（江蘇專用）高考數學 專題8 立體幾何 61 立體幾何的綜合應用 文-人教版高三數學試題

訓練目標對平行、垂直的證明及空間角的求解強化訓練，提高綜合分析論證能力，培養(yǎng)較強的空間想象能力.訓練題型(1)線、面平行與垂直的證明；(2)平行、垂直關系的應用；(3)探索性問題.解題策略(1)證明平行問題都離不開“線線平行”，找準“線”是關鍵；(2)證明垂直問題關鍵是找“線線垂直”，利用已知條件及所給圖形找到要證明的線是解題突破口.1．(2015·南京二模)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD＝CD＝eq\f(1,2)AB，AB∥CD，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD.(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)若M為線段PA的中點，且過C，D，M三點的平面與PB交于點N，求PN：PB的值．2．(2015·濰坊模擬)如圖，邊長為eq\r(2)的正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，DC＝BC＝eq\f(1,2)AB＝1.點M在線段EC上．(1)證明：平面BDM⊥平面ADEF；(2)判斷點M的位置，使得三棱錐B－CDM的體積為eq\f(\r(2),18).3．(2015·德陽高中二診)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ACD＝90°，AB＝1，AD＝2，四邊形ABEF為正方形，平面ABEF⊥平面ABCD，P為DF的中點，AN⊥CF，垂足為N.(1)求證：BF∥平面PAC；(2)求證：AN⊥平面CDF；(3)求三棱錐B－CEF的體積．4．(2015·青島一模)如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝1，AB＝eq\r(3)，AD＝AA1＝3，E1為A1B1中點．證明：(1)B1D∥平面AD1E1；(2)平面ACD1⊥平面BDD1B1.5．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，FA⊥平面ABCD，FA＝AB＝2DE.(1)判斷B，C，E，F四點是否共面，并證明你的結論；(2)若CG⊥平面ABCD，且CG＝FA，請問在平面ADEF上是否存在一點H，使得直線GH⊥平面BEF？若存在，求出H點的位置；若不存在，請說明理由．答案解析1．(1)證明連結AC.不妨設AD＝1，因為AD＝CD＝eq\f(1,2)AB，所以CD＝1，AB＝2.因為∠ADC＝90°，所以AC＝eq\r(2)，∠CAB＝45°.在△ABC中，由余弦定理得BC＝eq\r(2)，所以AC2＋BC2＝AB2.所以BC⊥AC.因為PC⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以BC⊥PC.又PC?平面PAC，AC?平面PAC，PC∩AC＝C，所以BC⊥平面PAC.(2)解如圖，因為AB∥CD，CD?平面CDMN，AB?平面CDMN，所以AB∥平面CDMN.因為AB?平面PAB，平面PAB∩平面CDMN＝MN，所以AB∥MN.在△PAB中，因為M為PA的中點，所以N為PB的中點，即PN∶PB的值為eq\f(1,2).2．(1)證明∵DC＝BC＝1，DC⊥BC，∴BD＝eq\r(2)，又AD＝eq\r(2)，AB＝2，∴AD2＋BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD.又平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，ED?平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD，∵BD?平面ABCD，∴BD⊥ED，又AD∩DE＝D，∴BD⊥平面ADEF，又BD?平面BDM，∴平面BDM⊥平面ADEF.(2)解如圖，點M在平面DMC內，過M作MN⊥DC，垂足為N，則MN∥ED，又ED⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD.又V三棱錐B－CDM＝V三棱錐M－BCD＝eq\f(1,3)·MN·S△BDC＝eq\f(\r(2),18)，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×MN＝eq\f(\r(2),18)，∴MN＝eq\f(\r(2),3)，又eq\f(MN,ED)＝eq\f(CM,CE)＝eq\f(\f(\r(2),3),\r(2))＝eq\f(1,3)，∴CM＝eq\f(1,3)CE.∴點M在線段CE的三等分點且靠近C處．3．(1)證明如圖，連結BD交AC于O，連結PO.∵PO是△BDF的中位線，∴PO∥BF.∵PO?平面ACP，BF?平面ACP，∴BF∥平面PAC.(2)證明∵平面ABEF⊥平面ABCD，交線為AB，AF⊥AB，AF?平面ABEF，∴AF⊥平面ABCD.∵CD?平面ABCD，∴AF⊥CD.又∵CD⊥AC，AC∩AF＝A，AC?平面ACF，AF?平面ACF，∴CD⊥平面ACF，∵AN?平面ACF，∴CD⊥AN.∵AN⊥CF，CD∩CF＝C，且CF?平面CDF，CD?平面CDF，∴AN⊥平面CDF.(3)解∵平面ABEF⊥平面ABCD，交線為AB，CA⊥AB，CA?平面ABCD，∴CA⊥平面ABEF，CA＝eq\r(BC2－BA2)＝eq\r(3)，∴V三棱錐B－CEF＝V三棱錐C－BEF＝eq\f(1,3)S△BEF×CA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),6).4．證明(1)如圖，連結A1D交AD1于點G，連結E1G，因為ABCD－A1B1C1D1為四棱柱，所以四邊形ADD1A1為平行四邊形，所以G為A1D的中點．又E1為A1B1的中點，所以E1G是△A1B1D的中位線，所以B1D∥E1G.又B1D?平面AD1E1，E1G?平面AD1E1，所以B1D∥平面AD1E1.(2)設AC∩BD＝H，如圖．因為AD∥BC，所以△BHC∽△DHA.又BC＝1，AD＝3，所以eq\f(AH,CH)＝eq\f(DH,BH)＝eq\f(AD,BC)＝3.因為AD∥BC，∠BAD＝90°，所以∠ABC＝90°，所以AC＝eq\r(1＋3)＝2，BD＝eq\r(9＋3)＝2eq\r(3)，從而CH＝eq\f(1,2)，BH＝eq\f(\r(3),2)，所以CH2＋BH2＝BC2，CH⊥BH，即AC⊥BD.因為ABCD－A1B1C1D1為四棱柱，AA1⊥底面ABCD，所以側棱BB1⊥底面ABCD.又AC?底面ABCD，所以BB1⊥AC.因為BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BDD1B1.因為AC?平面ACD1，所以平面ACD1⊥平面BDD1B1.5．解(1)B，C，E，F四點不共面，下面用反證法證明：假設B，C，E，F四點共面．因為FA⊥平面ABCD，ED⊥平面ABCD，所以FA∥ED，且有A，F，E，D四點共面．因為BC∥DA，BC?平面ADEF，AD?平面ADEF，所以BC∥平面ADEF.又BC?平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，所以BC∥EF，所以AD∥EF.又因為FA∥ED，所以四邊形ADEF為平行四邊形，所以AF＝ED，與已知矛盾，所以假設不成立，所以B，C，E，F四點不共面．(2)H點即為AD的中點．如圖，延長DE至M點，使EM＝DE，過B點作BN綊CG，連結HG，GM，NF，FM，HM，AN，NG.結合已知可得NA是GH在平面ABNF內的射影，因為四邊形ABNF是正方形，所以BF⊥AN，又BF⊥AD，AD∩AN＝A，所以BF⊥平面HANG，因為HG?