6.4.1-6.4.2 平面幾何中的向量方法、向量在物理中的應(yīng)用舉例-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)《考點(diǎn)•題型•技巧》精講與精練高分突破系列（人教A版2019必修第二冊）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁6.4.1-6.4.2平面幾何中的向量方法、向量在物理中的應(yīng)用舉例【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一向量方法解決平面幾何問題的步驟用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題.(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.考點(diǎn)二向量方法解決物理問題的步驟用向量方法討論物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個(gè)步驟：(1)問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.(2)建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型.(3)求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等.(4)回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題.技巧：(1)用向量法求長度的策略①根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇基底，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式|a|2＝a2求解.②建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式：若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)用向量法解決平面幾何問題的兩種思想①幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知模或夾角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)求解.②坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.【題型歸納】題型一：用向量證明線段垂直問題1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形2．（2022春·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，已知，，，且.求.3．（2022春·全國·高一期末）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)（，）.設(shè)，.(1)用表示；(2)如果，用向量的方法證明：.題型二：用向量解決夾角問題4．（2022春·四川·高一四川省峨眉第二中學(xué)校校考階段練習(xí)）若平面四邊形ABCD滿足：，，則該四邊形一定是（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形5．（2019春·四川綿陽·高一綿陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直角三角形中，，，，M為的中點(diǎn)，，且P為與的交點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．6．（2022春·福建福州·高一福建省福州第一中學(xué)校考期中）已知梯形中，，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn)，．(1)求和的值；(2)若，，，求與所成角的余弦值．題型三：用向量解決線段的長度問題7．（2022春·福建福州·高一福州四中?？计谀┢矫鎯?nèi)不同的三點(diǎn)O，A，B滿足，若，的最小值為，則（

）A． B． C． D．8．（2022春·云南·高一云南師大附中校考期中）中，，∠A的平分線AD交邊BC于D，已知，且，則AD的長為（

）A． B．3 C． D．9．（2021春·江西九江·高一九江一中校考期中）在中，，點(diǎn)滿足，若，則的值為（

）A． B． C． D．題型四：向量在物理中的應(yīng)用10．（2022春·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知兩個(gè)力，的夾角為，它們的合力大小為，合力與的夾角為，那么的大小為（

）A． B．C． D．11．（2022春·山東煙臺·高一煙臺二中校聯(lián)考期中）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東．一艘小貨船準(zhǔn)備從河南岸碼頭P處出發(fā)，航行到河對岸Q（與河的方向垂直）的正西方向并且與Q相距的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，小貨船航行速度的大小為（

）A． B． C． D．12．（2022春·北京通州·高一統(tǒng)考期中）一條河兩岸平行，河的寬度為，一艘船從河岸邊的地出發(fā)，向河對岸航行.已知船的速度的大小為，水流速度的大小為.設(shè)這艘船行駛方向與水流方向的夾角為，行駛完全程需要的時(shí)間為，若船的航程最短，則（

）A．， B．，C．， D．，題型五：向量與幾何最值問題13．（2022春·遼寧沈陽·高一沈陽二十中校聯(lián)考期末）如下圖，在平面四邊形ABCD中，，，，．若點(diǎn)M為邊BC上的動點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．14．（2022春·湖南張家界·高一統(tǒng)考期末）如圖，在梯形ABCD中，，，，，，若M，N是線段BC上的動點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．15．（2022·浙江·高一校聯(lián)考期中）在△中，已知，，，設(shè)點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段延長線上的一點(diǎn)，且.(1)當(dāng)且是邊上的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，求線段的長；(2)若，求的最小值.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題16．（2022春·山東臨沂·高一）加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某學(xué)生做引體向上運(yùn)動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學(xué)生的體重（單位：）約為（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為）（

）A． B．61 C．75 D．6017．（2022·全國·高一假期作業(yè)）長江流域內(nèi)某段南北兩岸平行，如圖，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設(shè)和所成的角為，若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則（

）A． B． C． D．18．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在四邊形ABCD中，若，則該四邊形為（

）A．平行四邊形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形19．（2022·高一單元測試）已知非零向量和滿足，且，則為(

)A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．三邊均不相等的三角形20．（2022春·四川內(nèi)江·高一統(tǒng)考期末）是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上，且，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．－321．（2022·高一單元測試）根據(jù)指令（，），機(jī)器人在平面上能完成下列動作：先原地旋轉(zhuǎn)角度（按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)為正，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)為負(fù)），再朝其面對的方向沿直線行走距離r.(1)機(jī)器人位于直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，且面對x軸正方向，試給機(jī)器人下一個(gè)指令，使其移動到點(diǎn)；(2)機(jī)器人在完成（1）中指令后，發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)處有一小球正向坐標(biāo)原點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動.已知小球運(yùn)動的速度為機(jī)器人直線行走速度的2倍，若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，問：機(jī)器人最快可在何處截住小球？并給出機(jī)器人截住小球所需的指令（?。?22．（2022春·廣西柳州·高一?？茧A段練習(xí)）在中，，，，為邊中點(diǎn)．(1)求的值；(2)若點(diǎn)滿足，求的最小值；【高分突破】23．（2022春·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）已知是的邊上一點(diǎn)，且，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．24．（2022·全國·高一假期作業(yè)）已知點(diǎn)是圓：上的動點(diǎn)，點(diǎn)是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓上的動點(diǎn)，且，則的最大值為（

）A．5 B．6 C．7 D．825．（2022春·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為平面上的兩個(gè)定點(diǎn)，且，該平面上的動線段的端點(diǎn)滿足，則動線段所形成圖形的面積是（

）A．5 B．10 C．15 D．2026．（2022春·四川內(nèi)江·高一四川省資中縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，P是BN上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．27．（2022春·北京海淀·高一）如圖，在四邊形中，為線段的中點(diǎn)，為線段上一動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），且，則下列說法錯誤的是（

）A．B．若為線段的中點(diǎn)，則C．的最小值為D．的最大值比最小值大二、多選題28．（2022春·福建福州·高一校聯(lián)考期末）是的重心，，是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．在方向上的投影向量等于C．D．的最小值為29．（2022春·廣東梅州·高一統(tǒng)考期末）在△ABC中，下列正確的是（

）A．若，則△ABC為鈍角三角形B．若，則△ABC為直角三角形C．若，則△ABC為等腰三角形D．已知，且，則△ABC為等邊三角形30．（2022秋·河南洛陽·高一宜陽縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則下列選項(xiàng)正確的有（

）A． B．直線過邊的中點(diǎn)C． D．若，則31．（2022春·遼寧大連·高一大連二十四中?？计谥校┫铝姓撌鲋姓_的是（

）A．已知平面向量，的夾角為，且，，則與的夾角等于B．若，且，則C．在四邊形ABCD中，，且，則D．在中，若，則O是外心32．（2022春·福建龍巖·高一校聯(lián)考期中）已知外接圓的圓心為O，半徑為2，且，，則有（

）A．與共線B．C．D．在方向上的投影向量的長度為33．（2022春·江蘇蘇州·高一常熟中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中對角線與交于點(diǎn)O，則以下說法正確的有（

）A．恒有成立B．恒有成立C．若，，則D．若，，則三、填空題34．（2023·高一）在中，若，則O是的______心．35．（2022春·浙江·高一期中）已知平面向量，，滿足，，，，則的最小值為________.36．（2022春·陜西西安·高一陜西師大附中?？计谥校┮阎?，且與夾角為鈍角，則的取值范圍___________.37．（2022春·陜西漢中·高一統(tǒng)考期末）在中，，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動，則的最小值為___________.38．（2022春·上海長寧·高一上海市第三女子中學(xué)?？计谀┰谥?，為中線上的一個(gè)動點(diǎn)，若，則的取值范圍是_____．四、解答題39．（2022·高一單元測試）已知，是的中點(diǎn)(1)若，求向量與向量的夾角的余弦值；(2)若是線段上的任意一點(diǎn)，且，求的最小值．40．（2022春·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知平面四邊形中，，向量的夾角為.(1)求證：；(2)點(diǎn)是線段中點(diǎn)，求的值.41．（2022春·北京·高一期末）在△中，，，，為△內(nèi)部（包含邊界）的動點(diǎn)，且.(1)求；(2)求的取值范圍.42．（2022春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中校考期末）如下圖，在中，為邊上的一點(diǎn)，，且與的夾角為.(1)求的模長(2)求的值.【答案詳解】1．B【分析】由已知平方可得，得出可判斷.【詳解】，，則，，，則△ABC為直角三角形.故選：B.2．【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算結(jié)合已知可得故，，平方后利用數(shù)量積的運(yùn)算法則求得，再利用向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】由題意得，的夾角為，，則，又，所以，故，同理于是，，，.3．(1)，.(2)證明見解析.【分析】（1）利用平面向量基本定理表示出；（2）利用數(shù)量積為0證明.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)椋?所以.所以，.（2）由（1）可得：，.因?yàn)椋?，所?4．B【分析】根據(jù)向量相等可證明四邊形為平行四邊形，再由向量數(shù)量積為0知對角線互相垂直可知為菱形.【詳解】，,所以四邊形ABCD為平行四邊形，,，所以BD垂直AC，所以四邊形ABCD為菱形.故選：B5．C【分析】設(shè)，且與的夾角為，由此可表示出和；結(jié)合已知可求出和，由此可求出，接下來根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算公式即可解答.【詳解】設(shè)，，則，，，設(shè)與的夾角為，∵，，∴，∴|，，∴，.∵，∴.∵即為向量與的夾角，∴，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，掌握向量數(shù)量積的運(yùn)算公式是關(guān)鍵，屬于?？碱}.6．(1)，(2)【分析】（1）由向量的運(yùn)算得出，進(jìn)而得出和的值；（2）由向量的運(yùn)算得出，，進(jìn)而得出，，，再由數(shù)量積公式求解即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，梯形中，，，E為的中點(diǎn)則又由可得，（2）是與所成的角，設(shè)向量與所成的角為，則，則則，因?yàn)樗运耘c所成角的余弦值為.7．C【分析】設(shè)，，，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，如圖根據(jù)向量的線性運(yùn)算化簡題中的等式，利用點(diǎn)關(guān)于直線的對稱性可得，結(jié)合余弦定理可得出，利用二倍角的余弦公式求出，最后根據(jù)即可求解.【詳解】解：由題意得：如圖所示：設(shè)，則點(diǎn)在線段OB上運(yùn)動故設(shè)，即作關(guān)于的對稱點(diǎn)，設(shè)，即在中，，，由余弦定理可得：，解得：故選：C8．C【分析】過作交于，作交于，由向量加法的平行四邊形法則和向量的基本定理得，，從而得，即可求得，最后把平方可求得．【詳解】如圖，過作交于，作交于，則，又，所以，，所以，即，又是的平分線，所以，而，所以，，，所以，故選：C．9．C【分析】取中點(diǎn)O，由已知可確定，利用向量的運(yùn)算和長度關(guān)系將轉(zhuǎn)化為，由此構(gòu)造方程求得.【詳解】取中點(diǎn)O，連接，，即，M為BC邊上靠近C的三等分點(diǎn)，，，，，又，，.故選：C.10．B【分析】利用向量的加減法及其幾何意義求解【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)力，的夾角為，它們的合力大小為，合力與的夾角為，所以的大小為，故選：B11．C【分析】由已知條件求解直角三角形，根據(jù)向量的平行四邊形法則，結(jié)合向量的模長公式，即可求解小貨船航行速度的大?。驹斀狻拷猓河深}意，當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，航線路線為線段，設(shè)小貨船航行速度為，水流的速度為，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為，作出示意圖如下：，，在中，有，所以，，，所以，所以，所以小貨船航行速度的大小為，故選：C.12．B【分析】作出圖形，由題意可得，可分析的范圍，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出，據(jù)此可求出速度，再由求解.【詳解】如圖，由圖可知，，所以，故，所以又因?yàn)?，所以，所以（），?故選：B13．B【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，所在的直線為和軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，得到，即可求解.【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作軸，因?yàn)榍?，則，所以，設(shè)，則，所以，所以的最小值為.故答案為：B.14．C【分析】可以點(diǎn)為原點(diǎn)，邊所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件可求出，并設(shè)，得出，并且，然后即可計(jì)算出是關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求的最小值即可．【詳解】解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，設(shè)，則，其中，，，，時(shí)，取得最小值．故選：C.15．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)是三角形的重心，結(jié)合三角形重心的向量表示以及數(shù)量級運(yùn)算，即可求得結(jié)果；（2）設(shè)，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合題意，求得與的關(guān)系，再求得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求該函數(shù)的最小值即可.【詳解】（1）設(shè)，，當(dāng)，是的中點(diǎn)時(shí)，則是△的重心，,.（2）設(shè)，則，，由，得：.∴，因?yàn)?，，所以，，令，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號，所以的最大值是又，在上單調(diào)遞減，所以.故的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算，解決問題的關(guān)鍵是充分掌握三角形重心的向量表示，以及根據(jù)題意，建立參數(shù)與的對應(yīng)關(guān)系，求函數(shù)的最值，屬綜合困難題.16．D【分析】用向量表示兩只胳膊的拉力的大小和方向，它們的合力與體重相等，求出，再化為千克即可得．【詳解】如圖，，，作平行四邊形，則是菱形，，，所以，因此該學(xué)生體重為（kg）.故選：D．17．B【分析】結(jié)合圖形，利用平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積公式、模長公式以及兩向量垂直的充要條件求解.【詳解】由題意知，則，因?yàn)?，，即，所?故A，C，D錯誤.故選：B.18．B【分析】由結(jié)合向量的加減法法則可得，再由得，從而可判斷出四邊形的形狀.【詳解】由得，所以，∥，所以四邊形ABCD為平行四邊形，又，所以．所以四邊形ABCD為矩形故選：B19．A【分析】根據(jù)向量加法和線性運(yùn)算可知向量與的平分線共線，根據(jù)可知的平分線與對邊垂直，由此可知△ABC是等腰三角形；再由和向量數(shù)量積的定義可求出的大小，從而可判斷△ABC的形狀．【詳解】即方向上的單位向量，即方向上的單位向量，∴向量與的平分線共線，又由可知的平分線與對邊垂直，則△ABC是等腰三角形，即，，∴，∵，∴，∴△ABC為等邊三角形．故選：A．20．D【分析】根據(jù)三角形形狀及各點(diǎn)位置，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，并結(jié)合函數(shù)思想求得最值【詳解】解：是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上，且則以C為原點(diǎn)，CB所在的直線為x軸，平面內(nèi)過C垂直于CB的直線為y軸，如圖所示：則因?yàn)辄c(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上，且設(shè)且，則所以故當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：D.21．(1)指令為(2)機(jī)器人最快可在點(diǎn)處截住小球，指令為.【分析】（1）根據(jù)已知條件利用平面直角坐標(biāo)系以及向量的模長公式求解.（2）建立平面直角坐標(biāo)系、利用方程的方法以及向量的模長、夾角公式求解.【詳解】（1）如圖，設(shè)點(diǎn)，所以，因?yàn)榕cx軸正方向的夾角為45°，所以，，故指令為.（2）設(shè)，機(jī)器人最快在點(diǎn)處截住小球，由題意知，即，整理得，即，所以或（舍去），即機(jī)器人最快可在點(diǎn)處截住小球.設(shè)與的夾角為，易知，，，所以，所以.因?yàn)橛傻姆较蛐D(zhuǎn)到的方向是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所以指令為.22．(1)(2)最小值為【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊所在的直線為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系求出、的坐標(biāo)，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案；（2）根據(jù)點(diǎn)在上，設(shè)，求出、的坐標(biāo)，則，利用二次函數(shù)配方求最值可得答案.【詳解】（1）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊所在的直線為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，所以，，，為邊中點(diǎn)，所以，，，則；（2）若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)在上，由（1），設(shè)，則，，則，所以當(dāng)時(shí)的最小值為.23．A【分析】求出的值，由已知可得出，可得出，利用基本不等式可求得的最大值.【詳解】因?yàn)?，則為銳角，由，可得，因?yàn)椋瑒t，則，所以，，則，可得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最大值為.故選：A.24．C【分析】由題意畫出圖形，把用向量與表示，再利用向量模的運(yùn)算性質(zhì)求得的最大值．【詳解】由，得，即，為外接圓的直徑，如圖所示；設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，則，是圓上的動點(diǎn)，，，當(dāng)與共線時(shí)，取得最大值7；故選：C．25．B【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)和，得到動點(diǎn)在直線上，且，進(jìn)而得到掃過的三角形的面積，再由，同理得到掃過的三角形的面積，兩者求和即可.【詳解】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，設(shè)，∴，；由，得；又，∴；∴；∴，∴動點(diǎn)在直線上，且，即線段CD上，則,則掃過的三角形的面積為，設(shè)點(diǎn)∵，∴，∴，，∴動點(diǎn)在直線上，且，即線段MN上，則,∴掃過的三角形的面積為，∴因此面積和為2+8=10，故選：B.26．D【分析】本題主要利用向量的線性運(yùn)算和即可求解.【詳解】解：由題意得：設(shè)，則又由，不共線，解得：故選：D27．C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，作出輔助線，利用相似求出邊長，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用向量解決四個(gè)選項(xiàng).【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，作CH⊥y軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BM⊥CH交HC的延長線于點(diǎn)M，則，因?yàn)椋?，設(shè)，則，則，，則，即，解得：或（舍去），則，，，A說法正確；若為線段的中點(diǎn)，則，所以，則，解得：，則，B說法正確；設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，故最小值為，C選項(xiàng)說法錯誤；，則，因?yàn)?，則，所以，解得：，，所以的最大值比最小值大，D說法正確.故選：C28．ACD【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合重心的性質(zhì)判斷A，根據(jù)投影向量的定義判斷B，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律判斷CD.【詳解】對于A，當(dāng)點(diǎn)為的重心時(shí)，如圖所示：四邊形為平行四邊形，根據(jù)重心性質(zhì)可得.則，∴A正確；對于B，∵在方向上的投影為，∴在方向上的投影向量為，∴B錯誤；對于C，∵是的重心，∴，，∴，所以，∴C正確；對于D，如下圖，取的中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，則，，，則，顯然當(dāng)重合時(shí)，，取最小值，∴D正確.故選：ACD．29．BCD【分析】對A，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算分析即可；對B，對兩邊平方判斷即可；對C，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求解即可；對D，根據(jù)，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算可得，進(jìn)而得到判斷即可【詳解】對A，即，即，可得，不能證明△ABC為鈍角三角形，故A錯誤；對B，即，解得，故，故B正確；對C，若，則，故，故△ABC為等腰三角形，故C正確；對D，因?yàn)椋?，即，又，所以，故，故，同理，結(jié)合可得，故△ABC為等邊三角形，故D正確；故選：BCD30．ACD【分析】根據(jù)向量間的線性關(guān)系及向量數(shù)量積的運(yùn)算律化簡求值判斷A、D；若得到是△的重心，根據(jù)與不平行、相關(guān)三角形面積關(guān)系判斷B、C.【詳解】，則，A正確；若，則，所以是△的重心，直線過中點(diǎn)，而與不平行，所以直線不過邊的中點(diǎn)，B錯誤；又，而，，所以，C正確；若，且，所以，而，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：注意向量之間的線性關(guān)系，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律化簡求值；根據(jù)重心的性質(zhì)求三角形的面積關(guān)系.31．AC【分析】分別求出，再根據(jù)，即可判斷A；根據(jù)數(shù)量積的定義即可判斷B；易知四邊形ABCD是邊長為10的菱形，且，從而可判斷C；由平面向量的數(shù)量積可知，，即可判斷D.【詳解】解：對于A，，，則，所以與的夾角為，故A正確；對于B，若，則，所以，故B錯誤；對于C，因?yàn)椋运倪呅蜛BCD為平行四邊形，且，又，所以四邊形ABCD為菱形，且，所以對角線，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以，所以，同理，所以為的垂心，故D錯誤.故選：AC.32．ACD【分析】由條件可得，判斷A，分析可得四邊形是邊長為2的菱形，可判斷BC，然后利用向量的幾何意義可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故A正確；由，可得，所以四邊形為平行四邊形，如圖，又為外接圓的圓心，所以，又，所以為正三角形，因?yàn)橥饨訄A的半徑為2，所以四邊形是邊長為2的菱形，所以，，故B錯誤；由以上分析知四邊形是邊長為2的菱形，所以，即，，故C正確；由四邊形是邊長為2的菱形，可得，所以在方向上的投影向量的長度為，故D正確．故選：ACD．33．ABD【分析】根據(jù)即可得出選項(xiàng)A正確；可得出，從而判斷選項(xiàng)B正確；可得出，從而判斷出C錯誤；可得出，從而得出D正確．【詳解】解：，，，，即，故A正確；，故B正確；，，，故C錯誤；，，故D正確．故選：ABD．34．垂【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律以及減法法則可得，，即可求解.【詳解】由得,所以，因此，同理,因此O是的垂心，故答案為：垂35．【分析】令，，，OB的中點(diǎn)為D，AB的中點(diǎn)為E，OD的中點(diǎn)為F，與的夾角為，由題意，計(jì)算，，判斷出點(diǎn)C的軌跡為以O(shè)D為直徑的圓，利用向量基底表示，將轉(zhuǎn)化為，然后轉(zhuǎn)化為圓上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最小值進(jìn)而求解最小值.【詳解】令，，，OB的中點(diǎn)為D，AB的中點(diǎn)為E，OD的中點(diǎn)為F，與