解決有關漸近線與離心率關系問題的2個留意點

(1)已知漸近線方程)，=掰k,若焦點位置不明確要分∣"7∣=t或ImI=稱探討.

(2)留意數(shù)形結合思想在求漸近線夾角、離心率范圍中的應用.

題型三、直線與雙曲線的位置關系

例、已知雙曲線C:?-^7=1(a>0,加>0)的焦距為4,離心率為2,

(1)求雙曲線C的方程；

(2)直線/:y=Ax+機(A≠0,加邦)與雙曲線C交于不同的兩點C,D,假如C,。都在以點4(0,-1)為圓心的同一個圓

上，求實數(shù)機的取值范圍.

方法技巧

直線與雙曲線的位置關系推斷方法和一個技巧

(1)推斷方法

直線與雙曲線的位置關系的推斷與應用和直線與橢圓的位置關系的推斷方法類似，但是聯(lián)立直線方程與雙曲線方程消

元后，留意二次項系數(shù)是否為0的推斷.

(2)一個技巧

對于中點弦問題常用"點差法”，但須要檢驗.

^?時演煉一

已知雙曲線今一本=l(α>0,b>0)的右焦點為F(c,0).

(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y=x且c=2,求雙曲線的方程；

(2)經過原點且傾斜角為30。的直線/與雙曲線右支交于點X,且尸是以NF為底邊的等腰三角形，求雙曲線的離心

率e的值.

高考真題演練

1.(2019?全國卷口)已知F是雙曲線C:?2—：=1的右焦點，P是C上一點，且尸產與X軸垂直，點力的坐標是(1,3),則2UPF

的面積為()

1Cl八3

?a?B，2e?D，2

χ2