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文檔簡介
北京市2023年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬試卷及答案(五)
一、選擇題:(共10個(gè)小題,每小題3分,共30分)每小題給出的
四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)是符合題目要求的,請?jiān)诖痤}紙上將所選項(xiàng)涂
黑.
1.據(jù)報(bào)道,現(xiàn)在很多家庭使用光纖,真正實(shí)現(xiàn)高速上網(wǎng).很多地區(qū)
使用了某公司設(shè)計(jì)的系列單模傳輸光纖.系列波長2μm光束傳輸光
纖具有出色的一致性和抗疲勞特性.波長2μm約等于0.000002米.將
0.000002用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為()
A.0.2X105B.2×106C.2×105D.0.2X106
2.下列計(jì)算正確的是()
A.a?a2=a2B.(a2)3=a5C.3a2?5a3=15a6D.a5÷a2=a3
3.如圖,為估計(jì)池塘岸邊A、B的距離,小方在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)
0,測得OA=15米,OB=Io米,A、B間的距離不可能是()
A.20米B.15米C.10米D.5米
4.如果關(guān)于X的一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示,
那么該不等式組的解集為()
?"-1一O1?;
A.x≥-1B.x<2C.-l≤x≤2D.-l≤x<2
5.已知是方程ax-y=l的一個(gè)解,那么a的值是()
A.-1B.1C.-3D.3
6.如圖,在aABC中,ZACB=90o,CD/7AB,ZACD=35o,那么NB
的度數(shù)為()
7.如果(×-2)(x+l)=x2+mx+n,那么m+n的值為()
A.-1B.1C.-3D.3
8.下列調(diào)查中,調(diào)查方式選擇合理的是()
A.了解媯水河的水質(zhì)情況,選擇抽樣調(diào)查
B.了解某種型號(hào)節(jié)能燈的使用壽命,選擇全面調(diào)查
C.了解一架Y-8GX7新型戰(zhàn)斗機(jī)各零部件的質(zhì)量,選擇抽樣調(diào)查
D.了解一批藥品是否合格,選擇全面調(diào)查
9.某校九年級(jí)(1)班全體學(xué)生2016年初中畢業(yè)體育考試的成績統(tǒng)
計(jì)如表:
成績(分)25
人數(shù)(人)2
根據(jù)上表中的信息判斷,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()
A.該班一共有38名同學(xué)
B.該班學(xué)生這次考試成績的眾數(shù)是35分
C.該班學(xué)生這次考試成績的中位數(shù)是35分
D.該班學(xué)生這次考試成績的平均數(shù)是35分
io.如圖,AABC面積為1,第一次操作:分別延長AB,BC,CA至
點(diǎn)Al,Bl,Cl,使AIB=AB,BiC=BC,JA=CA,順次連接Ai,Bi,J,
得到AAIBICI.第二次操作:分別延長AiBi,BiCi,CIAl至點(diǎn)A2,B2,
使順次連接得到
C2,A2B1=A1B1,B2CI=B1CI,C2Ai=CiAi,Az,B2,C2,
AA2B2C2,那么^A2B2C2的面積是()
A.7B.14C.49D.50
二、填空題(共6個(gè)小題,每題3分,共18分)
11.計(jì)算:(2χ-1)0-(2)-I=.
12.分解因式:5x3-10x2+5x=.
13.若分式—的值為0,則X的值等于—.
14.已知,如圖,要使得AB〃CD,你認(rèn)為應(yīng)該添加的一個(gè)條件是
E
15.《孫子算經(jīng)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作,約成書于四、五世
紀(jì).現(xiàn)在傳本的《孫子算經(jīng)》共三卷.卷上敘述算籌記數(shù)的縱橫相間
制度和籌算乘除法則;卷中舉例說明籌算分?jǐn)?shù)算法和籌算開平方法;
卷下記錄算題,不但提供了答案,而且還給出了解法.其中記載:“今
有木,不知長短.引繩度之,余繩四尺五,屈繩量之,不足一尺.問
木長幾何?"
譯文:"用一根繩子去量一根長木,繩子還剩余4.5尺,將繩子對折
再量長木,長木還剩余1尺,問長木長多少尺?〃設(shè)繩長X尺,長木
為y尺,可列方程組為—.
16.在表中,我們把第i行第j列的數(shù)記為a.j(其中i,j都是不大于
4的正整數(shù)),對于表中的每個(gè)數(shù)aw,規(guī)定如下:當(dāng)i>j時(shí),ai,j=0;
當(dāng)i≤j時(shí),ai,j=l.
(1)按此規(guī)定aι,3=;
(2)請從下面兩個(gè)問題中任選一個(gè)作答.
問題1問題2
a2,ι?ai.j+a2,2*ai,j+a2,3?ai,j+a2,4?ai,表中的16個(gè)數(shù)中,共有
j=_______個(gè)L
三、解答題(本題共72分,第17-21題每小題5分,第22題10分,
第23題3分,第24,25,26題每小題各5分,第27題6分,第28
題7分,第29題6分)
17.解不等式組:1取二并寫出它的所有正整數(shù)解.
,x+4≥2x+l
x=3+y
18.解方程組:[3χ-2y=5.
f3x+2y=14
19.解方程組:5χ-尸6.
20.先化簡,再求值:(x-y)2+y(2x-y)-4xy3÷2xy,其中X=
-2,y=l.
21.已知:如圖,AB〃CD,CE〃BF.求證:ZC+ZB=180o.
22.(IO分)計(jì)算:
?Xχ2+y2
(1)y-χ-XV
?a2-l
(2)(1-a+2)4-a+2?
23.已知:NABC,按下列要求畫出圖形.
(1)畫NABC的平分線BM;
(2)在射線BM上取一點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE〃AB交BC于點(diǎn)E;
(3)線段BE和DE的大小關(guān)系是
24.張強(qiáng)和李毅二人分別從相距20千米的A、B兩地出發(fā),相向而行,
如果張強(qiáng)比李毅早出發(fā)30分鐘,那么在李毅出發(fā)后2小時(shí),他們相
遇;如果他們同時(shí)出發(fā),那么1小時(shí)后兩人還相距11千米.求張強(qiáng)、
李毅每小時(shí)各走多少千米.
25.延慶區(qū)由于生態(tài)質(zhì)量良好、自然資源豐富,成為北京的生態(tài)涵養(yǎng)
區(qū),是其生態(tài)屏障和水源保護(hù)地.為降低空氣污染,919公交公司決
定全部更換節(jié)能環(huán)保的燃?xì)夤卉?計(jì)劃購買A型和B型兩種公交車
共10輛,其中每臺(tái)的價(jià)格,年載客量如表:
年)
若購買A型公交車1輛,B型公交車2輛,共需400萬元;若購買A
型公交車2輛,B型公交車1輛,共需350萬元.
(1)求a,b的值;
(2)如果該公司購買A型和B型公交車的總費(fèi)用不超過1200萬元,
且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于680萬人次.請
你設(shè)計(jì)一個(gè)方案,使得購車總費(fèi)用最少.
26.閱讀下列材料:
2016年6月24日,以“共赴百合之約?夢圓世園延慶”為主題的第二屆
北京百合文化節(jié)在延慶區(qū)世界葡萄博覽園拉開帷幕,本屆百合文化節(jié)
突出了2019年世界園藝博覽會(huì)元素,打造“一軸、四片區(qū)、五主景〃
的百合主題公園,為市民呈現(xiàn)百合的饕餐盛宴.
據(jù)介紹,四片區(qū)的花海景觀是由“麗花秀〃、"畫卷"、"媯河謠"和"水云
天”組成.設(shè)置在科普館的“麗花秀”,借鑒西班牙的鑲嵌藝術(shù),利用
小麗花打造大型立體景觀.這里種植的小麗花的株數(shù)比2015年增加
了10%;設(shè)置在葡萄盆栽區(qū)的“畫卷”,由9個(gè)模塊組成一幅壯觀的“畫
卷",這里種植了40萬株的葡萄,有I(H4個(gè)世界名優(yōu)新品.設(shè)置在
主題餐廳東側(cè)的“媯河謠",利用流淌的線條,營造令人震撼的百合花
溪;這里的百合有240個(gè)品種,種植達(dá)到220萬株,比2015年多了
70萬株.設(shè)置在科普館東側(cè)的“水云天〃,設(shè)計(jì)體現(xiàn)了"水天交融〃的流
暢曲線美,種植的50萬株向日葵花與100畝紫色的薰衣草交相輝映,
仿佛美麗的畫廊.
據(jù)主辦方介紹,2015年第一屆百合文化節(jié),種植的百合有230多個(gè)
品種,種植小麗花18萬株;葡萄品種總數(shù)達(dá)600多種,種植了30
萬株;向日葵花也達(dá)到了25萬株.
根據(jù)以上材料解答下列問題:
(1)2016年第二屆北京百合文化節(jié),種植的小麗花的株數(shù)為一萬
株;
(2)選擇統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖,將2015、2016年百合文化節(jié)期間在世葡
園種植的百合、小麗花、葡萄的株數(shù)表示出來.
27.(6分)在乘法公式的學(xué)習(xí)中,我們常常利用幾何圖形對運(yùn)算律
加以說明.例如:乘法對加法的分配律:m(a+b+c)=ma+mb+mc,
可用圖①所示的幾何圖形的面積關(guān)系加以說明.
(1)根據(jù)圖②,利用圖形的面積關(guān)系,寫出一個(gè)乘法公式:—;
(2)①計(jì)算:(2a+b)(a+b)=;
②仿照上面的方法,嘗試畫圖說明①,并說說你的思路.
圖1圖2
28.(7分)AABC中,NC=60。,點(diǎn)D,E分別是邊AC,BC上的點(diǎn),
點(diǎn)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn),連接PD,PE,設(shè)∕DPE=α.
(1)如圖①所示,如果點(diǎn)P在線段BA上,且a=30。,那么NPEB+N
PDA=;
(2)如圖②所示,如果點(diǎn)P在線段BA上運(yùn)動(dòng),
①依據(jù)題意補(bǔ)全圖形;
②寫出NPEB+NPDA的大小(用含α的式子表示);并說明理由.
(3)如果點(diǎn)P在線段BA的延長線上運(yùn)動(dòng),直接寫出NPEB與NPDA
之間的數(shù)量關(guān)系(用含α的式子表示).那么NPEB與NPDA之間的
數(shù)量關(guān)系是.
圖①圖②備用圖
29.(6分)閱讀理解:
對于二次三項(xiàng)式x2+2ax+a2,能直接用公式法進(jìn)行因式分解,得到
x2+2ax+a2=(x+a)但對于二次三項(xiàng)式χ2+2ax-8a2,就不能直接用
公式法了.
我們可以采用這樣的方法:在二次三項(xiàng)式x2+2ax-8a2中先加上一項(xiàng)
a2,使其成為完全平方式,再減去a?這項(xiàng),使整個(gè)式子的值不變,于
是:
x2÷2ax-8a2
=x2+2ax-8a2+a2-a2
=x2+2ax+a2-8a2-a2
=(x2+2ax+a2)-(8a2+a2)
=(x+a)2-9a2
=(x+a+3a)(x+a-3a)
=(x+4a)(x-2a)
像這樣把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做添(拆)項(xiàng)法.
問題解決:
請用上述方法將二次三項(xiàng)式×2+2ax-3a2分解因式.
拓展應(yīng)用:
二次三項(xiàng)式X2-4x+5有最小值或是最大值嗎?如果有,請你求出來
并說明理由.
參考答案與試題解析
一、選擇題:(共10個(gè)小題,每小題3分,共30分)每小題給出的
四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)是符合題目要求的,請?jiān)诖痤}紙上將所選項(xiàng)涂
SS
1.據(jù)報(bào)道,現(xiàn)在很多家庭使用光纖,真正實(shí)現(xiàn)高速上網(wǎng).很多地區(qū)
使用了某公司設(shè)計(jì)的系列單模傳輸光纖.系列波長2μm光束傳輸光
纖具有出色的一致性和抗疲勞特性.波長2μm約等于0.000002米.將
0.000002用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為()
A.0.2X105B.2X106C.2X105D.0.2X106
【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法一表示較小的數(shù).
【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示,一般形式
為ax10?與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)鬲,
指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.
【解答】解:0.000002=2X106,
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù),一般形式為aX102
其中l(wèi)≤∣a∣<10,n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的
個(gè)數(shù)所決定.
2.下列計(jì)算正確的是()
A.a?a2=a2B.(a2)3=a5C.3a2?5a3=15a6D.a5÷a2=a3
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算.
【分析】根據(jù)基的運(yùn)算法則逐一計(jì)算即可判斷.
【解答】解:A、a?a2=a3,此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、(a2)3=a6,此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、3a2?5a3=15a5,此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、a5÷a2=a3,此選項(xiàng)正確;
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幕的運(yùn)算和整式的乘法,熟練掌握累的運(yùn)算法
則是解題的關(guān)鍵.
3.如圖,為估計(jì)池塘岸邊A、B的距離,小方在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)
0,測得OA=I5米,OB=IO米,A、B間的距離不可能是()
A.20米B.15米C.Ie)米D.5米
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系.
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,第三邊的長一定大于已知的兩邊的
差,而小于兩邊的和,求得相應(yīng)范圍,看哪個(gè)數(shù)值不在范圍即可.
【解答】解:V15-10<AB<10+15,
Λ5<AB<25.
.?.所以不可能是5米.
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】已知三角形的兩邊,則第三邊的范圍是:>已知的兩邊的差,
而〈兩邊的和.
4.如果關(guān)于X的一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示,
那么該不等式組的解集為()
-I_''j),4一.
?.1O1?1
A.x≥-1B.x<2C.-l≤x≤2D.-l≤x<2
【考點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式的解集.
【分析】根據(jù)圖形可知:×<2且x2-1,故此可確定出不等式組的
解集.
【解答】解:?.?由圖形可知:χV2且x2-l,
.?.不等式組的解集為-1≤×<2.
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是在數(shù)軸上表示不等式的解集,明確實(shí)心原
點(diǎn)與空心圓圈的區(qū)別是解題的關(guān)鍵.
'x=l
5.已知(尸-2是方程ax-y=l的一個(gè)解,那么a的值是()
A.-1B.1C.-3D.3
【考點(diǎn)】二元一次方程的解.
【分析】將方程的解代入得到關(guān)于a的一元一次方程可求得a的值.
?x=l
【解答】解:將1尸-2代入方程ax-y=l得:a+2=l,解得a=-L
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二元一次方程的解,掌握方程的解得定義
是解題的關(guān)鍵.
6.如圖,在aABC中,ZACB=90o,CD/7AB,ZACD=35o,那么NB
A.35oB.45℃.55oD.145°
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì).
【分析】由平行線的性質(zhì)可求得NA,再利用直角三角形的性質(zhì)可求
得NB.
【解答】解:
VCD//AB,
ΛZA=ZACD=35o,
ΛZB=90o-35o=55o,
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì),掌握平行線的性質(zhì)和判定是解
題的關(guān)鍵,即①兩直線平行=同位角相等,②兩直線平行=內(nèi)錯(cuò)角相
等,③兩直線平行=同旁內(nèi)角互補(bǔ).
7.如果(x-2)(x+l)=x2+mx+n,那么m+n的值為()
A.-1B.1C.-3D.3
【考點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式.
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則把等式的左邊展開,根據(jù)題意求出
m、n的值,計(jì)算即可.
【解答】解:(x-2)(x+l)=x2+x-2x-2=x2-X-2,
貝IJm=-1,n=-2,
.?.m+n=-3,
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則:多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相
乘,先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得
的積相加.
8,下列調(diào)查中,調(diào)查方式選擇合理的是()
A.了解媯水河的水質(zhì)情況,選擇抽樣調(diào)查
B,了解某種型號(hào)節(jié)能燈的使用壽命,選擇全面調(diào)查
C.了解一架Y-8GX7新型戰(zhàn)斗機(jī)各零部件的質(zhì)量,選擇抽樣調(diào)查
D.了解一批藥品是否合格,選擇全面調(diào)查
【考點(diǎn)】全面調(diào)查與抽樣調(diào)查.
【分析】根據(jù)普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確,但所費(fèi)人力、物力和時(shí)
間較多,而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似解答.
【解答】解:了解媯水河的水質(zhì)情況,選擇抽樣調(diào)查,A正確;
了解某種型號(hào)節(jié)能燈的使用壽命,選擇抽樣調(diào)查;B錯(cuò)誤;
了解一架Y-8GX7新型戰(zhàn)斗機(jī)各零部件的質(zhì)量,選擇全面調(diào)查,C錯(cuò)
誤;
了解一批藥品是否合格,選擇抽樣調(diào)查,D錯(cuò)誤,
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別,選擇普查還是抽
樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征靈活選用,一般來說,對于具有
破壞性的調(diào)查、無法進(jìn)行普查、普查的意義或價(jià)值不大,應(yīng)選擇抽樣
調(diào)查,對于精確度要求高的調(diào)查,事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查.
9.某校九年級(jí)(1)班全體學(xué)生2016年初中畢業(yè)體育考試的成績統(tǒng)
計(jì)如表:
成績(分)
人數(shù)(人)
根據(jù)上表中的信息判斷,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()
A.該班一共有38名同學(xué)
B.該班學(xué)生這次考試成績的眾數(shù)是35分
C.該班學(xué)生這次考試成績的中位數(shù)是35分
D.該班學(xué)生這次考試成績的平均數(shù)是35分
【考點(diǎn)】眾數(shù);統(tǒng)計(jì)表;加權(quán)平均數(shù);中位數(shù).
【分析】結(jié)合表格根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的概念求解.
【解答】解:該班人數(shù)為:2+4+3+7+9+7+6=38,
得35分的人數(shù)最多,眾數(shù)為35,
35+35
第19和20名同學(xué)的成績的平均值為中位數(shù),中位數(shù)為:?=35,
25×2+29×4+32×3+34X7+35X9+38×7+40×∣
平均數(shù)為:38=34.763.
故錯(cuò)誤的為D.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的知識(shí),掌握各知識(shí)點(diǎn)的
概念是解答本題的關(guān)鍵.
10.如圖,^ABC面積為1,第一次操作:分別延長AB,BC,CA至
點(diǎn)Ai,Bi,Ci,使AlB=AB,BiC=BC,CiA=CA,順次連接Ai,Bi,Cn
得到AAIBICI.第二次操作:分別延長AiBi,B1C1,CIAl至點(diǎn)A2,B2,
C2,使A2B1=A1B1,B2C1=B1Ci,C2Ai=CiAi,順次連接A2,B2,C2,得到
【考點(diǎn)】三角形的面積.
【分析】先根據(jù)已知條件求出^AιB]J及4A2B2C2的面積即可.
【解答】解:Z?ABC與aAiBBi底相等(AB=AlB),高為1:2(BBι=2BC),
故面積比為1:2,
V?ABC面積為1,
?*?SΔAIBIB=2.
同理可得,SΔCIBICZΞ2,SΔAAIC=2,
??SΔAIBICI=SΔCIBIC+SΔAAIC+SΔAIBIB+SΔABC=2+2+2+1=7;
同理可證^A2B2C2的面積=7XAAIBICI的面積=49,
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】考查了三角形的面積,此題屬規(guī)律性題目,解答此題的關(guān)鍵
是找出相鄰兩次操作之間三角形面積的關(guān)系,再根據(jù)此規(guī)律求解即
可.
二、填空題(共6個(gè)小題,每題3分,共18分)
11.計(jì)算:(2x-1)0-(2)1=?.
---C—
【考點(diǎn)】負(fù)整數(shù)指數(shù)幕;零指數(shù)幕.
【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)惠和零指數(shù)塞的概念求解即可.
【解答】解:原式=1-5
1
=^2?
故答案為:
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)塞和零指數(shù)塞的知識(shí),解答本題的關(guān)
鍵在于熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)的概念和運(yùn)算法則.
12.分解因式:5X3-10x2+5x=5X(X-D2.
【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
【分析】先提取公因式5x,再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行二次分解.
【解答】解:5x3-10x2+5x
=5x(x2-2x+l)
=5x(x-1)2.
故答案為:5x(χ-l)2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利
用完全平方公式進(jìn)行二次分解,注意分解要徹底.
13.若分式1的值為0,則X的值等于3.
【考點(diǎn)】分式的值為零的條件.
【分析】根據(jù)分式值為零的條件可得X-3=0,且x≠0,再解即可.
【解答】解:由題意得:X-3=0,且x≠0,
解得:×=3,
故答案為:3.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式的值為零,需同時(shí)具備兩個(gè)條件:(1)
分子為0;(2)分母不為0.這兩個(gè)條件缺一不可.
14.已知,如圖,要使得AB〃CD,你認(rèn)為應(yīng)該添加的一個(gè)條件是N
ECD=NA.
E
【考點(diǎn)】平行線的判定.
【分析】根據(jù)平行線的判定定理,即可直接寫出條件.
【解答】解:添加的條件是:ZECD=ZA(答案不唯一).
故答案為:ZECD=ZA.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定定理,解答此類要判定兩直線平行
的題,可圍繞截線找同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角.本題是一道探索性
條件開放性題目,能有效地培養(yǎng)學(xué)生"執(zhí)果索因〃的思維方式與能力.
15.《孫子算經(jīng)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作,約成書于四、五世
紀(jì).現(xiàn)在傳本的《孫子算經(jīng)》共三卷.卷上敘述算籌記數(shù)的縱橫相間
制度和籌算乘除法則;卷中舉例說明籌算分?jǐn)?shù)算法和籌算開平方法;
卷下記錄算題,不但提供了答案,而且還給出了解法.其中記載:“今
有木,不知長短.引繩度之,余繩四尺五,屈繩量之,不足一尺.問
木長幾何?〃
譯文:"用一根繩子去量一根長木,繩子還剩余4.5尺,將繩子對折
再量長木,長木還剩余1尺,問長木長多少尺?”設(shè)繩長X尺,長木
X_y=4.5
為y尺,可列方程組為_1.
——χ―y=1l-
【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組.
【分析】本題的等量關(guān)系是:繩長-木長=4.5;木長繩長=1,據(jù)
此可列方程組求解.
【解答】解:設(shè)繩長X尺,長木為y尺,
X_y=4.5
依題意得
*尸1
X-y=4.5
故答案為:1T,
7x^y-1
【點(diǎn)評(píng)】此題考查二元一次方程組問題,關(guān)鍵是弄清題意,找準(zhǔn)等量
關(guān)系,列對方程組,求準(zhǔn)解.
16.在表中,我們把第i行第j列的數(shù)記為ai,j(其中i,j都是不大于
4的正整數(shù)),對于表中的每個(gè)數(shù)a「j,規(guī)定如下:當(dāng)i>j時(shí),ai.j=0;
當(dāng)iWj時(shí),ai,j=l.
例如:當(dāng)i=4,j=l時(shí),ai,j=a4,ι=0.
(1)按此規(guī)定a?,3=
(2)請從下面兩個(gè)問題中任選一個(gè)作答.
問題1問題2
a2,ι?ai,j+a2,2?ai,j+a2,3?ai,j+a2.4?ai,j=表中的16個(gè)數(shù)中,共有_10
0或3;個(gè)1.
【考點(diǎn)】規(guī)律型:數(shù)字的變化類.
【分析】(1)根據(jù)定義當(dāng)Wj時(shí),a>j=l可得;
(2)問題1:分i>j和i≤j,依據(jù)定義分別代入數(shù)值求解可得;
問題2:表中的16個(gè)數(shù)中,值為1的有:a?,ι>a=2、a?,??a=4、θ2,
2、a2,3、32.4>a?,3、a?,4、a4,4,即可得出答案.
【解答】解:(1)Tai,3中1V3,
??31,3=1,
故答案為:1;
(2)問題1:若i>j,則a2,ι?ai.j+a2,2?ai.j+a2,3?ai,j+a2.4?ai.j=0×
0+1×O÷l×0+1X0=0,
若Wj,則a2,ι?aιj+a2,2?ai,j+a2,3?ai,j+a2,4*ai,j=0×1+1×1+1×1+1
X1=3,
,
.?a2,ι?ai,j+a2,2?ai,j+a2,3?ai,j+a2,4?ai,j=0或3,
故答案為:。或3;
問題2:表中的16個(gè)數(shù)中,值為1的有:81.ι>a?,2>a=3、?i.4>≡2,
2、32,3、32.4、??,3、??,4、≡4,4,
.?.表中的16個(gè)數(shù)中,共有10個(gè);
故答案為:10?
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的變化類,依據(jù)題意弄清規(guī)定:當(dāng)i>j
時(shí),ai,j=0;當(dāng)i≤j時(shí),ai,j=l是解題的關(guān)鍵.
三、解答題(本題共72分,第17-21題每小題5分,第22題10分,
第23題3分,第24,25,26題每小題各5分,第27題6分,第28
題7分,第29題6分)
17.解不等式組:產(chǎn)二:二,并寫出它的所有正整數(shù)解.
[x+4≥2x+l
【考點(diǎn)】一元一次不等式組的整數(shù)解;解一元一次不等式組.
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集,根據(jù)口訣:“大小小大中間
找"確定不等式組的解集,在該解集內(nèi)確定正整數(shù)即可.
【解答】解:由①得,×>1;
由②得,×≤3;
.?.不等式組的解集為:l<xW3,
.?.它的所有正整數(shù)解有:2,3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組,正確求出每一個(gè)不等式
解集是基礎(chǔ),熟知“同大取大;同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找;大大小
小找不到'’的原則是解答此題的關(guān)鍵.
x=3+y
18.解方程組:[3χ-2y=5.
【考點(diǎn)】解二元一次方程組.
【分析】應(yīng)用代入法,求出二元一次方程組的解是多少即可.
x=3+y(l)
【解答】解:(1)(3x-2y=5⑵
(1)代入(2),可得3(3+y)-2y=5,
解得V=-4,
把y=-4代入(1),可得X=-L
Jx="1
.?.方程組的解為:j尸-4.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二元一次方程組的解法,要熟練掌握,注意
代入法的應(yīng)用.
'3x+2行14
19.解方程組:5x-y=6.
【考點(diǎn)】解二元一次方程組.
【分析】方程組利用加減消元法求出解即可.
'3x+2y=14①
【解答】解:5χ-y=6②,
①+②X2得:13x=26,即x=2,
把x=2代入②得:y=4,
則方程組的解為產(chǎn):
Iy=4
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題
的關(guān)鍵.
20.先化簡,再求值:(X-N)2+y(2x-y)-4xy3÷2xy,其中X=
-2,y=l.
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算一化簡求值.
【分析】原式利用完全平方公式,單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式,以及單項(xiàng)式除
以單項(xiàng)式法則計(jì)算得到最簡結(jié)果,把X與y的值代入計(jì)算即可求出值.
【解答】解:原式=X?-2xy+y2+2xy-y2-2y2=x2-2y2,
當(dāng)X=-2,y=l時(shí),原式=4-2=2.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡求值,熟練掌握運(yùn)算法則
是解本題的關(guān)鍵.
21.已知:如圖,AB/7CD,CE√BF.求證:ZC+ZB=180o.
E,
AB
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得NC=NCDB,再根據(jù)兩直
線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)證明.
【解答】證明:VAB/7CD,CE〃BF,
.*.ZCDB+ZB=180o,
NC=NCDB,
.,.ZC+ZB=180o.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì),是基礎(chǔ)題,熟記性質(zhì)是解題的關(guān)
鍵.
22.(10分)(2016春?延慶縣期末)計(jì)算:
?Xχ2+y2
(1)y-×-Xy
?a2-l
(2)(1-a+2)÷&+2.
【考點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算.
【分析】(1)先通分,公分母為xy,再約分得-孑;
(2)先把括號(hào)內(nèi)的進(jìn)行通分,公分母為a+2,再把除法化成乘法,
進(jìn)行約分.
三Xx2+一
【解答】解:(I)y-X-Xy
_xy,
_-2y2
二xy,
二2y
一.X;
?a2-l
(2)(1-a+2)4-a+2,
a+2-1a+2
=,
a+2?(a+l)(a-D
a+1
=(a+l)(a-D,
1
=a-l?
【點(diǎn)評(píng)】本題是分式的混合運(yùn)算,分式的混合運(yùn)算,一般按常規(guī)運(yùn)算
順序,但有時(shí)也會(huì)根據(jù)題目的特點(diǎn),運(yùn)用乘法的運(yùn)算律進(jìn)行靈活運(yùn)算;
注意符號(hào)問題和化簡結(jié)果:運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.
23.已知:ZABC,按下列要求畫出圖形.
(1)畫NABC的平分線BM;
(2)在射線BM上取一點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE〃AB交BC于點(diǎn)E;
(3)線段BE和DE的大小關(guān)系是BE=DE.
【考點(diǎn)】作圖一復(fù)雜作圖;平行線的性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)角平分線的做法畫出NABC的平分線BM;
(2)根據(jù)同位角相等,兩直線平行畫NDEC=NABC,交BC于點(diǎn)E;
(3)根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線定義得出NBDE=NDBE,再根
據(jù)等角對等邊即可得到BE=DE.
【解答】解:(1)(2)如圖所示;
A
立r
BEC
(3)如圖,BE=DE,理由如下:
VBM平分NABC,
ZABD=ZDBE,
VDE/7AB,
.,.ZABD=ZBDE;
.?.ZBDE=ZDBE,
.?.BE=DE.
故答案為BE=DE.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了作圖-復(fù)雜作圖,平行線的性質(zhì),角平分線
定義以及等腰三角形的判定,關(guān)鍵是正確畫出圖形.
24.張強(qiáng)和李毅二人分別從相距20千米的A、B兩地出發(fā),相向而行,
如果張強(qiáng)比李毅早出發(fā)30分鐘,那么在李毅出發(fā)后2小時(shí)一,他們相
遇;如果他們同時(shí)出發(fā),那么1小時(shí)后兩人還相距11千米.求張強(qiáng)、
李毅每小時(shí)各走多少千米.
【考點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用.
【分析】設(shè)張強(qiáng)每小時(shí)走X千米,李毅每小時(shí)走y千米,根據(jù)題意可
得,張強(qiáng)走2.5小時(shí)的路程+李毅走2小時(shí)的路程=20千米,李毅和張
強(qiáng)共同走1個(gè)小時(shí)一,倆人走的路程為9千米,據(jù)此列方程組求解.
【解答】解:設(shè)張強(qiáng)每小時(shí)走X千米,李毅每小時(shí)走y千米,
由題意得,行20,
lx+y=9
解得:〔咚
Iy=5
答:張強(qiáng)每小時(shí)走4千米,李毅每小時(shí)走5千米.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是讀懂
題意,設(shè)出未知數(shù),找出合適的等量關(guān)系,列方程組求解.
25.延慶區(qū)由于生態(tài)質(zhì)量良好、自然資源豐富,成為北京的生態(tài)涵養(yǎng)
區(qū),是其生態(tài)屏障和水源保護(hù)地.為降低空氣污染,919公交公司決
定全部更換節(jié)能環(huán)保的燃?xì)夤卉?計(jì)劃購買A型和B型兩種公交車
共IO輛,其中每臺(tái)的價(jià)格,年載客量如表:
A型B型
價(jià)格(萬元/臺(tái))ab
年載客量(萬人/60100
年)
若購買A型公交車1輛,B型公交車2輛,共需400萬元;若購買A
型公交車2輛,B型公交車1輛,共需350萬元.
(1)求a,b的值;
(2)如果該公司購買A型和B型公交車的總費(fèi)用不超過1200萬元,
且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于680萬人次.請
你設(shè)計(jì)一個(gè)方案,使得購車總費(fèi)用最少.
【考點(diǎn)】一元一次不等式組的應(yīng)用;二元一次方程組的應(yīng)用.
【分析】(1)根據(jù)"A型公交車1輛,B型公交車2輛,共需400萬
元;A型公交車2輛,B型公交車1輛,共需350萬元”列出方程組解
決問題;
(2)設(shè)購買A型公交車X輛,則B型公交車(IO-X)輛,由"購買
A型和B型公交車的總費(fèi)用不超過1200萬元〃和"10輛公交車在該線
路的年均載客總和不少于680萬人次〃列出不等式組探討得出答案即
可.
【解答】解:(1)由題意得:6£黑,
[2a+b-350
解這個(gè)方程組得:
ID-IbU
答:購買A型公交車每輛需100萬元,購買B型公交車每輛需150
萬元.
(2)設(shè)購買A型公交車X輛,購買B型公交車(IO-X)輛,
,60x+100(10-x)>680
由題意得:jl00x+150(10-x)<120C,
解得:6≤x≤8,
有三種購車方案:①購買A型公交車6輛,購買B型公交車4輛;
②購買A型公交車7輛,購買B型公交車3輛;
③購買A型公交車8輛,購買B型公交車2輛.
故購買A型公交車越多越省錢,
所以購車總費(fèi)用最少的是購買A型公交車8輛,購買B型公交車2
輛.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用,注意
理解題意,找出題目蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系,列出方程組或不等式組解決問
題.
26.閱讀下列材料:
2016年6月24日,以“共赴百合之約?夢圓世園延慶”為主題的第二屆
北京百合文化節(jié)在延慶區(qū)世界葡萄博覽園拉開帷幕,本屆百合文化節(jié)
突出了2019年世界園藝博覽會(huì)元素,打造“一軸、四片區(qū)、五主景〃
的百合主題公園,為市民呈現(xiàn)百合的饕餐盛宴.
據(jù)介紹,四片區(qū)的花海景觀是由“麗花秀〃、“畫卷〃、"媯河謠〃和“水云
天〃組成.設(shè)置在科普館的“麗花秀〃,借鑒西班牙的鑲嵌藝術(shù),利用
小麗花打造大型立體景觀.這里種植的小麗花的株數(shù)比2015年增加
了10%;設(shè)置在葡萄盆栽區(qū)的“畫卷",由9個(gè)模塊組成一幅壯觀的“畫
卷”,這里種植了40萬株的葡萄,有1014個(gè)世界名優(yōu)新品.設(shè)置在
主題餐廳東側(cè)的“媯河謠〃,利用流淌的線條,營造令人震撼的百合花
溪;這里的百合有240個(gè)品種,種植達(dá)到220萬株,比2015年多了
70萬株.設(shè)置在科普館東側(cè)的“水云天〃,設(shè)計(jì)體現(xiàn)了"水天交融"的流
暢曲線美,種植的50萬株向日葵花與100畝紫色的薰衣草交相輝映,
仿佛美麗的畫廊.
據(jù)主辦方介紹,2015年第一屆百合文化節(jié),種植的百合有230多個(gè)
品種,種植小麗花18萬株;葡萄品種總數(shù)達(dá)600多種,種植了30
萬株;向日葵花也達(dá)到了25萬株.
根據(jù)以上材料解答下列問題:
(1)2016年第二屆北京百合文化節(jié),種植的小麗花的株數(shù)為19.8
萬株;
(2)選擇統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖,將2015、2016年百合文化節(jié)期間在世葡
園種植的百合、小麗花、葡萄的株數(shù)表示出來.
【考點(diǎn)】統(tǒng)計(jì)圖的選擇;統(tǒng)計(jì)表.
【分析】(1)根據(jù):“這里種植的小麗花的株數(shù)比2015年增加了10%”
可得;
(2)根據(jù)題意得出將2015、2016年百合文化節(jié)期間在世葡園種植的
百合、小麗花、葡萄的株數(shù),列表可得.
【解答】解:(1)2016年第二屆北京百合文化節(jié),種植的小麗花的
株數(shù)為18義(1+10%)=19.8萬株;
故答案為:19.8;
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)據(jù)的整理與統(tǒng)計(jì)圖表的選擇與制作,閱讀材
料理清數(shù)據(jù)的類型和年份是列表解決問題的關(guān)鍵?
27.在乘法公式的學(xué)習(xí)中,我們常常利用幾何圖形對運(yùn)算律加以說
明.例如:乘法對加法的分配律:m(a+b+c)=ma+mb+mc,可用圖
①所示的幾何圖形的面積關(guān)系加以說明.
(1)根據(jù)圖②,利用圖形的面積關(guān)系,寫出一個(gè)乘法公式:(a+b)
2=a2+2ab+b2;
(2)①計(jì)算:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b?;
②仿照上面的方法,嘗試畫圖說明①,并說說你的思路.
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算.
【分析】(1)根據(jù)圖2可以得到相應(yīng)的乘法公式;
(2)①根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式可以解答本題;
②根據(jù)①中的公式可以畫出相應(yīng)的圖形,寫出思路.
【解答】解:(1)由圖2可得,
(a+b)2=a2+2ab+b2,
故答案為:(a+b)2=a2+2ab+b2;
(2)①(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,
故答案為:2a2+3ab+b2;
②如下圖所示,
bdbctb?2
aa2a2ab
aab
思路是:令長方形的長為2a+b,寬為a+b,再將這個(gè)長方形分成六個(gè)
小長方形,這些小長方形分別為:長和寬都是a、a的兩個(gè),長和寬
都為a、b的三個(gè),長和寬是b、b的一個(gè).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的混合運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是明確題意,列出相
應(yīng)的代數(shù)式,能畫出相應(yīng)的圖形.
28.ZXABC中,NC=60。,點(diǎn)D,E分別是邊AC,BC上的點(diǎn),點(diǎn)P是
直線AB上一動(dòng)點(diǎn),連接PD,PE,設(shè)NDPE=α.
(1)如圖①所示,如果點(diǎn)P在線段BA上,且a=30。,那么NPEB+N
PDA=90°;
(2)如圖②所示,如果點(diǎn)P在線段BA上運(yùn)動(dòng),
①依據(jù)題意補(bǔ)全圖形;
②寫出NPEB+NPDA的大小(用含α的式子表示);并說明理由.
(3)如果點(diǎn)P在線段BA的延長線上運(yùn)動(dòng),直接寫出NPEB與NPDA
之間的數(shù)量關(guān)系(用含α的式子表示).那么NPEB與NPDA之間的
數(shù)量關(guān)系是60°+α或60°-α或60°;.
圖①圖②
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