報童賣報問題(第16組)

報童銷售策略問題模型摘要：報童賣報問題實際上是求解使得報童贏利取得最大期望值或報童損失的最小期望值的臨界值，本文對報童賣報獲得最大盈利的條件進行了研究，建立日期望收入以及日均損失模型，當日需求量r為離散型和連續(xù)型時分別進行了計算，得出無論以收入或者損失作為模型，報童的最正確銷售策略都是相同的，即保證每天批發(fā)的報紙賣不完的概率與賣完的概率之比正好等于他賣出一份賺的錢與退回一份賠的錢之比。另外本文還沿用此模型對當上下午報紙售價不同的兩種情況進行了分析，得到了結論。關鍵字：報童報紙期望收入問題的提出：在日常生活中，經常會碰到一些季節(jié)性強、更新快、不易保存等特點的物品，如海產、山貨、時裝、生鮮食品和報紙等，因此在整個的需求過程中只考慮一次進貨，也就是說當存貨售完時，并不發(fā)生補充進貨的問題。這就產生一種兩難局面：訂貨量過多，出現過剩，會造成損失；訂貨量少，又可能失去銷售時機，影響利潤。報童就面臨這種局面，報童每天早上從報社購進報紙在街上零售，到晚上賣不完的報紙可退回報社，每份要賠錢，那么報童每天要訂購多少份報紙，以獲得最大的收入。報童每天從報站批發(fā)報紙零售，晚上將沒有賣完的報紙送回。每份報紙的批發(fā)價為b，零售價為a，退回價為c，且a>b>c。因此，報童每售出一份報紙賺錢(a?b)，退回一份報紙賠(b?c)，報童該如何確定每天的批發(fā)數量，可使收入最大？。如果將每天分為上午和下午售報，且假定上午的需求量為，且上午的售價為a；下午的需求量為且下午的售價為d〔〕進一步假定，試將報童的收入的期望表達出來。是否能得到報童應該購進多少份報紙獲利最大？模型假設：〔1〕假設報童賣報的經驗豐富，能夠掌握每天報紙需求量為r的大致概率?！?〕不考慮有重大事件發(fā)生時賣報的頂峰期，也不考慮風雨天氣時賣報的低谷期。〔3〕報社有足夠的報紙可供報童購置。〔4〕當天的報紙賣不出去，第二天就沒有人再買，當天剩余報紙要退回報社。〔5〕報童除了在從報社買報所需費用以外，其他費用〔如交通費、攤位費等〕一概不計。問題的分析：報童購進數量應根據需求量確定，但需求量是隨機的，所以報童每天如果購進的報紙?zhí)伲粔蛸I的，會少賺錢；如果購進太多，賣不完就要賠錢，這樣由于每天報紙的需求量是隨機的，致使報童每天的收入也是隨機的，因此衡量報童的收入，不能是報童每天的收入，而應該是他長期〔幾個月、一年〕賣報的日平均收入。從概率論大數定律的觀點看，這相當于報童每天收入的期望值，以下簡稱日期望收入〔日平均收入〕。模型的建立與求解：問題一：變量與常量的設定符號含義a每份報紙上午的零售價b每份報紙的批發(fā)價c每份報紙的退回價n每天報紙的購進量報紙需求量為〔離散型〕的概率報紙需求量為〔連續(xù)型〕的概率密度函數報童購進n份報紙的日期望收入〔損失〕把r看作離散型隨機變量由題意知當時，報童的日均收入為；報童的日均損失。當r<n時，報童的日均收入為；報童的日均損失為。報童的日均損失為要使報童日均期望收入最大，即要求其日均損失最低，即取最小值時n的值。。當所求的n值很大時：又因為得所以因為因此由上一個公式，我們可以看出，報童每天批發(fā)的報紙賣不完的概率與賣完的概率之比恰好等于他賣出一份報紙賺到的錢與退一份報紙所賠的錢之比?！?〕把r看作連續(xù)型變量由于每天的需求量一般很大，所以我們可以把這里的需求量r當做一個連續(xù)型變量來處理，那么用概率密度函數p(r)來描述，報童的日期望收入為：〔1〕要使G〔n〕最大，故對〔1〕式求導，使得,又：即：令：由概率密度函數的性質可知：00rpnnP1P2即取的并且：問題二：如果將每天分為上午和下午售報，且假定上午的需求量為，且上午的售價為a；下午的需求量為且下午的售價為d〔〕，假定。變量與常量的設定符號含義a每份報紙上午的零售價b每份報紙的批發(fā)價c每份報紙的退回價d每份報紙下午的零售價n每天報紙的購進量每天上午報紙的需求量每天下午報紙的需求量當上午報紙需求量為〔離散型〕的概率當下午報紙需求量為〔離散型〕的概率當上午報紙需求量為〔連續(xù)型〕的概率密度函數當下午報紙需求量為〔連續(xù)型〕的概率密度函數報童購進n份報紙上午的收入報童購進n份報紙下午的收入報童購進n份報紙的日期望收入由于每天的需求量一般很大，所以我們可以把這里的需求量r當做一個連續(xù)型變量來處理，那么用概率密度函數來描述：上午報童的收入為：下午報童的收入為：報童的日均收入為：此時我們將看作連續(xù)性變量來處理：要求的最大值，即先對其求導，得，即即：兩邊關于n求導得：即由于a、b、c、d，且知密度函數模型的