（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 專題10 概率與統(tǒng)計(jì) 77 古典概型 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

訓(xùn)練目標(biāo)理解古典概型的概念、會(huì)求古典概型的概率.訓(xùn)練題型(1)求簡(jiǎn)單古典概型的概率；(2)與其他知識(shí)交匯求古典概型的概率；(3)古典概型的應(yīng)用.解題策略讀懂題目，抓住解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，即：確定基本事件個(gè)數(shù)及所求事件包含基本事件的個(gè)數(shù).1．某位同學(xué)進(jìn)行投球練習(xí)，連投了10次，恰好投進(jìn)了8次，若用A表示投進(jìn)球這一事件，則A的頻率為_(kāi)_______．2．(2015·江西臨川二中一模)同時(shí)投擲兩個(gè)骰子，則向上的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為4的概率是________．3．若有2位老師，2位學(xué)生站成一排合影，則每位老師都不站在兩端的概率是________．4．(2015·廣州二模)有兩張卡片，一張的正反面分別寫著數(shù)字0與1，另一張的正反面分別寫著數(shù)字2與3，將兩張卡片排在一起組成兩位數(shù)，則所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率是________．5．甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就稱甲、乙“心相近”．現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們“心相近”的概率為_(kāi)_______．6．(2015·遼寧師范大學(xué)附中模擬)一個(gè)三位自然數(shù)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)a>b，b<c時(shí)稱為“凹數(shù)”(如213,312等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率為_(kāi)_______．7．(2015·嘉興二模)在正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則構(gòu)成的四邊形是梯形的概率為_(kāi)_______．8．從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè)，其中個(gè)位數(shù)為0的概率是________．9．從三件正品、一件次品中隨機(jī)取出兩件，則取出的產(chǎn)品全是正品的概率是________．10．(2015·浙江杭州富陽(yáng)二中質(zhì)檢)設(shè)a∈{1,2,3}，b∈{2,4,6}，則函數(shù)y＝logeq\f(b,a)eq\f(1,x)是減函數(shù)的概率為_(kāi)_______．11．(2015·浙江重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體上學(xué)期第二次適應(yīng)性測(cè)試)已知k∈Z，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(k,1)，Aeq\o(C,\s\up6(→))＝(2,4)，若|eq\o(AB,\s\up6(→))|≤4，則△ABC是直角三角形的概率是________．12．某人有4把鑰匙，其中2把能打開(kāi)門，現(xiàn)隨機(jī)地取1把鑰匙試著開(kāi)門，不能開(kāi)門的就扔掉，問(wèn)第二次才能打開(kāi)門的概率是______；如果試過(guò)的鑰匙不扔掉，這個(gè)概率是________．13．(2015·江西會(huì)昌中學(xué)月考)某同學(xué)同時(shí)投擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的離心率e>eq\f(\r(3),2)的概率是________．14．如圖所示，在每一個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)字，數(shù)字可以是1,2,3,4中的任何一個(gè)，允許重復(fù)，則填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字的概率為_(kāi)_______．答案解析1.eq\f(4,5)2.eq\f(1,9)解析同時(shí)拋擲兩個(gè)骰子，基本事件總數(shù)為36，記“向上的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為4”為事件A，則事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共4個(gè)，故P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).3.eq\f(1,6)解析設(shè)兩位老師分別為A，B，兩位學(xué)生分別為C，D，則他們站成一排合影的所有基本事件為ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDBA，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共有24個(gè)，每位老師都不站在兩端的基本事件為CABD，CBAD，DABC，DBAC，共有4個(gè)，故所求概率為P＝eq\f(4,24)＝eq\f(1,6).4.eq\f(1,2)解析將兩張卡片排在一起組成兩位數(shù)，則所組成的兩位數(shù)有12,13,20,21,30,31，共6個(gè)，兩位數(shù)為奇數(shù)的有13,21,31，共3個(gè)，故所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率為eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).5.eq\f(4,9)解析試驗(yàn)包含的所有事件共有6×6＝36種，其中滿足題設(shè)條件的有如下情形：若a＝1，則b＝1,2；若a＝2，則b＝1,2,3；若a＝3，則b＝2,3,4；若a＝4，則b＝3,4,5；若a＝5，則b＝4,5,6；若a＝6，則b＝5,6.即滿足題設(shè)條件的情形共有16種，故他們“心相近”的概率為P＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9).6.eq\f(1,3)解析由于a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，故可得24個(gè)三位數(shù)．若b＝1，則“凹數(shù)”有213,214,312,314,412,413，共6個(gè)；若b＝2，則“凹數(shù)”有324,423，共2個(gè)，所以這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率為eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).7.eq\f(2,5)解析如圖為正六邊形ABCDEF,6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，共有15種選法，其中構(gòu)成的四邊形是梯形的有ABEF、BCDE、ABCF、CDEF、ABCD、ADEF，共6種情況，故構(gòu)成的四邊形是梯形的概率為P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).8.eq\f(1,9)解析分類討論法求解．個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)與十位數(shù)中必一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，所以可以分兩類．(1)當(dāng)個(gè)位為奇數(shù)時(shí)，有5×4＝20(個(gè))符合條件的兩位數(shù)．(2)當(dāng)個(gè)位為偶數(shù)時(shí)，有5×5＝25(個(gè))符合條件的兩位數(shù)．因此共有20＋25＝45(個(gè))符合條件的兩位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)為0的兩位數(shù)有5個(gè)，所以所求概率為P＝eq\f(5,45)＝eq\f(1,9).9.eq\f(1,2)解析設(shè)“取出兩件產(chǎn)品全是正品”為事件A，三件正品的編號(hào)分別為a，b，c，一件次品的編號(hào)為d，則基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6個(gè)，事件A包含的基本事件為ab，ac，bc共3個(gè)．因此P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).10.eq\f(7,9)解析由題意可知本題是一個(gè)古典概型，因?yàn)樵囼?yàn)發(fā)生包含的事件是從兩個(gè)集合中各取一個(gè)數(shù)字，所以共有9種結(jié)果，滿足條件的事件是函數(shù)y＝logeq\f(b,a)eq\f(1,x)＝－logeq\f(b,a)x是一個(gè)減函數(shù)，只要底數(shù)大于1，列舉出所有的情況有a＝1，b＝2；a＝1，b＝4；a＝1，b＝6；a＝2，b＝4；a＝2，b＝6；a＝3，b＝4；a＝3，b＝6，共7種結(jié)果，所以概率是P＝eq\f(7,9).11.eq\f(3,7)解析因?yàn)閨Aeq\o(B,\s\up6(→))|＝eq\r(k2＋1)≤4，所以k2≤15，又因?yàn)閗∈Z，所以k∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2－k,3)，若△ABC為直角三角形，則Aeq\o(C,\s\up6(→))·Aeq\o(B,\s\up6(→))＝0，或Aeq\o(B,\s\up6(→))·Beq\o(C,\s\up6(→))＝0，或Aeq\o(C,\s\up6(→))·Beq\o(C,\s\up6(→))＝0，解得k＝－2，或k＝3，或k＝－1，或k＝8(舍去)，滿足條件的有3個(gè)，所以所求概率為eq\f(3,7).12.eq\f(1,3)eq\f(1,4)解析第二次能打開(kāi)門說(shuō)明第一次是從不能打開(kāi)門的鑰匙中取一，第二次是從能打開(kāi)門的鑰匙中取一，第二次打開(kāi)門這個(gè)事件包含的基本事件數(shù)為2×2＝4，基本事件總數(shù)為4×3＝12，所求概率為P1＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).如果試過(guò)的鑰匙不扔掉，基本事件總數(shù)為4×4＝16，所求概率為P2＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).13.eq\f(1,3)解析當(dāng)a>b時(shí)，e＝eq\r(1－\f(b2,a2))>eq\f(\r(3),2)?eq\f(b,a)<eq\f(1,2)?a>2b，符合a>2b的情況：當(dāng)b＝1時(shí)，a＝3,4,5,6；當(dāng)b＝2時(shí)，a＝5,6，總共有6種情況，則概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).同理，當(dāng)a<b時(shí)，e>eq\f(\r(3),2)的概率也為eq\f(1,6)，綜上可知，e>eq\f(\r(3),2)的概率為eq\f(1,3).1