（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 專題6 數(shù)列 44 數(shù)列的通項(xiàng)及求法 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

訓(xùn)練目標(biāo)(1)求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法；(2)等差、等比數(shù)列知識(shí)的深化應(yīng)用.訓(xùn)練題型(1)由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)由數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng).解題策略求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法：(1)公式法；(2)累加法；(3)累乘法；(4)構(gòu)造法.1．已知a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首項(xiàng)為1，公比為eq\f(1,3)的等比數(shù)列，則an＝________.2．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.3．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝－2an＋3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2nan，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.5．設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx，數(shù)列{an}(n∈N*)滿足a1＝1且an＋1＝eq\f(1,f′an＋1)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.6．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＝eq\f(1,1－an)，a8＝2，則a1＝________.7．(2015·衢州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足eq\f(1,3)a1＋eq\f(1,32)a2＋…＋eq\f(1,3n)an＝3n＋1，則a1＝________；an＝________.8．已知在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×2n，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________.9．(2015·太原一模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝－1，Sn＝2an＋n，則an＝________.10．(2015·湖北武漢四中第三次質(zhì)量檢測(cè))數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\f(2n＋1an,an＋2n)(n∈N*)．(1)證明：數(shù)列{eq\f(2n,an)}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(3)設(shè)bn＝eq\f(1,n·2n＋1)an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.答案解析1.eq\f(3,2)(1－eq\f(1,3n))2.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n，n≥2))3．(－2)n－1＋14．2eq\f(n2－n＋2,2)解析由題意得eq\f(an＋1,an)＝2n，所以eq\f(a2,a1)＝2，eq\f(a3,a2)＝22，eq\f(a4,a3)＝23，…，eq\f(an,an－1)＝2n－1，累乘得an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝2eq\f(n2－n＋2,2).5.eq\f(1,n)解析由題意得f′(x)＝eq\f(1,x)，從而an＋1＝eq\f(1,f′an＋1)＝eq\f(1,\f(1,an)＋1)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋1，所以數(shù)列{eq\f(1,an)}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故eq\f(1,an)＝1＋n－1＝n，所以an＝eq\f(1,n).6.eq\f(1,2)解析由已知得an＝1－eq\f(1,an＋1)，a8＝2，所以a7＝1－eq\f(1,a8)＝eq\f(1,2)，a6＝1－eq\f(1,a7)＝－1，a5＝1－eq\f(1,a6)＝2，a4＝1－eq\f(1,a5)＝eq\f(1,2)，a3＝1－eq\f(1,a4)＝－1，a2＝1－eq\f(1,a3)＝2，a1＝1－eq\f(1,a2)＝eq\f(1,2).7．12eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12，n＝1，,3n＋1，n≥2))解析由題意可得，當(dāng)n＝1時(shí)，eq\f(1,3)a1＝4，解得a1＝12.當(dāng)n≥2時(shí)，eq\f(1,3)a1＋eq\f(1,32)a2＋…＋eq\f(1,3n－1)an－1＝3n－2，所以eq\f(1,3n)an＝3，n≥2，即an＝3n＋1，n≥2，又當(dāng)n＝1時(shí)，an＝3n＋1不成立，所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12，n＝1，,3n＋1，n≥2.))8．(3n－1)×2n－1解析在an＋1＝2an＋3×2n的兩邊同時(shí)除以2n＋1，得eq\f(an＋1,2n＋1)＝eq\f(an,2n)＋eq\f(3,2)，即eq\f(an＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝eq\f(3,2)，所以數(shù)列{eq\f(an,2n)}是以eq\f(a1,2)＝1為首項(xiàng)、eq\f(3,2)為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得eq\f(an,2n)＝1＋(n－1)×eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)n－eq\f(1,2)，所以an＝(eq\f(3,2)n－eq\f(1,2))×2n＝(3n－1)×2n－1.9．1－2n解析因?yàn)镾n＝2an＋n，所以Sn－1＝2an－1＋n－1，n≥2，兩式相減得an＝2an－2an－1＋1，n≥2，即an＝2an－1－1，n≥2，an－1＝2(an－1－1)，n≥2，又a1－1＝－2≠0，所以數(shù)列{an－1}是首項(xiàng)為－2，公比為2的等比數(shù)列，則an－1＝－2×2n－1＝－2n，所以an＝1－2n.10．(1)證明由已知可得，eq\f(an＋1,2n＋1)＝eq\f(an,an＋2n)，即eq\f(2n＋1,an＋1)＝eq\f(2n,an)＋1，即eq\f(2n＋1,an＋1)－eq\f(2n,an)＝1，所以數(shù)列{eq\f(2n,an)}是公差為1的等差數(shù)列．(2)解由(1)知eq\f(2n,an)＝eq\f(2,a1)＋(n－1)×1，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\f(2n,n＋1).(3)解由(2)知bn＝eq\f(1,2nn＋1)＝eq\f