山東省濟(jì)南市天橋區(qū)濼口實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

-2024學(xué)年第二學(xué)期九年級寒假作業(yè)效果調(diào)研數(shù)學(xué)試題(2024.2)注意事項：本試題共6頁，滿分為150分．考試時間為120分鐘．答卷前，請考生務(wù)必將自己的姓名、座號和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并同時將考點(diǎn)、姓名、準(zhǔn)考證號和座號填寫在試卷規(guī)定的位置上．答選擇題時，必須使用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號；答非選擇題時，用0.5mm黑色簽字筆在答題卡上題號所提示的答題區(qū)域作答．答案寫在試卷上無效．第I卷（選擇題共40分）一.選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.下列各數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（）A.34B.9C.﹣2272.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）3.中國空間站"天宮一號"運(yùn)行在距離地球平均高度約375000米處，數(shù)375000用科學(xué)記數(shù)法表示是（）A.3.75×106B.37.5x104C.3.75x105D.0.375x1064.如圖，已知直線a//b，現(xiàn)將含45°角的直角三角板放入平行線之間，兩個銳角頂點(diǎn)分別落在兩條直線上．若∠1=23°，則∠2的度數(shù)為（）A.22°B.23°C.67°D.68°（第4題圖）（第6題圖）5.下列運(yùn)算正確的是（）A.x3·x2=x5B.(x3)2=x5C.(x+1)2=x2+1D.(2x)2=2x26.如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B分別對應(yīng)實(shí)數(shù)a，b，下列結(jié)論一定正確的是（）A.a<bB.a>bC.a2－b2<0D.a－b<07.如果從﹣1，2，3三個數(shù)中取一個數(shù)記作m，又從0，1，﹣2三個數(shù)中任取一個數(shù)記作n，那么點(diǎn)P(m，n）恰在第四象限的概率為（）A.29B.19C.18.已知反比例函數(shù)y=﹣kxA.該函數(shù)圖象在第二、四象限B.點(diǎn)（1，﹣6）在該函數(shù)圖象上C.當(dāng)x>1時，﹣6<y<0D.y隨x的增大而增大9.如圖，在△ABC中，∠C=90°，以點(diǎn)A為圓心適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于12A.AD平分∠BACB.AF=AE=DE=DFC.S△ADF:S△CDF=5:4D.S△ADF=10（第9題圖）（第10題圖）10.如圖1，車前大燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈所在的位置合適時，燈光會沿著水平方向的反射出去，此時我們稱燈的位置為拋物線的"焦點(diǎn)"。拋物線的焦點(diǎn)位置有一種特性：如圖2，拋物線上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)A的距離AM的長，等于點(diǎn)M到一條平行于x軸的直線l的距離MN的長．若拋物線的表達(dá)式為：y=12x2A.(0，3)B.(0，4)C.(0，72)D.(0，9第II卷（非選擇題共110分）二．填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）11.分解因式：x2－4x+4=.12.在一個不透明的口袋中裝有紅球和白球共15個，這些球除外都相同，將口袋中的球攪勻后，從中隨機(jī)摸出1個球，記下它的顏色后再不斷重復(fù)這一過程，共摸球100次，發(fā)現(xiàn)有20次摸到紅球，則口袋中紅球約有.13.已知一元二次方程x2－3x+m=0的一個根為x1=1，則另一個根x2=.14.如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，?M經(jīng)過點(diǎn)A、B、C、D，則tan∠BDC的值為.（第14題圖）（第15題圖）（第16題圖）15.如圖，購買一種蘋果，所付款金額y（元）與購買量x（千克）之間的函數(shù)圖像由線段OA和射線AB組成，則一次購買8千克這種蘋果比分8次購買1千克這種蘋果可節(jié)省的金額為元.16.如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD為對角線，AC=AD，BC>AB，tan∠ABC=2，且AB//CD，AB=3，BD=42，則對角線AC的長為.三．解答題：（本大題共10個小題，共86分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.（本小題滿分6分）計算：（﹣12）﹣1+4sin60°－﹣2318.（本小題滿分6分）解不等式組：5x－19.（本小題滿分6分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在對角線AC上，且AE=CF，連接DE，BF.求證：∠ABF=∠CDE.20.（本小題滿分8分）如圖1是某型號挖掘機(jī)，該挖掘機(jī)是由基座、主臂和伸展臂構(gòu)成．圖2是某種工作狀態(tài)下的側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM//QN)．已知基座高度MN=1m，主臂MP=5m，測得主臂伸展角∠PME=37°.（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，tan37°≈34，sin53°≈45(1)求點(diǎn)P到地面的高度.(2)當(dāng)挖掘機(jī)挖到地面上的點(diǎn)時，∠MPQ=113°，求QN.21.某學(xué)校為了解本校學(xué)生對我國航天事業(yè)的了解情況，在全校范圍內(nèi)開展了航天知識競賽，學(xué)校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績，整理并制成了如下不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.其中60≤x<70這一組的數(shù)據(jù)如下：61，61，61，62，62，63，63，63，63，64，64，64，64，64，67，68，69，69根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：(1)表格中a=，b=，m=，(2)60≤x<70這一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是，中位數(shù)是，平均分是.(3)若全校共有1500名學(xué)生參與競賽，試估計成績不少于80分的學(xué)生人數(shù)．22.（本小題滿分8分）如圖，直線AC與⊙O相切于點(diǎn)C，射線AO與⊙O交于點(diǎn)D，E，連接CD，CE.(1)求證:∠ACD=∠E.(2)若AC=23，AD=2，求弧CD的長．23.（本小題滿分10分）學(xué)校期中考試后，一班班委會決定購買一批筆記本作為獎品，鼓勵成績優(yōu)異和進(jìn)步較大同學(xué)，他們先用60元買了A類筆記本，又用60元買了B類筆記本，A類筆記本的價格比B類筆記本的價格高50%，他們所買的A類筆記本比所買的B類筆記本少2本.(1)求他們買的A類筆記本和B類筆記本的價格各是多少元？(2)二班也購買了相同的兩種筆記本共20本，且購買總費(fèi)用不超過260元，求二班至少購買多少本B類筆記本？24.（本小題滿分10分）在學(xué)習(xí)了函數(shù)后我們了解了函數(shù)的一般研究方法，為了探索函數(shù)y=x+1x描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量x的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)，如圖1所示：(1)如圖1，觀察所描出點(diǎn)的分布，用一條光滑曲線將點(diǎn)順次連接起來，作出函數(shù)圖象；(2)已知點(diǎn)（x1，y1)，(x2，y2）在函數(shù)圖象上，結(jié)合表格和函數(shù)圖象，回答下列問題：若0<x1≤x2≤1，則y1y2；若1<x1＜x2，則y1y2.（填">"，"="，"<").(3)某農(nóng)戶要建造一個圖2所示長方體形的化糞池，其底面積為1平方米，深為1米．已知下底面造價為1千元／平方米，上蓋的造價為1.5千元／平方米，側(cè)面造價為0.5千元／平方米，設(shè)水池底面一邊的長為x米，水池總造價為w千元．①請寫出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.②若該農(nóng)戶建造化糞池的預(yù)算不超過5千元，則池子底面一邊的長x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？請直接寫出x的范圍．25.（本小題滿分12分）如圖①，△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且點(diǎn)D在AB邊上，AB、EF的中點(diǎn)均為O，連結(jié)BF、CD、CO，顯然點(diǎn)C、F、O在同一條直線上，可以證明△BOF≌△COD，則BF=CD.(1)如圖②，將圖①中的Rt△DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到圖②，猜想此時線段BF與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖③，若△ABC與△DEF都是等邊三角形，AB、EF的中點(diǎn)均為O，上述（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？如果成立，請說明理由：如不成立，請求出BF與CD之間的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖④，若△ABC與△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中點(diǎn)均為O，且頂角∠ACB=∠EDF=α，請直接寫出BFCD26.（本小題滿分12分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸A(﹣1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C(0，﹣3)，連接BC.(1)求拋物線的解析式.(2)如圖1，點(diǎn)D為拋物線上第四象限中的點(diǎn)，過點(diǎn)D作DH⊥x軸，垂足為H，延長DH至點(diǎn)E，且AE//BC，求五邊形ACDBE的面積的最大值；(3)如圖2，作AM//BC，且與拋物線交于點(diǎn)M，連接BM，點(diǎn)N為CB延長線上點(diǎn)，∠ANC=∠AMB，若點(diǎn)P為直線MN上動點(diǎn)，求PB+PC最小值．答案一.選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.下列各數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（A）A.34B.9C.﹣2272.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（B）3.中國空間站"天宮一號"運(yùn)行在距離地球平均高度約375000米處，數(shù)375000用科學(xué)記數(shù)法表示是（C）A.3.75×106B.37.5x104C.3.75x105D.0.375x1064.如圖，已知直線a//b，現(xiàn)將含45°角的直角三角板放入平行線之間，兩個銳角頂點(diǎn)分別落在兩條直線上．若∠1=23°，則∠2的度數(shù)為（D）A.22°B.23°C.67°D.68°（第4題圖）（第6題圖）5.下列運(yùn)算正確的是（A）A.x3·x2=x5B.(x3)2=x5C.(x+1)2=x2+1D.(2x)2=2x26.如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B分別對應(yīng)實(shí)數(shù)a，b，下列結(jié)論一定正確的是（C）A.a<bB.a>bC.a2－b2<0D.a－b<07.如果從﹣1，2，3三個數(shù)中取一個數(shù)記作m，又從0，1，﹣2三個數(shù)中任取一個數(shù)記作n，那么點(diǎn)P(m，n）恰在第四象限的概率為（A）A.29B.19C.18.已知反比例函數(shù)y=﹣kxA.該函數(shù)圖象在第二、四象限B.點(diǎn)（1，﹣6）在該函數(shù)圖象上C.當(dāng)x>1時，﹣6<y<0D.y隨x的增大而增大9.如圖，在△ABC中，∠C=90°，以點(diǎn)A為圓心適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于12A.AD平分∠BACB.AF=AE=DE=DFC.S△ADF:S△CDF=5:4D.S△ADF=10（第9題圖）（第10題圖）10.如圖1，車前大燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈所在的位置合適時，燈光會沿著水平方向的反射出去，此時我們稱燈的位置為拋物線的"焦點(diǎn)"。拋物線的焦點(diǎn)位置有一種特性：如圖2，拋物線上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)A的距離AM的長，等于點(diǎn)M到一條平行于x軸的直線l的距離MN的長．若拋物線的表達(dá)式為：y=12x2A.(0，3)B.(0，4)C.(0，72)D.(0，9第II卷（非選擇題共110分）二．填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）11.分解因式：x2－4x+4=（x－2）2.12.在一個不透明的口袋中裝有紅球和白球共15個，這些球除外都相同，將口袋中的球攪勻后，從中隨機(jī)摸出1個球，記下它的顏色后再不斷重復(fù)這一過程，共摸球100次，發(fā)現(xiàn)有20次摸到紅球，則口袋中紅球約有3.13.已知一元二次方程x2－3x+m=0的一個根為x1=1，則另一個根x2=2.14.如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，?M經(jīng)過點(diǎn)A、B、C、D，則tan∠BDC的值為32（第14題圖）（第15題圖）（第16題圖）15.如圖，購買一種蘋果，所付款金額y（元）與購買量x（千克）之間的函數(shù)圖像由線段OA和射線AB組成，則一次購買8千克這種蘋果比分8次購買1千克這種蘋果可節(jié)省的金額為12元.16.如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD為對角線，AC=AD，BC>AB，tan∠ABC=2，且AB//CD，AB=3，BD=42，則對角線AC的長為17.三．解答題：（本大題共10個小題，共86分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.（本小題滿分6分）計算：（﹣12）﹣1+4sin60°－﹣23=﹣2+23－23+1=﹣118.（本小題滿分6分）解不等式組：5x－解不等式①得x＞2解不等式②得x≤4不等式組的解集為2＜x≤419.（本小題滿分6分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在對角線AC上，且AE=CF，連接DE，BF.求證：∠ABF=∠CDE.證明：∵四邊形ABCD是矩形∴AB=CD，AB//CD∴∠BAC=∠DCA∵AE=CF∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE在△ABF和△CDE中AB=CD∠BAF=∠DCE∴△ABF=△CDE(SAS)∴∠ABF=∠CDE20.（本小題滿分8分）如圖1是某型號挖掘機(jī)，該挖掘機(jī)是由基座、主臂和伸展臂構(gòu)成．圖2是某種工作狀態(tài)下的側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM//QN)．已知基座高度MN=1m，主臂MP=5m，測得主臂伸展角∠PME=37°.（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，tan37°≈34，sin53°≈45(1)求點(diǎn)P到地面的高度.(2)當(dāng)挖掘機(jī)挖到地面上的點(diǎn)時，∠MPQ=113°，求QN.(1)過點(diǎn)P作PG⊥QN，垂足為G，延長ME交PG于點(diǎn)F由題意得：MF⊥PG，MF=GN，F(xiàn)G=MN=1m在Rt△PFM中，∠PMF=37°，PM=5m∴PF=PM·sin37°≈5×35∴PG=PF+FG=3+1=4m∴點(diǎn)P到地面的高度約為4m(2):∵∠PMF=37°，∠PFM=90°∴∠MPF=53°∵∠MPQ=113°∴∠QPG=113°－53°=60°∵PG=4m∴QG=33PG=33×4=∵PM=5m，PF=3m∴FM=4m∴QN=QG+NG=433+4=21.某學(xué)校為了解本校學(xué)生對我國航天事業(yè)的了解情況，在全校范圍內(nèi)開展了航天知識競賽，學(xué)校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績，整理并制成了如下不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.其中60≤x<70這一組的數(shù)據(jù)如下：61，61，61，62，62，63，63，63，63，64，64，64，64，64，67，68，69，69根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：(1)表格中a=，b=，m=，(2)60≤x<70這一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是，中位數(shù)是，平均分是.(3)若全校共有1500名學(xué)生參與競賽，試估計成績不少于80分的學(xué)生人數(shù)．(1)a=50×0.1=5b=50－(2+5+18+9+2)=14m=14÷50=0.28(2)根據(jù)60≤x<70這一組的數(shù)據(jù)：61,62,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,69，可知眾數(shù)為64；中位數(shù)是：64+64=64平均數(shù)：(61+61+61+62+62+63+63+63+63+64+64+64+64+64+67+68+69+69)÷18=64分(3)1500×（0.28+0.04）=480人22.（本小題滿分8分）如圖，直線AC與⊙O相切于點(diǎn)C，射線AO與⊙O交于點(diǎn)D，E，連接CD，CE.(1)求證:∠ACD=∠E.(2)若AC=23，AD=2，求弧CD的長．(1)證明：連結(jié)OC∵直線AC與?O相切于點(diǎn)C∴∠OCA=90°∴∠OCD+∠ACD=90°∵ED為?O的直徑，∴∠ECD=90°∴∠OCD+∠ECO=90°∴∠ACD=∠ECO∴OE=OC∴∠ECO=∠E∴∠ACD=∠E(2)設(shè)OD=OC=x∵AD=2∴AO=AD+OD=(2+x),在Rt△OAC中，OC2+AC2=OA2∴x2+(23)2=(2+x)解得：x=2∴OC=OD=2在Rt△AOC中，tan∠AOC=ACOC=∴∠AOC=60°∴弧CD的長＝60π×123.（本小題滿分10分）學(xué)校期中考試后，一班班委會決定購買一批筆記本作為獎品，鼓勵成績優(yōu)異和進(jìn)步較大同學(xué)，他們先用60元買了A類筆記本，又用60元買了B類筆記本，A類筆記本的價格比B類筆記本的價格高50%，他們所買的A類筆記本比所買的B類筆記本少2本.(1)求他們買的A類筆記本和B類筆記本的價格各是多少元？(2)二班也購買了相同的兩種筆記本共20本，且購買總費(fèi)用不超過260元，求二班至少購買多少本B類筆記本？(1)設(shè)B類筆記本單價為x元，則A類筆記本單價為（1+50%）x元，依題意，得：60x－60解得：x=10經(jīng)檢驗(yàn)，x=10是原分式方程的解，且符合題意∴（1+50%）x=15答：A類筆記本單價15元，B類筆記本單價10元．(2)設(shè)購買B類筆記本b本，則購買A類筆記本(20－b)本依題意，得：10b+15(20－b)≤260解得：b≥8答：至少購買B類筆記本8本.（本小題滿分10分）在學(xué)習(xí)了函數(shù)后我們了解了函數(shù)的一般研究方法，為了探索函數(shù)y=x+1x描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量x的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)，如圖1所示：(1)如圖1，觀察所描出點(diǎn)的分布，用一條光滑曲線將點(diǎn)順次連接起來，作出函數(shù)圖象；(2)已知點(diǎn)（x1，y1)，(x2，y2）在函數(shù)圖象上，結(jié)合表格和函數(shù)圖象，回答下列問題：若0<x1≤x2≤1，則y1y2；若1<x1＜x2，則y1y2.（填">"，"="，"<").(3)某農(nóng)戶要建造一個圖2所示長方體形的化糞池，其底面積為1平方米，深為1米．已知下底面造價為1千元／平方米，上蓋的造價為1.5千元／平方米，側(cè)面造價為0.5千元／平方米，設(shè)水池底面一邊的長為x米，水池總造價為w千元．①請寫出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.②若該農(nóng)戶建造化糞池的預(yù)算不超過5千元，則池子底面一邊的長x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？請直接寫出x的范圍．（1）（2）＞＜①底面面積為1平方米，一邊長為x米∴與之相鄰的另一邊長為1x∴水池側(cè)面面積的和為：2x+2x=2(x+1x∵下底面造價為1千元／平方米，上蓋的造價為1.5千元／平方米，側(cè)面造價為0.5千元／平方米；∴y=1+1.5+2(x+1x即：y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=2.5+x+1②該農(nóng)戶預(yù)算不超過5千元，即y≤5∴x+1x∴x+1x根據(jù)圖象或表格可知，當(dāng)2≤y≤2.5時12因此，該農(nóng)戶預(yù)算不超過5千元，則水池底面一邊的長，應(yīng)控制在1225.（本小題滿分12分）如圖①，△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且點(diǎn)D在AB邊上，AB、EF的中點(diǎn)均為O，連結(jié)BF、CD、CO，顯然點(diǎn)C、F、O在同一條直線上，可以證明△BOF≌△COD，則BF=CD.(1)如圖②，將圖①中的Rt△DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到圖②，猜想此時線段BF與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖③，若△ABC與△DEF都是等邊三角形，AB、EF的中點(diǎn)均為O，上述（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？如果成立，請說明理由：如不成立，請求出BF與CD之間的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖④，若△ABC與△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中點(diǎn)均為O，且頂角∠ACB=∠EDF=α，請直接寫出BFCD(1)猜想：BF=CD．理由如下：如圖所示，連接OC、OD∵△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)∴OB=OC，∠BOC=90°∵△DEF為等腰直角三角形，點(diǎn)O為斜邊EF的中點(diǎn)∴OF=OD，∠DOF=90°∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF∴BOF=∠COD在△BOF與△COD中，OB=OC∠BOF=∠COD∴△BOF≌△COD(SAS)∴BF=CD(2)答：(1)中的結(jié)論不成立．如圖所示，連接OC、OD∵△ABC為等邊三角形，點(diǎn)O為邊AB的中點(diǎn)∴OBOC=tan30°=33∵△DEF為等邊三角形，點(diǎn)O為邊EF的中點(diǎn)∴OFOD=tan30°=33∴OBOC=∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF∴∠BOF=∠COD∴△BOF∽△COD∴BFCD=(3)如答圖④所示，連接OC、OD∵△ABC為等腰三角形，點(diǎn)O為底邊AB的中點(diǎn)∴OBOC=tanα∵△DEF為等